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CLASE CCFF 9 DE MARZO - Contenido educativo

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Subido el 10 de marzo de 2026 por M.jose S.

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Bueno, hoy vamos a terminar con los vectores, para mañana empezar ya con los ecuaciones de la recta. 00:00:00
Entonces, repasamos un poco la teoría y tenéis todos los ejercicios de vectores, 00:00:08
¿no? Vamos a ver todos los que nos da tiempo hacer hoy y ya los que queden los hacéis vosotros en casa 00:00:13
y si queréis que los corrija o lo que sea, pues me los dais, ¿vale? 00:00:21
Bueno, ya sabéis que un vector es un segmento que está orientado en el espacio 00:00:24
Es decir, en un sistema tridimensional con tres ejes coordenados X, Y y Z 00:00:36
Yo pongo un punto en el espacio, marco un punto en el espacio 00:00:43
Y si une el origen de coordenadas con ese punto, lo que tengo es una dirección, un vector 00:00:47
El vector se caracteriza precisamente por esas dos cosas, se caracteriza porque tiene una dimensión, es decir, tiene un módulo, a la dimensión se llama módulo, a esta dimensión que tiene, la distancia que hay de aquí a aquí, y una dirección, una dirección que es la recta en la que estaría insertado ese vector, esta recta, esa recta en el espacio. 00:00:53
Y luego tiene un sentido, que lógicamente este mismo vector podría estar orientado hacia acá o orientado hacia allá. 00:01:22
¿De acuerdo? Está claro lo que es un vector. 00:01:30
Un vector se define... 00:01:33
Bueno, voy a esperar un momento. 00:01:35
Voy a hacer otra cosa. 00:01:38
Un vector queda definido por tres componentes que son las componentes del punto extremo del vector. 00:01:38
Es decir, que si este punto fuese el punto 1, 3, 5, pues este vector sería el vector 1, 3, 5. 00:01:52
¿De acuerdo? La diferencia para saber cuando me están dando, en analítica del espacio, 00:02:16
si me están dando un punto o un vector, es que ya sabéis que los vectores siempre se ponen con esa flechita abajo. 00:02:22
Si en vez de daros el vector, si estuviesen dando el punto, os pondrían P igual a 1, 2, 5, o lo que fuese. 00:02:28
Esa es la diferencia, la diferencia entre cuando os dan un vector o cuando os dan un punto. 00:02:38
Es decir, un vector queda definido por las tres componentes de su punto exterior, de su último punto. 00:02:42
Sí, sí, el inicio del vector, o sea, cuando tú quieres saber, a ti te dan un vector, cualquiera, imagínate que te dan este vector, el 1, 3, 5, y quieres saber qué vector es, 00:02:53
tú colocas el punto 1, 3, 5, que en este se quería 1, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 5, que sería este, que sería, bueno, que sería este más o menos, ¿no? 00:03:03
Y entonces tú lo colocas aquí, este es el, perdón, perdón, perdón, perdón, perdón, que lo he hecho mal. 00:03:21
Si el punto S es este, el vector sería este, unido con el origen de coordenadas, ¿de acuerdo? 00:03:28
Un vector siempre me lo tienen, o me dan las componentes del vector, o me dan las componentes de un vector, directamente me dan las componentes, o bien me lo pueden dar a partir de dos puntos. 00:03:41
Me dan dos puntos y me dicen cuál es el vector que uniría esos dos puntos. 00:03:57
Para saber el vector que une esos dos puntos solamente tengo que restar el punto final del punto inicial. 00:04:02
¿Veis? Las coordenadas del vector AB serían x2 menos x1, y2 menos y1, z2 menos z1. 00:04:10
¿Está claro? Esas son las dos maneras que os pueden dar un vector. 00:04:18
Os dan directamente las coordenadas del vector, os dan dos puntos y entonces sacáis el vector mediante esto, 00:04:21
simplemente restando las componentes del extremo menos las componentes del inicio. 00:04:27
