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FU1. 1.1 Definición de función. Ejercicio 1 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 16 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:21
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos la definición de función y las formas de expresarlas. 00:00:31
En esta unidad vamos a estudiar funciones reales de variable real. 00:00:42
Las funciones se van a representar por letras minúsculas y en general utilizaremos f, f por función. 00:00:52
Y como vemos aquí, las funciones son correspondencias que van a asociar a números reales u otros números reales. 00:00:58
Los números reales que las funciones tomarán como entrada no tienen por qué ser todos los números de la recta real, 00:01:04
sino que dependiendo de la función puede ser un subconjunto de la recta real. 00:01:10
A ese subconjunto de entrada de números reales que puede tomar como entrada una función f, 00:01:15
se va a denominar dominio y se va a representar de esta manera ddf dominio df. Asimismo los números 00:01:19
reales que pueda tomar como salida la función no tienen por qué ser todos los números reales sino 00:01:27
que en general será un subconjunto de la recta real que dependerá de la función en concreto con 00:01:32
la que estemos trabajando. Como vemos aquí a ese subconjunto final se le va a denominar imagen y 00:01:36
se va a representar analíticamente simbólicamente de esta forma y de f imagen de f. Las funciones se 00:01:42
van a representar simbólicamente en general de esta manera y aquí lo que tenemos como ejemplo 00:01:50
es una función que se llama f, f minúscula, que va a tomar como entrada números reales y como salida 00:01:54
números reales. La entrada va a ser números reales que vamos a representar con la letra x y esta x 00:02:00
como vemos aquí, se va a llamar variable independiente y esos valores de x van a pertenecer al dominio de la función, 00:02:08
el subconjunto en la recta real que toma la función como entrada. 00:02:15
La función lo que va a hacer es devolver para cada valor de x un único valor de y. 00:02:19
Como vemos aquí, es una correspondencia que asocia a cada elemento x un único elemento. 00:02:27
Ese elemento y, como vemos aquí, se va a llamar variable dependiente. 00:02:33
Y, variable dependiente, depende de x, que no depende en principio de nada, 00:02:39
y por eso se denomina variable independiente. 00:02:44
Volviendo a nuestra definición, como veíamos, la función toma como entrada valores de la variable independiente x 00:02:47
que pertenecen al dominio de la función, y van a devolver como salida valores de la variable dependiente y, 00:02:53
Y depende de x a través de la función f, se va a representar de esta manera, y igual a f de x. 00:02:59
Y esos valores de la variable dependiente, esos valores y, van a pertenecer a un subconjunto en la recta real, que es la imagen de la función. 00:03:05
Las funciones con carácter general van a poder expresarse de cuatro maneras, bien mediante un enunciado, mediante una tabla de valores, 00:03:14
mediante una expresión algebraica o bien mediante una gráfica. 00:03:23
Nosotros a lo largo de esta unidad utilizaremos exhaustivamente expresiones algebraicas 00:03:27
y en ciertas ocasiones se nos dará una función definida mediante un enunciado 00:03:32
y nosotros tendremos que preocuparnos de buscar la algebraica que le corresponde. 00:03:36
Como por ejemplo en el ejercicio que vamos a ver a continuación. 00:03:41
En él se nos dice mediante un enunciado que un grifo abierto vierte 15 litros de agua cada minuto. 00:03:46
Este enunciado corresponde con una función y se nos pide que expresemos la función que relaciona el agua vertida con el tiempo 00:03:53
mediante las otras tres formas que nos quedan, mediante una tabla de valores, mediante una expresión algebraica y mediante una gráfica. 00:03:59
Bien, lo que vamos a hacer es comenzar creando una tabla de valores. 00:04:07
Para ello lo que vamos a hacer es definir, por un lado, la variable independiente, que en este caso es el tiempo en minutos 00:04:12
