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Clase 23-11-2023 Tema 3. Polinomios. Parte 1 - Contenido educativo

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Subido el 23 de noviembre de 2023 por Diego R.

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Pues comenzamos con el tercero de los temas, es el tema de los polinomios 00:00:00
y nos vamos a introducir en lo que es el mundo del álgebra. 00:00:05
No vamos a llegar todavía a cosas como las ecuaciones, 00:00:08
que seguro que os suenan, eso vendrá en el siguiente tema, 00:00:12
sino que aquí vamos a ir a una introducción a lo que es el mundo del álgebra. 00:00:15
De expresar con letras algunos datos, algunas cosas que desconocemos, 00:00:20
así decir, ver cómo realizamos operaciones entre lo que se llama monomios, polinomios, 00:00:27
un poco esa operatividad básica dentro de lo que es el mundo del álgebra. 00:00:33
¿Qué vamos a encontrar en este tema en el aula virtual? 00:00:38
Un apartado de teoría del lenguaje algebraico polinomios, 00:00:41
una hoja de ejercicios, que no deja de ser la última hoja del documento anterior, 00:00:45
y luego tenéis dos cuestionarios, que son evaluables, que podéis hacer, 00:00:51
que estos ya están abiertos para que los hagáis. 00:00:59
Bueno, luego hay algún recurso más, pero básicamente es esto que tenéis, 00:01:01
dos contenidos teóricos, un contenido teórico, otro de ejercicios, 00:01:07
y dos cuestionarios para poder practicar. 00:01:11
Vamos a abrir el primero de los documentos, el contenido teórico, este de aquí, 00:01:15
en el cual vamos a comenzar un poquito hablando de qué es una expresión algebraica. 00:01:22
Lo que es la palabra álgebra es una palabra árabe, por un matemático que se llama Al-Qawaridmi, 00:01:31
y digamos que el mundo árabe fue el primero que desarrolló lo que es el álgebra. 00:01:42
En el álgebra, al final, lo que vamos a hacer va a ser que cuando hay algo que no conocemos, 00:01:50
algún valor desconocido, le vamos a dar un nombre, y ese nombre va a ser una letra. 00:01:55
Generalmente X, Y, Vega, Z, puede haberlo llamado A, B o C, 00:02:01
o podría haberlo llamado Casa, Mesa y Silla, es decir, es darle un nombre. 00:02:07
Cuando yo voy a ver una letra es que algo se esconde ahí. 00:02:12
Entonces vamos a pasar de lo que es el lenguaje hablado, el lenguaje oral, 00:02:16
a lo que es una expresión algebraica, que es donde puede haber números y puede haber operaciones, 00:02:21
donde también van a aparecer letras, letras que esconden un número. 00:02:27
Luego, más adelante, cuando lleguemos a las ecuaciones, las ecuaciones lo que pretenden es 00:02:32
que nosotros descubramos qué número se esconde detrás de esa letra. 00:02:37
Pero antes de llegar a las ecuaciones, que es cuando hay una igualdad de estas expresiones algebraicas, 00:02:41
vamos a ver cómo trabajamos estas expresiones algebraicas. 00:02:47
Y lo primero es ver cómo traducir una frase a expresión algebraica. 00:02:50
Aquí tenemos algunos ejemplos. 00:02:59
Si yo digo el triple de un número, yo no sé quién es el número, ¿vale? 00:03:01
Solo sé que te estoy preguntando por el triple de ese número. 00:03:07
Bueno, pues al número que tú no sabes cuál es, lo llamo X. 00:03:11
Generalmente usar X siempre que podáis. 00:03:16