Otra cosa importante, ¿cómo se calcula la longitud de un vector? 00:04:35
Que se llama el módulo, pues así, esto se escribe de esta manera, se escribe así 00:04:39
y el cálculo se hace por la raíz cuadrada del cuadrado de sus componentes, de la suma del cuadrado de sus componentes. 00:04:45
¿De acuerdo? ¿Me seguís todos? 00:04:53
Y luego, importante, si un vector es una dirección, pues los vectores forman ángulos entre ellos, 00:04:56
puesto que son direcciones, a base de direcciones, pues forman ángulos. 00:05:04
Dos vectores van a ser paralelos siempre que sus componentes son proporcionales. 00:05:07
Si yo tengo un vector u1, u2, u3, v1, v2, v3, pues serán paralelos si se cumple esta condición. 00:05:11
Es decir, que tiene sus componentes proporcionales. 00:05:19
Bueno, operaciones que podemos hacer con los vectores. 00:05:26
Las operaciones de sumar y restar vectores, incluso multiplicarlos por un número no tiene ningún problema. 00:05:29
Se suman sus componentes, se restan sus componentes o se multiplican todas las componentes por un punto. 00:05:37
Geométricamente eso quiere decir la suma de dos vectores 00:05:42
Ya sabéis que si yo tuviese que hacerlo gráficamente 00:05:46
En vez de hacerlo con operaciones matemáticas 00:05:49
Pues lo que haría sería dibujar los dos vectores 00:05:53
Y la suma sería, aquí tenéis el gráfico 00:05:55
O sea, la manera de cómo echarían gráficamente 00:05:59
Vosotros esto no lo tenéis que hacer 00:06:01
Es simplemente para que os hagáis una idea 00:06:03
De si te dan dos vectores, ¿cómo harías para dibujarlos? 00:06:05
Pues colocas los vectores y luego haces esto y sacas la suma 00:06:08
Y el producto por una escala, es decir, por un número, pues es lo mismo 00:06:12
El producto de un número por un vector, al final lo que da es un vector 00:06:16
Que tiene la misma dirección, pero el módulo multiplicado por tantas veces como yo haya multiplicado el vector 00:06:21
Si tenía módulo 2 y medio, pues se lo multiplico por 2, es el mismo vector, pero con un módulo 5 00:06:28
Y aquí ya empezamos con las operaciones que se pueden hacer con vectores y solo con vectores 00:06:33
estas operaciones solamente se pueden hacer con vectores, 00:06:40
no se pueden hacer con nada más, tú no puedes hacer el producto escalar de dos números, 00:06:44
el producto escalar es siempre referido a dos vectores. 00:06:49
El producto escalar es una operación que se hace entre dos vectores 00:06:52
y su resultado es un número, ojo con eso, 00:06:56
es un número y que se calcula de dos maneras, 00:06:59
o bien multiplicando los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman, 00:07:03
O bien, si tengo las componentes de los vectores mediante esta fórmula, la multiplicación de las dos primeras componentes, multiplicación de las dos segundas componentes y de las dos terceras componentes, ¿de acuerdo? 00:07:07
Al unir, o sea, al relacionar estas dos fórmulas me sale una cosa que es muy interesante, que es cómo consigo yo saber el ángulo que forman dos vectores. 00:07:21
es el ángulo que forman dos vectores, de esta fórmula, despejando de esta fórmula, 00:07:30
despejando de esta fórmula me sale que el ángulo que forman dos vectores es eso, 00:07:37
es su producto escalar partido por el producto de sus módulos, ¿vale? 00:07:41
¿Me seguís todos, no? 00:07:45
Y de aquí sale una cosa importantísima, hemos visto cuando los vectores son paralelos, 00:07:47
son paralelos y tienen sus coordenadas proporcionales, 00:07:52
Pero también yo sé si son perpendiculares si su producto escalar es cero. 00:07:54
Yo no tengo más que hacer el producto escalar de dos vectores para saber si son perpendiculares o no. 00:08:01
¿De acuerdo? 00:08:06
La siguiente operación, producto vectorial. 00:08:07
