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Problemas de optimización PAU - Contenido educativo

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Subido el 24 de febrero de 2026 por Roberto A.

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Bueno, hoy es 24, ¿no? Vale, estos son problemas de la evau de optimización, ¿vale? Entonces, ya os digo, subiré el Musad para que le echéis un vistazo, para que podáis hacer búsqueda y es importante que le echéis, para que os acostumbréis, yo intentaré, sobre todo ya en la última parte que nos queda, hacer más ejercicios de evau, ¿no? Porque son los que al final nos vamos a enfrentar. 00:00:00
en optimización lo más complicado 00:00:25
es llegar a esa función objetivo 00:00:28
entonces tenemos que tener una comprensión lectora 00:00:29
buena porque muchas veces no sabemos 00:00:32
los que nos preguntan o no sabemos llegar 00:00:34
a esa función porque luego el procedimiento 00:00:36
es siempre igual, yo tengo una función 00:00:38
objetivo que depende de x y de y 00:00:40
la tenemos que dejar tan solo de x o tan solo 00:00:42
de y, yo tengo que hacer 00:00:44
y eso es lo más complicado, luego tengo 00:00:46
que hacer la primera 00:00:48
derivada, igualarla a cero 00:00:49
y luego ya lo que os comenté 00:00:51
también ayer. Si mi función es 00:00:54
polinómica, si mi función es 00:00:56
polinómica, yo sí me aventuro 00:00:57
a hacer la segunda derivada, que es muy fácil. 00:01:00
¿Vale? Hago la segunda derivada, 00:01:02
los valores que en la primera derivada 00:01:04
me han hecho cero, los sustituyo en la segunda 00:01:06
derivada, y si es menor que cero 00:01:08
es un máximo, y si es mayor que cero es un mínimo. 00:01:10
¿Vale? Y si no, 00:01:12
lo que hago es estudiar 00:01:14
el crecimiento de crecimiento 00:01:16
mirando el signo de la primera derivada. 00:01:17
¿Estás bien, Diego? 00:01:20
Haciendo 00:01:23
el signo de la primera derivada 00:01:23
¿vale? entonces tener claro 00:01:26
esto, cuando la primera 00:01:27
derivada es positiva 00:01:30
la función es creciente 00:01:32
y cuando la primera derivada 00:01:33
es negativa la función es decreciente 00:01:35
¿vale? entonces si yo tengo 00:01:38
un chocho de 00:01:40
de función 00:01:41
y la segunda derivada 00:01:43
voy a errar porque es 00:01:45
complicada y demás, no me complico 00:01:47
¿vale? miro en la primera derivada 00:01:49
que ya la tengo, el signo 00:01:51
¿De acuerdo? Entonces, cuando yo paso de creciente a decreciente es un máximo y cuando paso de decreciente a creciente es un mínimo. ¿De acuerdo? ¿Vale? Entonces, esta de aquí. Esta de aquí, que no es complicado este ejercicio, por eso también lo he puesto en el primero. ¿Vale? 00:01:53
Si vemos aquí, dice que una firma de alta perfumería, bueno, pues pretende sacar al mercado un frasco de perfume que tenga 12 mililitros de esencia pura, más una cantidad variable, que es X, ¿de acuerdo?, de alcohol. 00:02:08
Entonces, el precio de la esencia pura es de 48 mililitros. Dice, al añadir el alcohol, pues a la esencia el precio de la mezcla resultante disminuye. Es decir, mientras más puro es más caro y mientras le añadimos alcohol, pues va bajando el precio, ¿vale? 00:02:23
sabiendo que por cada mililitro de alcohol añadido 00:02:45
al precio del mililitro de mezcla se reduce 3 euros. 00:02:48
Entonces dice, determinar el precio del frasco de perfume 00:02:52
en el caso de que X es igual a cero, 00:02:55
es decir, el frasco solo contiene 12 mililitros de esencia. 00:02:58
Entonces ahí es fácil, ¿no? 00:03:02
Es decir, yo lo que tengo que multiplicar es el precio del mililitro 00:03:04
por la cantidad de mililitros que tengo, ¿sí o no? 00:03:09
¿Vale? 00:03:12
Entonces, ¿qué ocurre en el primero? Que el precio de la esencia pura es 12 mililitros que tengo y 48 euros el mililitro, pues me sale 576 euros. 00:03:13
Hasta ahí, en principio ahí la X sería igual a cero. Tú haces la multiplicación como tal y ya lo tengo. 00:03:29
Ahora, ahora sí que entra en juego la X y desde luego, Carol, si tengo la ecuación de primera hora, cuando yo tenga X igual a cero me tiene que salir igual, si no malagueña, ¿vale? Entonces, fijaros, ¿por qué he hecho el primero sin X? Para que veáis algo que ya conocemos, es decir, tú compras un kilo de naranja que está a 3 euros el kilo, pues compras 10 kilos, te cuesta 30 euros, ¿no? 00:03:39
Lo que hace es multiplicar es la cantidad por el precio por kilo, ¿de acuerdo? 00:04:03
Entonces, esto que hemos hecho fácil de 12 por 48, en el B me dice, expresa en función de X, que yo creo que este apartado es el más complicado, el B, 00:04:08
dice, expresa en función de X el precio del frasco que contiene 12 más X mililitros de mezcla, ¿de acuerdo? 00:04:18
Entonces, fijaros que la X siempre tiene que ser positiva, eso es importante también, ¿verdad? 00:04:26
La X siempre tiene que ser positiva porque la X, ¿qué es lo que me dice? La X es mayor o igual que cero. La X lo que me dice es la cantidad de alcohol, ¿vale? Que yo añado, ¿de acuerdo? Que la X es cero, es la esencia pura. Que la X va cambiando, pues va aumentando, pues tiene más alcohol que la disolución ya no es tan pura, ¿de acuerdo? 00:04:32
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que la cantidad, que eran los 12 mililitros, ahora va a ser 12 más X. ¿Estamos todos de acuerdo? La cantidad va a ser 12 más X, ¿sí o no? Luego, el precio, ¿qué me ha dicho el precio? Lo más caro va a ser cuando sea puro, ¿verdad? Si yo le añado un mililitro de Arco, pues me baja el precio 3 euros, ¿sí o no? 00:04:55