¿Qué de esos dos cosas que desconozco? Pues X e Y de A. 00:03:18
¿Otra más? La Z, ¿vale? 00:03:22
Pues el número lo voy a llamar X y el triple es multiplicar por 3, ¿no? 00:03:25
Pues sería 3 por mi número, 3 por X. 00:03:30
Si yo digo el triple de 2, yo escribiría 3 por 2. 00:03:33
Pues en vez de decir el triple de 2, digo el triple de un número, pues 3 por el número, 3 por X. 00:03:37
Esta sería la expresión algebraica, ¿vale? 00:03:43
Otra, el doble de un número menos 6 unidades. 00:03:46
El doble de un número, ¿yo sé quién es el número? No, pues lo llamo X. 00:03:50
Y ahora pues vale, el doble de un número, el doble es multiplicar por 2, 2 por un número, 2 por X. 00:03:55
Si sigo leyendo me dice menos 6 unidades, pues voy a restar menos 6 unidades, ¿vale? 00:04:05
Luego simplemente lo que hago aquí es voy leyendo y tal como voy leyendo voy escribiendo. 00:04:11
Otro, la cuarta parte de un número. 00:04:17
¿La cuarta parte qué operación matemática es? 00:04:20
Es una división, es dividir entre 4, ¿no? 00:04:23
Vale, pues la cuarta parte de un número. 00:04:26
Si yo dijera la cuarta parte de 18, haría 18 entre 4. 00:04:29
Como no sé qué número es, si es 18 o si es otro lo llamo X, X entre 4. 00:04:35
El producto de un número y su siguiente. 00:04:42
Vale, un número es X. 00:04:45
¿Y cuál es su número siguiente? 00:04:47
Aquí viene escrito de una forma, pero yo incluso usaría otra. 00:04:50
Aquí pone X por X menos 1. 00:04:55
Si un número lo llamo X, ¿el siguiente cuál va a ser? 00:04:57
¿El siguiente de 2 quién es? 3. 00:05:00
¿El siguiente de 5? 6. 00:05:02
Pensamos en números enteros, ¿vale? 00:05:05
Es sumar una unidad. 00:05:08
¿2 más 1? 3. 00:05:10
¿5 más 1? 6. El siguiente es sumar 1. 00:05:13
Si yo dijera el anterior, el anterior va a ser menos 1. 00:05:16
Bueno, yo multiplicaría, mi número sería X y el siguiente sería X más 1. 00:05:21
Pues yo multiplico X por X más 1. 00:05:26
O puede verlo como aquí. 00:05:29
Un número X, vale, me ha puesto el anterior. 00:05:32
Bueno, si yo pienso en el X menos 1, el siguiente va a ser X. 00:05:35
Porque menos 1 más 1 se me va, ¿vale? 00:05:38
Son dos números consecutivos al final. 00:05:41
Y los multiplico, ¿vale? 00:05:44
Pero yo me ha puesto X por X más 1, ¿vale? 00:05:46
En vez de X menos 1 que viene aquí escrito. 00:05:48
La suma de un número y su cuadrado. 00:05:51
Un número es X. 00:05:54
¿Su cuadrado quién es? X al cuadrado. 00:05:56
Y me dice que la suma. 00:05:59
Pues yo tengo X, tengo X al cuadrado y tengo que sumarlo. 00:06:01
Tengo X, tengo X al cuadrado y tengo que sumarlo. 00:06:04
Me da igual el orden, ¿vale? 00:06:07
Sí, pero como es una suma me da igual. 00:06:11
El orden no me afecta. 00:06:14
Aquí tenemos algunos ejercicios, ¿vale? 00:06:16
Me pide que una con flechas, ¿vale? 00:06:19
Cada expresión algebraica con su expresión oral. 00:06:22
3X menos 2. 00:06:27
Nos olvidamos un poco de lo que viene a la derecha. 00:06:29
Pues 3X menos 2 es el triple de algo, ¿no? 00:06:31
Menos dos unidades. 00:06:34
2X más 1, pues el doble de algo más 1. 00:06:36
El doble de un número más 8. 00:06:41
El producto de un número y tres unidades es el siguiente. 00:06:46
Esto ya se complica un poquito más. 00:06:52
El cuadrado de la diferencia de dos números, 00:06:55
