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13-2-23BT2 - Contenido educativo

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Subido el 13 de febrero de 2024 por Francisco J. M.

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Voy a grabar las clases y antes de empezar cada clase voy a preguntar que si alguien tiene algún inconveniente, dejo de grabar y si no, proseguimos y punto. 00:00:00
No sé si las habéis localizado, si no las localizáis. Bueno, voy a hacerlo rápido porque luego hay veces que con estas cosas gastamos tiempo que parece que lo estamos perdiendo. 00:00:14
A ver, si os metéis en el aula virtual de López de Vega, en distancia, estamos en segundo, segundo de bachillerato, aquí matemáticas 2. 00:00:27
Si os metéis en los recursos generales… 00:00:47
Lo digo porque lo mismo, ayer me metí en otro ordenador y hay veces que parece un poco dificultoso, difícil acceder. 00:01:06
En los recursos generales, fijaos que estoy en la primera antes de que empiecen los temas. La última pone canal de clases del curso. Esto es un acceso a la mediateca. Yo, por lo menos, sí quiero tener los recursos dentro de EducaMadrid. Y aquí pone contraseña distancia 23-24 más, que es la misma clave. 00:01:15
Entonces, ahora, cuando os metéis en la mediateca, pone iniciar sesión. Si queréis iniciar sesión tenéis que poner la contraseña de Duca Madrid, pero donde tenéis que poner lo de distancia 23-24 es aquí. 00:01:38
Le dais aquí, ahora no lo guardo, y ya pone ver el contenido. 00:01:58
Bueno, el enlace se va aquí. Disculpad que es que no había puesto la pantalla aquí. 00:02:08
Entonces, aquí ponéis la contraseña y aquí, de momento, pues solo está disponible la última de la otra grabación, 00:02:15
porque yo tenía entendido que estaba prohibido grabar las clases, creo que ya lo hablamos algún día, 00:02:24
y de un día para otro me entero que la gente lo está grabando. 00:02:30
Pues bueno, disculpad que no lo he hecho antes, no tengo intención. 00:02:33
Y eso sí, siempre os pediré permiso para grabar las clases. Creo que esa precaución es buena tenerla. 00:02:38
Entonces, ahora nos vamos a la clase de hoy, que hoy es día 13 del 2, y hoy empezamos el último bloque. 00:02:49
El año pasado lo di en otro orden y el año pasado tenía que preguntaros la geometría, en la primera y en la segunda oración, por lo cual era una vez. 00:02:57
la geometría 00:03:05
a ver, es más fácil que no 00:03:07
el análisis por las cuentas 00:03:10
pero 00:03:12
aquí tenéis que relacionar muy bien 00:03:13
tener muy hilados 00:03:16
los conceptos 00:03:17
al respecto 00:03:21
os diría 00:03:23
bueno, hoy empezamos el tema de vectores 00:03:24
si no me equivoco 00:03:27
solo lo vamos a ver hoy 00:03:28
veréis que hay cosas parecidas a la simetría 00:03:30
de primero, que eran dos dimensiones 00:03:32
pero un consejo 00:03:35
que os estoy dando últimamente 00:03:37
y para determinados temas 00:03:39
para la probabilidad a lo mejor no están así 00:03:41
pero para 00:03:43
el tema de geometría 00:03:44
al final del tema tenéis un resumen 00:03:46
¿sí? 00:03:49
que yo recomiendo que lo uséis 00:03:51
pero que hagáis el vuestro 00:03:53
propio 00:03:55
porque yo algún día a lo mejor os digo, mira este truco 00:03:56
vale para esto y eso no viene en los resúmenes 00:03:59
yo no veo en un resumen donde venga 00:04:02
todo y además yo por experiencia 00:04:03
de cuando estudiaba yo tengo mis 00:04:05
trucos propios o tengo mis cosas propias 00:04:07
pero vamos, que os inspiréis 00:04:09
en esto 00:04:11
yo el vector unitario lo doy un poco 00:04:12
diferente pero 00:04:15
vamos, que esto es lo que vamos 00:04:16
a ver y lo vamos a ver por encima 00:04:19
de lo que estamos aquí, cuando el producto 00:04:21
escalar de dos vectores 00:04:23
es exactamente 00:04:24
igual que el de dos dimensiones 00:04:27
el producto escalar de dos vectores 00:04:29
es el módulo del primer vector por el 00:04:31
La fórmula consiste en multiplicar. Primera coordenada por primera, segunda por segunda, tercera por tercera y sumarlo todo. 00:04:33
Entonces, lo único es que estáis añadiendo una coordenada. El módulo de un vector es como el teorema de Pitágoras, pero en vez de con dos catetos es con tres. 00:04:48
porque la figura es un 00:04:57
paralelo 00:04:59
es un paraleletípero 00:05:00
hablaremos de paraleletípero 00:05:02
con un vector unitario, sabéis que si un vector 00:05:04
mide 5 y la dividís entre 5 00:05:07
ese vector mide 1 00:05:09
esto más o menos es el resumen de lo que vamos a ver 00:05:10
la proyección de un vector 00:05:13
sobre otro, yo generalmente 00:05:15
no lo uso mucho pero 00:05:18
bueno, que 00:05:19
hay que dar, es fundamental 00:05:20
el ángulo entre dos vectores, la fórmula 00:05:23
es la misma que la de primero. 00:05:26
