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AE2. 12 Ejercicio 15 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 10 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corralizas, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AE2 dedicada a las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones. 00:00:21
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 15. 00:00:31
En este ejercicio se nos pide que resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones utilizando 00:00:47
el método de Gauss y una vez resuelto lo caractericemos en función de sus soluciones. 00:00:51
Vemos que tenemos un sistema formado por cuatro ecuaciones con tres incógnitas y tenemos ya las ecuaciones en forma canónica. 00:00:56
Tenemos en el miembro de la izquierda la parte literal, en el miembro de la derecha los términos independientes 00:01:05
y en lo que respecta a la parte literal vemos que las incógnitas están ordenadas en orden alfabético. 00:01:10
Tenemos menos 4x más y más 4z igual a 3, menos x menos y menos z igual a 2, 00:01:16
4x menos 6y menos 2z igual a 2. 00:01:22
3x menos 7y menos 3z igual a 4. 00:01:25
Bien, lo primero que vamos a hacer es transcribir el sistema de ecuaciones así dado en forma matricial. 00:01:29
Y lo que tenemos que hacer es directamente transcribir los coeficientes en el orden en el que los tenemos. 00:01:35
Menos 4x escribo menos 4, más una y escribo un 1, más 4z escribo un 4, igual a 3. 00:01:41
A la derecha de esta línea vertical escribo el 3. 00:01:49
esta línea vertical, es una cosa estética que me va a permitir separar a la izquierda lo que había en la parte literal 00:01:51
y a la derecha los términos independientes y más. 00:01:59
En cuanto a la segunda ecuación, menos una x, menos uno, menos una y, menos uno, menos una z, menos uno, igual a dos. 00:02:02
Y así con todas las demás. 4x, un 4, menos 6y, menos 6, menos 2z, un menos 2, este 2 es este 2. 00:02:10
3x es este 3, menos 7y es este menos 7, menos 3z es este menos 3 y este 4 de término independiente me lo encontraría aquí. 00:02:18
¿Qué podría hacer si me faltara alguna de las letras? 00:02:26
Pues en ese caso, si aquí imaginaos no hubiera x y empezara directamente con menos y menos z, 00:02:30
el coeficiente de x es 0, por eso no veo z, y aquí escribiría una z. 00:02:35
¿De acuerdo? 00:02:40
En cuanto a los términos independientes, si veo igual a 0, pues directamente transcribiría el 0. 00:02:41
Esta forma matricial de representar el sistema de ecuaciones es más limpia en el sentido en el que no tengo tantos signos, no tengo los iguales y sobre todo no tengo las letras. 00:02:46
Me gusta decir que lo que tengo aquí es el sistema desvestido, le he quitado la ropa, que en este caso serían las letras, la parte literal. 00:02:58
Y tenemos en esta columna todos los coeficientes de las x, en la segunda columna los coeficientes de las y, en la tercera columna los coeficientes de las z, y a la derecha de la línea vertical, estética, insisto, tenemos los términos independientes. 00:03:06
Si echamos un vistazo a las ecuaciones, puedo ver algunas cosas que ya antes de empezar a aplicar el método de Gauss me llaman la atención. 00:03:22
Por ejemplo, veo que la segunda ecuación tiene menos 1, menos 1, menos 1 y un 2. 00:03:32
Hay muchos signos negativos. De hecho, casi todos son negativos. 00:03:38
De hecho, todos los coeficientes de la parte literal son negativos. 00:03:42
Y en un momento dado puedo considerar que me es más cómodo trabajar con coeficientes positivos. 00:03:47
Me disgusta tener tantos signos menos. 00:03:50
Algo que puedo hacer es multiplicar toda la fila 2 por menos 1, 00:03:53
que sería equivalente a multiplicar toda la ecuación 2 por menos 1. 00:03:57
Puedo multiplicar por un número, siempre que sea distinto de cero, una ecuación completa. 00:04:00
