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Explicación rangos - Bachillerato - Contenido educativo

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Subido el 7 de octubre de 2025 por Jesús Pascual M.

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Sobre el rango de una matriz, algunos tienen dudas sobre la cantidad de determinantes que hay que hacer o cómo se hace. 00:00:00
O por lo menos tienen fallos. Vamos a ver. 00:00:06
Pongamos la siguiente matriz. 00:00:09
1, 2, 3, 5, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 2, 3. 00:00:12
Bueno, pues para ver el rango solo hay que hacer dos determinantes. 00:00:26
eso es verdad, pero hay que hacerlos con una peculiaridad 00:00:30
que es el fallo que han tenido varios 00:00:33
y es que primero hay que tomar 00:00:35
un menor de orden 2 00:00:36
distinto de 0, entonces hay que elegir 00:00:38
una suma de 2 por 2 00:00:41
de modo que el determinante 00:00:42
sea distinto de 0, en este caso 00:00:44
4 menos 6 que es menos 2 distinto de 0 00:00:46
y ahora 00:00:49
tomamos pues con las 3 00:00:50
filas 00:00:54
2 columnas 00:00:55
hay que tomar las sumatides 3 por 3 00:00:58
que la contengan, por ejemplo 00:01:00
estas, que sería la matriz 1, 2, 3 00:01:02
3, 4, 1, 2, 3, 2 00:01:09
cuyo determinante es 0 00:01:12
y también, pues igual, conteniendo estas dos columnas 00:01:18
pues por ejemplo con la tercera 00:01:24
y tendríamos la matriz 1, 2, 3, 4, 2, 3 00:01:26
con estas dos columnas 00:01:31
y luego esta columna 5, 1, 3 00:01:32
Y en ese caso también nos da 0. Bueno, pues con que esas dos matrices nos den 0, ya sabemos que el rango es 2. 00:01:35
Entonces el rango de esta matriz sería 2. ¿Cuál es la razón? Vamos a verla. A ver si se entiende. 00:01:44
Si cogemos estas dos columnas, son dos vectores que forman un plano. 00:01:53
¿Qué significa que este determinante formado por esas tres columnas sea cero? 00:01:59
Significa que si consideramos esos dos vectores y un tercer vector, que es este 00:02:07
Como el determinante es cero, son dependientes 00:02:12
Y eso significa que este vector naranja está en el mismo plano de los otros dos 00:02:18
¿Y qué significa que el segundo determinante es cero? 00:02:22
Pues si cogemos el cuarto vector, significa que por esto de aquí llegamos 00:02:26
al que el cuarto vector está en el plano formado por los otros dos. 00:02:30
Por lo tanto, los cuatro vectores están en un plano. 00:02:34
Entonces ya el rango es 2. 00:02:37
Y esa es la razón. 00:02:39
Por lo tanto, basta con hacer otra piñata, sí. 00:02:42
Pero tomando siempre un menor 2 por 2 que no se anule. 00:02:44
Veamos un ejemplo con parámetros. 00:02:52
Nos piden en este problema calcular el rango de esta matriz que vamos a llamar A. 00:02:57
Bueno, podemos empezar cogiendo un menor 2 por 2 00:03:01
Lo mejor es que sean solo números 00:03:06
Por ejemplo, aquí lo podemos coger aquí 00:03:08
Y ya tenemos que 1, 3 menos 1, 2 00:03:10
Esto es 2 más 3 que es 5, es distinto de 0 00:03:16
Automáticamente tenemos que la matriz A, el rango de A 00:03:21
Es mayor o igual que 2 para todo A 00:03:26
Lo segundo que podemos hacer es coger un menor 3 por 3 00:03:28
Lo haremos de forma que contenga este 2 por 2 00:03:33
Y calcular el determinante de a para este menor 00:03:36
Entonces lo hacemos 00:03:43
1, 3, 4 00:03:45
1, a, 2 00:03:47
Menos 1, 2, a 00:03:49