y que nosotros vamos a llamar t. En general se llamaría x, es la forma más abstracta de hacerlo, 00:04:18
pero en este caso, dado que se trata de un tiempo, mejor que x, vamos a llamarlo con una letra que nos recuerde 00:04:24
qué es lo que estamos teniendo entre manos, con qué estamos trabajando. 00:04:29
Así que nuestra variable independiente se va a llamar t y va a ser el tiempo en minutos. 00:04:33
Nuestra variable dependiente, en general, con carácter abstracto sería y, 00:04:38
pero en este caso está contextualizado, lo vamos a llamar v, puesto que se refiere al volumen, 00:04:42
de agua que se vierte cada minuto. V, como vemos, es el agua vertida que se va a medir en litros y 00:04:47
va a ser la variable dependiente. En este caso, el volumen de agua vertida depende del tiempo. Así 00:04:54
pues, V, variable dependiente, T, variable independiente. Puesto que T es la variable 00:05:00
independiente, le podemos dar los valores que nosotros queramos dentro de lo que sería el 00:05:06
dominio de la función. En este caso lo que hacemos es considerar que tenemos un grifo cerrado y en 00:05:12
un momento dado lo abrimos y a partir de ahí empezamos a medir el volumen de agua que haya 00:05:18
acumulado, sabiendo que se va a verter 15 litros de agua cada minuto. Así pues el tiempo no puede 00:05:23
tomar un valor arbitrario cualquiera, sino que el tiempo tomará valores a partir de cero, que es el 00:05:29
instante en el cual se abre el grifo, y a partir de ahí valores positivos, en principio arbitrarios, 00:05:34
en principio está infinito. Nosotros lo que vamos a hacer es elegir para t los valores 0, 1, 2, 3, 00:05:39
4 y 5, 5 y 6 minutos. En cuanto a v, la variable dependiente no tomará valores arbitrarios, sino 00:05:45
que dependerá del valor de la variable independiente. Nosotros lo que vamos a hacer es considerar que en 00:05:53
el instante inicial, cuando se abre el grifo, no hay vertida ninguna cantidad de agua, el grifo 00:05:59
estaba cerrado, y entonces la variable dependiente tomará el valor 0. En el instante 0 se han vertido 00:06:03
0 litros de agua. A continuación, para el valor de t igual a 1, aquí lo que hacemos es deducir que 00:06:09
el volumen de agua vertida tiene que ser 15 litros, puesto que se nos dice que se vierten 15 litros de 00:06:15
agua cada minuto. Así pues, una vez que ha pasado un minuto, se han vertido 15 litros. Cuando han 00:06:21
pasado dos minutos, se han vertido los 15 litros del primer minuto más otros 15 minutos a lo largo 00:06:26
del segundo minuto. Así pues, cuando el tiempo vale 2 minutos, tenemos que v vale 30 litros. Así 00:06:32
Y sucesivamente, si vamos incrementando el tiempo minuto a minuto, sabemos, porque se nos dice en el enunciado inicial, que cada minuto se vierte en 15 litros, 00:06:38
lo que vamos a hacer es ir añadiendo 15 litros de agua al volumen que teníamos en el minuto anterior. 00:06:47
Y tenemos esta tabla de valores. Para el valor de la variable independiente t igual a 0, tenemos la variable dependiente v igual a 0. 00:06:53
Para t igual a 1 minuto, v es igual a 15 litros. 00:07:01
Para t igual a 2 minutos, v es igual a 30 litros, etc. 00:07:05
Esta tabla se puede construir en horizontal, como vemos aquí, o bien en vertical. 00:07:09
Es una mera cuestión estética. 00:07:12
Y yo aquí he elegido la versión en horizontal para que me ocupara menos espacio. 00:07:14
En lo que respecta a la expresión algebraica, lo que tenemos que hacer es pensar en cómo estamos construyendo la tabla de valores. 00:07:19
Entonces, estamos viendo que en un minuto se han vertido 15 litros, en dos minutos 30, en tres minutos 45, cada minuto estamos añadiendo 15 litros al volumen que teníamos en el minuto anterior y esta función se corresponde con una expresión algebraica v igual a c de t, a la función le vamos a llamar c de caudal, que viene dada por la expresión algebraica v igual a 15 por t. 00:07:25
Vemos que cuando t vale 0, 15 por 0, v es igual a 0. 00:07:55
Cuando t es igual a 1, v igual a 15 por 1, es igual a 15. 00:07:59
Cuando t es igual a 2, v igual a 15 por 2, es igual a 30, y así sucesivamente. 00:08:03