Y me van a quedar signos positivos, me voy a sentir más cómodo. 00:04:04
Algo que también veo es que en la tercera ecuación, que tengo aquí en la tercera fila, 00:04:08
4 menos 6 menos 2 y 2, todos los coeficientes del término independiente son pares. 00:04:12
Me gustaría dividir toda esta ecuación entre 2, dividir toda esta línea entre 2. 00:04:17
Voy a tener coeficientes más sencillos, más pequeños, eliminando eso de que sean todos pares, todos son múltiplos de 2. 00:04:21
¿Cómo hago eso? Pues sencillamente realizando las operaciones 00:04:27
Ahora, ¿cómo lo indico? Porque siempre que hago una transformación o hago unas transformaciones 00:04:31
Tengo que indicar qué es lo que estoy haciendo 00:04:35
Pues fijaos en lo que he hecho 00:04:37
Este símbolo que hay aquí es el que representa equivale a 00:04:38
Es el símbolo que hay encima de la letra Ñ, el símbolo de nasalización 00:04:42
No es un aproximadamente, es un equivale a 00:04:47
Y debajo lo que he escrito es un código determinado 00:04:50
y que aprovecho para explicaros, las transformaciones que estoy haciendo. 00:04:55
Es una anotación algorítmica. 00:04:59
La fila 2 la estoy sustituyendo por menos la fila 2, o sea, la fila 2 cambiada de signo. 00:05:02
Y aquí estoy utilizando estas flechas para indicar que lo de la derecha sustituye a lo de la izquierda. 00:05:08
La fila 2 es sustituida por menos la fila 2, la multiplico por el número menos 1. 00:05:15
Y aquí lo veo, 1, 1, 1, menos 2, es el resultado de multiplicar por menos 1 esta segunda fila. 00:05:21
Aquí estoy diciendo que sustituyo la tercera fila por la fila 3 entre 2. 00:05:28
Lo que he dicho anteriormente, he visto que los coeficientes son todos pares, quiero dividir entre 2. 00:05:33
¿Cómo lo indico? De esta manera. 00:05:37
Lo de la derecha sustituye a lo de la izquierda. 00:05:39
La fila 3 es sustituida por la fila 3 entre 2. 00:05:42
Así que en lugar de 4 menos 6 menos 2, 2, estoy escribiendo 2 menos 3 menos 1, 1. 00:05:45
La fila 1 no digo que le esté haciendo nada, luego la escribo igual. La fila 4, igualmente, no he dicho que le vaya a hacer nada, la transcribo igual. 00:05:51
Este paso no es estrictamente hablando una parte del método de Gauss, pero me va a ayudar a que lo que siga sea más sencillo. 00:05:59
Para que en el primer paso del método de Gauss pueda comenzar el algoritmo, necesito que el número que tengo aquí, el primer número en la primera fila, en la primera columna, sea distinto de 0. 00:06:07
En este caso, lo es. Me es mucho más cómodo, y vais a ver por qué dentro de un momento, si el número que tengo aquí, aparte de ser distinto de cero y esto es imprescindible, fuera 1 o menos 1. 00:06:21
Pero si fuera 1, sería maravilloso. Afortunadamente veo que inmediatamente debajo de este menos 4, en esa misma columna, sí que hay un 1. 00:06:34
Y lo siguiente que voy a hacer es cambiar el orden de las filas. Dije que lo podría hacer por distintas razones. Una de ellas es por comodidad. 00:06:43
Yo necesito que este coeficiente sea distinto de 0 y me gustaría que de ser posible fuera 1 o menos 1, llegado el caso. 00:06:50
¿Cómo puedo conseguir que haya un 1? Pues cambiando el orden de las filas. 00:06:58
Y de hecho lo que voy a hacer es intercambiar el orden de la fila 1 y la fila 2. 00:07:01
Voy a escribir mi fila 2 la primera y entonces la que tengo como fila 1 la segunda. 00:07:07
Y voy a mantener la fila 3 y la fila 4 donde se encuentran. 00:07:13
¿Cómo lo hago? Tal cual lo estoy diciendo. ¿Cómo lo explico? ¿Cómo lo expreso? Esa es la parte que voy a contar a continuación. 00:07:17
Vemos la flecha, algo a la izquierda, algo a la derecha. Lo de la derecha sustituye a lo de la izquierda. 00:07:24
¿Qué veo a la izquierda? Pues lo que veo es mi matriz, veis los paréntesis, y las filas 1, 2, 3, 4. 00:07:30