¿Lo veis? Me baja el precio 3 euros. Si yo le añado 2, me baja 6. Si yo le añado 3, me baja 9 y así sucesivamente. 00:05:25
¿Lo veis o no? 00:05:35
Lo que me dice, me dice, el precio de la esencia pura es 48 euros el mililitro. 00:05:38
Dice, al añadir alcohol a la esencia, el precio de la mezcla resultante disminuye, sabiendo que por cada mililitro de alcohol añadido, el precio del mililitro de mezcla se reduce 3 euros. 00:05:43
es decir, mi precio sería 48 00:05:55
cuando es puro, que yo le añado un mililitro 00:05:59
pues entonces ya el precio no sería 48 00:06:02
sería 45 00:06:05
que le añado 2, pues sería 42 00:06:07
y así sucesivamente 00:06:10
esto también que implica que llega un momento 00:06:12
en el cual yo no le podré añadir más alcohol 00:06:15
¿no? porque si no al final saldría 00:06:21
precios negativos 00:06:23
¿lo veis chavales? 00:06:25
¿si o no? entonces lo más difícil 00:06:27
de este problema es llegar a este x 00:06:29
pero es lo común en todos 00:06:31
los problemas de optimización 00:06:33
¿vale? entonces esto es cantidad 00:06:35
cantidad es 00:06:37
desde 12 que es la esencia 00:06:38
pura y yo a la esencia pura le voy añadiendo 00:06:41
al cost, 12 más x 00:06:43
y luego el precio, que resulta que 00:06:44
el precio en vez de ser más caro, como ya 00:06:47
es una mezcla, en vez de ser 00:06:49
puro, pues el precio va reduciéndose desde los 48 de 3 en 3 euros por cada mililitro 00:06:51
que yo añada de menos. Esto de aquí, chavales, es lo más complicado. Por lo que te digo 00:06:58
es la cantidad por el precio por unidad, ¿vale? Por eso se multiplica, ¿de acuerdo? Entonces 00:07:05
si yo desarrollo todo esto de aquí, pues al final obtengo una ecuación de segundo 00:07:12
grado, ¿vale? Entonces, fijaros que es una ecuación de segundo grado y es polinómica. 00:07:16
Entonces yo aquí, yo aquí el procedimiento ya a partir de aquí es lo más fácil y es 00:07:22
todo igual. Hago la primera derivada y la igualo a cero. Y voy a obtener dos valores, 00:07:28
¿verdad? Porque es una ecuación de segundo grado. Y luego, chavales, también súper 00:07:33
importante. Como es polinómica, yo sí me aventuro a hacer la segunda derivada. Sí 00:07:37
y que me aventuro a hacer la segunda derivada. 00:07:43
¿Por qué? 00:07:45
Porque la derivada de una función polinómica 00:07:46
es la más fácil que hay. 00:07:48
Y entonces yo, ahora, teniendo la segunda derivada, 00:07:50
sustituyo los valores que manuran la primera 00:07:54
y veo el signo, ¿vale? 00:07:56
Que la segunda derivada en ese punto 00:07:59
es menor que cero, un máximo. 00:08:01
Que la segunda derivada en ese punto 00:08:03
es mayor que cero, un mínimo. 00:08:05
¿Vale? 00:08:09
¿Sí? 00:08:10
Entonces, fijaros, yo igualo, 00:08:11
Y aquí ya vale también una cosa súper importante que son los fallos que yo más me suelo encontrar en mis alumnos, ¿vale? 00:08:13
Fijaros que mi función objetivo pdx es lo más complicado de este problema. 00:08:18
¿Qué es lo que ocurre aquí? 00:08:24
Que fijaros que si yo no llego a hacer bien el apartado b, el c y el d me como un mojón, ¿lo veis? 00:08:25
Sí que es verdad que ahora están intentando en la PAU evitar este tipo de problemas, ¿vale? 00:08:33
Lo están intentando evitar, precisamente por eso, porque tú a lo mejor vas a saber derivar o vas a saber tal, pero que no haya esa relación tan fuerte de que si tú no sabes hacer un apartado, te impida hacer los demás, ¿vale? 00:08:38
Entonces, aquí no sé cómo en optimización lo van a suplir, porque fijaros que lo más complicado es llegar aquí, ¿eh? Es llegar a la función objetivo. 00:08:54
Función adjetiva, una ecuación de segundo grado 00:09:02
Hago la primera 00:09:04
Derivada, ¿vale? 00:09:06
Uy, aquí me he equivocado 00:09:10
Ah, vale, perdona 00:09:11
No, no, no, vale 00:09:16
En el C es lo que me dice 00:09:17
Bueno, el B está terminado, ¿vale? 00:09:19
Esta es la función adjetiva 00:09:22
Del precio, ¿vale? 00:09:24
Y en el C, perdona, dice 00:09:25
Deducir con qué valor de X 00:09:27
El precio de la mezcla se hace 0 00:09:29
¿Vale? Entonces, claro, yo aquí lo que hago es igualo el precio a cero y obtengo los valores de x, ¿de acuerdo? Que me hacen cero el precio. Daros cuenta que el precio va disminuyendo conforme más hardcore tenga. ¿Vale? ¿Sí? 00:09:31
Entonces, chavales, cuando yo hago la ecuación de segundo grado me da dos valores, pero fijaros que la x tiene que ser positiva, ¿vale? No nos vale la x negativa. Entonces, aquí el resultado sería x igual a 16, ¿vale? 00:09:48
Porque date cuenta que yo aquí voy añadiendo, no existen las X negativas porque yo parto de una esencia que es pura y las X son la cantidad de alcohol que yo añado, ¿vale? No puedo añadir cantidades de alcohol negativas, ¿vale? 00:10:05
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que el X es 16, es decir, como mucho voy a poder llenar 16 mililitros de alcohol. A ver, evidentemente no me interesa porque lo tendría que vender a precio cero, ¿vale? 00:10:28
Entonces, ¿qué ocurre? 00:10:45
El primer, el primero, segundo y tercer apartado, 00:10:48
no... 00:10:52
Lógica, sí, si al final esto, evidentemente, 00:10:54
pero la lógica es al final saber cuánto tiene 00:10:59
y el precio de cada cosa. 00:11:02
Y ahora ya aquí sí, dice, 00:11:04
si tener en cuenta otro, 00:11:05
determinar el valor de X 00:11:07