Lo que varía son las cuentas que hay una coordenada más. 00:05:28
Y luego se introduce el producto vectorial 00:05:31
que los que habéis dado física ya lo habréis visto. 00:05:34
Yo lo calculo con un determinante. 00:05:37
Aquí lo hace de otra forma. 00:05:40
Lo podéis elegir como queráis. 00:05:42
Aquí lo hace desarrollando por adjuntos. 00:05:43
Y que sepáis, estas son cosas muy claras. 00:05:46
El producto escalar que os he dicho antes 00:05:49
sirve para calcular distancias y ángulos. 00:05:51
Ahí tenéis las fórmulas. 00:05:54
Y el producto vectorial sirve para calcular el área de un paralelogramo, o de un triángulo, y el volumen de un paralelo de Pippen. 00:05:56
Luego, si es una pirámide, pues se divide entre 4 y lo que sea. 00:06:07
Esto más o menos es el resumen de hoy en cuanto a lo que son los conceptos principales. 00:06:12
Ahora, vamos ya al grano, porque esto es en su miga. Bueno, un vector fijo del año pasado, supongo que sabéis que es un segmento orientado, ¿no? 00:06:20
En un segmento, a los puntos A y B se les llama extremos. 00:06:36
Pero como el segmento es orientado, a A se le llama origen y a B se le llama extremo. 00:06:44
Supongo que fuera, ¿no? 00:06:51
No es lo mismo el vector AB que el vector B. 00:06:56
Tienen el sentido opuesto, ¿no? 00:06:59
Bueno, ¿qué es el módulo de un vector? 00:07:01
El módulo de un vector es un óxido. 00:07:03
En física puede ser su intensidad en cuanto que sea una fuerza, pero geométricamente el módulo de un vector es su longitud. 00:07:06
La dirección de un vector se define como aquello que es común a él y a sus familiares. 00:07:21
Y el sentido del vector AB es de A, que se llama origen, a B, que se llama distrito. 00:07:36
Entonces, esto voy rápido porque se supone que los conceptos principales, lo que os he pasado, todo lo que vale para el plan, los conceptos, vamos a integrarlos. 00:07:55
que es la generación espacial, sabéis que si tenéis dos vectores que están situados en puntos distintos del espacio 00:08:06
y tienen la misma longitud, la misma dirección y el mismo sentido, se llaman equiponentes. 00:08:13
Y vector libre es aquel que representa a todos esos vectores. 00:08:18
Un vector libre es aquel que representa a todos los vectores equiponentes. 00:08:25
Eso. Donde equipo lente quiere decir que tienen en el mismo módulo la misma dirección y el mismo. 00:08:36
¿Por qué se llama libre? Porque como yo no estoy imponiendo cuál es el origen, lo puedo colocar en cualquier lugar del plano. 00:08:51
Que eso ya lo veréis, que yo cogeré un vector y lo colocaré donde me parece. 00:08:57
¿Sí? Bueno, ¿en qué consiste multiplicar un vector por un escalar? De momento estamos trabajando en geométrico. Ya veréis que vamos a trabajar en geométrico y en algebraico. 00:09:01
Cuando hagamos las cuentas, pues abrimos las determinadas operaciones algebraicas. 00:09:20
Ya os digo, estos son conceptos que creo que debo ir un poco deprisa para priorizar otras cosas. 00:09:27
A ver, yo tengo un vector v, lo llamo v, ¿no? 00:09:38
cuando tenga un número, sabéis que se llama escalar 00:09:47
¿no? entonces 00:09:51
¿cuál va a ser el vector 2V? 00:09:53
pues el mismo, puesto 00:09:55
dos veces, ¿no? este es 2V 00:09:57
y el vector 3V 00:09:58
sería tres veces, ¿no? 00:10:01
y ¿cuál sería 00:10:03
el vector menos V? 00:10:05
el mismo, pero con el 00:10:08
sentido contrario, ¿no? Este es el vector menos v, ¿sí? Entonces, el vector a v, su módulo es a veces el módulo de v. 00:10:11
¿sabéis por qué he puesto 00:10:37
valor absoluto? 00:10:41
porque si por ejemplo 00:10:44
cojo el vector menos 2V 00:10:45
es dos veces 00:10:47
el módulo, es en positivo 00:10:49
¿no? el módulo no puede ser 00:10:52
negativo, tiene la misma 00:10:54
dirección 00:10:56
y ahora 00:10:56
si ya 00:11:05
es positivo 00:11:06
tiene 00:11:08
el mismo 00:11:10
sentido. 00:11:12
Y si A es negativo 00:11:18
tiene el sentido opuesto. 00:11:20
Esto básicamente. 00:11:31
La operación ya la sabéis del año pasado 00:11:32
y es muy sencilla. 00:11:34
Bueno, para hacer la suma de dos vectores, los que veis física, pues lo tenéis más claro. 00:11:37
Sabéis que si tenéis dos vectores u y v, se coloca con el mismo origen y se hace la regla del paralelogramo. 00:11:43
También se puede poner aquí en paralelo a este y hacer directamente, este es el vector u más v, o se hace el paralelogramo completo. 00:11:52
La diagonal del paralelogramo es u más v. Y ahora, ¿cómo se hace? De todas formas es bueno que sepáis que si yo después de u pongo v, parto del origen del principio y llego al extremo al que llego y esa es la suma de vectores. 00:12:03
esto está muy asociado con la composición de fuerzas 00:12:24
físicas 00:12:27
y la diferencia la puedo hacer de dos formas 00:12:30
cuesta más verlo 00:12:34