porque son dos números distintos, uno lo llamo X, otro lo llamo Y. 00:06:57
Si me vengo aquí a la derecha. 00:07:00
La suma de un número y el cuádruple del mismo. 00:07:03
Yo voy a sumar. 00:07:08
Un número es X y el cuádruple es multiplicar por 4. 00:07:09
Pues esta expresión me diría cuál está aquí abajo. 00:07:13
X más 4X. 00:07:16
El triple de un número menos 2. 00:07:19
Pues la primera. 00:07:21
El triple de un número es 3X. 00:07:23
3X menos 2. 00:07:24
El cuadrado de la diferencia de dos números. 00:07:27
Dos números. 00:07:30
Como no sé quiénes son, a uno lo llamo X, 00:07:32
al otro lo tengo que llamar de otra forma diferente. 00:07:34
Por ejemplo, Y. 00:07:36
Su diferencia es X menos Y. 00:07:37
Todo ello al cuadrado. 00:07:40
Aquí está, X menos Y al cuadrado. 00:07:46
Un número impar. 00:07:50
Mirad, un número par. 00:07:52
En vez de impar pienso primero en el par, ¿vale? 00:07:55
Un número par es el 2, 4, 6, 8. 00:07:57
Es decir, se va a poder obtener siempre como 2 por algo. 00:08:02
Porque es divisible entre dos un número par. 00:08:07
Luego, un número par siempre va a ser 2 por X. 00:08:10
De ese tipo. 00:08:12
Pero el número impar justo es el que no puedo dividir entre dos. 00:08:15
Si yo tengo un número par, el siguiente o el anterior son impares. 00:08:18
Si yo tengo el 18, el siguiente es el 19. 00:08:23
El anterior es el 17. 00:08:26
Ambos tienen que ser impares. 00:08:28
Pues el impar va a ser un número par más uno. 00:08:30
2X más uno. 00:08:35
Un número par es 2X más uno. 00:08:37
Ya tengo el impar, ¿vale? 00:08:39
El otro dice el perímetro de un rectángulo. 00:08:42
El perímetro de la suma de los lados del rectángulo, ¿vale? 00:08:46
Dice el perímetro de un rectángulo de base 8 y altura desconocida. 00:08:51
Suma de los lados. 00:08:56
Tengo dos lados, me miden 8. 00:08:58
Lo que sea, centímetros, metros, no lo ponen. 00:09:00
Y la altura, tengo dos alturas que me miden X. 00:09:03
Dos veces 8, ¿vale? 00:09:06
Y dos veces X. 00:09:08
Mirad, X y 8 están sumados. 00:09:10
Están multiplicados. 00:09:13
2 por X más 2 por 8. 00:09:15
Dos veces un lado más dos veces el otro. 00:09:20
Puede haber venido como 2X más 16 también. 00:09:24
La cosa es que el perímetro es la suma de los cuatro lados del rectángulo, ¿vale? 00:09:28
El área de un círculo cuya base mide 3 centímetros más que la altura. 00:09:35
Pero aquí vienen conceptos que no hemos llegado a la geometría. 00:09:41
El área de un círculo... 00:09:45
El área de un rectángulo. 00:09:51
El área de un rectángulo es lado por lado. 00:09:53
O la base por la altura. 00:09:57
Entonces dice, la base mide 3 centímetros más que la altura. 00:10:00
Bueno, pues si la altura mide X, la base mide 3 centímetros más. 00:10:04
X más 3. 00:10:07
Y tengo que multiplicar las dos dimensiones. 00:10:09
X por X más 3. 00:10:12
También lo tengo por aquí. 00:10:14
¿Vale? 00:10:16
Bueno, viene más ejemplos. 00:10:17
Podéis practicarlo, ¿vale? 00:10:19
Pero que al final ese sería más por eliminación. 00:10:20
¿Vale? 00:10:23
Y el último, la semisuma de dos... 00:10:24
Vale, la semisuma es que sumo y divido entre dos. 00:10:27
Eso significa semisuma. 00:10:32
Semisuma de dos números. 00:10:35
Yo tengo dos números, X e Y. 00:10:36
Los sumo y los divido entre dos. 00:10:38