para el que se obtiene el frasco de perfume mezcla, 00:11:08
es decir, tiene que tener alcohol 00:11:11
y tiene que tener alcohol, de precio máximo. 00:11:13
Indicar, en este caso, la capacidad del frasco y el precio resultante, ¿vale? 00:11:17
Entonces, ahora sí, yo tengo mi función objetivo, la derivo, 00:11:21
que fijaros que me queda menos 6x más 12, la igualo a cero, 00:11:26
y entonces resulta que x es igual a 2, ¿de acuerdo? x es igual a 2. 00:11:31
Entonces, fijaros que al ser polinómica, yo me atrevo, 00:11:36
En vez de ver el crecimiento y decrecimiento, me hago la segunda derivada. 00:11:41
Fijaros que la segunda derivada siempre es menos 6. 00:11:45
Por lo tanto, p de 2, ¿cuánto vale? 00:11:48
Menos 6, es menor que 0, es un máximo. 00:11:50
¿Lo veis? 00:11:53
Y ahora, ¿qué os ocurre? 00:11:54
¿Cuál sería el precio para 2? 00:11:55
Pues x más 2 por 48 menos 3 por 2, que es 588 euros. 00:11:59
Es decir, la esencia pura son 576 euros, 00:12:05
Pero cuando yo le añado 2 mililitros de alcohol, alcanzo el precio máximo, que es 588 euros. 00:12:10
Luego ya el precio va a ir bajando, ¿de acuerdo? 00:12:19
Hasta llegar un momento en el que el precio sea cero cuando yo lleno con 16 mililitros de alcohol. 00:12:23
¿Vale? ¿Entendéis este ejercicio, chavales? 00:12:31
¿Sí? 00:12:34
Para el apartamento, ¿no podrías igualar cada uno de los paréntesis a cero y agarrarlo? 00:12:34
Hostia, por la cara. 00:12:45
Es verdad. 00:12:47
Vale. 00:12:49
Una cosa que me he encontrado en los exámenes, ¿vale? 00:12:49
Súper importante. 00:12:51
Hostia, es verdad, por la cara. 00:12:53
Es verdad. 00:12:55
Sí, sí, sí. 00:12:55
Genial. 00:12:56
Vale, una cosita súper importante. 00:12:57
Es que me lo encuentro a todos los niveles. 00:12:59
Cuando yo tengo A por B igual a cero, ¿vale? 00:13:02
Cuando yo tengo el producto de dos factores. 00:13:06
Evidentemente, aquí esto puede ser una suma. 00:13:10
Una suma, por ejemplo, como aquí lo que me ha dicho Rodrigo, ¿no? 00:13:12
Yo tengo aquí la multiplicación, lo que pasa es que yo lo he desarrollado. Lo he desarrollado porque luego la derivada era más sencilla, pero evidentemente, es verdad. Tengo aquí dos factores que aunque sean sumas, su producto yo lo igualo a cero. Entonces, aquí no hay más remedio que A sea cero o que B sea cero. Pero, chavales, eso solo pasa con el cero, ¿de acuerdo? 00:13:15
Es que hay mucha gente que ve, por ejemplo, AB igual a 1 y me dice que A es igual a 1 y B es igual a 1 y eso es mentira, ¿vale? Eso solamente pasa con el 0, ¿de acuerdo? ¿Vale? ¿Vale, chavales? Y es un error que es muy general, ¿de acuerdo? Entonces, eso solamente ocurre con el 0 porque fijaros aquí con el 1. Esto puede ser, por ejemplo, un medio y 2, puede ser un tercio y 3, puede ser un quinto y 5. Hay infinitas soluciones. 00:13:36
Sin embargo, cuando yo tengo dos, tres, cuatro números multiplicándose y dan cero, la única solución es que alguno de ellos sea cero. Pueden ser todos, pero alguno de ellos sea cero. Y entonces, Rodrigo, efectivamente, 12 más x igual a 0, x igual a menos 12 y 48 menos 3x igual a 0, x igual a 16. Perfecto. 00:14:06
Ah, y eso se me ha ido la olla, ¿no? 00:14:25
Bueno, la capacidad es que sería 12 más X. 00:14:33
Entonces, la capacidad sería, es verdad, la capacidad sería 14 mililitros. 00:14:36
Se me ha ido la olla. 00:14:43
Gracias, guía. 00:14:44
¿Vale? 00:14:46
La capacidad del frasco sería 12 más 2. 00:14:46
¿Vale? 00:14:51
Entonces, ¿qué es lo que vemos aquí? 00:14:52
estos chavales suelen pasar en los productos 00:14:53
aquí porque es de alta 00:14:55
pero pasa también 00:14:57
por ejemplo con el alcohol 00:14:59
yo tengo 00:15:01
un amigo mío que tiene su primo 00:15:03
hace ginebra 00:15:05
y entonces aparte de 00:15:07
optimizar el coste 00:15:09
el colega 00:15:11
además fíjate 00:15:15
gana billetes que no vea porque él inventa la receta 00:15:16
se pone de moda sobre todo los gallegos 00:15:19
son mucho de comprar 00:15:21
los productos suyos, se forra, 00:15:23
las vende y luego se pone a inventar otra. 00:15:25
El tío, la verdad, que está 00:15:27
montado en Erdogan. Ya te digo, yo a él no 00:15:28
lo conozco de siempre de oída, pero es 00:15:31
primo de un muy amigo mío. 00:15:33
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:15:36
Precisamente estas cosas 00:15:37
ocurren. ¿Hasta qué cantidad 00:15:39
me compensa de ponerle 00:15:41
esto de aquí para que yo al final 00:15:43
lo que me interesa cuando yo monto una empresa 00:15:45
es maximizar beneficios, ¿no? 00:15:47
Entonces, aquí 00:15:49
que lo que te merece la pena 00:15:51
vender una esencia pura 00:15:53
que gano 00:15:55
a ver, hay que ver los costes, ¿no? 00:15:57
Pero que por cada frasco sería 00:15:59
576 euros o 00:16:01
no hacerlo tan puro, añadirle 00:16:03
2 mililitros de alcohol 00:16:05
con lo cual, claro, mi frasco en vez de ser de 12 00:16:06
es de 14 y al final 00:16:09
pues gano 588 euros. 00:16:11
Fijaros que esto solo 00:16:14
beneficia, hay que ver los costes, ¿vale? 00:16:15
Y además seguramente el alcohol sea mucho 00:16:17
más barato que la esencia pura. 00:16:19
Entonces, aquí es un problema típico de maximización de beneficio que la verdad que se presenta mucho en las empresas. Las empresas al final lo que intentan es maximizar beneficio y minimizar coste. ¿Vale? Entonces, aquí, chavales, en estos problemas lo importante aquí es llegar a la función objetivo. 00:16:21
Otro problema, otro problema de optimización 00:16:42