Es la matriz tal cual la tengo ordenada, con las filas en este orden. ¿Por qué la sustituyo? Miro y veo que. 00:07:37
La fila 2 la estoy poniendo en la primera. 00:07:44
A continuación estoy poniendo la fila 1 y las filas 3 y 4 no cambian el orden. 00:07:46
Lo que he dicho lo represento de esta forma simbólica. 00:07:51
Y tal cual lo voy a escribir. 00:07:55
Transcribo en primer lugar lo que era mi fila 2. 00:07:56
Aquí estaría. 1, 1, 1, menos 2. 00:07:59
A continuación lo que era mi fila 1. 00:08:02
Menos 4, 1, 4, 3. Aquí lo tengo. 00:08:04
Y las filas 3 y 4 las copio tal cual sin cambiar el orden. 00:08:07
Fila 3, fila 4. Aquí las tengo. Fila 3 y fila 4. 00:08:10
Esta parte también es estética. Necesito que este coeficiente sea distinto de 0 y si fuera 0, dirás a casualidad, debo cambiar el orden de las filas para poner aquí como primera fila una cuyo primer coeficiente sea distinto de 0. 00:08:13
En principio cualquiera vale y el método funciona con cualquier número que haya ahí con tal de que sea distinto de 0. 00:08:29
No obstante, por mi comodidad y por mi gusto, me gusta que sea el número 1, de ser posible, sino el número menos 1. 00:08:35
Y si no cualquiera, quiero decir. Si no es 1 o menos 1, me chugaré con lo que tenga. 00:08:43
En este caso he podido poner este 1. 00:08:46
Mi objetivo, y este es el primer paso del método de Gauss, es, utilizando este 1, reducir todos los coeficientes que tengo debajo y hacer que sean 0. 00:08:49
Os recuerdo que el método de Gauss no es más que una sistematización algorítmica del método de reducción. 00:09:00
Y con el método de reducción lo que hago es conseguir que los coeficientes de una misma incógnita sean iguales para, sumando o restando, que desaparezca esta variable en una de las ecuaciones. Esto cuando tenía solo dos. 00:09:05
En este caso que veo que tengo cuatro, lo que quiero es que los coeficientes de una de las incógnitas, excepto en una de las ecuaciones, en todas las demás sean cero. 00:09:20
Quiero reducir en las demás ecuaciones el número de incógnitas. Y lo voy a hacer de la siguiente manera. 00:09:29
Aquí veo este número 1, aquí veo este menos 4 y pienso, si yo multiplicara la primera fila por 4 y se la sumara a la fila 2, lo que tendría es 4 menos 4 igual a 0, lo que tendría es un 0 correspondiente a esta columna, que es donde tengo la incógnita x. 00:09:35
Así que voy a sustituir la fila 2 por una combinación lineal de la fila 2 y la fila 1 que me haga un 0 y pienso que si multiplico esta por 4 y le sumo la fila 2 voy a obtener un 0. 00:09:55
Lo esquivo de esa manera. Voy a sustituir la fila 2 por la fila 2 más 4 veces la fila 1. 00:10:08
4 por 1 es 4, menos 4 es este 0 00:10:16
4 por este 1 es 4, más este 1 es este 5 00:10:21
4 por 1 es 4, más este 4 es este 8 00:10:26
4 por menos 2 es menos 8, más este 3 es este menos 5 00:10:30
He sustituido la fila 2 por una combinación lineal que la incluye sin anularla 00:10:35
De hecho incluye fila 2 00:10:42
y alguna de las otras, en concreto, la fila 1. 00:10:43
Cuatro veces la fila 1 más la fila 2. 00:10:47
A esto se le llama pivotar. 00:10:51
Utilizando este 1 veo cómo eliminar este menos 4. 00:10:53
Si este 1 lo multiplico por 4 y sumo, obtengo este 0, que me va a interesar. 00:10:58
Para que quede más claro, vamos a ver cómo haría para, en esta fila 3, conseguir aquí un 0. 00:11:03
Voy a pivotar, ya voy a utilizar la terminología adecuada, con la fila 1, con este 1. 00:11:09
¿Qué podría hacer con este 1 para, sumando o restando, eliminar este 2? 00:11:15
Y lo que pienso es, si multiplicara esta fila por 2, aquí tendría un 2, 2 por 1 es 2. 00:11:21
Si yo ahora resto, 2 menos 2 es 0, consigo el 0 que yo quería. 00:11:26
¿Cuál es la combinación que voy a hacer? ¿Cuál es la sustitución que voy a hacer? 00:11:30
