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AR1. 6.1+6.2+6.3 Definición de logaritmo. Relaciones entre potencias, radicales y logaritmos. Logaritmos decimal y neperiano - Contenido educativo

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Subido el 22 de agosto de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos la definición 00:00:22
de logaritmo, las relaciones entre potencias radicales y logaritmos y las definiciones 00:00:34
de logaritmos decimal y neperiano. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio de los 00:00:38
logaritmos con su definición. Nosotros vamos a definir el logaritmo con base b, un número real 00:00:50
positivo y distinto de 1, y más adelante veremos que va a ser importante distinguir qué ocurre 00:00:56
cuando la base es un número entre 0 y 1 o bien cuando la base es mayor que 1. Logaritmo en base 00:01:01
b de un número real que va a ser positivo a, al que vamos a llamar argumento. Lo vamos a denotar 00:01:07
de esta manera, logaritmo en base b de a, y aquí lo que tenemos son dos definiciones equivalentes 00:01:12
algebraicas. Nosotros, igual que pasaba con el caso de los radicales, nos vamos a 00:01:18
quedar con esta, en la que para nosotros un logaritmo es una pregunta. El 00:01:23
logaritmo en base b de a va a ser un número c y este número c es la respuesta 00:01:28
a la pregunta de ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener como 00:01:34
resultado el número que tenemos en el argumento? Así pues, logaritmo en base b 00:01:40
de a es c, sí y sólo sí, al elevar b, que es la base a c, ese exponente por el que nos estamos 00:01:45
preguntando, obtenemos como resultado ese número a. De esta manera, haciéndonos esta pregunta, 00:01:52
podemos determinar de una forma más o menos sencilla distintos logaritmos. Nosotros ahora 00:02:00
mismo, como ejemplo, vamos a echar un vistazo a este que tenemos aquí en este ejercicio, 00:02:05
que resolveremos en clase, por completo, y que probablemente resolveremos en alguna videoclase posterior. 00:02:09
Pero así, como introducción, como ejemplo, nos preguntamos por cuál es el logaritmo en base 2 de 16. 00:02:16
Esto es una pregunta. ¿A qué número tenemos que elevar 2 para que dé como resultado 16? 00:02:23
Si pensamos en que 2 elevado a la cuarta es 16, 2 por 2 es 4, por 2 es 8 y por 2 es 16, 00:02:30
En ese caso la respuesta es 4. El logaritmo en base 2 de 16 es 4. ¿Por qué? Siempre hay que justificar. Pues porque 2 elevado a 4, ese número que estamos dando como resultado del logaritmo, es igual a 16. 00:02:35
Utilizando, como decía, la definición de logaritmo, en ciertas ocasiones podremos determinar logaritmos más o menos sencillos. 00:02:49
Y como decía, ya se podría resolver este ejercicio, lo resolveremos en clase, probablemente en alguna habido clase posterior. 00:02:56
Fijaos que sólo por la propia definición del logaritmo debe haber necesariamente una relación íntima entre los logaritmos y las potencias, 00:03:04
puesto que en el fondo, para pensar en cuál es el resultado de un cierto logaritmo, estamos pensando en potencias. 00:03:11
Y a su vez, había una relación íntima entre las potencias y los radicales que acabamos de estudiar. 00:03:17
Así pues, es posible establecer una relación entre potencias, radicales y logaritmos, de la siguiente manera. 00:03:22
Si nos encontramos con esta potencia B elevado a C es igual a A, podemos transformar esta expresión donde nos encontramos con que A es el resultado de una potencia en una expresión equivalente, 00:03:29
cambiando las operaciones que relacionan estas tres cantidades A, B y C, y escribirla en forma de radical. 00:03:44
De esta manera, el radical con índice c de a es igual a b. ¿Por qué? Pues porque un radical, como hemos visto en las videoclases de la sección anterior de radicales, 00:03:51
en el fondo equivale a una pregunta que involucra una potencia. La raíz con índice c de a es igual a b si b elevado a c es igual a a, que es la expresión que teníamos anteriormente. 00:04:05