Eso es la semisuma. 00:10:40
Ahora bien, en estas expresiones aparecen sumas, restas, multiplicaciones. 00:10:43
Y me voy a ir, digamos, a la expresión más pequeña que yo me voy a encontrar en el álgebra. 00:10:47
Que es lo que se llama un monomio. 00:10:53
¿Vale? 00:10:55
El monomio es el producto de un valor conocido por una o varias letras. 00:10:56
Cuando digo un valor conocido va a ser un número. 00:11:00
El 2, el 5, el 3... 00:11:02
El 1. 00:11:03
A lo mejor no parece un número escrito, pero cualquier número está... 00:11:04
Sí, en matemáticas cualquier número está multiplicado por uno. 00:11:06
¿Vale? 00:11:09
Aquí vienen algunos ejemplos. 00:11:10
Fijaros. 00:11:11
5X al cuadrado, 2X y cubo. 00:11:12
Primer detalle. 00:11:16
5X al cuadrado, aunque no esté escrito, aquí hay una multiplicación. 00:11:17
5X al cuadrado, 2X y cubo. 00:11:22
¿Vale? 00:11:25
Primer detalle. 00:11:26
5X al cuadrado, aunque no esté escrito, aquí hay una multiplicación. 00:11:27
5 por X al cuadrado. 00:11:32
Pero cuando escribimos rápido, ¿vale? 00:11:34
No se suele poner ese puntito. 00:11:37
¿Vale? 00:11:40
Si yo me voy al papel... 00:11:41
5X al cuadrado, yo... 00:11:47
A ver... 00:11:49
Me ponga... 00:11:51
Que se vea la imagen al revés. 00:11:52
Vale. 00:11:54
Ahora ya se ve bien la imagen, ¿vale? 00:11:55
5X al cuadrado, realmente es como si esto pusiera 5 por X al cuadrado. 00:11:57
Si yo tuviera, por ejemplo, X y Z, 00:12:03
realmente es como si yo pusiera X por Y y por Z, ¿vale? 00:12:08
Estaría multiplicado. 00:12:14
Lo único que, al final terminamos omitiendolo. 00:12:16
Casi por rapidez, cuando tú vas escribiendo, ¿vale? 00:12:19
Pero que sepáis que la unión que hay ahí es una multiplicación. 00:12:21
¿Vale? 00:12:26
Entonces, volvemos a nuestro documento y... 00:12:27
Bueno, tenemos algunos ejemplos de monomios, ¿vale? 00:12:35
En todos ellos, si os dais cuenta, aparece... 00:12:38
Mira esto, un montón de monomios. 00:12:41
¿Vale? 00:12:43
Un numerito, ¿vale? 00:12:44
Y luego tenemos una o varias letras que pueden estar elevadas o no a algún exponente. 00:12:46
La única operación que hay ahí es la multiplicación. 00:12:51
¿Vale? 00:12:55
Yo puedo ver este... 00:12:56
¿Veis este que dice? 00:12:57
Menos 4X y al cuadrado Z elevado a 4. 00:12:58
Bien. 00:13:02
Este menos no es que estoy restando. 00:13:03
Es que es el número menos 4. 00:13:05
¿Vale? 00:13:07
Lo que es el número... 00:13:08
Ese número entero, positivo o negativo, que aparece ahí multiplicando, 00:13:10
se llama coeficiente. 00:13:14
¿Vale? 00:13:16
Es decir, en el 5X al cuadrado, el 5 va a ser el coeficiente. 00:13:17
En el ejemplo que viene aquí desglosado, 2X al cuadrado y al cubo. 00:13:22
¿Quién es el coeficiente? 00:13:26
Pues 2. 00:13:27
¿Vale? 00:13:28
¿Vale? 00:13:29
Entonces, en el 5X al cuadrado, el 5 va a ser el coeficiente. 00:13:30
¿Quién es el coeficiente? 00:13:35
Pues 2. 00:13:36
¿Vale? 00:13:37
Al resto, es decir, las letras junto con sus exponentes, 00:13:38
es lo que se le va a llamar parte literal. 00:13:42
En este caso, X al cuadrado y al cubo es la parte literal. 00:13:45
Toda ella. 00:13:50
¿Vale? 00:13:51
En 5X al cuadrado, la parte literal será X al cuadrado. 00:13:52
Un tercio por X al cubo. 00:13:58
