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4 ESO. Ejemplo de Dominio de función con fracción y logaritmo - Contenido educativo
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Vamos a hacer ahora el dominio de esta función, k de x, que es un logaritmo decimal de esta expresión, que es una función racional, una fracción algebraica.
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Entonces, como siempre, para calcular dominios a partir de la expresión analítica, nos preguntamos, ¿para hacer este cálculo hay alguna condición?
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Y al haber un logaritmo y una fracción algebraica, por un lado, el denominador de la fracción algebraica debe ser distinto de cero.
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Y además, lo de dentro del logaritmo, para poder hacerlo, tiene que ser positivo.
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Y positivo no nulo, porque el logaritmo de cero no existe.
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Vamos a plasmar esa condición, como siempre, en una inequación.
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Una o varias. En este caso, con una lo tenemos todo.
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Que sería que lo de dentro del logaritmo sea mayor que cero.
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Con eso, al resolviendo esa inequación, ya al resolverla, estaríamos quitando también los ceros del denominador.
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Porque si hay algún cero en el denominador, no lo podemos meter en esta solución, porque no estaría definido.
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Pues vamos a resolver la inequación.
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¿Vale? Entonces esta es la inequación
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¿Cómo resolver las inequaciones de este tipo en el que tenemos una fracción algebraica
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y queremos que su signo sea positivo o negativo
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o decir, mayor o menor que cero?
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Pues lo primero es factorizar tanto el numerador como el denominador
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y buscar los puntos críticos, que son los números que anulan
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las valores de la x, las raíces, los que anulan el numerador y los que anulan el denominador
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Entonces, para factorizar el numerador, como es una ecuación de segundo grado, la resolvemos
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Obtenemos ya las dos soluciones, 3 y menos 2, que serán dos puntos críticos
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Y, utilizando eso para factorizar, pues tenemos que el coeficiente principal, que es 1, que es el coeficiente de la x al cuadrado
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Por x menos 3 y por x menos menos 2, que es x más 2
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Luego me queda x menos 3 por x más 2, factorizado el numerador
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Vamos con el denominador.
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Pues el denominador, nos fijamos que lo podíamos hacer igual que arriba,
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pero en este caso observamos que es el desarrollo de la suma de x más 1 al cuadrado.
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Por así identidades notables, ¿no?
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Cuadrado del primero, doble del primero por el segundo y cuadrado del segundo.
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Entonces ya tenemos factorizado también el denominador.
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Es decir, el primer miembro de la inequación, la fracción algebraica, factorizada nos queda de esta manera.
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Vamos ahora a los puntos críticos
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Los puntos críticos
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Tenemos por un lado
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Los que anulan el numerador
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Que son los puntos críticos que yo les llamo permitidos
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¿Permitidos por qué?
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Porque en un momento dado la X puede tomar ese valor
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Ya veremos si sí o si no
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Depende de si es solución de la inequación o no
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Pero lo puede tomar
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Porque eso anula el numerador
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Y en una división el numerador se puede anular
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Y luego los prohibidos
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Que son los que anulan el denominador
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Ya sabemos que el denominador nunca puede ser cero porque no podemos dividir por cero.
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Entonces, tenemos un punto crítico que anula el denominador, que sería la raíz de este polinomio, que es menos uno,
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y ese es un punto crítico prohibido.
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Es decir, en ningún caso, tengamos o no aquí un igual, en ningún caso el menos uno puede tomarse como valor.
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Y ahora, segundo paso, una vez que tenemos factorizado y tenemos los puntos críticos,
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lo que vamos a hacer es dividir la recta en intervalos usando los tres puntos críticos
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y vamos a ver el signo que toma cada uno de los factores que son x menos 3, x más 2 y x más 1 al cuadrado
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y teniendo el signo de cada uno de los factores luego multiplicamos todos.
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¿Y por qué multiplicamos los signos?
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¿Por qué multiplicamos cuando aquí hay alguno que está dividiendo?
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Porque ya sabemos que la regla de los signos es la misma para la multiplicación que para la división.
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Vamos a hacer un poquito de sitio aquí.
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Entonces, vamos a ver cómo hacemos esto.
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Entonces, vamos a ver el cuadro cómo queda.
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Tenemos desde menos infinito hasta más infinito, metemos los tres puntos críticos.
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Por orden, de menos a mayor serían menos 2, menos 1 y 3.
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Por lo tanto, tengo 1, 2, 3 y 4 intervalos.
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El menos uno lo he rodeado con una esta roja para indicar que está prohibido.
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Que en ningún caso, sea cual sea la igualdad aquí, la desigualdad aquí, tengamos o no igual, el menos uno nunca se va a coger porque lo que me está anulando es el denominador.
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Los que están permitidos son que me anulan el numerador y cero partido por algo, si lo de abajo no es cero, cero partido por algo es cero.
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Por lo tanto, ese es un valor que, en el caso de que tuviéramos el igual, habría que cogerlo.
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Aquí no lo tenemos, luego tampoco habrá que cogerlos.
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Luego colocamos los tres factores, que son x menos 3, x más 2, que son del numerador,
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y x más 1 al cuadrado, que es del denominador.
