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Trigonometría: 35.Reducción 1 - Contenido educativo
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- Fórmulas de reducción al primer cuadrante. Ángulos del II cuadrante.
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Vamos a explicar ahora la reducción de ángulos al primer cuadrante. ¿En qué significa esto?
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Siempre que nosotros tengamos un ángulo, que vamos a llamar beta, de un cuadrante distinto
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al primero, va a ser posible relacionar sus razones trigonométricas con las de otro ángulo,
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que vamos a llamar alfa, del primer cuadrante que elegiremos de la manera adecuada.
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Vamos a comenzar esta serie de tres vídeos con los ángulos del segundo cuadrante.
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Trazamos nuestra circunferencia boniométrica, por tanto de radio 1, colocamos todos los
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ángulos en su sitio y vamos a trazar un ángulo cualquiera del segundo cuadrante al que vamos
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a llamar beta. Si nos fijamos, siempre que tengamos un ángulo de ese tipo, un ángulo
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del segundo cuadrante, va a faltarle una determinada cantidad para llegar a ser igual que el ángulo
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llano. Por tanto, siempre que tengamos un ángulo de este tipo, ese ángulo beta se
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podrá escribir como 180 menos alfa, si trabajamos en grados exagesimales, o como pi menos alfa
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si trabajamos en radianes. ¿De acuerdo? Esta es entonces la idea fundamental al trabajar
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con ángulos del segundo cuadrante. Cualquier ángulo del segundo cuadrante siempre se va
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a poder escribir como 180 menos alfa o como pi menos alfa. Ahí estaría justamente el
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ángulo alfa, que es lo que le falta a beta para llegar a ser igual que el ángulo llano,
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y este tipo de ángulos, como acabamos de pintar aquí, beta y alfa, son lo que se llama
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ángulos suplementarios. Son ángulos que suman 180 grados, o pi radianes, y se llaman
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ángulos suplementarios. Como ejemplo, si por ejemplo beta es 120 grados, pues entonces
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alfa sería igual a lo que le falta a beta por llegar a 180, es decir, alfa sería igual
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a 180 menos 120, sería igual a 60 grados. Esta sería, por ejemplo, una pareja de ángulos
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suplementarios, 120 y 60. Otra pareja, si tomamos como valor para beta 150, pues entonces
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alfa sería 180 menos 150, 30 grados. Esta sería otra pareja de ángulos suplementarios.
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Podemos hacer muchas parejas, todas las que se nos ocurran, de ángulos suplementarios.
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Siempre que dos ángulos sumen 180 grados son ángulos suplementarios. Según esto podemos
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entonces escribir el ángulo beta como 180 grados menos alfa. O sea, el ángulo beta,
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a partir de lo que hemos dicho, siempre va a ser 180 grados menos alfa. Y el ángulo
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está claro entonces que el ángulo que le va a corresponder en el primer cuadrante,
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pues será, vamos a trazarlo, trazamos esa horizontal, este sería el punto correspondiente
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del primer cuadrante y entonces resulta que este ángulo alfa también está aquí. De
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manera que este sería el seno de beta, este sería el coseno de beta, este sería el seno
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de alfa, este sería el coseno de alfa. Tenemos entonces dos triángulos que van a ser iguales
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porque tienen dos ángulos iguales, 90 grados y alfa, y un lado, que es el radio, igual.
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De manera que este triángulo es igual que este otro triángulo, solo que se han puesto
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en posiciones distintas, pero son iguales, los triángulos son iguales. Según eso entonces
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el seno de beta, que como hemos dicho va a ser 180 menos alfa, el seno de beta, es decir,
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la longitud de ese segmento que está en azul para beta, pues va a ser igual que, este sería
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el segmento, va a ser igual que esta. Las dos longitudes son iguales y por tanto ambos
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valores son iguales, el seno de beta es igual que el seno de alfa. Para el coseno, el coseno
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de beta, que sería el coseno de 180 menos alfa, sería, este segmento, sería igual
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que el otro segmento también. Pero hay una diferencia y es que un segmento está en la
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parte positiva del eje y el otro está en la parte negativa del eje, por lo tanto serán
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iguales en términos absolutos, es decir, la longitud de los segmentos será la misma,
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pero al estar colocado uno en la parte positiva del eje y otro en la parte negativa, los signos
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cambian, es decir, el coseno de beta tiene que ser negativo, mientras que el coseno de
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alfa será positivo. Por lo tanto, para que el coseno de beta valga igual, tenemos que
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cambiar el signo al coseno de alfa y por lo tanto esa sería la igualdad, es decir,
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el coseno del ángulo beta es igual que el coseno del ángulo alfa cambiándole el signo.
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Para el seno no hay que cambiar los signos, pero para el coseno sí. Según esto, vamos
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a ver ahora qué pasa con la tangente, pero en vez de hacerlo solamente, digamos, teniendo
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en cuenta los números, vamos a trazar las líneas correspondientes. Esa línea sería
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la línea correspondiente a la tangente de beta y vamos a trazar ahora la línea correspondiente
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a la tangente de alfa. Bueno, esas líneas serían también iguales. Esto es lógico
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simplemente si nos fijamos en que el cociente de seno entre coseno, pues va a ser igual
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que el cociente de seno entre coseno para alfa y para beta, es decir, el cociente de
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seno entre coseno de beta va a ser igual que el cociente de seno de alfa entre coseno de
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alfa, solamente que los signos van a cambiar. El valor absoluto será igual, pero los signos
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cambian. Eso se ve también con las líneas trigonométricas. La longitud de los segmentos
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es igual, pero uno está en la parte positiva del eje y el otro está en la parte negativa.
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Por tanto, la tangente de beta es negativa y será entonces igual que la tangente de
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alfa, pero cambiando en el signo. Esto nos da, pues, esas tres fórmulas. A partir de
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aquí, pues, la secante de beta está claro entonces que será, fijándonos en el coseno,
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puesto que la secante es la inversa del coseno, pues va a ser igual, pero cambiando el signo
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también, es decir, la secante de beta cambia el signo con respecto a la secante de alfa.
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La cosecante, por ser la inversa del seno, pues va a ser igual, la cosecante de beta
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va a ser igual que la cosecante de alfa y, por último, la cotangente de beta va a ser
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menos la cotangente de alfa. Hemos hecho un desarrollo en el cual hemos explicado en detalle,
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yo creo que se ve bastante claro con los gráficos, cómo se pueden relacionar las razones trigonométricas
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del ángulo beta del segundo cuadrante con las razones correspondientes del ángulo que
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hemos escogido del primer cuadrante.
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- Materias:
- Matemáticas
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- Primer Curso
- Autor/es:
- José Antonio Ortega
- Subido por:
- EducaMadrid
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
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- Fecha:
- 7 de noviembre de 2007 - 13:11
- Visibilidad:
- Público
- Enlace Relacionado:
- José Antonio Ortega
- Descripción ampliada:
Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).
Extraído de Open Trigo.- Duración:
- 07′ 48″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 800x600 píxeles
- Tamaño:
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