Pues fijaos, la fila 3 la voy a sustituir por la fila 3 menos dos veces la fila 1. 00:11:33
2 por 1 es 2, este 2 menos 2 es este 0. 00:11:41
2 por 1 es 2, menos 3 menos 2 es este menos 5. 00:11:46
2 por 1 es 2, menos 1 menos 2 es este menos 3. 00:11:51
2 por menos 2 es menos 4, 1 menos menos 4, cuidado con los signos, menos por menos es más, es este 5. 00:11:56
Y lo que he hecho es sustituir la fila 3 por una combinación lineal que la incluye, tengo la fila 3 y en este caso la fila 1, porque en este paso del método de Gauss siempre voy a sustituir la fila 2 por una combinación de ella y la fila 1, la fila 3 por una combinación lineal de ella y la fila 1, la fila 4, y aquí es a donde vamos ahora, por una combinación lineal de ella y la fila 1, siempre con la fila 1 en el primer paso. 00:12:03
Pienso lo mismo. Aquí tengo un 1, aquí tengo un 3. 00:12:29
Bueno, si multiplico esto por 3, la fila entera por 3, aquí tendría un 3. 00:12:33
Y si yo ahora restara, 3 menos 3 es 0. Ya tendría el 0 que estoy buscando aquí. 00:12:36
3 por 1 es 3. 3 menos este 3 es 0. 00:12:41
3 por 1 es 3. Menos 7 menos 3 es este menos 10. 00:12:45
3 por 1 es 3. Menos 3 menos 3 es este menos 6. 00:12:49
3 por menos 2 es menos 6. 4 menos menos 6. 00:12:53
Una vez más, cuidado con los signos, es este 10. Y he cambiado la fila 4 por la fila 4 menos 3 veces la fila 1. 00:12:57
He conseguido lo que necesito en este primer paso del método de Gauss. 00:13:05
Debajo del primer elemento de la primera fila, por debajo, tengo ceros. 00:13:10
Fijaos en cómo son estas ecuaciones. La segunda ecuación, la nueva segunda ecuación, si yo la leo, sería 0x más 5y más 8z igual a menos 5. 00:13:16
El 0x no lo debería leer, no existe, no está. 00:13:26
Debería decir sencillamente 5y más 8z igual a menos 5. 00:13:30
¿Qué ha pasado? He reducido las incógnitas porque ya no tengo la x. 00:13:34
He aplicado el método de reducción. 00:13:38
Lo mismo ha pasado con la fila 3, lo mismo ha pasado con la fila 4. 00:13:40
Cuando este coeficiente es 1, todo es muy sencillo. 00:13:44
Lo que hago es mirar los coeficientes de las demás filas, 00:13:47
multiplicar por ellos y sumar o restar según me convenga. 00:13:50
Yo aquí veo un menos 4, multiplico la fila entera por 4 y como aquí hay un menos y aquí hay un más, sumo fila 2 más 4, fila 1. 00:13:53
Aquí hay un 1, aquí hay un 2, multiplico esta por 2 y como tienen igual signo, las resto. 00:14:02
Fila 3 menos 2, fila 1. 00:14:08
Aquí hay un 3, aquí hay un 1, multiplico aquí por este 3 y hará resto. 00:14:10
Fila 4 menos 3 veces la fila 1. 00:14:15
Insisto en que lo que estoy haciendo es, de una forma sistematizada y algorítmica, utilizar el método de reducción. 00:14:18
Y aquí, cuando un coeficiente es 1, todo está muy bien, 1 o menos 1, lo que voy a hacer es multiplicar esta fila por el coeficiente de la otra 00:14:24
y luego sumar o restar dependiendo de los signos que yo me encuentre. 00:14:30
A continuación veo algo llamativo y es que las filas 3 y 4 se parecen muchísimo, tanto que es que la fila 4 es el doble de la fila 3. 00:14:34
Fijaos, 2 por 0 es este 0, claro. 2 por menos 5 es este menos 10. 2 por menos 3 es este menos 6. 2 por 5 es 10. 00:14:48
Así que me encuentro con que la fila 4 es el doble de la fila 3. Hay una combinación lineal con la que puedo expresar la fila 4 en función de otras filas. 00:14:57
En este caso es tan fácil como dos veces la fila 3. Y una de las transformaciones elementales que había comentado que podíamos realizar es, en ese caso, eliminar una de las filas. 00:15:08
Puesto que veo que la fila 4 es igual a dos veces la fila 3, lo voy a escribir así, es la justificación de por qué voy a hacer lo siguiente. 00:15:18
Esta fila 4, que es dos veces la fila 3, la voy a eliminar y me voy a quedar con un sistema que no tiene ya cuatro ecuaciones, sino que tiene tres. 00:15:26
