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Movimiento circular y elíptico de un satélite en un campo gravitatorio. - Contenido educativo

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Subido el 6 de noviembre de 2023 por Jorge Alfonso M.

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En este vídeo vamos a estudiar el movimiento orbital de un satélite en una órbita circular 00:00:00
respecto de un planeta y a continuación también lo haremos en una órbita helística. 00:00:07
Cuando el satélite se encuentra describiendo una órbita circular tendrá un radio orbital 00:00:12
que será el radio del planeta más la altura h sobre la que se encuentra respecto de la 00:00:19
superficie y estará sometido a la fuerza gravitatoria que viene dada por la expresión 00:00:24
obtenida por la ley de gravitación universal de Newton que nos dice que la fuerza gravitatoria 00:00:29
es igual a constante de gravitación universal G mayúscula por m mayúscula masa del planeta 00:00:35
por m minúscula masa del satélite dividido entre el radio de la órbita al cuadrado. 00:00:40
Puesto que el satélite está sometido a un movimiento circular su aceleración será 00:00:46
una aceleración centrípeta que será igual a velocidad orbital al cuadrado dividido 00:00:50
entre el radio de la órbita. Si aplicamos el segundo principio de la dinámica que nos 00:00:55
dice que la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración y teniendo en cuenta que 00:01:01
aquí la fuerza neta es la fuerza gravitatoria que ejerce el planeta sobre el satélite y 00:01:05
que la aceleración a la que está sometido es una aceleración centrípeta sustituyendo 00:01:11
las expresiones de la fuerza gravitatoria y de la aceleración centrípeta obtendremos 00:01:15
una ecuación que nos permite despejar la velocidad que será igual a la raíz cuadrada 00:01:20
de G m mayúscula dividido entre r. Como podemos ver la velocidad orbital del satélite es 00:01:27
independiente de su masa ya que solo depende de la masa del planeta y del radio de la órbita. 00:01:34
También podemos tener otra expresión de la velocidad orbital por la propia definición 00:01:41
de velocidad teniendo en cuenta que se da igual espacio entre el tiempo invertido que 00:01:45
cuando realiza un movimiento circular en una órbita la distancia que recorre será la 00:01:51
longitud de la circunferencia 2 pi r y el tiempo que invierte será el periodo de la 00:01:57
órbita por lo tanto quedará que la velocidad orbital será igual a 2 pi r dividido entre 00:02:02
el periodo. Si combinamos estas dos expresiones obtenemos una ecuación que nos da una relación 00:02:08
entre el radio de la órbita y el periodo del satélite que nos dice que el radio al 00:02:16
cubo entre el periodo al cuadrado es constante y esto es la demostración de la tercera ley 00:02:23
de Kepler. En muchas situaciones de un satélite cuando un satélite gira en torno a un planeta 00:02:30
me pueden dar el periodo con el que gira y pedirme que calcule la velocidad y el radio 00:02:39
de la órbita bien pues con la tercera ecuación podemos calcular el periodo y con cualquiera 00:02:44
de los dos anteriores podemos calcular la velocidad. Si por el contrario lo que me dan 00:02:48
es el radio de la órbita por la primera ecuación podemos calcular su velocidad orbital y con 00:02:54
la siguiente podemos calcular el periodo y por último si lo que me dan es la velocidad 00:02:59
orbital del satélite con la primera podemos calcular el radio de la órbita y con la siguiente 00:03:04
podemos calcular el periodo. También cuando un satélite se encuentra describiendo una 00:03:09
órbita circular tendrá energía cinética debido a la velocidad orbital que posee que 00:03:16
será igual a un medio de la masa por la velocidad al cuadrado y sustituyendo esta expresión 00:03:21
de la velocidad al cuadrado por lo obtenido anteriormente nos encontramos que la energía 00:03:26
cinética será igual a Gmm dividido por 2R. También el satélite tendrá energía potencial 00:03:31