fijaros aquí, muchas veces 00:16:45
vemos estas fórmulas y nos 00:16:46
acojonamos, ¿verdad? 00:16:48
Dime, hija 00:16:51
¿La has hecho tú ya? 00:16:53
Vale, claro, tú aquí 00:16:58
lo lees, la contaminación de dióxido 00:17:00
de nitrógeno en el 0,2 00:17:02
en cierta estación de medición 00:17:04
es de una ciudad 00:17:06
durante el pasado mes de abril 00:17:08
se puede modelar mediante estas funciones 00:17:10
y estos chavales se modelan así 00:17:12
se modelan así, yo cuando 00:17:14
terminé la carrera hice un 00:17:16
proyecto, la verdad que estaba chulo porque no había escuchado 00:17:18
nunca era de algoritmos genéticos 00:17:20
y entonces el algoritmo genético 00:17:21
donde tú lo haces 00:17:24
la programación de eso y se basa precisamente 00:17:26
en los seres 00:17:28
vivos, los seres vivos pues 00:17:30
nacemos, crecemos, reproducimos, morimos 00:17:32
pero también mutamos 00:17:34
y entonces yo lo hice precisamente 00:17:35
en la predicción bursátil del índice 00:17:37
general de la bolsa de Madrid que ya 00:17:40
ni existe ese índice 00:17:42
y entonces yo tenía al final 00:17:43
con esos algoritmos genéticos obtenía 00:17:46
funciones de este tipo 00:17:48
estas funciones que son 00:17:49
polinomias, lo bueno de 00:17:51
esta función que cuando veamos la 00:17:54
maximización o minimización 00:17:56
yo también me iría a hacer la segunda 00:17:57
derivada, ¿de acuerdo? porque es 00:17:59
fácil, sin embargo cuando ya tengo 00:18:02
funciones racionales de división 00:18:03
de edad, a mí no me merece la pena 00:18:06
hacer la segunda derivada, oye 00:18:08
que la hace y está bien, 00:18:09
perfecto, pues te tiene que dar el mismo resultado. 00:18:11
Pero yo ahí lo que me iría a día es 00:18:13
el signo de tal, ¿no? 00:18:15
Entonces, chavales, aquí, de nuevo, a ver, 00:18:17
yo esta pregunta, 00:18:19
pues igual, me refiero, 00:18:22
se pueden hacer preguntas 00:18:24
de otro tipo, ¿no? Pero aquí yo 00:18:26
fijaros en una cosa. Esta es mi fórmula, ¿de acuerdo? 00:18:27
Y dice que 00:18:30
representa el tiempo, la T representa 00:18:31
que está entre 0 y 30. Muy importante, 00:18:34
chavales, en los enunciados 00:18:36
tener en cuenta todos los datos 00:18:37
todos los datos, aquí nos dice 00:18:40
que T es 0.30, muchas veces 00:18:42
lo obviamos, ¿vale? 00:18:44
entonces tenemos que siempre volver un poco 00:18:45
al enunciado y ver los datos que nos dice 00:18:48
representa el tiempo expresado 00:18:50
en días 00:18:52
transcurrido desde las 0 00:18:53
horas del día 1 de abril 00:18:56
¿eso qué significa? que a las 0 horas 00:18:57
del 2 de abril, ¿cuánto vale T? 00:19:00
¿eh? 00:19:03
Del 2, el 2 00:19:03
Yo empiezo 00:19:07
Yo empiezo a las 0 horas del 1 de abril 00:19:07
Entonces, a las 0 horas del 2 de abril 00:19:13
¿Cuánto vale T? 00:19:15
¿Vale, Claudia? Vale 1 00:19:18
El 3 de abril, ¿cuánto vale? 00:19:19
2, 3, tal 00:19:22
Pero es que fijaros la mala idea 00:19:23
Me dicen, hasta las 12 horas del día 00:19:25
Del 10 de abril 00:19:28
Entonces, ¿cuánto vale T? 00:19:29
Ese es el error más cómodo, ¿vale? 00:19:32
Porque fíjate, el día 2 es 1, en el día 3 es 2. 00:19:36
Efectivamente, es 9 y medio, ¿vale? 00:19:43
9 y medio. 00:19:46
Aquí he intentado hacer un mojón de esquema, ¿vale? 00:19:47
Donde yo tengo abril todos los días, ¿vale? 00:19:51
Tengo aquí todos los días de abril y entonces, a ver, ¿cuánto vale a las 0 horas del día 2? 00:19:53
¿Del día 3? 00:19:59
¿Del día 4? 00:20:01
Así. 00:20:01
cada vez uno, es decir 00:20:02
a las 0 horas del día 10 00:20:04
la T vale 9 00:20:06
pero como es a las 12 00:20:07
horas, a las 12 00:20:10
horas, no es de las 0 horas, 12 00:20:12
horas del día 10 00:20:14
pues la T vale 9 y medio, aquí la mayoría 00:20:15
de la gente pone 10 00:20:18
¿Ganas algo con eso? 00:20:19
Pues chicos, yo que sé, pero es que 00:20:24
los exámenes de lavado muchas veces 00:20:25
juegan a esto, ¿vale? 00:20:27
Entonces lo tradicional aquí, como tú 00:20:30
dice, es poner la T 00:20:32
10 y medio, ¿vale? 00:20:34
Entonces, ¿veis por qué la T 00:20:36
es 9 y medio o no? 00:20:38
Porque tú tienes, desde la 00:20:40
0 hora del 1 de abril, ¿vale? 00:20:42
La T está en días, ¿eh? 00:20:44
La T está en días. A la 0 00:20:45
hora del 2 de abril, ¿cuántos días han 00:20:48
pasado? 00:20:50
Empezamos el 1 de abril a la 0 00:20:52
hora, ¿vale? A las 12 de la noche. 00:20:54
Nos vamos al 2 de abril 00:20:56
a las 0 de la noche. ¿Cuántas 00:20:58
¿Cuántas horas han pasado? ¿Cuántas horas? 24. ¿Y en días? 1. ¿A las 0 horas del día 3? 2 días. ¿A las 0 horas del día 4? 3. ¿A las 0 horas del 5? Así sucesivamente. 00:21:00
Entonces, a las 0 horas del día 10 han pasado 9 días, ¿verdad? 00:21:15
¿Qué ocurre? 00:21:20
Que aquí, para joder a Marrana, nos pone las 12 horas, 00:21:21
en vez de las 0, las 12 horas del día 10, 00:21:25
con lo cual han pasado 9 días completos y medio día, ¿vale? 00:21:29
Si te ponen las 24 horas del día 10. 00:21:35
Pues entonces sería, del día 10 a las 0 horas serían 9. 00:21:39
¿vale? entonces la T 00:21:44
vale 9,5, esto de aquí que parece 00:21:47
pero gruye y es un mojón, yo creo que 00:21:49
ayuda, ¿vale? lo ponéis 00:21:51
y nada, lo único que hago es sustituir 00:21:53
¿vale? es sustituir 00:21:55
la T, perdona, por 9,5 00:21:56
¿vale? veis que yo siempre 00:21:59
que sustituyo lo pongo entre paréntesis 00:22:01
lo sustituyo y me da 98,21 00:22:02
y ahora 00:22:06
dice ¿qué nivel de 00:22:07