Y esto nos daría 00:03:51
a cuadrado 00:03:53
Menos 6 00:03:54
Más 8 00:03:56
Más 4, a 00:03:58
Menos 3, a 00:04:01
Menos 4 00:04:03
Y esto nos da 00:04:06
a cuadrado 00:04:06
más a menos 2 00:04:08
Bueno, el siguiente paso es ver cuando eso es igual a 0 00:04:09
y eso es igual a 0 00:04:13
si y solo si 00:04:14
a es igual a menos 1 00:04:15
menos raíz cuadrada de 1 más 8 00:04:19
partido por 2 00:04:21
menos 1 más menos 9 partido por 2 00:04:22
raíz de 9 partido por 2 00:04:25
menos 1 más menos 3 partido por 2 00:04:26
y eso es igual a menos 2 00:04:28
o a 1 00:04:31
Con lo cual, pues ya tenemos la primera parte 00:04:32
Bueno, aquí ya podemos hacer 00:04:35
dos métodos distintos 00:04:36
voy a parar y hago primero un método y luego otro. El primero de todos se parece un poco más 00:04:38
a Roche. Bueno, Roche sí se hace parámetro por parámetro, también se puede hacer Roche de otra manera 00:04:47
y sería ver los casos de parámetro A. Primero, si A es distinto de menos 2 y A es distinto de 1, 00:04:55
entonces el rango de A es igual a 3 00:05:04
es suficiente, con esto basta 00:05:08
para nosotros la razón es que 00:05:09
1, 3, 4, 1, A, 2, menos 1, 2, A 00:05:14
es distinto de 0 00:05:19
pero bueno, se puede dejar así 00:05:20
que estemos poco tiempo en Levau y ya está 00:05:22
segundo caso 00:05:23
si A es igual a menos 2 00:05:26
sustituimos 00:05:29
1, 3, 4, 1 00:05:30
1, menos 2 00:05:32
2, menos 4 00:05:33
perdón, más 4 00:05:35
menos 1, 2, menos 2 00:05:37
menos 4 00:05:40
bueno, aquí el rango va a dar automáticamente 00:05:42
0 porque 00:05:45
las últimas columnas 00:05:47
son la otra cambiada de signo 00:05:51
si nos damos cuenta lo se puede poner 00:05:53
como la tercera fila 00:05:55
es menos 00:05:59
la segunda fila 00:06:03
el rango 00:06:05
el rango es 2 00:06:06
pero vamos a suponer que no nos hemos dado cuenta 00:06:09
bueno, pues en este caso 00:06:11
habría que hacer 00:06:15
coger dos matrices que contengan 1, 2 por 2 00:06:16
y 100 de 0 00:06:20
como hemos dicho antes 00:06:21
pero es que ya lo hemos calculado 00:06:23
ya sabemos que este menor 00:06:24
es 100 de 0 00:06:27
entonces habría que coger las dos matrices 00:06:28
que la contienen, una es esta 00:06:31
pero ya la hemos cogido 00:06:33
aquí y ya sabemos que es 0 00:06:35
no nos falta coger la otra 00:06:37
Entonces, cogeríamos la submatriz dada por estas columnas, podemos marcar este determinador distinto de 0 y habría que ver únicamente ese determinante 1, 3, 1, 1, menos 2, 4, menos 1, 2, menos 4. 00:06:38
lo calculamos y nos va a dar 0 00:06:57
entonces automáticamente el rango de A es igual a 2 00:06:59
ahora vemos el tercer caso 00:07:04
si A es igual a 1 00:07:07
entonces la matriz A 00:07:10
A es igual a 1, 3, 4, 1 00:07:12
1, 1, 2, 1 00:07:17
menos uno, dos, uno, menos uno. Igual que antes podemos marcar, tenemos que este menor es ciento 00:07:23
de cero, entonces sólo hay que coger el determinante que nos falta, uno, tres, uno, 00:07:34
uno, uno, uno, menos uno, dos, menos uno, con esas tres columnas, lo calculamos y nos daría 00:07:39
Pues menos 1, menos 3, más 2, más 1, más 3 y menos 2. 00:07:50
Y esto nos hace automáticamente el rango de A y ya tenemos que el rango de A es 2 en estos dos casos y 3 en este caso. 00:08:10
Importante poner los casos así 00:08:30
Si A es igual a 1, si A es igual a menos 2 00:08:33