Pues un tercio, que es la parte numérica, es el coeficiente. 00:14:00
X al cubo es la parte literal. 00:14:03
Y luego viene otra cosa más, que es el grado. 00:14:07
¿Vale? 00:14:10
Que el grado es la suma de los exponentes de esa parte literal, 00:14:11
de cada una de las variables, de la X, de la Y, de la Z. 00:14:17
En el caso de 2X al cuadrado y al cubo, 00:14:20
tengo X elevado a 2 y elevado a 3. 00:14:23
2 más 3, 5. 00:14:26
¿Un tercio por X al cubo? 00:14:29
Pues el 3, nada más, grado 3. 00:14:31
¿Vale? 00:14:33
Vamos a ver algunos ejemplos. 00:14:34
El primero ya lo hemos visto. 00:14:37
El de 5X al cuadrado, el de 2X al cubo. 00:14:39
Bueno, es parecido pero diferente. 00:14:42
Coeficiente 2. 00:14:44
Parte literal, X por Y al cubo. 00:14:46
Grado. 00:14:49
Pues tengo que sumar los exponentes. 00:14:50
La X está elevada a 1, aunque no venga escrito. 00:14:52
Sumo los exponentes. 00:14:55
¿Cuál es el exponente de la X? 00:14:57
Importante este detalle, ¿vale? 00:15:00
Luego el grado va a ser 1 más 3, 4. 00:15:02
Porque es la suma de todos los exponentes, 00:15:05
aunque no estén escritos. 00:15:08
¿Vale? 00:15:10
Recuerda las propiedades de las potencias. 00:15:13
Cualquier número elevado a 1 es ese número, 00:15:16
sin que vaya nada puesto. 00:15:19
Claro, 9 al cuadrado es 9 por 9. 00:15:21
9 elevado a 1 es 9. 00:15:24
No está multiplicado por nada más. 00:15:26
Solo escribes el 9 una vez. 00:15:28
¿Vale? 00:15:30
Es cierto que no solemos escribir ese elevado a 1, 00:15:31
pero está presente. 00:15:34
Luego, para calcular el grado, 00:15:36
yo tengo que tenerlo en cuenta. 00:15:38
En el siguiente sucede lo mismo. 00:15:40
Menos 4X y cuadrado Z a la cuarta. 00:15:42
Menos 4 es la parte numérica. 00:15:45
Pues ese es el coeficiente, menos 4. 00:15:48
Parte literal, pues el resto X y Z, 00:15:51
pero con sus exponentes. 00:15:54
Es decir, X y cuadrado Z a la cuarta. 00:15:56
¿Vale? 00:15:59
¿Quién es el grado? 00:16:00
Pues la suma de los exponentes de la parte literal. 00:16:01
X está elevado a 1, aunque no esté escrito. 00:16:04
Hola, buenas tardes. 00:16:07
Hola, buenas. 00:16:09
Pues sería 1 más 2 y más 4, 00:16:10
que suma 7. 00:16:13
X al cubo. 00:16:17
En X al cubo no hay una parte numérica 00:16:18
que yo vea que está multiplicando. 00:16:21
¿No? 00:16:25
¿Pero qué número estaría siempre multiplicando 00:16:26
si yo quisiera escribirlo? 00:16:29
El 1. 00:16:30
Me da igual poner X al cubo, 00:16:31
que 1 por X al cubo multiplicado por 1 00:16:33
es el elemento neutro, me queda igual. 00:16:35
Luego, si no aparece escrita la parte numérica, 00:16:37
el coeficiente siempre va a ser 1. 00:16:40
Si la expresión es positiva, como en este caso, 00:16:43
si yo tuviera menos X al cubo, 00:16:47
eso sería menos 1. 00:16:50
Ese menos ya me está indicando un más menos 1, 00:16:52
en este caso un negativo. 00:16:55
¿Vale? 00:16:57
Si yo tuviera menos X al cubo, 00:16:58
coeficiente menos 1, ¿vale? 00:17:00
Parte literal, X al cubo, 00:17:02
y el grado en este caso, pues 3. 00:17:04
No tengo más. 00:17:06
¿Vale? 00:17:07
Bien. 00:17:08
Con todo esto, ¿qué vamos a hacer? 00:17:09
Intentaría ir a hacer operaciones, ¿vale?, 00:17:12
con los monomios. 00:17:15
Vamos a avanzar. 00:17:17
Monomios, si os fijáis en el prefijo, es mono, 00:17:18