por eso os lo voy a dar de dos formas 00:12:38
a ver, hay gente que quiere hacer 00:12:41
u menos v 00:12:43
u menos v es lo que le falta a v 00:12:44
para llegar a u, ¿no? 00:12:53
¿Sí? 00:12:56
5 menos 3 es lo que le falta a 3 00:12:57
para llegar a 5. 00:12:59
Bueno, pues u menos v es lo que le falta 00:13:01
a... 00:13:04
No, esto es u menos v. 00:13:07
Si yo estoy en v, ¿qué le falta a v 00:13:09
para llegar a u? ¿Sí? 00:13:11
Hay gente que le gusta más decir 00:13:13
que si esto es u 00:13:15
y esto es v, 00:13:16
el vector menos v 00:13:21
es este, ¿no? 00:13:22
Este es el vector menos V, ¿sí? 00:13:26
Si hacéis un paralelogramo 00:13:28
a ver que tal vez 00:13:31
sale, os sale este 00:13:34
vector. 00:13:36
Y este es U menos V. 00:13:38
Como veis queda lo mismo. 00:13:41
Si el dibujo tal vez lo hace, por supuesto, ¿no? 00:13:42
Que no lo está. Bueno, esto 00:13:44
tampoco nos vamos a 00:13:46
embarrar en esto, 00:13:49
fangar en esto porque hay muchos detalles, pero más o menos que veáis que geométricamente 00:13:50
esto tiene un sentido. Cuando hagamos un esquema, pues esto nos servirá para entender determinadas cosas. 00:13:55
Bueno, ahora, vamos ya a lo que son las muestras. ¿Qué es una combinación lineal de vectores en el espacio? 00:14:02
Bueno, esto ya empieza a relacionar lo que es el álgebra con la geometría en sí. 00:14:12
Entonces, ahora ya vamos a empezar a relacionar elementos geométricos con elementos álgebra. 00:14:25
A ver, ¿qué es una combinación lineal de vectores? 00:14:36
Por ejemplo, si yo tengo un vector u y un vector v, esto sería una combinación lineal de esos dos vectores. 00:14:39
Esto es un ejemplo. 00:14:52
¿Qué sería? Si yo tengo el vector u y tengo el vector v, voy a poner más 3 por comodidad. 00:14:54
Y aquí tengo un vector v, pues si pongo tres veces v y dos veces u, hago el paralelogramo, ¿no? Y esto es una combinación lineal de esos vectores. 00:15:01
¿Qué tienen en particular? Esto es 2U más 3U. ¿Qué tienen en común todos esos vectores? Que cualquier combinación lineal de esos dos vectores están formando un plano. 00:15:17
¿No? Tenedos en cuenta que estamos ahora en dimensión 3, ¿no? Y estoy diciendo que estamos en un plano. Ahora, ¿cuándo dos vectores son linealmente independientes? 00:15:34
Para que sean independientes, lo que tiene que ocurrir, os acordáis, dos líneas, para que sean linealmente independientes no pueden ser proporcionales. 00:15:52
Y esto equivale a decir a cuando no tienen la misma dirección. 00:16:03
no sé si lo veis 00:16:13
linealmente dependientes quiere decir 00:16:21
dos vectores que uno sería proporcionar a otro 00:16:23
y si dos vectores son 00:16:26
proporcionales tienen la misma dirección 00:16:27
que sean independientes quiere decir 00:16:29
que no tienen la misma dirección 00:16:31
porque luego ya veréis que vamos a estudiar 00:16:33
rangos y si el rango de dos 00:16:36
vectores es dos 00:16:38
quiere decir que están 00:16:39
en distintas rectas 00:16:42
Y si no, ¿qué tiene la misma adicción? 00:16:43
¿Sí? 00:16:46
Bueno, de la misma forma, para que tres vectores sean linealmente independientes, 00:16:46
lo voy a poner abajo, 00:16:53
no pueden ser coplanarios. 00:16:56
¿Entendéis lo que significa coplanar? 00:17:05
¿Qué significa coplanar? 00:17:07
A ver, si yo tengo un plano que contiene… Efectivamente, si yo tengo tres vectores que son linealmente dependientes, uno de ellos tiene que ser combinación lineal de los otros. 00:17:07
Y como veis están en el mismo plano. Esto es que son coplanarios. 00:17:26
Pero ¿qué pasa si yo tengo este vector y este vector que están en un plano y luego tengo otro que se me escapa hacia arriba? 00:17:34
Que no son coplanarios. Entonces, estos tres vectores son linealmente independientes. 00:17:45
Linealmente independientes. No son coplanarios. 00:17:52
independientes. Todo esto es lo que tienes que relacionar el álgebra con la geometría. 00:17:56
Dependencia lineal de dos vectores tiene la misma dirección. De tres vectores están en el mismo 00:18:04
plan. Si son independientes no están en el mismo plan. Una base ortonormal de los vectores del 00:18:09
espacio, consisten, son tres vectores que son linealmente independientes, pero además 00:18:19
son perpendiculares entre sí, perpendiculares 2 a 2 y de longitud 1. 00:18:31
Y los que habéis visto física sabéis que son los vectores I, J, K. 00:18:41
En física se llaman así. 00:18:51
Los tres miden uno, su módulo es uno, y son los tres perpendiculares en precio. 00:18:54
90 grados, esto 90 grados porque está en perspectiva y esto 90 grados. 00:19:00
Bueno, una vez hecho esto, yo de esta parte me quedaría sobre todo con cuándo dos vectores son linealmente independientes y cuándo tres vectores son linealmente independientes. 00:19:04
