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Aplicación del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral - Contenido educativo

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Subido el 1 de enero de 2020 por Pablo M.

143 visualizaciones

Aplicación del teorema para deducir desigualdades.

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Hola a todos, en este tutorial nos vamos a plantear si pi elevado a e es mayor o menor que e elevado a pi 00:00:00
y lo vamos a resolver haciendo un uso del teorema del valor medio y el cálculo integral 00:00:07
que usamos en clase bastante poco. 00:00:14
Bien, tenemos claro que e es menor que pi 00:00:18
Y también hay que tener en mente que la función logaritmo es una función creciente que pasa siempre por el 1,0. 00:00:23
si nos fijamos en el tramo desde la e hasta pi 00:00:40
y usamos el teorema del valor medio del cálculo integral 00:00:49
este nos asegura que existe un valor entre medias de e y pi 00:00:56
que cumple que la integral entre e y pi del logaritmo es exactamente pi menos e logaritmo de c. 00:01:10
Bien, como vemos que la función logaritmo es creciente, 00:01:26
esto siempre va a ser estrictamente menor que pi menos e logaritmo de pi, 00:01:29
pues pi es el mayor valor en ese intervalo. 00:01:36
Y si desarrollamos esta expresión, tenemos que nos sale pi logaritmo de pi menos e logaritmo de pi. 00:01:39
Ahora vamos a proceder a calcular esa integral, que la haremos por partes, y así podremos comparar con esa desigualdad. 00:01:52
igualdad. Para ello llamaremos a la función f será el logaritmo de x y la función derivada va a ser 00:02:02
1. De forma que cuando derivemos logaritmo se transforma en 1 partido por x y cuando integremos 00:02:27
1 se transforma en x. De forma que esta integral ha quedado como x logaritmo de x menos la integral 00:02:35
de 1 partido por x, x diferencial de x. Todo ello entre e y pi. Si integramos 1 partido por x por x, 00:02:47
que es 1, nos queda simplemente la integral de x entre e y pi. 00:03:00
Y este valor será pi logaritmo de pi menos pi menos e logaritmo de e menos e. 00:03:07
Que todo esto va a ser 0, puesto que logaritmo de e es 1 y e menos e es 0. 00:03:25
Luego esta expresión ha quedado, esta integral, pi logaritmo de pi menos pi. 00:03:31
Y hemos visto que esta expresión era estrictamente menor que pi logaritmo de pi menos e logaritmo de pi. 00:03:38
cancelando los términos que son iguales 00:03:57
podemos saber que pi menos e logaritmo de pi 00:04:00
guardan esta relación 00:04:07
si cambiamos los términos de lado 00:04:10
y añadimos que el logaritmo neperiano de e es 1 00:04:13
nos queda la expresión que e logaritmo de pi 00:04:17
es menor que pi logaritmo de e 00:04:21
Utilizando las propiedades de los logaritmos con respecto a las potencias, la e y la pi suben dentro del logaritmo y nos queda pi a la e, e a la pi. 00:04:25
Y de nuevo, como mi función logaritmo es creciente, podemos entre comillas quitar los logaritmos, puesto que la relación se mantiene. 00:04:38
así hemos podido demostrar que pi elevado a e es menor que elevado aquí pi 00:04:50
y ha sido un camino bastante ingenioso a través del teorema del valor medio del cálculo integral 00:05:03
que nos ha pedido, nos ha permitido calcular una desigualdad 00:05:10
que nos permitiese comparar estas cantidades a priori 00:05:16
siendo unas potencias muy desconocidas 00:05:21
bueno, espero que haya quedado claro 00:05:25
y que este teorema del valor medio del cálculo integral 00:05:29
pues se ha tenido un poco más en cuenta 00:05:32
a la hora de resolver este tipo de desigualdades 00:05:34
un saludo 00:05:39
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Pablo Martínez Dalmau
Subido por:
Pablo M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
143
Fecha:
1 de enero de 2020 - 19:52
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
http://cloud.educa.madrid.org/index.php/s/ItUNrVcCI4EKwUz
Centro:
IES CARMEN CONDE
Descripción ampliada:
Una manera de deducir que pi elevado a e, es menor que e elevado a pi. 
Duración:
05′ 41″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
1440x1080 píxeles
Tamaño:
109.53 MBytes

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