Lo que está ocurriendo aquí es que una de las ecuaciones iniciales en el sistema era combinación lineal de las otras. 00:15:35
Y no siempre es fácil ver así, nada más mirar las ecuaciones, cómo es esa transformación. 00:15:44
En este caso, si miramos el sistema vestido, digámoslo así, con las letras, con la parte literal, 00:15:51
si no miramos las filas t como las tenía, podría haber echado un vistazo y haberme dado cuenta de que 00:15:59
en el sistema inicial, antes de hacer ninguna transformación, si yo sumo la fila 2 y la fila 3, obtengo la fila 4. 00:16:05
Menos 1 más 4 es este 3, menos 1 menos 6 es este menos 7, menos 1 menos 2 es este menos 3 y 2 más 2 es este 4. 00:16:12
Podría haberlo hecho en este momento si me hubiera dado cuenta. 00:16:19
No siempre es fácil ver combinaciones de este estilo, pero lo bueno que tiene el método de Gauss es que si hay alguna fila que se puede eliminar, 00:16:22
antes o después lo voy a anotar, me lo va a poner cada vez más claro. 00:16:29
En este caso, pues cambiando adecuadamente el orden de las filas, dividiendo, etcétera, etcétera, 00:16:33
Esta transformación que yo hice aplicando el primer paso del método de Gauss me lo ha dejado muy claro. 00:16:38
Si no lo hubiera visto aquí, en el siguiente paso lo vería. 00:16:44
Habitualmente lo que va a pasar en este tipo de situaciones, cuando una de las filas es combinación lineal de otras, 00:16:48
es que si no me doy cuenta antes, en uno de los pasos me voy a encontrar con que tengo una fila que es toda de ceros, 00:16:53
que es la identidad 0 igual a 0. 00:16:59
Eso no contiene información y esa fila se puede eliminar, por supuesto. 00:17:01
Entonces, si no me doy cuenta antes, me voy a dar cuenta después. 00:17:05
Pues aquí, si no veo que la fila 4 es la fila 2 más la fila 3, aquí estoy viendo que la fila 4 es el doble de la fila 3. 00:17:08
Y si no, en otro momento vería que me desaparece la fila 4. 00:17:15
¿Por qué ha sido eso? Insisto, porque es combinación lineal de las otras. 00:17:18
Aquí me he dado cuenta. 00:17:21
Y por cierto, la razón por la cual en este ejemplo partía con cuatro ecuaciones es para poder eliminar una, 00:17:22
para que pudierais ver cómo puedo eliminar una y aún así quedarme con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, 00:17:29
que es lo que tengo aquí. 00:17:35
Bien, el siguiente paso del método de Gauss, el primero era utilizando como pivote, recordad la terminología, el primer elemento de la primera fila, hacer ceros debajo aplicando el método de reducción, es el método de Gauss. 00:17:36
Lo que vamos a hacer ahora es trasladarnos de la primera fila a la segunda. Este primer elemento, por supuesto, va a ser cero. Lo hemos hecho así en el primer paso del método de Gauss. 00:17:50
Y lo que voy a hacer ahora es fijarme en el segundo elemento de la segunda fila. Insisto, en el primer paso del método de Gauss me fijaba en el primer elemento de la primera fila. Ahora, segundo paso, me fijo en el segundo elemento de la segunda fila. 00:18:01
Necesito para que esto funcione que este elemento sea distinto de cero y si no lo es, tengo que cambiar el orden de las filas de la segunda hacia abajo porque la primera fila ya nunca más la voy a tocar. No puedo cambiar el orden, la tengo que dejar ahí, ni voy a operar con ella. 00:18:17
Insisto, con las filas que hay debajo de la segunda fila tendría que cambiar el orden para conseguir poner aquí un elemento que fuera distinto de cero. 00:18:31
Y si no pudiera, pues entonces el método en este momento para y este segundo paso tendría que pasar de él. 00:18:39
Lo veremos con algún ejemplo, con algún ejercicio posterior, con algún otro ejemplo. En este caso no se da el caso. 00:18:46
Así pues, este elemento es distinto de cero, podría continuar con el método de Gauss. 00:18:53