dióxido, esto es dióxido de nitrógeno? 00:22:09
dice 00:22:12
Había las 12 horas 00:22:13
Lo tenemos, dice, ¿en qué momento se alcanzó 00:22:15
El máximo nivel de 00:22:17
N02? ¿Cuál fue su nivel 00:22:19
Máximo? Aquí lo bueno, chavales 00:22:21
Es que en el apartado B 00:22:23
No me hace falta 00:22:24
El apartado A, ¿lo veis? 00:22:26
No me hace falta, me refiero que 00:22:30
Si yo el primero pongo un 10,5 00:22:31
Pues lo único que no tengo 00:22:33
Esos 0,5 puntos, ¿vale? 00:22:35
Estos ejercicios son más completos, ¿vale? 00:22:37
Lo que pasa es que como entraban integrales 00:22:39
Yo tan solo me he resumido a esta parte de optimización, ¿vale? 00:22:40
Porque este ejercicio son dos puntos y medio y aquí nada más que tenemos un punto y medio. 00:22:44
El otro punto creo que era una íntegra, ¿vale? 00:22:49
Entonces, chavales, pues lo bueno, ¿se alcanzó el máximo nivel? 00:22:53
Pues nada, yo lo que tengo que hacer es la primera derivada. 00:22:57
Pues los máximos y los mínimos, dime. 00:23:00
Vale, hago la primera derivada y daros cuenta que aquí la primera derivada es fácil 00:23:05
porque son una función polinómica, ¿vale? 00:23:10
Entonces tengo esta primera derivada, 00:23:14
la primera derivada da igual a cero, fijaros cómo lo escribo. 00:23:16
Yo primero escribo la primera derivada, 00:23:19
luego hago que la primera derivada sea cero 00:23:21
y entonces ya lo igualo todo a cero, ¿vale? 00:23:23
Aquí lo que he hecho es el 10, 00:23:26
yo lo he multiplicado por 10 todo, 00:23:29
porque 10 por cero es cero, 00:23:31
y entonces me sale ya una ecuación de segundo grado, ¿de acuerdo? 00:23:33
La ecuación de segundo grado, fijaros, 00:23:37
hago la fórmula y una cosa 00:23:40
que yo no sé si os lo he dicho o no, yo espero 00:23:43
que sí, no sé si habéis 00:23:45
utilizado alguna vez, seguramente no conocéis 00:23:47
el nombre, las fórmulas de Cardano-Vieta 00:23:49
de Cardano-Vieta 00:23:51
y es que cuando yo tengo, fijaros las dos soluciones 00:23:52
siempre que sea amónico, ¿sabéis lo que 00:23:55
es un polinomio amónico? 00:23:57
¿no? que el coeficiente 00:23:59
del mayor grado es un 1 00:24:01
¿vale? es un 1 00:24:03
entonces fijaros una cosa, chavales 00:24:04
¿cuál es el término independiente de esta ecuación 00:24:07
de segundo grado. ¿Cuál es el término independiente? 00:24:09
60. Si yo multiplico 00:24:11
20 por 3, ¿cuánto me sale? 00:24:13
60. ¿Vale? 00:24:15
Y fijaros, este término de aquí 00:24:16
es menos 23. ¿Vale? 00:24:18
Si yo sumo 20 más 3 00:24:21
y le cambio el signo, 00:24:23
¿cuánto me sale? 00:24:25
Menos 23. Entonces, es una 00:24:26
herramienta más para que sepáis, hombre, 00:24:29
con la calculadora hoy en día, no creo yo 00:24:31
que nadie se equivoque, pero que sepáis 00:24:33
que eso ocurre, ¿vale? Eso ocurre siempre. 00:24:35
Eso es 00:24:38
las fórmulas de Cardano-Vieta 00:24:39
que lo que hace para tú comprobar que 00:24:41
estas soluciones son correctas 00:24:43
es el término independiente 00:24:45
siempre es la multiplicación de las dos 00:24:47
¿vale? y el término 00:24:49
de grado uno es la suma 00:24:51
de las dos pero le cambia el signo 00:24:53
¿vale? 00:24:55
en la ecuación de ese, bueno, pasa con 00:24:57
todas, pasa con todas 00:24:59
la verdad que pasa con las de tercer grado y demás 00:25:00
lo que pasa con las de tercer grado 00:25:03
claro, el término independiente 00:25:05
sí que coincide con la multiplicación de las 3, de las 4 y de las 5 y luego las otras 00:25:07
ya es más complicado, ¿vale? Pero en la de segundo grado, fijaros que es fácil, ¿eh? 00:25:12
20 por 3. Si aquí, chavales, hubiese habido, por ejemplo, un 2, ¿vale? Si aquí hubiese 00:25:17
habido un 2, es decir, no es mónico, al resultado que hacemos de multiplicar o al resultado 00:25:22
que hacemos de sumar lo tenemos que multiplicar por 2 o por 3 o por lo que sea, ¿vale? 00:25:28
dime, dime 00:25:33
sí, porque me sale mayor que 0 00:25:37
¿vale? yo aquí 00:25:43
cuando me da 23 yo no sé 00:25:45
a priori cuando lo hallo si es máximo o mínimo 00:25:47
lo único chavales 00:25:49
sí que os digo, yo aquí podría hacer 00:25:51
mi rayita ¿vale? podría hacer mi rayita 00:25:53
pongo el menos infinito 00:25:55
bueno, el menos infinito aquí no lo pondría 00:25:57
pondría el 0, daros cuenta que esto va de 0 00:25:59
a 30, ¿vale? Podría poner 00:26:01
el 0, luego un intervalo, 00:26:03
me refiero a un intervalo sería el 0,3, 00:26:05
otro intervalo sería el 3,20 00:26:07
y otro intervalo sería el 20,30. 00:26:09
¿Lo veis? ¿Sí o no? Pero yo 00:26:11
eso creo que perdemos más 00:26:13
el tiempo. Date cuenta que si yo 00:26:15
hago la segunda derivada, chavales, al ser 00:26:17
polinómica, es súper fácil. 00:26:19
¿Vale? Esto sería 23 00:26:21
décimos y esto sería menos 00:26:23
12 décimos. Y dejo el décimo porque es 00:26:25
más fácil operar. Si ponéis aquí 00:26:27
de quinto también estaría bien, pero 00:26:29
suelo dejar el décimo porque yo por ejemplo 00:26:31
este ejercicio lo hago siempre con calculadora 00:26:33
y es más fácil si tengo 00:26:35
el mismo denominador 00:26:37
entonces hago, sustituyo 00:26:38
la segunda derivada al 20 00:26:41
veis que me sale negativo 00:26:43
pues nada, entonces es un máximo 00:26:45
¿de acuerdo? hago la segunda derivada 00:26:47
el 3, lo sustituyo 00:26:49
por 3, veo que es positivo, entonces es un mínimo 00:26:51
¿de acuerdo? 00:26:53
entonces yo ya 00:26:55
tengo, dice ¿en qué momento se alcanzó 00:26:56