Esos son los conceptos más importantes de lo que hay aquí. Que, por cierto, no sé si está en la hoja de resumen, por eso os digo que hagáis vuestras propias anotaciones. 00:19:19
Bueno, vamos entonces a dibujar un vector de coordenadas 1, 2, 3 en una base autónoma. Voy a hacer uno nada más a nivel de que visualicéis las cosas. Además, hay algunos de vosotros que veis mejor las cosas algebraicas y hay algunos que veis mejor las cosas geométricas. 00:19:36
¿Qué significa el vector 1, 2, 3? 00:19:58
Depende cómo tome los ejes. 00:20:01
Yo generalmente tomo este como eje OX, este el eje OI y este el eje OC. 00:20:03
Pero a veces incluso los cambia. 00:20:12
Entonces, si yo tengo una base autonormal, pues este es I, este es J y este es K. 00:20:16
¿Para qué me sirve esto? 00:20:26
para dar las unidades de medida, los ejes. 00:20:27
Ahora, ¿cuál es el vector 1, 2, 3? 00:20:30
Pues en la X es 1, en la Y es 2, 00:20:32
con lo cual tendría que hacer esto, ¿no? 00:20:36
Y en la Z es 3, 1, 2 y 3. 00:20:39
Entonces, ¿cómo se dibuja esto? 00:20:43
Pues yo todo esto de aquí lo tengo que levantar 3 unidades. 00:20:46
Esto lo levanto 3 unidades, 00:20:53
lo levanto tres unidades 00:20:55
y se forma un parámetro 00:20:57
de piper, ¿sí? 00:20:59
Bueno, pues gráficamente el vector 00:21:01
1, 2, 3 es el que 00:21:03
empieza aquí, en el origen, y 00:21:05
termina aquí. 00:21:07
Sería como la diagonal, 00:21:09
el opuesto del origen, ¿sí? 00:21:11
Por ejemplo, los que estáis en clase, 00:21:13
si ese es el origen, ¿no? 00:21:15
El vector A más B 00:21:17
más C es el que en esa esquina 00:21:19
va a estar ahí, 00:21:21
en la opuesta, ¿sí? 00:21:23
esto gráficamente 00:21:24
hay muchas cosas que haremos el esquema 00:21:26
y nos basta 00:21:28
pero bueno, esto 00:21:30
sobre todo es ir entendiendo 00:21:32
ir entendiendo para que 00:21:34
luego cuando pintemos un esquema 00:21:38
pues que sepamos que es lo que estamos haciendo 00:21:40
bueno, y ahora vamos a la parte 00:21:41
que en principio es la más sencilla 00:21:44
porque esto además se supone que lo sabéis 00:21:45
del año pasado, vemos que es una 00:21:48
de las coordenadas de los vectores 00:21:50
Que se suma el primero con el primero, el segundo con el segundo, y ahora como estamos en el espacio, el tercero con el tercero. 00:21:54
Entonces, ¿cómo voy a escribir esto? 00:22:01
Pues sería x1 más y1, más x2, perdón, y1 más y2. 00:22:06
la X la sumo con la X, la Y con la Y 00:22:21
y la Z con la Z 00:22:24
¿Cómo multiplico un número 00:22:25
por un vector? Pues supongo que os acordáis del año pasado 00:22:30
que se hace coordenada, se multiplica 00:22:33
cada coordenada por un número 00:22:36
entonces esto, si quiero multiplicar 00:22:38
este número por ese vector 00:22:43
pues AX lo multiplico 00:22:44
por A, ahí lo multiplico 00:22:49
por A y aceptar lo multiplico 00:22:51
por A. 00:22:53
A mí me gusta 00:22:55
distinguir puntos y rectas 00:22:56
casi siempre. A veces se me escapa 00:22:59
pero 00:23:00
me gusta distinguir puntos y rectas 00:23:03
poniendo el gorrito 00:23:05
o no poniéndolo. Ahí, por ejemplo, se me ha escapado 00:23:07
porque a la hora de escribir 00:23:09
ecuaciones se tarda mucho 00:23:11
y a veces uno 00:23:13
simplifica. Bueno, entonces 00:23:15
el siguiente ejercicio, que ya va a ser el primer 00:23:17
os dice, expresa si es posible 00:23:20
el vector u como combinación lineal 00:23:23
de esos dos vectores 00:23:26
para que sea combinación lineal 00:23:27
el vector u, que es 1, 2, 1 00:23:31
para que sea combinación lineal 00:23:35
de esos dos vectores 00:23:39
tendrá que ser un múltiplo del primero 00:23:41
más 00:23:44
un múltiplo del segundo 00:23:47
tiene que ser suma 00:23:49
de vectores proporcionales 00:23:55
si, si, todos los vectores 00:23:57
en tres dimensiones tienen tres coordenadas 00:24:08
si hubiera alguna 00:24:10
porque sea obvia una de ellas es que 00:24:12
entonces cómo se hace esto pues de la siguiente forma como multiplico un número por un vector 00:24:13
dos por a dos a y a por menos uno menos a como multiplico este vector pues 3 b 00:24:27
B, 2B. 00:24:34
Esto 00:24:39
operar con matrices filas. 00:24:41
Si os fijáis, 00:24:44
1, 2, 1 00:24:46
y ahora, ¿cómo sumo vectores? 00:24:47
El primero con el primero, ¿no? 00:24:50
A más 3B. 00:24:52
El segundo, 00:24:56
2A más B 00:24:56
y el tercero, menos A 00:24:58
más 2B. 00:25:01
Si esto 00:25:02
tiene solución 00:25:04
quiere decir que 00:25:05
puedo expresar este vector 00:25:07
como combinación lineal de estos dos 00:25:09
eso querría decir que esos tres vectores 00:25:11
son coplanarios 00:25:14
si esto no tiene 00:25:15
solución, no se puede poner 00:25:17
uno como combinación lineal de los otros 00:25:20
dos y los vectores no son 00:25:22
coplanarios 00:25:24
hay que hacer un pequeño matiz 00:25:24
