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Ejercicio 5 global 1º ev 23-24 - Contenido educativo
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En el ejercicio 5 nos piden calcular la potencia de una matriz a elevado a 134.
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Entonces lo primero que hacemos es a calcular, cuando tenemos una matriz que te piden una potencia,
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calculamos el cuadrado, 3 4 menos 1 menos 2 menos 3, 1 menos 2 menos 3, 0.
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Lo multiplicamos por sí mismo, por 3 4 menos 1 menos 2 menos 3, 1 menos 2 menos 3, 0.
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Al calcular esta matriz nos sale 3 3 1 menos 2 menos 2 menos 1, 0 1 menos 1.
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Ahora calculamos al cubo, 3 4 menos 1 menos 2 3 1 menos 2 menos 3, que es multiplicar la matriz A por la matriz A al cuadrado que acabamos de calcular.
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Y esto ya nos sale la matriz identidad.
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¿Qué significa esto?
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¿Qué significa esto?
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Que la siguiente, A elevado a 4, va a ser igual a A elevado a 5, va a ser igual a A al cuadrado, A elevado a 6, otra vez la identidad, y así sucesivamente.
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Es decir, se van repitiendo cada 3.
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Entonces vamos a ver a cuál se corresponde con la matriz A elevado a 134.
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Como queremos 134, pues dividimos 134 entre 3.
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Pues nos queda 4, nos damos 1, al 14, otra vez al 4, y de resto nos queda 2.
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Eso significa que 134 lo podemos poner como 44 por 3 más 2.
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Por tanto, A elevado a 134 es igual a A elevado a 44 por 3 más 2, que es lo mismo que A elevado a 44 por 3 por A al cuadrado, lo que es lo mismo.
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Esto no lo hemos visto así en clase, pero es la forma ideal de escribirlo.
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44 por 3, lo ponemos como una potencia elevada a una potencia.
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Entonces es la matriz identidad A elevado a 44 por A al cuadrado.
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Esto es la identidad por A al cuadrado, igual a A al cuadrado.
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Por tanto, A elevado a 134 coincide con A al cuadrado, que es 3, 3, 1, menos 2, menos 2, menos 1, 0, 1, menos 1.
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No os olvidéis de escribir la matriz 134.
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Esto de aquí arriba, por lo menos tenemos que escribir este de aquí y este de aquí.
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También teníamos en este un apartado B, que en el apartado B nos dicen que escribir todas las matrices que conmutan con la matriz A.
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Es decir, tenemos que ver cuando AX es igual a X por A.
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Pues nada, hagamos primero por un lado A por X, 2, 1, menos 1, 0, por ABCD, 2A más C, 2B más D, menos A y menos B.
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Y por otro lado vamos a hacer X por A.
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ABCD por 2, 1, menos 1, 0, igual a 2A menos B, A, 2C menos B, y C.
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Entonces tenemos que 2A más C tiene que ser igual a 2A menos B.
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De donde sacamos que C es igual a menos B.
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Por otro lado, 2B más D es igual a A.
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De la tercera, menos A es igual a 2C menos D.
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Y luego tenemos una más, que es menos B es igual a C.
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Que coincide con la de arriba, C igual a menos B.
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Por tanto, como esta ecuación la tenemos repetida, la podemos tachar, no nos podemos olvidar de ella.
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Utilizando que C es igual a menos B, pues sustituimos en esta de aquí.
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Vamos a cambiarle todo de signo, A es igual a menos 2C más D.
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Y como C es igual a menos B, nos queda 2B más D.
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Que es exactamente lo mismo que la segunda ecuación.
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Por tanto, también nos podemos olvidar.
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Es decir, nos hemos quedado solamente con C igual a menos B, y A igual a 2B más D.
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Por tanto, tenemos dos ecuaciones, y vamos a quedarnos con dos letras.
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¿Cuáles son las letras que vamos a elegir? La B y la D.
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Es decir, en nuestra matriz nos quedamos con la letra B y nos quedamos con la letra D.
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¿Dónde pone C? ¿Qué tenemos que poner? Menos B.
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¿Dónde pone A? ¿Qué tenemos que poner? 2B más D.
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Y esta es nuestra matriz X.
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2B más D, D menos B y D.
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Esa es la forma que tienen todas estas matrices.
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Y con esto ya estaría acabado el ejercicio 5.
00:06:22
- Autor/es:
- Rafael Oliver
- Subido por:
- Rafael O.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 39
- Fecha:
- 22 de noviembre de 2023 - 18:47
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES LAS AMÉRICAS
- Duración:
- 06′ 26″
- Relación de aspecto:
- 1.99:1
- Resolución:
- 3184x1600 píxeles
- Tamaño:
- 34.17 MBytes