el máximo nivel de dióxido de 00:26:58
nitrógeno? Pues se alcanzó 00:27:01
en T igual a 20. 00:27:03
¿Vale? A los 20 días. 00:27:05
A los 20 días. 00:27:07
¿Y cuánto es? Pues yo creo que me he comido 00:27:09
la solución. Luego 00:27:11
tengo que sustituir. Es que no sé si lo he hecho, ¿no? 00:27:13
A lo mejor me lo he comido. 00:27:15
¿Está abajo? No, ahí está, recuerdo. 00:27:16
Ah, C20. ¿Vale? 00:27:19
Lo que he hecho es sustituir 00:27:21
en mi función de aquí 00:27:23
la T por 20. 00:27:25
¿Vale, chavales? 00:27:27
Sí. 00:27:29
Este ejercicio, este, por ejemplo, es más fácil porque me dan la función objetivo, ¿lo veis? 00:27:29
¿Vale? Porque me lo dan. 00:27:38
El problema de estos ejercicios es que yo muchas veces halle esa función objetivo. 00:27:39
¿Lo entendéis más o menos, chavales? 00:27:45
Porque el procedimiento es siempre igual, ¿eh? 00:27:47
El procedimiento es, si me piden maximizar o minimizar en mi función objetivo, la derivo. 00:27:49
La derivo y la igualo a cero y obtengo una serie de valores, ¿vale? 00:27:55
Y yo esa serie de valores tengo que saber si es un máximo o un mínimo. 00:27:59
¿Qué es polinómica? 00:28:03
Yo me aventuraría a hacer la segunda derivada que es fácil 00:28:04
y sustituyo esos valores en la segunda derivada. 00:28:06
¿Vale? 00:28:09
¿Qué es menor que cero? 00:28:09
Máximo. 00:28:10
¿Qué es mayor que cero? 00:28:10
Mínimo. 00:28:11
¿Qué no es función polinómica? 00:28:12
Yo os recomiendo que hagáis lo que hicimos de crecimiento y decrecimiento de la función. 00:28:14
Entonces, cuando crece y luego decrece es un máximo 00:28:19
y cuando decrece y luego crece es un mínimo. 00:28:21
¿Hasta ahí de acuerdo todo el mundo? 00:28:25
¿Sí? 00:28:26
¿Puedo pasar al siguiente? 00:28:27
en las polinómicas es complicado 00:28:29
vamos, puedes tener varios 00:28:37
porque te puede hacer varias cosillas 00:28:39
pero 00:28:41
por ejemplo en la de grado 3 00:28:42
en las funciones de grado 3 00:28:45
siempre 00:28:47
si hay tres raíces reales 00:28:51
porque eso también depende mucho, no sé si os acordáis 00:28:53
el año pasado de los complejos 00:28:55
Si hay tres raíces reales, siempre va a haber un máximo y un mínimo relativo, ¿vale? 00:28:56
Porque el máximo va a ser el infinito y el menos infinito. 00:29:02
¿Puedo pasar? 00:29:07
Sí. 00:29:08
Mira, chavales, este de aquí, me dan la figura, ¿eh? 00:29:10
Otras veces no me dan la figura. 00:29:12
Entonces, fijaros, fijaros. 00:29:14
Como siempre, los datos súper importantes, ¿vale? 00:29:18
Disponemos de 10 metros de barra metálica, ¿vale? 00:29:21
10 metros de barra metálica 00:29:25
queremos construir una estructura 00:29:27
formada y aquí ya os digo que me dan el dibujito 00:29:29
¿vale? 00:29:32
pero hay otro que es prácticamente 00:29:33
el mano a este y el dibujito 00:29:36
natilla 00:29:38
¿vale? entonces 00:29:38
con 10 metros de barra 00:29:40
metálica yo tengo que construir 00:29:44
una estructura formada por un rectángulo 00:29:45
que está rematado arriba 00:29:47
por un triángulo equilátero 00:29:49
y esto es súper importante que me digan equilátero 00:29:51
¿vale? 00:29:54
¿Qué significa que un triángulo sea equilátero? 00:29:54
¿Eh? 00:29:59
X, X. 00:30:01
¿Tú has hecho una quiniela alguna vez? 00:30:02
¿Sí? 00:30:04
¿Y qué pone cuando hay un empate, guillo? 00:30:05
La X, equitativo. 00:30:07
Equidistante. 00:30:12
La X del furbo. 00:30:13
La X significa igual. 00:30:14
Entonces, equilátero significa los tres lados iguales. 00:30:16
¿Vale? 00:30:20
Los tres lados iguales. 00:30:21
Y entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:30:22
Los ángulos, ¿cómo son? 00:30:24
¿Y cuánto miden? 00:30:26
Muy bien. 00:30:28
¿Vale? 00:30:29
Es otra cosa que tenemos aquí puesto. 00:30:29
Fíjate que te da, pero que sepáis que muchas veces eso la gente no lo recuerda o no lo sabe. 00:30:32
¿Vale? 00:30:36
Entonces, la base del triángulo coincide con el lado superior del rectángulo como se usaba en las figuras. 00:30:37
Para construir la estructura se cortan seis trozos. 00:30:42
¿Vale? 00:30:45
Uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis. 00:30:45
¿De acuerdo? 00:30:48
¿Sí? 00:30:49
de la barra original de longitudes adecuadas 00:30:49
y se sueltan para obtener la forma pedida, ¿vale? 00:30:55
Entonces, súper importante aquí. 00:30:58
Yo sé que estos tres, los de arriba, miden X, 00:31:01
porque aquí me dicen yo directamente que es X. 00:31:05
¿Por qué? Porque es un triángulo equilátero, ¿de acuerdo? 00:31:07
Entonces, esto es X, esto es X, 00:31:11
pero fijarse, este de abajo también es X, 00:31:13
porque tengo un rectángulo, ¿lo veis? 00:31:16
¿Sí o no? El de arriba me dice que son equiláteros. Y como esto es un rectángulo, las bases tienen que ser iguales. ¿Lo veis? Entonces tengo 4X. ¿Y qué ocurre? Que esto de aquí y esto de aquí yo no sé lo que vale. Y entonces lo defino como Y. ¿De acuerdo? Como Y. 00:31:19
Pero, ¿qué ocurre? ¿Cuánto es la cantidad de material que tienen que formar las seis barras? ¿De cuánto material disponemos? 10 metros. Entonces, 4x, 1, 2, 3, 4x, más 2y, tiene que ser 10. ¿Lo veis, chavales? 00:31:38
y entonces ya sé cuánto vale la Y. 00:31:54
La Y es 10 menos 4X partido de 2, 00:31:59
que esto realmente es 5 menos 2X. 00:32:02
¿Vale? ¿Lo veis? 00:32:05
5 menos 2X. 00:32:07
¿Hasta ahí bien? 00:32:09
¿Sí o no? 00:32:10
Entonces, chavales, aquí, 00:32:13
¿cómo hay las áreas? 00:32:17
Yo tengo que hallar las áreas de este triángulo 00:32:19