pero bueno, más o menos esa es la idea 00:25:27
entonces, ¿cuándo dos vectores son 00:25:30
iguales? pues cuando uno es igual 00:25:32
a a más 3b, cuando 2 es igual a 2a más b y cuando 1 es igual a menos a más 2b. 00:25:33
Bueno, entonces, ¿cómo hago esto? Yo lo haría por sustitución. a es igual a 1 menos 3b 00:25:47
y sustituyo en los otros dos. 00:25:55
2 es igual a 2 menos 6b más b. 00:25:59
Y si sustituyo en el otro me queda 1 es igual a 00:26:06
menos a sería menos 1 más 3b más 2b. 00:26:09
De esta ecuación me queda este... 00:26:15
Aquí falta una a, ¿no? 00:26:20
Ah, no, no, no, no, no, porque es 2 por 1. No, es 2A y es 2 por 1 y 3 por menos 6. 00:26:22
Entonces, aquí quedaría que 0 es igual a menos 5b, ¿no? Y aquí me quedaría que 2 es igual a 5b. 00:26:36
Espero no haberme equivocado en las cuentas, pero 1 es igual a 3b, vale, 2 es igual a 2a más b y 1 es igual a menos a más 2b, ¿no? 00:26:53
Bueno, ¿aquí qué sale? 00:27:14
Que B vale 0 entre menos 5, que es 0. 00:27:17
Y de aquí sale que B es 2 quintos. 00:27:23
¿Esto qué quiere decir? 00:27:28
Que es incompatible. 00:27:30
Y si es incompatible, quiere decir que U no es combinación lineal. 00:27:33
D, V y V2. 00:27:44
No es exactamente que no sean coplanarios, porque hay que refinar una cosa con el rango, 00:27:54
porque eso es muy de ayuda de los referentes interpersonales, pero por ahí van los tiros. 00:27:59
No me voy a explicar más, porque me voy a ir por no extenderme. 00:28:04
Bueno, entonces, sabemos operar con coplanadas, ¿no? 00:28:11
Los vectores, sumar vectores y hay todas estas cosas, ¿no? 00:28:14
Lo siguiente, que es extender el producto escalar a tres dimensiones. 00:28:19
Esta es la definición de producto escalar. 00:28:25
La ferométrica. 00:28:29
El producto escalar de los vectores, en el libro pone un puntito, 00:28:31
a mí me gustaría que pusierais este redondelito, porque este es el estándar. 00:28:34
Esta es la notación, es internacional, y en el libro no sé si sale un punto que no está muy claro. 00:28:38
Es un redondelito. 00:28:43
Para luego no confundirnos las cosas, ¿sí? Entonces, el producto escalar es importante. Se llama escalar porque el resultado es un número, no es un vector. Y se obtiene, y la definición es que es el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno del ángulo que se suma. 00:28:44
Pero su cálculo es como el del año pasado, ¿os acordáis? El primero se multiplica por el primero, el segundo por el segundo y el tercero por el tercero. Se suma y es el número que sale. 00:29:05
Entonces, aquí, por ejemplo, ¿cómo se calcula el producto escalar de estos dos vectores? 00:29:15
Pues sería 1 por 2, primero por el primero, más el segundo por el segundo, 3 por menos 1 y el tercero por el tercero, que sería más menos 2 por 3. 00:29:26
esto es 2 menos 3 00:29:45
menos 6 00:29:51
y sale menos 7 00:29:52
menos 3 menos 1 menos 7 00:29:56
insisto, un número 00:29:59
¿sí? ¿qué significa 00:30:01
ese número? el módulo de 00:30:03
por el módulo de v por el coseno del ángulo 00:30:05
que es a 00:30:07
no me da más tiempo de aplicarlo 00:30:07
a más 00:30:11
bueno 00:30:11
Es importante que miréis las propiedades. Sobre todo que sepáis que el producto escalar es conmutativo y que luego se puede operar, la propiedad distributiva se puede hacer y todas estas cosas. 00:30:14
Lo miráis porque esas propiedades se aplican luego algebraicamente. Y ahora, aplicaciones del producto escalar. Esto lo tenéis en los resúmenes y lo tenéis grabado afuera. 00:30:28
¿Sí? ¿Cómo se calcula un módulo de un vector? Pues, el módulo de un vector, el producto escalar es la raíz cuadrada de 1. Me voy a explicar, a ver, un poquito, aquí. 00:30:40
Ahora, si yo hago u por u, un producto escalar por u, sé que es el módulo de u por el módulo de u por el coseno del ángulo que forma, ¿no? 00:31:10
¿Qué ángulo forma una cosa consigo misma? 00:31:29
Cero grados, ¿no? 00:31:34
¿Y cuál es el coseno de cero? 00:31:36
El coseno de cero es uno. Una cosa, en este tema la calculadora en grados, en el tema de análisis en radianes y en física supongo en radianes también. 00:31:40
Bueno, o sea que U producto escalar U es igual al módulo de U por el módulo de V. 00:31:54
Entonces, si veis, tomando la raíz cuadrada, el módulo de U es eso. 00:32:05
En la práctica, y esto tomarlo en la práctica, esto os estoy explicando de dónde sale, 00:32:12
pero ahora, en la práctica, ¿cómo se calcula el módulo de un vector? 00:32:19
Pues haciendo el teorema de Pitágoras. 00:32:24
Al hacer u por u, estáis multiplicando u1 por u1, u2 por u2 y u3 por u3. 00:32:33
Entonces, al hacer la raíz cuadrada sale eso. 00:32:43
En la práctica, tenerlo esto mecanizado porque se da la extensión. 00:32:45
Ahora, ¿cómo se calcula un vector unitario con la misma dirección que u? 00:32:49