El producto vectorial de dos vectores ya no es un número, es un vector, es otro vector. 00:08:11
Y además un vector que tiene una característica fundamental y es que es un vector que es perpendicular a los dos. 00:08:16
Es decir, es perpendicular al plano que forma. 00:08:22
De manera que si yo quiero sacar un vector que es perpendicular a un plano o perpendicular a dos vectores dados, 00:08:24
solo tengo que sacar su producto vectorial y ya está. 00:08:31
¿Cómo se saca el producto vectorial? 00:08:33
El producto vectorial se saca haciendo este determinante. 00:08:35
El determinante IJK son las direcciones. 00:08:39
Son como la primera componente es la I, la segunda la J y la tercera la K. 00:08:41
Y estos son los componentes del vector. 00:08:46
¿Vale? Hacéis ese determinante y el resultado de ese determinante es un vector que es perpendicular a los dos dados 00:08:48
Y además tiene una característica y es que si yo saco el módulo, o sea esto es un vector, el producto vectorial es un vector 00:08:57
Si yo saco el módulo de ese vector resulta que curiosamente coincide con el área del paralelogramo que forman los dos vectores 00:09:07
Y la mitad, pues será lógicamente, si yo hago la mitad, pues sería del triángulo que forman los dos vectores 00:09:15
Y por último, tenemos el producto mixto 00:09:22
El producto mixto se hace entre tres vectores 00:09:25
Y el resultado sigue siendo un, es un número 00:09:27
¿Cómo se hace? En este caso, en vez de poner la i y la j aquí 00:09:31
Lo que pongo es, como son tres vectores, las componente de los tres vectores 00:09:34
Y saco el valor de este determinante 00:09:38
Una vez que lo sé, es un número 00:09:41
y ese número además coincide con el área del paralelogramo, perdona, el volumen del paralelogramo que forman los tres vectores, 00:09:43
los tres vectores con los que estoy trabajando. 00:09:56
Si yo eso lo divido por 6, pues sería el área del tetraedro que forman los seis vectores. 00:09:58
Y bueno, se me olvidó deciros una cosa aquí importante que es, 00:10:04
hemos dicho que si el producto escalar es 0, los vectores son perpendiculares, 00:10:08
Si el producto vectorial es cero, los vectores son paralelos, ¿de acuerdo? 00:10:12
Y si el producto mixto es cero, lo que pasa es que los tres vectores son coplanarios, 00:10:17
es decir, que este vector estaría aquí, este vector estaría aquí, por ejemplo, 00:10:23
serían coplanarios, estarían en el mismo plano, ¿de acuerdo? 00:10:29
¿Vale? Bueno, esta presentación la tenéis en el aula virtual, o sea, que ese es un poco el resumen, 00:10:32
también tenéis la teoría más ampliada, por si hay algo que no entendéis, 00:10:39
Pero yo creo que aquí hay poco que entender, hay que aprenderse todas estas cosas y ya está. 00:10:41
Y lo que sí es acostumbrarse a aplicarlas y cómo se aplican y qué tipo de preguntas te hacen o te pueden hacer cuando estás manejando vectores. 00:10:46
Os di el otro día una hoja, no recuerdo hasta dónde hicimos. 00:10:55
Yo creo que el 6 le hicimos, lo de hallar un vector perpendicular a estos dos vectores, que era ya su producto vectorial. 00:11:01
¿Me seguís? El 6. 00:11:07
Ese le hicimos, ¿verdad? 00:11:09
Y el 7 también. 00:11:10
El 7 lo hicimos también en el área del triángulo, entonces allá en el volumen del paralelepípedo ya no lo hicimos. 00:11:11
Si os piden el volumen del paralelepípedo que forman tres vectores, ¿qué os están pidiendo? 00:11:18
El producto mixto de los dos vectores. 00:11:24
Fijaros que nunca en geometría analítica jamás os van a decir, dame el producto vectorial, el producto mixto, el producto escalar, os van a pedir cosas geométricas. 00:11:28
métricas que nos van a pedir en este caso el volumen pero realmente lo que 00:11:37