Antes dije que era muy cómodo, era muy útil, que el elemento con el que estoy pivotando, el primer elemento de la primera fila, aquí el segundo elemento de la segunda fila, una vez que ya he hecho el primer paso, sería idóneo que fuera 1 o menos 1. 00:18:57
Cuando miro hacia debajo me doy cuenta de que no hay ni unos ni menos unos, así que, como te decía antes, tengo que apechugar y tengo que aplicar el método de Gauss con este 5 que tengo aquí. 00:19:10
Y el objetivo es análogo al que tenía cuando estaba aplicando el primer paso. 00:19:18
Pivotando con el primer elemento, quería hacer ceros debajo. 00:19:24
Ahora, pivotando con este segundo elemento, quiero hacer ceros debajo. 00:19:27
Solamente tengo una fila más, así que quiero hacer cero inmediatamente debajo. 00:19:32
Bueno, veo que aquí tengo un 5, veo que aquí tengo un menos 5, y en este caso no necesito multiplicar por nada. 00:19:37
Veo que si yo sumara directamente estas dos filas, 5 menos 5 es 0, ya conseguiría el 0 que yo estoy buscando. 00:19:45
Y entonces lo que digo es que voy a sustituir la fila 3, porque en este caso lo que voy a hacer es, pivotando con la fila 2, opero con la fila 3. 00:19:52
Sumándole la fila 2 voy a conseguir el 0 que estoy buscando. 00:20:00
Así que lo escribo así, sustituyo la fila 3 por la fila 3 más la fila 2. 00:20:03
Y lo que hago es, pues menos 5 más 5 es este 0, menos 3 más 8 es este 5, 5 más este menos 5 es este 0 que tengo aquí. 00:20:07
Y ya he conseguido debajo de este segundo elemento que hay un 0 debajo. 00:20:18
Con esto el método de Gauss finaliza esta parte de sistemáticamente, algorítmicamente aplico el método de reducción. 00:20:23
He transformado este sistema de ecuaciones en este otro, que es equivalente, tiene las mismas soluciones, pero este es muy fácil de resolver directamente, de hecho me está gritando ya cuáles son las soluciones, lo vamos a ver ahora mismo, mientras que aquí no lo podía ver. 00:20:33
Fijaos que de 4 ecuaciones paso a 3, una de ellas no aportaba información, dependía linealmente de las otras, y aquí ya lo tengo todo reducido. 00:20:47
Y a este sistema, en forma matricial de esta forma, se le llama escalonado. Decía en la teoría, o mostraba en la teoría, que el objetivo del método de Gauss es transformar esta matriz en una matriz escalonada. 00:20:55
Escalonada quiere decir que si voy mirando el primer elemento distinto de cero en cada fila, cada vez me lo encuentro más atrás. Aquí tengo el primer elemento, perdón, el primer elemento de la primera fila distinto de cero está en la primera columna. 00:21:08
Aquí está a su derecha en la segunda columna y aquí está a su derecha en la tercera columna. Si hiciera una línea imaginaria de esta manera, separando estos ceros que yo he construido de los otros elementos, es como si tuviera una escalera. Por eso el sistema así obtenido se llama escalonado. 00:21:22
Y, insisto, el objetivo del método de Gauss, del método algorítmico, es transformar la matriz en una matriz escalonada, de esta manera, insisto, debajo del primer elemento de la primera columna quiero ceros, debajo del segundo elemento de la segunda columna quiero ceros y debajo del tercer elemento de la tercera columna no quiero nada porque no hay más filas, pero si hubiera tenido un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, n grande, esto funcionaría de la misma manera. 00:21:41
Y el algoritmo siempre funciona así. Cuando he hecho ceros pivotando debajo de un elemento, me voy a la siguiente fila, la siguiente columna, y hago lo mismo pivotando con el elemento que me encuentro, hago ceros debajo. Y así sucesivamente. 00:22:09
Ahora que tenemos el sistema en forma matricial, en forma de matriz escalonada, lo que corresponde es resolverlo. 00:22:24