Y si A es distinto de 2 y distinto de menos 1 00:08:36
Se pone una I, no una O 00:08:39
Estamos diciendo que A no puede ser ninguno de esos dos valores 00:08:41
Vamos con el método 2 00:08:44
Nos quedamos donde estábamos 00:08:48
Habíamos calculado el determinante de esta matriz 00:08:51
Y hallado estos dos valores 00:08:53
El método 2 sería coger la otra matriz 3x3 00:08:54
que contiene la otra columna, que en este caso sería 1, 3, 1, a, menos 1, 2, y 1, 2, menos a, a, menos 2. 00:09:03
Lo calculamos y tendríamos pues a por a menos 2, perdón, menos 3 por 2 menos a, más 2, más a, menos 3 por a menos 2, menos 2 por 2 menos a. 00:09:18
Esto es igual a cuadrado menos 2a, menos 6, menos 6, más 3a, más 2, más a, menos 3a, más 6, menos 4, más 2a. 00:09:52
Y esto nos da, y nos da a cuadrado más a menos 2. 00:10:15
Y eso es igual a 0, sí, solo sí, bueno, haciendo la misma cosa en el segundo grado, que es la de arriba. 00:10:22
a es o bien menos 2 o bien 1 00:10:26
entonces automáticamente pues ya tenemos que 00:10:29
el rango de a es igual a 3 00:10:33
si a es distinto de menos 2 00:10:38
y a es distinto de 1 00:10:42
y como en este caso, en ambos casos los dos dependientes son 0 00:10:45
cuando es igual a 2 o menos 1 00:10:48
pues pondríamos el rango de a es igual a 2 00:10:49
si A es igual a menos 2 00:10:54
o A es igual a menos 1 00:10:56
fijaos que aquí ponemos una O 00:10:59
¿de acuerdo? 00:11:00
y ya está 00:11:02
bueno, pregunta 00:11:03
¿y qué habría pasado 00:11:05
si haciendo estos dos temas 00:11:07
bueno, si cogemos la matriz 00:11:09
cogemos un menor distinto de 0 00:11:11
por ejemplo, que puede ser 00:11:17
este y este 00:11:18
que no es el distinto de 0 00:11:21
y ya cogemos 00:11:24
las dos matrices 00:11:25
y la otra matriz que contiene ese menor 00:11:27
y tenemos por ejemplo que eso es igual a 0 00:11:35
si, solo si, aquí a es igual yo que sé 00:11:44
a 5 y a 3 y que eso es igual a 0 00:11:47
si, solo si, a es igual 00:11:50
a 1 y a 7, bueno pues en este caso 00:11:52
automáticamente tendríamos que el rango de a 00:11:56
es igual a 3 00:11:59
para todo valor de a 00:12:00
perdón, de a, porque 00:12:04
porque las dos matrices no se anulan 00:12:07
nunca 00:12:10
para todos los valores de A 00:12:11
bueno 00:12:13
y que habríamos hecho 00:12:15
si al hacer las dos matrices 00:12:17
que nos da eso es igual a 0 00:12:18
si solo si A es igual 00:12:23
a 5 o a 3 00:12:25
y que la otra 00:12:27
es igual a 0 si solo si 00:12:29
A es igual 00:12:35
a 7 o a 3 00:12:37
Bueno, pues en este caso diríamos que el rango de A es igual a 3 para A distinto de 3 00:12:40
Porque 3 es el único valor donde las dos matices se anulan 00:12:52
Y el rango de A es igual a 2 para A es igual a 3 00:12:56
Y ya está, no hay más 00:13:01
Bueno, en general vais a tener siempre algún menor que se pueda coger, distinto de 0 seguramente 00:13:03
si en todos los menores 00:13:12
hubiera a, a es, pues ahí habría que hacer 00:13:15
algo también 00:13:17
un poco más complicado, vamos a ver 00:13:19
a ver, en general 00:13:21
las matrices que se pongan van a tener así un b menor 00:13:23
2 por 2 00:13:25
distinto de 0, por ejemplo 00:13:26
pues en este caso 00:13:29
el menor por ejemplo 00:13:31
pues estaría formado por estos 4 de aquí 00:13:33
bueno, si la matriz tiene más 00:13:35
vectores, 1, a, a 00:13:39
Por ejemplo 00:13:41