y las áreas de este... 00:32:21
Bueno, primero me he pedido hallar la altura. 00:32:24
en función de x del triángulo, esta altura. 00:32:26
Entonces, chavales, una cosa también que tenemos que saber. 00:32:30
Con 60 lo podemos hallar también, ¿no? 00:32:33
Pero cuando es un triángulo equilátero, al hacer la altura, 00:32:36
la altura me divide, la altura siempre es perpendicular. 00:32:40
Con lo cual, cuando yo hago una altura, 00:32:44
siempre voy a obtener un triángulo rectángulo 00:32:46
y puedo aplicar mi amigo Pitagorín, ¿vale? 00:32:49
Pero es que encima, cuando es un triángulo isósceles, 00:32:51
que es el que tiene los dos lados, ¿vale, Diego? 00:32:55
Cuando es isósceles o equilátero, 00:32:57
cuando yo hago en el isósceles la altura por el lado desigual 00:33:00
o en cualquier lado en el equilátero, 00:33:03
esa altura me divide el lado en dos partes iguales. 00:33:06
¿Vale? Y eso es importante saber. 00:33:11
Entonces, ¿qué ocurre? 00:33:13
Que a mí este triangulito de aquí, el que yo he puesto con el 1, 00:33:14
yo tengo aquí, que está aquí dibujado, 00:33:17
es x medio un cateto, la altura es otro cateto 00:33:20
y X es la hipotenusa. 00:33:23
Entonces, ¿lo veis eso, chavales? 00:33:26
¿Claro? 00:33:29
¿Dime, dime, hija? 00:33:29
Porque todo, dice, disponemos de 10 metros de barra, ¿vale? 00:33:33
Entonces... 00:33:39
No, estos tres y esta de aquí abajo, ¿lo ves? 00:33:39
Y estas dos son X. 00:33:47
Entonces, 4X más 2Y son 10. 00:33:49
las alturas del rectángulo. 00:33:53
Entonces sí que es importante aquí, 00:34:01
si no nos dicen que es equilátero, 00:34:03
se forma un chocho tremendo, necesitamos más datos. 00:34:05
Pues nada, aquí aplico a mi amigo Pitagorín 00:34:09
y obtengo la altura. 00:34:13
La altura es raíz de 3x partido de 2. 00:34:15
Normalmente la altura de todo triángulo equilátero 00:34:20
Equilátero cumple esta función. 00:34:24
Es raíz de 3 por el lado entre 2. 00:34:25
Vale, yo no me la aprendería. 00:34:29
Pero bueno, que lo sepáis, ¿vale? 00:34:31
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:34:33
Porque yo ahora lo que me dice es determinar cómo debemos cortar la barra original 00:34:35
para que la estructura resultante encierre el área total máxima. 00:34:39
¿Vale? 00:34:44
Entonces, tengo que hacer por un lado el área del triángulo y el área del rectángulo. 00:34:45
Área del triángulo es base por altura partido de 2. 00:34:49
Pero fijaros que el triángulo es el equilátero, ¿vale? 00:34:52
Entonces puedo hacer dos cosas. 00:34:55
Hallo el área de 1 y lo multiplico por 2, ¿vale? 00:34:57
O hallo directamente el área de todo el triángulo, 00:35:01
que es la base, que es x, y la altura, la que acabamos de hallar. 00:35:05
¿Lo veis todos? 00:35:10
Mariela, ¿sí? 00:35:12
¿Lo veis todos o no? 00:35:15
Entonces, ¿cuál es el área del triángulo? 00:35:17
Es x por h partido de 2. 00:35:19
La x se mantiene igual, la h la hemos calculado en el primer apartado y lo dividimos entre 2. 00:35:22
Y me da raíz de 3x cuadrado partido de 4. 00:35:28
Y luego el área de la de abajo, que es base por altura, es un rectángulo, sería x por y. 00:35:32
¿Sí o no? 00:35:37
Entonces, como tengo x por y, daros cuenta que la y era el 10 menos 4x entre 2, que es lo mismo que 5 menos 2x. 00:35:38
¿Vale? La multiplico por x y me queda 5x menos 2x al cuadrado. 00:35:46
¿Estamos de acuerdo? 00:35:53
Estos chavales, estos ejercicios, hay otro muy parecido, 00:35:55
otro muy parecido donde no me dan la figura, 00:36:00
pero además esta barra de en medio no existe. 00:36:02
Entonces son parecidos. 00:36:06
Entonces aquí lo bueno es si vemos uno, 00:36:08
ya podemos pensar que podemos empezar a meterle mano. 00:36:11
esto te lo ponen a ti de primera, no habiéndolo nunca 00:36:15
y no cae, ¿vale? no es complicado 00:36:18
porque no es complicado 00:36:20
pero recordad que tenemos que recordar muchas cosas 00:36:21
de geometría y de geometría de la ESO 00:36:24
¿y eso del área del triángulo? 00:36:26
¿es del apartado B? 00:36:29
sí, no, no, no, no, esto es del B 00:36:32
ya porque dice, si notamos por aquí 00:36:34
la base del triángulo, calcular la altura 00:36:36
en función de X, esta es el apartado A 00:36:37
¿vale? 00:36:40
aquí es que no he puesto A y B, ¿vale? 00:36:42
esto es A 00:36:48
esto ya es B 00:36:49
entonces chavales, ¿qué ocurre? 00:36:52
que yo tengo que maximizar, claro 00:36:54
al final daros cuenta, si yo voy 00:36:56
a hacer un recinto 00:36:58
y tengo 10 metros, a mí lo que me 00:37:00
interesa 00:37:02
resulta 00:37:03
que me dicen que todas las 00:37:07
barras miden, tú tienes una barra 00:37:08
única de 10 metros, ¿vale? 00:37:10
entonces tú esas barras las vas 00:37:12
a dividir en 00:37:14
6 trozos, ¿vale? 00:37:15
De esos 6 trozos resulta que hay 4 que son iguales. ¿Por qué sé que hay 4 iguales? 00:37:18
Porque me dicen que este triángulo de aquí es equilátero. Al ser equilátero, los 3 lados, este de aquí, este de aquí y este de aquí son iguales. 00:37:24
Y es una X. ¿De acuerdo? ¿Y qué ocurre? Que como yo abajo tengo un rectángulo, un rectángulo, acuérdate que esta de aquí y esta de aquí tienen que ser iguales. 00:37:33
¿Lo veis? Entonces, ¿cuántas x tengo? 4. ¿Vale? Tengo 4 barras iguales de medida x que yo al principio no sé lo que es. 00:37:44
Y luego me ocurre que yo tengo aquí un rectángulo. Si fuera un cuadrado, ¿verdad? Si fuera un cuadrado, ¿esto cuánto me diría? 00:37:55