Pues esto os lo he dicho al principio de la clase. Si yo tengo una cosa que mide 5 y la divido entre 5, lo que me sale tiene módulo 1. 00:32:54
Hay otro que es menos 1 dividido por 1. O sea, que tenga la misma dirección sabéis que hay dos vectores, uno y el que tiene sentido opuesto. 00:33:03
esto yo no lo uso mucho 00:33:17
pero esto te deduce 00:33:21
de las propiedades del producto escalar 00:33:23
miradlo pero 00:33:25
voy a priorizar 00:33:27
y esto es lo importante 00:33:28
esta es la definición 00:33:32
de producto escalar despejando 00:33:36
el producto escalar de dos 00:33:37
vectores es módulo dv 00:33:39
por el coseno del ángulo de forma 00:33:41
si esto lo paso dividiendo 00:33:43
me sale esta forma 00:33:45
Y esta es la que vamos a usar con vectores. Por cierto, los vectores pueden tener o este ángulo o este ángulo. Cuando lo hagáis siempre vais a hacer el ángulo a 1, porque en la calculadora sale el ángulo a 1. 00:33:46
Y ahora, ¿cuál es el coseno de 90 grados? Cero. Lo podéis hacer con la calculadora. Bueno, pues dos vectores son perpendiculares e importantísimo si su producto escalar es cero. 00:34:05
Y esto también, como visteis en el curso pasado, no quiero detenerme por intentar poder explicar un poco de todo, pero vamos, esto es lo que tenéis que saber a la hora de hacer problemas. 00:34:23
Entonces, vamos a hacer algún ejemplo sencillo. Y esto os digo, tenéis que tenerlo lo más mecanizado posible. 00:34:37
voy a hacer estos dos ejercicios 00:34:45
como veis tenéis ahí actividades propuestas 00:34:51
¿qué es? a ver, ¿cómo se calcula 00:34:53
un vector unitario paralelo a este? 00:35:01
pues ¿qué tengo que hacer? saber cuánto mide 00:35:05
¿sí? y esto es la raíz cuadrada b 00:35:08
1 al cuadrado más menos 1 al cuadrado 00:35:12
más 2 al cuadrado 00:35:16
veis que esto ya lo digo automático 00:35:17
si quieres que repita algo 00:35:19
a ver, hay gente que se entretiene en hacer lo siguiente 00:35:24
el módulo de un vector es la raíz 00:35:27
de u por 1 00:35:30
de u por 1, esto es la raíz 00:35:31
de 1 menos 1 00:35:36
2, producto escalar 00:35:38
1, menos 1, 2, ¿sí? 00:35:41
Y esto que va a salir 00:35:46
1 por 1, 1 al cuadrado, menos 1 por menos 1, 00:35:47
menos 1 al cuadrado, y 2 por 2, 2 al cuadrado. 00:35:50
Yo creo que si lo tenéis así mecanizado, mejor. 00:35:53
¿Sí? U de L significa unidades de longitud. 00:35:56
Y ahora, 00:36:01
¿cuál va a ser el vector que me pide? 00:36:02
Pues 00:36:07
el vector 00:36:07
unitario 00:36:10
1 menos 1, 2 00:36:14
partido por la raíz de 6. 00:36:18
¿Esto cómo se come? 00:36:22
Pues se pone 1 partido por raíz de 6 00:36:24
menos 1 partido por raíz de 6 00:36:26
2 partido por raíz de 6. 00:36:30
Si alguien quiere racionalizar, mejor. 00:36:33
Pero esto no es lo que voy a pedir. 00:36:35
Ya las rutas tienen bastante. 00:36:37
y ahora el otro ejercicio 00:36:40
uno va de módulos y este va de ángulos 00:36:47
¿son perpendiculares 00:36:50
estos dos vectores? 00:36:51
yo sé que 00:36:53
u y v 00:36:54
son perpendiculares 00:36:57
si su producto 00:36:58
escalar es cero 00:37:01
pues voy a ver que ocurre 00:37:02
¿cómo calculo este producto 00:37:05
escalar? 00:37:07
1 por 3 00:37:10
1 por 3 más 00:37:16
menos 1 por menos 1 00:37:19
más 2 por 2 00:37:22
¿y qué sale? 4, 5 00:37:26
sale 9 00:37:30
3 más 2, 5 más 4 00:37:31
son perpendiculares 00:37:36
no son 00:37:38
perpendiculares 00:37:43
¿y ahora cuál es el ángulo que forman? 00:37:45
pues 00:37:50
yo sé que el coseno 00:37:51
del ángulo que forman 00:37:53
¿os acordáis cómo era? 00:37:55
producto escalar 00:37:59
partido por 00:38:00
sus módulos 00:38:01
el producto de sus módulos 00:38:03
el producto escalar lo acabo de calcular 00:38:05
que vale 9 00:38:12
el módulo de u 00:38:13
lo he calculado aquí, es este vector 00:38:19
pues ya directamente 00:38:22
sé que vale raíz de 6 00:38:24
y el módulo de v 00:38:26
es raíz cuadrada 00:38:31
de 3 al cuadrado 00:38:34
más menos 1 al cuadrado 00:38:36
más 2 al cuadrado. 00:38:38
Y esto sale 14, me parece, ¿no? 00:38:39
Raíz de 14. 00:38:43
Pues 6, raíz de 6 00:38:45
por raíz de 14. 00:38:47
Y ahora es donde interviene la calculadora. 00:38:50
¿Sabéis qué tenéis que hacer? 00:38:53
El ángulo que forma 00:38:55
u y v 00:38:56
¿Sabéis qué tenéis que hacer de esto? 00:38:57
Sif coseno, ¿no? 00:39:02
de esto. 00:39:02
Cuidado que os tiene que salir lo mismo que a mí 00:39:07
hacerlo con calculadora o la vuestra, porque 00:39:10
no sale lo mismo es que no habéis metido bien los paréntesis. 00:39:14
Me voy a la calculadora 00:39:19
y le doy, a ver, 00:39:21
A ver, sí, coseno, abro paréntesis, bueno, aquí ya lo abrí. 00:39:29
Aquí me da la fracción, ¿sí? 00:39:34
Sí, coseno, a ver. 00:39:37
A ver, la función... 00:39:43