vosotros tenéis que tener claro cómo se traduce eso en las operaciones 00:11:42
matemáticas es decir calcular el volumen del paralelepípedo que forman tres 00:11:47
vectores es hallar su producto mixto 00:11:52
A ver, el área del volumen del paralelepípedo que forman tres vectores es subproducto mixto 00:12:09
El producto mixto se calcula haciendo el determinante de las componentes de los tres vectores 00:12:48
Entonces los tres vectores que me dan es el u que es el 3-5-1, el v que es el 7-4-2 00:12:54
Y el omega que es el 0, 6, 1 00:13:00
Entonces yo, si hago el determinante 00:13:04
Tengo 3 por 4, 12 00:13:06
Más 7 por 6, 42 00:13:08
Menos 0, o más 0, ¿vale? 00:13:09
Por este lado, por el otro lado 00:13:12
Ah, no, no, está mal, está mal, está mal 00:13:14
Sí, sí, llevas razón 00:13:17
Esto es 0 00:13:18
Esto es 0 00:13:20
Menos 0, ¿qué es esto? 00:13:22
Más 6 por 2, 12, 30 00:13:26
Menos 36 y más 35 00:13:28
Luego es 45. Entonces esto es menos 1, que son 11, que son 11 y que son 53. 00:13:30
53. Estos son 53. ¿De acuerdo? ¿Eso es lo que os daba? 00:13:41
tienes que empezar 00:13:49
el determinante 00:13:52
se hace primero en esta dirección 00:13:54
y luego en esta 00:13:56
si haces en esta dirección es 3 por 4 00:13:58
y por 1, 12 00:14:00
7 por 6 y por 1, 42 00:14:01
y menos 5 por 2 por 0, 0 00:14:03
y ahora en el otro sentido 00:14:06
restando, ¿sabes lo que te digo? 00:14:08
esto es 0, 6 por 2 00:14:11
por 3 es negativo y 7 por 00:14:12
menos 5, como tengo que restarlo 00:14:14
pues se me queda positivo 00:14:16
¿de acuerdo? 00:14:17
en las dos direcciones 00:14:19
en la dirección positiva es esta 00:14:20
y la dirección negativa es esta 00:14:22
¿de acuerdo? 00:14:25
¿de acuerdo? 00:14:29
vale, pues entonces, en el siguiente ejercicio 00:14:31
os dice, os dan 00:14:33
otros tres vectores 00:14:35
pero uno de ellos, uno de sus 00:14:37
componentes es una incógnita 00:14:39
entonces os dice que valor tiene que tener 00:14:41
eso para que 00:14:43
sean coplanarios 00:14:44
¿Cuándo tres vectores son coplanarios? 00:14:46
Cuando era cero 00:14:50
¿Cuándo era cero? 00:14:51
¿Cuándo era cero? 00:14:52
Entonces, ¿qué os está diciendo el ejercicio? 00:14:52
El ejercicio está diciendo 00:14:54
Calcula el producto mixto 00:14:55
Igualalo a cero para que sean coplanarios 00:14:57
Y saca el valor 00:15:00
¿Cómo igualamos el producto mixto? 00:15:01
¿Lo haces? 00:15:05
Pues hazlo 00:15:07
¿Hazlo? 00:15:08
¿Haz el producto mixto? 00:15:10
Claro, pero ¿va a dar un número? 00:15:12
No, no va a dar un número 00:15:13
Porque tienes una incógnita 00:15:14
Ah, no, claro, claro 00:15:15
¿No? No te va a dar un número, te va a dar una ecuación. 00:15:16
¿Me da eso? ¿Qué os da? ¿Os da eso? 00:15:40
Me dicen que en este último vector tengo que hallar ese valor de X para que estos tres vectores sean coplanarios, 00:15:45
es decir, que su producto mixto tiene que ser cero. 00:15:53
El producto mixto de estos tres vectores es el resultado de este determinante. 00:15:55
el resultado de este determinante, si yo lo hago, este determinante es igual a 47 veces x, 00:16:01
entonces como tiene que ser 0, para que sean coplanarios, si yo igualo esto a 0, 00:16:10
me sale que x tiene que ser 0, ¿de acuerdo? ¿vale? Seguimos, el 10, os dan dos vectores 00:16:15
y dice que comprobéis si son ortogonales, ortogonales es lo mismo que perpendiculares, 00:16:23
¿Vale? Entonces, ¿os acordáis cuándo dos vectores son perpendiculares? 00:16:29
Cuando su producto escalar es cero 00:16:34
¿Vale? Entonces tenéis que hallar su producto escalar 00:16:39
Y comprobar si es cero o no es cero 00:16:42
¿Os da esto? 00:16:45
El producto escalar de dos vectores es 00:17:00
Multiplicamos sus primeras componentes, en este caso dos por uno 00:17:03