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Ahora vemos los signos de esta expresión según el valor de x esté en este intervalo, en este, en este o en este.
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Aquí está el tercero, este es todo más.
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¿Por qué? Porque está elevado al cuadrado.
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Entonces me da igual que x más 1 sea positivo o negativo, al elevar al cuadrado va a ser siempre positivo.
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Luego, el denominador aquí, esto siempre es positivo.
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O cero.
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Positivo o cero.
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Cero sería para este menos 1.
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Para todo lo demás sería positivo.
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x menos 3.
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Pues a la izquierda de 3, que es donde se anula, esto va a ser negativo.
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Podemos dar aquí un valor, por ejemplo, el menos 3.
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Menos 3 menos 3 menos 6, negativo.
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Buscamos un valor aquí, por ejemplo, el menos 1,5, menos 1,5 menos 3, menos 4,5, negativo.
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Y podemos dar un valor aquí entre el menos 1 y el 3, por ejemplo, el 0, 0 menos 3, menos 3, negativo.
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Y por último un valor entre el 3 infinito, por ejemplo, el 4, 4 menos 3, 1, positivo.
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Entonces efectivamente a la izquierda de 3 negativo, a la derecha de 3 positivo.
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El x más 2 que se anula para menos 2
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Pues será negativo a la izquierda de menos 2
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Menos y positivo a la derecha
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Más, más, más
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Y este ya hemos visto que al estar al cuadrado siempre es positivo
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Vale, ahora multiplicamos todos los signos
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Ya digo, esto en realidad sería dividir
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Pero la regla de los signos es la misma
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Entonces menos por menos
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Más y por más, más
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Menos por más, menos
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Por más, menos
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lo mismo, menos, y aquí todos positivos
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más, ¿vale? basta con contar el número de signos menos, si es par será positivo
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si es impar será negativo, vale, entonces la fracción
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no la he escrito, aquí esta que expresión es, pues toda esta, ¿vale?
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no la he escrito, simplemente la pongo, la fracción, ¿qué signo toma?
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pues en este primer intervalo positivo, entre menos 2 y menos 1 negativo
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entre menos 1 y 3 también negativo, y entre 3 infinito positivo
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Cuidado, ¿eh? Porque entre menos 2 y menos 1 es negativo, y entre menos 1 y 3 es negativo, no significa que entre menos 2 y 3 sea negativo.
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Porque ahí estaría cogiendo el menos 1, y para el menos 1 ni siquiera está definido.
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¿Vale? Entonces mucho cuidado con juntar todo esto junto. Por eso este rojo aquí nos ayuda.
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En estos valores, menos 2, menos 1 y 3, la fracción o vale 0 o no existe.
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En menos 2 y 3 vale 0 y en el menos 1 no existe.
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Y luego es en los demás, en todos los demás que están aquí, que no son ninguno de esos tres valores, donde será o positivo o negativo.
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Bien, entonces, ahora, ¿es solución? Pues la inequación es mayor que cero, pues será solución cuando es positivo.
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Entonces este intervalo, menos infinito y menos dos, sí, este no, este no, y entre tres infinito también.
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Por lo tanto, vamos a poner ahí arriba, la solución será de menos infinito a menos 2, unión de 3 a infinito.
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¿Y cogemos el menos 2, el 3 o el menos 1?
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Pues no lo cogemos. ¿Por qué?
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Porque tenemos un distinto de 0 y no un igual a 0.
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Si tuviéramos aquí un mayor o igual que 0, incluiríamos el menos 2, incluiríamos el 3 y el menos 1 no lo incluiríamos porque está prohibido.
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Pero en este caso es abierto.
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Entonces, volvemos a nuestro ejercicio
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Ya tenemos resuelta la inequación
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Esa es la solución
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Y entonces ahora, ¿eso qué es?
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Pues eso es el dominio, lo vamos a expresar
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Estos son los valores para los cuales esto es positivo
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Y cuando esto es positivo, el logaritmo se puede calcular
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Por lo tanto, el dominio es esa unión de intervalos
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O ese intervalo
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De menos infinito a menos 2 abierto
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Unión de 3 a infinito abierto
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Y como siempre vamos a ver la gráfica para comprobar que si a partir de esa gráfica obtendríamos el mismo dominio.
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Esta sería la gráfica, la hemos dibujado en GeoGebra, la gráfica de esta función.
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Como veis, ¿cuál es el dominio? Pues viene desde menos infinito hasta menos 2.
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El menos 2 no lo llega a tomar, me acerco a él y cuando me voy acercando a él hay una asíntota que va a menos infinito,
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pero nunca alcanza el menos 2, luego el menos 2 es abierto
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y desde 3 a infinito pasa exactamente lo mismo
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luego el dominio sería de menos infinito a menos 2 abierto
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y de 3 a infinito abierto
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y entre el menos 2 y el 3, incluyendo el menos 2 y el 3
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no toma la función ningún valor
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luego efectivamente el dominio que sacamos viendo la gráfica
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es el mismo que hemos obtenido analíticamente
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- Subido por:
- Gonzalo T.
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- Dominio público
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- Fecha:
- 22 de abril de 2022 - 13:01
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- IES LAS ROZAS I
- Duración:
- 10′ 13″
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