Pues aunque sea uno que está elegido con 4 esquinas 00:13:42
Seguramente habrá alguno 00:13:45
Se busca y ya está 00:13:47
Pero si no hubiera, pues también se puede hacer algún truco 00:13:48
Bueno, en este caso se ha hecho 00:13:51
Para que no haya matrices 2x2 que no tengan A 00:13:54
Pero en este caso, bueno, no va a caer ninguna sin la evaweb 00:13:57
Porque habría que currárselas mucho 00:13:59
Pero si cayese 00:14:01
Pues se podría hacer lo mismo, porque veréis 00:14:03
Cogemos igual que antes 00:14:04
Este menor 3x3 00:14:06
1A3 00:14:08
Menos A1, 7 00:14:10
Menos 2, 3A 00:14:11
Lo voy a hacer muy rápido para no perder tiempo, esto es a cubo menos 22a menos 15, y si igualáis a 0, pues por una parte os da, haciendo Ruffini, a igual a 5, 1, 0, menos 22, menos 15, 5, 1, 5, 1, 25, 3, 15, 0, perdón, aquí un 5, 00:14:13
y tendríamos que a cuadrado más 5a más 3 es igual a 0 00:14:36
y esto es que a es igual a 5 menos 25 menos 12 partido por 2 00:14:43
y esto es menos 5 más menos rey de 13 partido por 2 00:14:51
Entonces, pues nada, ¿qué haríamos en este caso? 00:14:55
Bueno, pues cogeríamos un menor, aunque tenga aes, por ejemplo este 00:14:58
entonces haríamos 00:15:04
a, 3, 1, 7 00:15:06
y esto es igual a 7a 00:15:08
menos 3, que es igual a 0 00:15:10
si solo si 7a es igual a 3 00:15:12
si solo si a es igual a 3 00:15:13
séptimos, y que ocurre en este caso 00:15:16
pues que podemos coger tranquilamente 00:15:18
la otra matriz que contenga este menor 00:15:20
¿por qué? 00:15:21
porque 00:15:24
lo que hay que tomar, que hay que mirar 00:15:24
¿cuáles son? pues hay que mirar 00:15:28
a distinto de menos 5 00:15:30
A distinto de menos 5 más raíz de 13 partido por 2 00:15:33
Y A distinto de 5 más raíz de 13 partido por 2 00:15:36
Bueno, pues cuando esto sea 00:15:39
Cuando sea distinto de estos tres 00:15:41
Entonces ya el rango va a ser 3 00:15:43
Porque este de matriz es distinto de 0 00:15:49
Y cuando sea igual a alguno de estos tres 00:15:51
Entonces este menor va a ser distinto de 0 00:15:53
Porque este menor solo es 00:15:58
Solo es 0 para A igual a 3 séptimos 00:16:00
De modo que podemos coger tranquilamente viendo esto 00:16:03
que esto es distinto de 0 00:16:06
para a igual a 5 00:16:09
y a es igual a 00:16:10
5 más menos raided 00:16:12
13 partido por 2 00:16:14
ya puedes coger tranquilamente 00:16:16
el otro menor y ver la valoración de a 00:16:18
pero lo dicho, que esto no va a ocurrir 00:16:23
no nos van a poner en el abago 00:16:26
es muy raro que os pongan uno donde no se pueda 00:16:28
encontrar uno 2 por 2 distinto de 0, muy raro 00:16:31
bueno, en este caso particular 00:16:33
¿qué matriz habría que coger? 00:16:35
Pues la del principio, esta, esta y esta, y la otra sería esta, esta y esta. 00:16:36
Siempre las que contienen este matiz 2x2, con estas dos columnas, 00:16:43
y luego o bien la segunda columna o bien la cuarta, la que añadamos. 00:16:52
Bueno, pues esto lo digo para aclarar esta duda. 00:16:55
Por lo demás, se puede hacer lo anterior dicho y ya está. 00:16:57
Valoración:
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
16
Fecha:
7 de octubre de 2025 - 23:05
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARÍA GOYRI GOYRI
Duración:
17′ 02″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
109.89 MBytes

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