Así pues, esta sería la expresión algebraica que corresponde con esta tabla de valores, 00:08:08
que a su vez corresponde con este enunciado. 00:08:13
Vemos que la función se llama c, caudal. 00:08:15
Vemos que la variable independiente se llama t, tiempo. 00:08:18
Y que la variable dependiente se llama v, volumen. 00:08:21
Y que la función es v igual a 15 por t. 00:08:25
En cuanto al dominio de la función, lo hemos comentado hace un momento. 00:08:28
La variable independiente, el tiempo, va a poder tomar valores desde cero incluido hasta más infinito. 00:08:33
No tiene sentido que el tiempo tome valores negativos, puesto que eso representaría un tiempo anterior a que el grifo se abriera. 00:08:40
Y en ese caso no estaría vertiéndose agua. No tiene sentido. 00:08:46
En cuanto a la imagen, en este caso podemos ver que el valor más pequeño que toma el caudal es 0, se corresponde con el tiempo inicial t igual a 0 minutos, y a partir de aquí el volumen vertido va aumentando arbitrariamente, y en principio, con una cantidad de tiempo arbitrariamente grande, se habría vertido un volumen de agua arbitrariamente grande. 00:08:49
Así que la imagen también va a tomar valores desde cero incluido hasta más infinito. 00:09:09
En este caso vemos que las variables dependiente e independiente tienen unidades, puesto que se corresponden con magnitudes físicas, 00:09:15
y el dominio va de cero a infinito en minutos y la imagen va desde cero hasta más infinito en litros. 00:09:22
Igual en la tabla de valores. Estos valores 0, 1, 2, 3 están expresados en minutos y estos valores 0, 15, 30, etc. están expresados en litros. 00:09:30
bien a continuación lo que vamos a hacer es representar gráficamente la función en este 00:09:38
caso lo que vamos a hacer es directamente tomar estos valores de la tabla y representarlos 00:09:44
gráficamente vamos a dibujar unos ejes de coordenadas en este caso puesto que el dominio 00:09:49
de la función son únicamente valores no negativos nos vamos a quedar con el semieje horizontal 00:09:53
positivo puesto que la imagen son valores no negativos igualmente vamos a tomar únicamente 00:09:59
el semieje positivo. Vamos a tomar la variable independiente en el eje horizontal, la variable 00:10:05
dependiente en el eje vertical, como habitualmente, y vamos a etiquetarlos. En el eje horizontal 00:10:12
tenemos el tiempo en minutos, las unidades vienen aquí expresadas. En el eje vertical 00:10:18
tenemos el volumen en litros, igualmente aquí tenemos las unidades. En la intersección 00:10:22
de los dos ejes tenemos el origen de coordenadas, 0, 0, y a partir de aquí lo que hemos hecho 00:10:28
ha sido marcar a intervalos X espaciados incrementos, en este caso, de tiempo de un minuto. 00:10:33
Así que 1, 2, 3, 4, etcétera, minutos. 00:10:39
Igualmente, en el eje vertical, hemos marcado intervalos X espaciados 00:10:42
y en este caso las marcas corresponden a valores incrementales de 10 litros. 00:10:46
10, 20, 30, 40 litros, etcétera. 00:10:51
Y hemos representado como puntos los valores T igual a 0 y B igual a 0, que sería este que hay aquí. 00:10:53
T igual a 1 y B igual a 15, que sería este punto de aquí. 00:10:59
t igual a 2, v igual a 30, este de aquí y así sucesivamente. 00:11:02
Vemos que todos estos puntos están alineados y es que esta expresión algebraica se corresponde con la de una semirrecta, 00:11:07
no una recta, puesto que estamos representando únicamente con un dominio desde el cero hasta más infinito. 00:11:13
Sería la semirrecta que, partiendo del origen del sistema de referencia, avanza tal y como estamos mostrando aquí en azul. 00:11:19
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:11:26
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:11:36
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:11:41
Un saludo y hasta pronto. 00:11:46
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
12
Fecha:
16 de noviembre de 2025 - 10:16
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
12′ 14″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
29.31 MBytes

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