igualmente nosotros sabemos que estas potencias se pueden relacionar con los logaritmos acabamos 00:04:17
de ver la definición y en este caso la pregunta que nos haríamos o la el logaritmo equivalente 00:04:26
a esta potencia sería este que tenemos aquí logaritmo en base b de a es igual a c porque 00:04:32
porque nos estamos preguntando que a qué exponente tenemos que elevar b para que dé como resultado a 00:04:39
a. Si ese es c es porque b elevado a c es igual a a y volvemos a obtener esta expresión con esta 00:04:47
potencia que tenemos aquí. Así pues en cualquier momento y siempre que nos encontremos bien con 00:04:55
una potencia, bien con un radical, bien con un logaritmo, según como nos sea de interés podemos 00:05:01
transformar una en otra. Esto va a ser útil en ciertos contextos en los cuales nos encontremos 00:05:07
con radicales y prefiramos utilizar logaritmos, prefiramos utilizar potencias. O bien el caso en 00:05:13
el que tengamos logaritmos y prefiramos utilizar radicales o prefiramos utilizar potencias. Nosotros 00:05:18
vamos a utilizar esta equivalencia para en cada uno de estos tres ejemplos hallar la incógnita. 00:05:24
Vamos a intentar transformar esta expresión donde aparecen logaritmos en una pregunta que 00:05:31
podamos responder. En ocasiones será muy directa, en otras ocasiones pues tendremos que utilizar 00:05:37
una transformación a un radical o bien a una potencia. Este ejercicio lo resolveremos en clase, 00:05:42
posiblemente lo resolveremos en alguna videoclase posterior. Vamos a finalizar esta videoclase en 00:05:48
la que estamos introduciendo los logaritmos, definiendo dos logaritmos de especial importancia 00:05:54
en el contexto de las ciencias, como son el logaritmo decimal y el logaritmo neperiano. 00:06:00
Se define el logaritmo decimal como aquel que tiene como base el número 10, que es la base de 00:06:04
nuestro sistema de numeración. Este logaritmo es tan importante que se representa habitualmente 00:06:08
de esta manera log de x. En lugar de escribir la base siempre que la base esté omitida hemos de 00:06:14
pensar en que tenemos entre manos un logaritmo decimal. En distintos contextos es posible que 00:06:20
este log no sea el logaritmo decimal y estoy pensando por ejemplo en ciencias de la computación 00:06:26
en donde la base del sistema de numeración no es 10 sino 2 y en muchas ocasiones cuando nos 00:06:32
encontremos con log, en ese caso es un logaritmo binario, un logaritmo con base 2. Nosotros no 00:06:37
vamos a estar en ese contexto e insisto, siempre que nos encontremos con un logaritmo en el cual 00:06:42
se haya omitido la base es porque es un logaritmo decimal y la base es 10. Otro logaritmo de especial 00:06:46
importancia en el contexto de las ciencias es el logaritmo neperiano que tiene como base el 00:06:52
número e. Es un número irracional del que habíamos hablado en la unidad AR1 en el bloque de aritmética. 00:06:57
Es un número irracional, su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales que no se repiten y aparecen en el contexto de las ciencias en numerosas ocasiones. 00:07:03
Y de hecho, volveremos a hablar del número e más adelante cuando hablemos del bloque de funciones y del bloque de análisis real. 00:07:12
Bien, pues en el caso de los logaritmos con base el número e, logaritmos neperianos en honor a Nepper, lo que vamos a hacer es representarlos de esta forma, Ln. 00:07:18
Siempre que veamos LNDX tenemos el logaritmo neperiano de X, o sea, el logaritmo con base el número. 00:07:27
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:07:34
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:07:42
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:07:47
Un saludo y hasta pronto. 00:07:52
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
25
Fecha:
22 de agosto de 2025 - 16:47
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
08′ 20″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
19.51 MBytes

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