Efectivamente, es la función inversa, no es uno partido por coseno. 00:39:45
Entonces, míralo con tu calculadora, Lisbeth, 00:39:53
porque aquí tienes que poner unos paréntesis en el denominador. 00:39:55
En esta no hace falta. Aquí pongo 9 y abajo pongo raíz de 6 por, esto es más incómodo, raíz de 14. 00:39:59
Raíz de 14 y sale 10,89. No me he fijado, ¿estaba la calculadora en grados? 00:40:12
Pues, a ver, en la tuya es con el mode, me parece. Aquí hay que darle así, mode, y hay que darle al 3. 00:40:29
Bueno, entonces, me sale esto, ¿sí? 00:40:59
¿Cómo lo aproximo? Pues a grados. 00:41:16
10,89, pues aproximadamente serían 11 grados, ¿no? 00:41:18
11 grados. 00:41:24
A mí con que me lo regaléis a grado, basta. 00:41:25
Bueno, pero eso, asegurar siempre que la calculadora está en grados, en DEG. 00:41:29
Pues nos vamos aquí, porque creo que nos queda el producto vectorial y aunque sea muy rápido, intento darlo todo ahí. 00:41:45
Bueno, el producto vectorial de dos vectores, como dice su nombre, su resultado es un vector. 00:41:55
Se pone con aspa, ¿sí? Con la multiplicación de cuando estábamos en primaria, ¿sí? 00:42:14
Y ahora, su módulo. Esto no va a ser importante salvo para los que veis física. El módulo del producto vectorial es el producto de los módulos en vez de por el seno, de por el coseno por el seno. 00:42:21
La dirección. La dirección está muy bien porque es perpendicular a los dos. Eso lo veis espacialmente. En un plano, yo si tengo dos vectores, no hay ninguno perpendicular porque se tiene que salir de ese plano, pero en el espacio sí. 00:42:35
Entonces, es perpendicular a los dos vectores. Si yo alguna vez necesito calcular un vector perpendicular a dos vectores, hago un producto vectorial y ya está. 00:42:51
Bueno, la regla de sacacorchos, la que os la expliquen en física, porque no quiero mezclar una cosa con otra y en las temáticas no... O sea, lo que me interesa a mí es que es perpendicular a dos vectores, ¿no? 00:43:01
Entonces, ¿cómo se calcula? Yo lo calculo así, pero en el libro lo calcula de otra forma. Yo os voy a explicar las dos formas y vosotros elegís la que más os guste. 00:43:11
Si os acordáis de determinantes, esto, si yo lo desarrollo por la primera fila, os acordáis que esto era más, menos, más, ¿no? 00:43:26
Pues si yo desarrollo esto sería I multiplicado por el determinante pequeñito que me queda U2, U3, V2, V3, más, no, más no, menos J multiplicado por su menor complementario que sería U1, U3, V1, V3 y más K. 00:43:43
multiplicado por su 00:44:13
sumador complementario que es 00:44:18
U1, U2, V1, V2. 00:44:21
Cada uno que lo haga 00:44:24
como quiera. Yo no diría 00:44:25
que hay una forma mejor y otra 00:44:27
peor. 00:44:29
Las propiedades las reviséis vosotros. 00:44:31
Es muy importante 00:44:34
que el producto vectorial es anticomutativo. 00:44:35
Es una propiedad 00:44:39
muy rara. En vez de ser 00:44:39
U por U de igual a V por U es 00:44:41
menos v por u. Eso 00:44:43
está producido por esto del sentido 00:44:45
la regla de Sarkozy, ¿no? 00:44:47
Que se mide en un sentido o en el otro. 00:44:49
Pero 00:44:52
bueno, 00:44:52
entonces 00:44:55
¿qué os he dicho? 00:44:56
Bueno, el producto vectorial 00:45:01
se calcula así. Yo lo voy a hacer con el 00:45:03
determinante en clase, salvo que me digáis 00:45:05
que lo haga siempre de la otra forma. 00:45:07
Y vamos a 00:45:09
ver para qué 00:45:11
se utiliza. Aquí la clase de hoy es producto escala al producto vectorial y para que se 00:45:13
utilice, que lo tengáis clarísimo. Bueno, entonces, primera aplicación del producto 00:45:18
vectorial, pues si yo quiero calcular un vector que sea perpendicular a otros dos, pues un 00:45:25
vector perpendicular a otros dos 00:45:36
entonces calculo el vector 00:45:37
el vector perpendicular 00:45:39
se me ha ido un poco la gata 00:45:43
no se me ha ido el pie dicho 00:45:46
os dicen 00:45:48
calcula un vector perpendicular 00:45:53
y unitar 00:45:55
entonces primero voy a hacer un vector 00:45:56
perpendicular 00:45:59
es que en dos dimensiones 00:45:59
no es lo mismo, es que aquí 00:46:10
como son, el vector 00:46:12
perpendicular a b es menos b a 00:46:14
pero es que aquí hay tres coordenadas 00:46:16
de tal forma que esto hay que hacerlo con 00:46:17
producto vectorial 00:46:20
bueno, pues un vector perpendicular 00:46:21
un vector 00:46:23
perpendicular 00:46:25
a u y v 00:46:27
como es 00:46:32
un producto vectorial v. ¿Cómo calculo esto? 00:46:35
Pues ijk 00:46:41
1, 2, 1, 1, 2, menos i. 00:46:42
Se hace con ese determinante. 00:46:51
Entonces esto sería menos 2i 00:46:53
más J 00:46:56
más 2K 00:46:57
y ahora cambiando el signo 00:46:59
menos 2K 00:47:02
menos 2I 00:47:03
más J 00:47:06
y a grupo me queda 00:47:09
menos 4I 00:47:13
más 2J 00:47:15
y las K se van 00:47:19