sus segundas componentes, lo sumamos 00:17:06
lo sumamos, el resultado de esto 00:17:09
para que esos dos vectores sean perpendiculares 00:17:10
tendría que ser cero 00:17:13
como no es cero, los vectores no son perpendiculares 00:17:14
¿de acuerdo? 00:17:18
perpendiculares y ortogonales que es lo mismo 00:17:19
¿de acuerdo? 00:17:21
¿si o no? 00:17:24
calcular el producto 00:17:26
el producto escalar 00:17:27
ah, es verdad, hay una segunda parte 00:17:28
vale, pues vamos a hacerlo 00:17:30
a ver un momento 00:17:32
lo que he hecho ha sido 00:17:34
el producto escalar de dos vectores 00:17:37
es el producto de sus primeras componentes 00:17:39
más el producto de sus segundas componentes 00:17:41
más el producto de sus terceras componentes 00:17:43
¿vale? eso es lo que he hecho 00:17:44
no, ortogonal es que sean 00:17:45
perpendiculares 00:17:49
entonces, lo que sabemos es que 00:17:49
dos vectores son perpendiculares 00:17:52
cuando su producto escalar es cero 00:17:54
si no es cero, no son perpendiculares 00:17:56
¿vale? ahora dice 00:17:58
hay un vector unitario que sea perpendicular 00:18:00
a a y a b 00:18:02
¿Cómo hallo un vector que es perpendicular a los vectores dados? 00:18:03
Con su producto vectorial 00:18:07
El producto vectorial de los vectores dados es un vector perpendicular a los dos 00:18:08
Luego, lo que me están pidiendo es el producto vectorial y eso va a ser un vector 00:18:13
Para que el vector sea unitario, ¿qué tendría que hacer? 00:18:18
No, unitario 00:18:21
¿Unitario qué quiere decir? 00:18:22
Que tiene el módulo 1 00:18:25
¿No es así? 00:18:26
Luego, si yo tengo un vector que es perpendicular a los dos 00:18:28
y ese vector, divido sus componentes entre el módulo de ese vector, me da un vector unitario, ¿no? 00:18:31
Si yo tengo un vector que mide 3 y lo divido, todas sus componentes las divido entre 3, 00:18:38
me da ese mismo vector pero de módulo 1, ¿no es así? 00:18:45
Pues eso es lo que tengo yo, eso es lo que tengo que hacer. 00:18:49
Yo tengo dos vectores, los que sean, y su producto vectorial va a ser un vector que es este, ¿no? 00:18:52
Que es perpendicular a los dos, perpendicular al plano que forman. 00:18:59
Entonces, este va a tener un módulo, el que sea, imaginaros que este tiene de módulo 5. 00:19:03
Si yo divido las componentes de vector entre 5, lo que me va a quedar es un vector que es igual que él, 00:19:08
con la misma dirección, pero de módulo 1. 00:19:14
¿Me seguís? 00:19:17
A ver, ¿cómo se calcula un vector perpendicular a los vectores? 00:19:18
¿Cómo se calcula? Es que es pura teoría. 00:19:22
O sea, es que es pura teoría esto. 00:19:24
El producto vectorial es un vector que es perpendicular a ambos, es decir, lo que me están diciendo es que calcule el producto vectorial, no es más que eso. 00:19:29
Calcular un vector perpendicular a dos dados es calcular su producto vectorial. 00:19:39
Entonces, lo único que pasa es que este vector que es perpendicular a los dos dados, resulta que este vector tendrá un módulo, será de una longitud, la que sea. 00:19:44
Entonces, para que ese vector lo quiero reducir a módulo 1, pues lo tengo que dividir todo entre lo que mida. 00:19:53
Insisto, si tú tienes una cosa que mide 5 y quieres convertirla en 1, pues lo divides entre 5. 00:20:01
Pues aquí lo mismo. 00:20:07
Si este vector calculas el módulo, si divides todos sus componentes entre su módulo, te sale un vector unitario de módulo 1. 00:20:09
Tenéis que saberos la teoría. 00:20:17
de momento, tenerla muy clara 00:20:18
cerca, para ir, eso 00:20:21
siempre estáis trabajando con cuatro cosas 00:20:22
entonces, siempre os van a pedir 00:20:25
una cosa, lo que pasa es que jamás os van a pedir 00:20:27