puesto que está en el campo gravitatorio generado por el planeta cuya expresión será 00:03:39
menos Gmm dividido por el radio de la órbita. La energía cinética más la energía potencial 00:03:43
es igual a la energía mecánica que tiene el satélite en su órbita que sustituyendo 00:03:51
las dos expresiones anteriores encontramos que la energía mecánica será igual a menos 00:03:56
Gmm dividido por 2R. Se puede ver que hemos encontrado una expresión para energía cinética 00:04:01
para energía potencial y energía mecánica que depende del radio de la órbita por lo 00:04:08
que nos permite establecer una ecuación que no relaciona las tres magnitudes anteriores. 00:04:13
La energía mecánica será igual a la cinética, cambiado de signo, y será igual a la potencial 00:04:19
dividido. Para estudiar el movimiento de un satélite en una órbita helística vamos a 00:04:25
tener en cuenta el momento angular y el principio de conservación de la energía mecánica. 00:04:30
El momento angular de un satélite que describe una órbita helística será igual al producto 00:04:35
vectorial de R por P siendo R el vector de posición y P el momento lineal que es igual 00:04:40
a la masa por la velocidad. Bien, por definición del producto vectorial el módulo del momento 00:04:46
cinético, momento angular, será igual a RP por el seno del ángulo alfa siendo alfa 00:04:51
el ángulo que forma R y V. Por lo que el módulo del momento cinético será RMV por 00:04:57
seno de alfa. Bien, teniendo en cuenta que el momento cinético permanece constante en 00:05:04
todo movimiento orbital vamos a aplicar la conservación de dicho momento en dos posiciones 00:05:09
que son el apoastro y el periastro. El apoastro en la posición más alejada del satélite 00:05:16
al planeta y el periastro en la posición más cercana del satélite al planeta. Bien, 00:05:23
como el momento angular permanece constante el momento cinético en el apoastro será 00:05:31
igual al momento cinético en el periastro. Sustituyendo quedará que RP por M por VP 00:05:36
será igual a RA por M por VA y teniendo en cuenta que en estas posiciones el ángulo 00:05:43
es de 90 grados por lo tanto el seno de alfa vale 1, me quedará la expresión que RP por 00:05:48
VP es igual a RA por VA lo que me permite con las tres de las cuatro variables calcular 00:05:55
la cuarta. También si aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica 00:06:02
podemos tener una expresión para calcular la velocidad en el apoastro y en el periastro 00:06:06
teniendo en cuenta que la energía mecánica es constante y que su expresión en una órbita 00:06:12
helística se puede demostrar que es igual a menos gmm dividido entre el radio del apoastro 00:06:16
más el radio del periastro. Es decir, si el movimiento fuese circular el RA y RP serían 00:06:23
iguales y me quedaría la expresión de la energía mecánica igual a menos gmm dividido 00:06:30
por 2R que es la expresión que hemos tenido antes en una órbita circular. Bien, teniendo 00:06:35
en cuenta que la energía mecánica permanece constante y es igual a la suma de la cinética 00:06:43
y la potencial y sustituyendo la expresión de energía mecánica como menos gmm dividido 00:06:47
por RA más RP la energía cinética es un medio de la masa por la velocidad al cuadrado 00:06:53
y la energía potencial como menos gmm dividido por R obtenemos una ecuación que me permite 00:06:58
calcular la velocidad tanto en el periastro como en el apoastro. Estas velocidades solamente 00:07:04
dependerán de la masa del planeta y de las distancias al apoastro y al periastro. Estas 00:07:11
velocidades serán muy útiles para estudiar transferencias entre órbitas. 00:07:17
Idioma/s:
es
Autor/es:
Jorge Alfonso Moya Casas
Subido por:
Jorge Alfonso M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
7
Fecha:
6 de noviembre de 2023 - 13:41
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES CIUDAD DE JAEN
Duración:
07′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
22.59 MBytes

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