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5.- Distancia de un punto a una recta (Demostración) - Contenido educativo

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Subido el 22 de abril de 2023 por Marta P.

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Vamos a demostrar ahora la fórmula que os explicaba antes de distancia de un punto a una recta. 00:00:00
Si os acordáis, hemos dicho que la distancia de un punto P a una recta R, 00:00:08
donde P tiene por coordenadas AB y donde R tiene por ecuación general AX más BI más C igual a cero, 00:00:12
era lo mismo que escribir en el numerador la expresión de la recta sustituyendo X e Y por las coordenadas del punto 00:00:21
y abajo el módulo del vector normal a la recta, ¿vale? 00:00:29
Esto es lo que vamos a demostrar. 00:00:37
Bueno, pues suponer que tenemos la recta R, ¿vale? 00:00:39
Aquí tenemos el punto de coordenadas AB, 00:00:45
la recta ya sabéis que es ax más bi más c igual a cero, 00:00:48
y lo que andamos buscando es la distancia del punto a la recta, 00:00:53
es decir, lo que mide esto, ¿vale? 00:00:56
Esto es lo que andamos buscando. Bueno, vamos a considerar un punto de la recta, un punto cualquiera de la recta R. Como yo no sé dónde corta, considero un punto genérico cualquiera de la recta, que no sé si va a ser este o no, a priori. 00:00:59
Voy a coger uno cualquiera, Q, de coordenadas fijas, X0, Y0, ¿vale? 00:01:20
Puede ser que fuera el punto de corte o puede ser que no fuera el punto de corte, este, ¿vale? 00:01:25
Pues cojo uno de la recta y como no he hecho los cálculos suficientes, pues no sé si es este o no. 00:01:30
Luego cojo un punto cualquiera, concreto. 00:01:36
Bueno, pues si yo trazo esta línea, aquí lo que tengo es el vector QP, ¿vale? 00:01:40
El vector QP tendrá de coordenadas A-X0 y B-Y0, que nos va a servir. 00:01:49
Si yo considero el vector normal de la recta, este ya sabemos que tiene de coordenadas AB. 00:01:57
Si lo traslado aquí, cojo su representante que parte de Q, 00:02:04
el vector QP y el vector normal forman un ángulo alfa, que por construcción es igual que este. 00:02:12
¿Qué ocurre? Que ya en cuanto involucro ángulos y vectores, lo que me viene a mí a la cabeza es el producto escalar, ¿vale? 00:02:19
Si yo empiezo a hablar del producto escalar con respecto a este ángulo alfa que acabo de pintar aquí, 00:02:29
Y el coseno de alfa sería el producto escalar de QP por NR, ¿vale? 00:02:36
Porque es el ángulo que forma, QP con NR, ¿vale? 00:02:48
Coseno del ángulo que forman, el coseno de alfa es el coseno del ángulo que forman QP y NR. 00:02:50
Y ya digo, porque como me sé la fórmula del producto escalar, 00:02:57
el coseno de alfa es lo mismo que escribir valor absoluto del producto escalar este 00:03:00
partido del módulo de Coupé por el módulo del vector normal. 00:03:03
Bueno, pues vamos a reflexionar un poco sobre lo que tenemos aquí. 00:03:10
Como yo he cogido un punto cualquiera de la recta, pues no sé si es el que me interesa que se esté o no. 00:03:14
Este punto, el que me interesa, sería el que forma con el vector normal un ángulo de 0 grados 00:03:20
y por tanto el coseno sería 1, ¿vale? Este es el que ando buscando. 00:03:29
Luego voy a obligar a que esto sea 1 y voy a ver qué es lo que tiene que pasar con las coordenadas correspondientes. 00:03:33
Luego arriba no voy a hacer otra cosa que el producto escalar coordenada a coordenada. 00:03:42
Primera coordenada de QP por primera coordenada de NR más segunda coordenada de QP por segunda coordenada de NR. 00:03:47
pues lo pongo, ¿vale? a menos x0 por a más b menos y0 por b, todo esto en valor absoluto, partido del módulo de qp, pero es que el módulo de qp es la distancia que hay de p a q o de q a p, 00:03:54
que es precisamente lo que yo quiero buscar cuando el coseno sea 1, ¿vale? 00:04:16
Cuando el ángulo que formo sea 0, ¿vale? 00:04:23
Si este ángulo alfa resulta que es 0, la distancia que tengo es la que estoy buscando. 00:04:24
Bueno, pues esto ya lo voy a llamar d, 00:04:31
que es lo que ando buscando ahora, la distancia del punto a la recta. 00:04:36
Entonces, esto va a ser d por el módulo del vector normal, 00:04:39
Es decir, a al cuadrado, primera coordenada al cuadrado más segunda coordenada al cuadrado. 00:04:45
Bueno, pues ahora solo queda hacer las cuentas aquí arriba. 00:04:49
Esto quedaría a por a menos a por x0 más b por b menos b por y0 partido de d, 00:04:54
esto es valor absoluto, partido de d por el módulo del vector normal. 00:05:05
Pero fijaos que si yo cojo esto, como q, x0 y y0 es un punto de la recta, verifica su ecuación 00:05:10
Luego ax0 más by0 más c es igual a 0, lo que es lo mismo c, es lo mismo que menos ax0 menos by0 00:05:23
Luego, esto que he escrito aquí en rojo lo puedo escribir como c, así que me quedaría a por a más b por b más c partido de d por el módulo del vector normal, 00:05:39
pero como yo ando buscando que esto sea igual a 1, pues directamente paso la de multiplicando y ya he demostrado lo que yo quería. 00:05:53
Autor/es:
Marta Pastor Pastor
Subido por:
Marta P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
23
Fecha:
22 de abril de 2023 - 11:03
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS DE GONGORA
Duración:
06′ 08″
Relación de aspecto:
0.75:1
Resolución:
1440x1920 píxeles
Tamaño:
23.30 MBytes

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