Ya he dicho que al ojo entrenado el sistema así escrito ya nos está gritando las soluciones. 00:22:29
Lo que tenemos que hacer es volver a transcribir el sistema una vez que hemos hecho toda esta cadena de transformaciones. 00:22:35
Tenemos que volver a reescribir el sistema con las letras, tenemos que volver a vestirlo, por así decirlo. 00:22:41
Y lo que tenemos que hacer es exactamente lo que hicimos pero en un sentido contrario. 00:22:47
Si yo antes lo que hice fue quedarme con los coeficientes y borrar las letras, ahora las voy a poner. 00:22:50
sabiendo que este es el coeficiente de x, este es el coeficiente de y, este es el coeficiente de z 00:22:55
y a la derecha de la línea vertical pondré a la derecha del igual el término independiente. 00:23:00
Vamos a ir siempre de abajo a arriba empezando por la ecuación tercera 00:23:06
y en este caso lo que tengo es nada x, nada y, 5z igual a 0. 00:23:10
Así que comienzo transcribiendo esta tercera ecuación en forma algebraica nuevamente 00:23:15
y lo que tengo es 5z igual a 0. 00:23:21
Fijaos, 0x, 0y, no lo escribo, 5z igual a 0. De aquí puedo despejar z. En este caso z es 0 partido por 5, z vale 0. 00:23:24
Ya tengo la tercera incógnita y me lo ha dicho directamente esta tercera ecuación, 5z igual a 0. 00:23:33
Para calcular y me voy a la segunda ecuación y la vuelvo a transcribir. En este caso, obvio la x, sería 5y más 8z igual a menos 5. 00:23:40
Es lo que tengo aquí, 5y más 8z igual a menos 5. 00:23:50
Sé cuál es el valor de z, es lo que he hecho inmediatamente en el paso anterior. 00:23:55
Calcular z, z vale 0. 00:23:59
Sustituyo, 5y más 8 por 0 igual a menos 5, 00:24:01
y lo que tengo es una ecuación solo con y, que puedo despejar muy fácilmente. 00:24:04
En este caso 8 por 0 es 0, el 5 que multiplica la y lo paso dividiendo, 00:24:08
y lo que tengo es que y es igual a menos 1. 00:24:13
Así que he obtenido z, he obtenido y. 00:24:16
He trabajado con la tercera ecuación, de ahí saqué z, he trabajado con la segunda ecuación, de ahí he sacado y. 00:24:21
Bien, pues lo que voy a hacer es ir a por la primera ecuación, dije que iría de abajo a arriba. 00:24:27
Su transcripción será x más y más z igual a menos 2, como veis aquí. 00:24:31
Conozco el valor de z igual a 0 del primer paso, conozco el valor de y igual a menos 1 del segundo, 00:24:38
así que lo que voy a hacer es sustituir esos valores, me va a quedar una ecuación solo con x, y de aquí la puedo despejar. 00:24:44
En este caso es tan sencillo como x menos 1 igual a menos 2, este 1 que está restando lo paso a la derecha sumando y obtengo para x el valor menos 1. 00:24:49
Y con esto, de esta forma, de una forma muy sencilla, algebraicamente he resuelto el sistema. 00:24:58
Y tengo los valores para x, y y z. 00:25:03
Nosotros vamos a dar las soluciones siempre en forma de punto, así que x y z va a ser igual a el punto menos 1 menos 1, 0. 00:25:06
El valor de x, menos 1. El valor de y, menos 1. El valor de z, 0. 00:25:16
Lo que me falta todavía es caracterizar el sistema en función del número de sus soluciones. 00:25:28
Vemos que el sistema tiene solución, así que el sistema es compatible. 00:25:32
Por otro lado, esa solución es única. Aquí veo un único punto, el punto menos 1, menos 1, 0. 00:25:36
Así que el sistema compatible es determinado. Diremos que el sistema es sistema compatible determinado. 00:25:41
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:25:46
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:25:55
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:26:00
Un saludo y hasta pronto. 00:26:06
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
15
Fecha:
10 de noviembre de 2025 - 16:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
26′ 34″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
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