x. Pero como no es un cuadrado, es un rectángulo, esto es y. ¿Vale? 00:38:03
Entonces, ¿qué tienen que cumplir x más x más x más x porque hay 4x y las dos y es? 00:38:08
Pues que tienen que sumar 10 metros, ¿vale? 00:38:17
Entonces, 4x más 2y tiene que ser igual a 10 y la y al final es 5 menos 2x, ¿vale, chavales? 00:38:21
¿Sí o no? 00:38:31
Dime, dime. 00:38:33
Esto es un rectángulo, Gemena. 00:38:35
Es todo, es todo 00:38:36
Porque yo tengo una barra 00:38:40
Dime hija 00:38:41
Porque la estructura es así 00:38:44
La estructura es así 00:38:47
Es decir, yo tengo aquí como dos partes 00:38:49
Esta H la he puesto yo 00:38:52
La foto original es 00:38:53
La casita 00:38:56
Con el tejado 00:38:57
Vamos, con la base del tejado, digamos 00:39:00
¿Vale? La figura original 00:39:01
Es esta, esta 00:39:04
esta, esta, esta 00:39:06
y aquí cierro 00:39:07
¿vale? 00:39:09
esa es la figura original 00:39:12
¿de acuerdo? entonces tengo 4x 00:39:14
y 2y ¿vale? 00:39:16
entonces chavales fijaros 00:39:18
esta de aquí, esta de aquí 00:39:19
es el área total y esta es la que yo quiero 00:39:22
maximizar 00:39:24
¿vale? esta es la que yo 00:39:25
quiero maximizar, entonces 00:39:28
lo que hago es agrupo 00:39:30
saco factor común la x cuadrado 00:39:31
y tengo aquí, esto de aquí es una función 00:39:33
¿cómo? esta función ¿cómo es? 00:39:36
dime 00:39:39
polinómica, entonces yo voy a hacer 00:39:39
la primera derivada y la segunda 00:39:41
¿de acuerdo? 00:39:43
entonces chavales, aquí lo retomo 00:39:45
¿vale? aquí tengo lo que 00:39:47
es el área de todo el recinto 00:39:50
que yo quiero maximizar 00:39:52
hago la primera derivada 00:39:53
y la primera derivada la igualo a cero 00:39:55
la igualo a cero y me sale 00:39:57
este número de aquí, aquí a mí 00:39:59
no me gustan los números negativos 00:40:01
Entonces, si cambio el signo arriba, abajo la recta la cambio de orden y es lo mismo, ¿vale? Pero vamos, que esto también estaría bien en el examen, ¿de acuerdo? Esto al final da un número positivo, ¿vale? Si me da la x negativa, malagueña. 00:40:03
entonces lo que hago es 00:40:19
en la primera 00:40:22
tengo la primera derivada 00:40:23
la he igualado a 0, me sale esto de aquí 00:40:26
hago la segunda derivada 00:40:28
fijaros que la segunda derivada me sale 00:40:30
esto y esto siempre es negativo 00:40:32
¿vale? porque la raíz 00:40:35
de 3 es más chica que 00:40:37
y 2 menos 8 es negativo 00:40:39
entonces, coja el número 00:40:42
que coja 00:40:44
en la segunda derivada siempre va a ser menor que 0 00:40:45
es un vacío. Por lo tanto, la X 00:40:48
mide esto de aquí 00:40:51
y la Y sustituye 00:40:52
la relación que teníamos antes 00:40:54
y me da todo esto de aquí. Entonces, 00:40:56
las dimensiones serían 00:40:58
ejercicios. No es complicado, 00:40:59
pero yo creo que hay que verlo al menos una vez. 00:41:02
¿Vale? Al menos una vez. 00:41:05
Es lo que nos pueden poner 00:41:07
en la EVAO, para que veáis 00:41:08
también el grado de dificultad 00:41:10
de los ejercicios que nos ponen en la EVAO. 00:41:12
¿Cómo se saca el área 00:41:14
de todo? 00:41:16
el área de todo es la suma de las dos 00:41:17
yo tengo el área del triángulo 00:41:20
tengo el área del rectángulo 00:41:22
y el área total 00:41:25
es la suma de todo esto 00:41:26
más todo esto 00:41:28
¿lo veis? 00:41:30
dime 00:41:36
¿sí? 00:41:36
¿cómo debemos cortar la barra original? 00:41:39
las dos, la X y la Y 00:41:42
¿vale? 00:41:43
chavales, a ver 00:41:44
un segundillo 00:41:46
aquí yo 00:41:47
lo voy a subir, yo he hecho aquí 00:41:50
más problemas 00:41:52
fijaros, este problema es muy parecido 00:41:53
aquí no me dan la figura 00:41:56
y esta X de aquí no existe 00:41:58
¿vale? 00:42:00
entonces aquí está resuelto 00:42:02
no sé si con esto acabé 00:42:04
no hay más, he hecho 00:42:06
bastantes más 00:42:08
si queréis mañana vemos a primera 00:42:09
hora uno más 00:42:12
Pero es que por desgracia no nos da tiempo 00:42:14
A ver todos los que hay 00:42:16
Entonces yo esto lo voy a subir 00:42:17
Al aula como siempre 00:42:19
Y tenéis los resultados, los suyos que lo hagáis 00:42:21
Ustedes por vuestra cuenta 00:42:24
Y me preguntéis 00:42:25
Entonces yo mañana 00:42:27
Que no tenía previsto ver más optimización 00:42:29
O bien podemos hacer este 00:42:32
O este 00:42:34
Que es muy parecido pero sin esta X 00:42:36
Y es primo hermano 00:42:38
¿Vale? Es primo hermano 00:42:40
Entonces, por favor, echarle un vistazo, ¿de acuerdo? 00:42:42
Y ya lo que sí os pediría también, 00:42:45
no sé si habéis visto la ficha de representación de funciones, 00:42:47
que vayáis haciendo por vuestra cuenta algunas funciones, ¿vale? 00:42:52
Aquí vamos a hacer, evidentemente, 00:42:56
también representación de funciones, ¿vale? 00:42:57
Y nos quedaría, chavales, de cada examen del día 17, 00:42:59
representación de funciones, que eso es de primero, 00:43:04
y aquí es un repaso y ver cosas importantes y demás, 00:43:07
y luego ya integrales 00:43:11
que las integrales son 00:43:13
entonces para las integrales 00:43:14
si os pido por favor 00:43:15
que tengáis que dominar 00:43:16
las derivadas 00:43:17
porque si no 00:43:18
os coméis un mojón 00:43:20
es que es el problema 00:43:20
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
24 de febrero de 2026 - 12:59
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
43′ 25″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
57.13 MBytes

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