insisto, el producto vectorial de los vectores 00:20:29
os van a pedir, eso, un vector 00:20:31
perpendicular a ambos, porque en el fondo 00:20:33
lo que os están diciendo es el producto vectorial 00:20:34
de los vectores 00:20:37
¿de acuerdo? venga 00:20:38
ya, ¿qué sale esto? 00:20:40
a ver, el vector me sale 00:21:47
el vector 1, 2, menos 3 00:21:49
¿No? 00:21:50
¿Lo habéis hecho? 00:21:53
Entonces yo, ese es un vector 00:21:54
que es, este vector 00:21:57
es perpendicular a A y B 00:21:59
pero no es unitario 00:22:00
es un vector que tiene de módulo 00:22:02
yo calculo el módulo de este vector 00:22:03
el 1, 2, 3 y es 00:22:06
raíz cuadrada de 14 00:22:08
para convertir este vector C en un vector 00:22:09
que tiene la misma dirección 00:22:12
es decir, es perpendicular a los dos 00:22:14
pero el módulo 1 solo tengo que dividir 00:22:16
todos sus componentes, sus tres componentes 00:22:18
entre su módulo, y ya está 00:22:20
ese vector, este vector 00:22:22
o sea, perdón, esto está mal 00:22:23
este vector 00:22:26
es el vector 00:22:30
es este vector 00:22:31
el vector que me están pidiendo es ese, ¿de acuerdo? 00:22:33
venga, el siguiente 00:22:37
el siguiente dice 00:22:38
el área del triángulo 00:22:41
determinado por dos vectores 00:22:42
venga, ¿cómo se halla? 00:22:44
¿es? 00:22:46
¿cómo se halla el área de un triángulo 00:22:48
que forman dos vectores? 00:22:51
el área del triángulo que forma el módulo 00:22:53
porque el módulo del producto vectorial 00:23:00
fijaros, el módulo de este vector 00:23:03
que es el producto vectorial de estos dos 00:23:05
sería el área del paralelogramo que forman los dos vectores 00:23:07
si lo divides entre dos te da el área del triángulo 00:23:11
es decir que si yo tengo dos vectores 00:23:14
los que sean, si hago el producto vectorial 00:23:17
es un vector así, bueno pues lo que mide esto es igual que el área de esto, si quiero 00:23:21
saber el área del triángulo pues es la mitad, es la mitad del módulo, a ver, os dan dos 00:23:29
vectores, el vector A que es el vector 2, 0, 0 y el vector B que es el vector 2, 2, 0 00:23:39
y os piden el área del triángulo que formarían estos dos vectores, entonces yo calculo el 00:23:52
producto vectorial y este sería 0i más 4k más 0j menos 0k menos 0i y menos 0j, no es así, 0i, 4k, 0j, 0, 0 y 0. 00:23:59
Luego esto es 4k, este sería, luego este es el vector, ya sabéis que los vectores se pueden poner como así o se pueden poner como 2i, 0j, más 0j, más 0k, son las dos maneras de ponerlo, ¿vale? 00:24:35
luego este es el vector 0, 0, 4 00:24:57
el módulo de este vector, este es el vector v 00:25:02
el módulo de v es la raíz cuadrada de 0 más 0 más 16 00:25:06
es decir, es 4 00:25:13
por lo tanto, si esto lo divido entre 2 00:25:14
el área que me piden, el área del triángulo es 2 00:25:21
¿Os salía eso? 00:25:24
¿De acuerdo? 00:25:27
Venga, el siguiente 00:25:30
En el siguiente, en el ejercicio número 12 00:25:30
Me dan dos vectores 00:25:35
El A 00:25:39
Fijaros que este me lo dan distinto 00:25:39
Me lo dan como os he dicho 00:25:42
I más MJ 00:25:44
Más K 00:25:45
Y el B 00:25:48
Que me lo dan como 00:25:51
Menos 2I 00:25:53
Más 4J 00:25:54
Más MK 00:25:58
Es decir, ¿este qué vector es? 00:26:00
¿Qué componentes tiene ese vector? 00:26:05
1, M y 1 00:26:08
Y este, quítala ahí, la J y la K 00:26:11
Ah, claro, vale 00:26:17
¿Vale? Esos dos vectores 00:26:19
Y entonces os dicen, ¿cuánto tiene que valer M para? 00:26:21
Os piden dos casos 00:26:24
Primero, para que sean paralelos. 00:26:25
Dos vectores son paralelos cuando les pasa ¿qué? 00:26:29
Producto. 00:26:31
¿Escalar? 00:26:32
No, eso es para que sean perpendiculares. 00:26:33
Para que sean paralelos, dos vectores, su producto vectorial tiene que ser cero. 00:26:35