o sea que será el vector 00:47:21
menos 4, 2, 0 00:47:23
Pues yo sé que este vector, si hago producto escalar con este y con este, me sale. 00:47:26
Con los dos al mismo tiempo. 00:47:31
Este es u, este es v, pues este es el vector perpendicular común que es u por u. 00:47:33
Para hacer un vector perpendicular lo hacéis así. 00:47:42
Se podría hacer resolviendo un sistema A y luego segunda parte. 00:47:46
Nos dice que sea unitario. 00:47:49
¿Qué tengo que hacer para que sea unitario? Tengo que calcular su módulo. ¿Cómo se hace su módulo? La raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado más 3 al cuadrado más 3 al cuadrado. Esto sale en la raíz de 20. 00:47:53
Pues ese vector que es unitario y perpendicular a estos dos será menos 4 partido por raíz de 20, 2 partido por raíz de 20, 0 partido por raíz de 20. Este es el vector unitario. 00:48:11
Y si queréis otro, es este mismo cambiado. 00:48:29
¿Vale? 00:48:34
Y creo que ya es lo último. 00:48:36
Si no es lo último... 00:48:39
A ver, sí. 00:48:42
Vale. 00:48:44
Vale. 00:48:47
Y lo último, que es muy importante, es que si los doctores no están alineados, 00:48:48
el área del paralelo 00:48:54
lo que forman es el módulo 00:48:57
del producto vectorial, esto lo tenéis 00:48:59
en el resumen 00:49:01
esto es importantísimo porque es la 00:49:01
programa de aplicación del producto vectorial 00:49:05
bueno, me queda el volumen también 00:49:06
entonces 00:49:08
yo quiero calcular 00:49:09
el área 00:49:12
del triángulo 00:49:15
cuyos lados son estos 00:49:16
Tengo un y un. 00:49:24
Este es el paralelogramo y este área es el módulo del conjunto vectorial. 00:49:31
Este es el vector que nos ha salido antes, ¿verdad? 00:49:40
Sí, ese sí. 00:49:45
A ver, 1, 2, 1, 1, 2, menos 1. 00:49:49
Sí, 1, 2, 9 es el mismo, ¿no? 00:49:54
Bueno, entonces, voy a aprovechar el resultado porque esto ya sé que vale. 00:50:00
¿Cuánto vale? ¿Lo tenéis apuntado? 00:50:04
¿Qué era? ¿2, 4, 0 o algo así? 00:50:08
No, 4. 00:50:11
No lo tenéis apuntado. 00:50:15
Es menos 4, 2, 0, ¿no? 00:50:18
menos 4, 2, 0 00:50:20
pues el área del paralelogramo 00:50:25
es la raíz cuadrada 00:50:29
de menos 4 al cuadrado 00:50:33
más 2 al cuadrado más 0 al cuadrado 00:50:35
que si os acordáis era raíz de 20 00:50:37
y ahora como me pide el área del triángulo 00:50:39
¿qué tengo que hacer? 00:50:42
dividirlo entre 2 00:50:48
bueno pues esto 00:50:49
o lo dejáis así o si queréis 00:50:51
racionalizado esto queda a raíz de 5 00:50:53
unidades de superficie 00:50:55
y queda otra cosa 00:50:57
que os la voy a dar 00:51:01
porque es muy 00:51:05
rapidita 00:51:07
que 00:51:08
si tenéis 3 vectores 00:51:11
esto es lo que se llama el producto 00:51:13
mixto 00:51:17
El producto mixto es el producto escalar de un vector con el producto vectorial de los otros dos. Pero en la práctica tenéis que hacer el determinante. Entonces, pues lo voy a hacer muy rapidito porque esto es importante. 00:51:19
¿Sí? Buenas. A ver. A ver, os pide, calcula el volumen del tetraedro. Bueno, ¿sabéis que un tetraedro es la sexta parte de un paralelepípedo? 00:51:35
esto miradlo en los apuntes 00:51:58
porque está explicado en algún momento 00:52:02
bueno, pues si yo quiero hacer 00:52:04
el volumen del paralel 00:52:06
epípedo 00:52:08
calculo 00:52:09
el producto mixto 00:52:14
que se escribe así 00:52:16
calculo el determinante 00:52:18
1, 2, 1 00:52:22
1, 2, menos 1 00:52:23
2, 1, 1 00:52:25
¿Sí? ¿Sí? Calculo su valor absoluto, porque este determinante puede ser negativo, ¿no? El volumen va a ser, el volumen del tetraedro es la sexta par. 00:52:26
miradlo porque es una cuenta 00:52:45
es una cuenta 00:52:48
simplemente 00:52:49
no se divide entre 6 00:52:51
porque el paralelepípedo es la figura recta 00:52:55
y la figura con pico 00:52:58
se divide entre 3 00:53:00
pero como además la base es la mitad 00:53:01
se divide entre 6 00:53:04
eso miradlo si tenéis cualquier duda 00:53:06
me lo decís y si no lo intento 00:53:08
explicar con más tiempo 00:53:10
si lo tengo en la clase del jueves 00:53:11
Pero vamos, esto lo podéis mirar porque lo tenéis en los tutoriales. Una cosa, en geometría hay muchos tutoriales que conviene que los veáis. Que hagáis los resúmenes, que hagáis los resúmenes, si os fijáis, tenéis nueve tutoriales. 00:53:14
pueden ser dos horas de tutoriales 00:53:34
¿sí? pero viene muy bien 00:53:36
que veáis todos los casos 00:53:38
¿vale? 00:53:40
el video 9 por ejemplo también es un poco 00:53:42
más especializado 00:53:44
pues nada, pues muchas gracias 00:53:45
por venir siempre 00:53:50
y recordad 00:53:52
que tenemos tutoriales en la página 00:53:54
una de ellas es hoy precisamente 00:53:56
entonces voy a 00:54:00
terminar la oración, hasta luego 00:54:04
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