Luego, la primera condición es que su producto vectorial sea cero. 00:26:40
Y luego os piden para que sean ortogonales. 00:26:44
¿Qué tiene que pasar para que sean ortogonales? 00:26:46
El vectorial, ¿no? 00:26:49
El escalar. 00:26:50
El joy, macho. 00:26:51
¿Vale? 00:26:53
siempre 00:26:53
recordad esto 00:26:55
si el producto escalar es cero 00:26:58
los vectores son perpendiculares 00:27:01
si el producto vectorial es cero 00:27:02
los vectores son paralelos 00:27:04
y si el producto mixto es cero 00:27:05
los tres vectores son coplanarios 00:27:08
¿de acuerdo? 00:27:10
para que sean ortogonales y perpendiculares 00:27:12
lo mismo, entonces para que sean perpendiculares 00:27:14
el producto escalar y para que sean paralelos 00:27:16
es el producto vectorial 00:27:18
¿de acuerdo? 00:27:19
Venga, hacemos esto y si queréis lo dejamos 00:27:23
¿Ya está? ¿Lo hago? 00:27:27
¿Lo hago? 00:27:29
A ver, me dicen que ¿qué tiene que pasar? 00:27:32
¿Cuál tiene que tener esa m para que esos dos vectores sean paralelos? 00:27:35
Entonces yo sé que lo que tiene que pasar es que el producto vectorial de esos dos vectores 00:27:40
que es IJK1M1-24M, esto es M cuadrado por I más 4K menos 2J y por este lado más 2M por K 00:27:45
menos 4i y menos m por j, por lo tanto tengo is, tengo m cuadrado, menos 4 por i, 00:28:13
J tengo menos, a ver, menos 2 más m, bueno, voy a hacer una cosa, no, no lo voy a poner así. 00:28:32
¿Y el 4 no sería positivo? 00:28:50
No, tengo menos 4i, el 4i sale en esta dirección, por lo tanto es igual. 00:28:55
Ah, vale, vale, vale. 00:29:01
¿Vale? 00:29:02
Vale, y ahora tengo más, aquí tengo, por j tengo menos 2 menos m, por j, y cas tengo, ¿cuántos tengo? 00:29:03
Cas t más 2m más 4 por k, ¿de acuerdo? 00:29:19
Bueno, entonces, para que esto, tiene que ser 0 00:29:29
El producto vectorial tiene que ser 0 00:29:37
Es decir, que todos estos componentes tienen que ser 0 00:29:39
Vamos a ver si eso es posible 00:29:41
Entonces, hacemos, tiene que ser m cuadrado menos 4, tiene que ser 0 00:29:43
Menos 2 menos m, tiene que ser 0 00:29:49
Y 2m más 4, tiene que ser 0 00:29:52
De aquí me sale que m es igual a más menos 2. 00:29:57
Si m es 2, si m, y de aquí me sale que m tiene que ser igual a menos 2. 00:30:02
Y de aquí me sale que m tiene que ser igual a menos 2. 00:30:11
Luego, para que eso se cumpla, ¿ha salido eso? 00:30:14
Sí, me lo han hecho. 00:30:17
¿Y qué ecuación de segundo grado? 00:30:19
Que descartea. 00:30:21
Bueno, es una posibilidad, sí. 00:30:22
A mí me parece más fácil así. 00:30:24
Igualas cada componente, en vez de igualar todo, igualas cada componente 00:30:25
Eso es para que sean paralelos 00:30:29
Para que sean perpendiculares lo que tiene que pasar es que el producto vectorial 00:30:34
Digo, el producto escalar 00:30:38
Tiene que ser 0, el producto escalar es 00:30:40
1 por menos 2 00:30:44
Más 4 por m 00:30:48
Más 1 por m 00:30:51
Es decir, que esto es 5m menos 2 00:30:54
Y esto tiene que ser igual a 0 00:30:59
Luego m tiene que ser igual a 2 quintos 00:31:00
¿De acuerdo? ¿Vale? 00:31:03
Bueno, si tenéis tiempo 00:31:05
Vamos a seguir trabajando con vectores 00:31:08
O sea, para trabajar con las rectas hay que seguir trabajando con vectores 00:31:10
Si tenéis tiempo, acabaros esta hoja de ejercicios 00:31:15
Y según eso, hemos trabajado suficiente 00:31:18
Mañana empezamos con rectas en el plano 00:31:20
¿Vale? 00:31:23
CC por Antarctica Films Argentina 00:31:24
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
4
Fecha:
10 de marzo de 2026 - 18:15
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
31′ 24″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
62.21 MBytes

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