significa 1. 00:17:21
Cuando yo junte varios monomios que los voy a sumar 00:17:22
o los voy a restar, 00:17:25
voy a tener varios monomios. 00:17:26
¿Vale? 00:17:28
Igual que mono del griego significa 1, 00:17:29
poli significa varios. 00:17:32
Luego vamos a ir hacia los polinomios, 00:17:34
que son varios monomios. 00:17:36
¿Vale? 00:17:38
Pero para poder realizar operaciones entre monomios, 00:17:39
hay algo muy importante, 00:17:42
y es saber qué son monomios semejantes, ¿vale? 00:17:43
Porque los monomios semejantes yo los voy a poder juntar. 00:17:46
Si yo quiero sumar mesas, sillas, 00:17:49
yo puedo sumar las mesas con las mesas y las sillas con las sillas. 00:17:53
Tengo 5 mesas y 7 mesas, 5 más 7, 12 mesas. 00:17:56
Pero si yo junto mesas y sillas, 00:17:59
5 mesas y 7 sillas, que son 12 ¿qué? 00:18:02
O sea, 12 mesas y sillas, 00:18:05
pero no son ni 12 mesas ni 12 sillas. 00:18:06
No puedo sumarlos. 00:18:08
Pues aquí va a suceder lo mismo, ¿vale? 00:18:09
Entonces, 00:18:12
monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal. 00:18:13
Misma parte literal es 00:18:16
mismas letras con los mismos exponentes. 00:18:18
¿Vale? 00:18:22
Por ejemplo, aquí viene que 00:18:23
2 por x al cuadrado y 00:18:25
y tengo menos 7 por x al cuadrado y. 00:18:28
¿Son semejantes? 00:18:30
Sí, porque la parte literal es la misma. 00:18:31
Tengo la x al cuadrado y la y elevada a 1. 00:18:33
¿Vale? 00:18:37
En cambio, 00:18:39
tengo otro ejemplo que me dice que no son semejantes. 00:18:40
Menos 5x al cubo y menos 5x al cuadrado. 00:18:43
x al cubo, x al cuadrado. 00:18:48
Aunque tenga la x, el exponente cambia. 00:18:50
Como cambia, ya no son semejantes. 00:18:53
¿Vale? 00:18:55
En cuanto haya un mínimo cambio, la hemos liado. 00:18:56
¿Vale? 00:18:59
Pequeño detalle. 00:19:00
Todo eso está... 00:19:01
O sea, cuando yo tengo una expresión como 00:19:02
2 por x al cuadrado por y, 00:19:03
está multiplicándose todo eso. 00:19:06
Pensad un caso más sencillo. 00:19:09
xy. 00:19:11
¿Xy es x por y? 00:19:12
Yo puedo darle la vuelta y ponerme x por y, y por x. 00:19:14
Estoy hablando de la misma cosa. 00:19:18
Entonces, cuando vayamos a ver 00:19:20
si son o no semejantes, 00:19:22
me va a dar igual el orden en el que aparezca la x y la y. 00:19:24
Lo importante es que la x con su exponente 00:19:27
aparezca en ambos monomios. 00:19:29
Que la y con el mismo exponente aparezca en los dos. 00:19:31
Me va a dar igual el orden. 00:19:33
¿Vale? 00:19:35
Aquí tenemos algunos ejercicios para hacer. 00:19:37
¿Vale? 00:19:39
Que dice que diga cuáles son semejantes. 00:19:40
No que hace todo. 00:19:42
Algunos. 00:19:44
2x al cuadrado y. 00:19:45
Pues va a ser semejante con el que tenga x al cuadrado y. 00:19:46
Yo miro, x, x... 00:19:49
Este mira, x y. 00:19:51
A ver, ya, pero aquí está x elevado a 1 00:19:52
y yo no quiero x elevado a 2. 00:19:54
No me vale. 00:19:56
Sigo buscando. 00:19:57
x elevado a 2 y. 00:19:58
x cuadrado y. 00:19:59
x cuadrado y. 00:20:00
¿Es lo mismo? 00:20:01
Sí. 00:20:02
Pues serían semejantes. 00:20:03
¿Vale? 00:20:04
Si me voy al papel, 00:20:05
lo que yo os comentaba es 00:20:10
3x al cuadrado y 00:20:12
y 5yx al cuadrado. 00:20:14
¿Son semejantes? 00:20:17
No. 00:20:19
Parte literal. 00:20:20
Esta de aquí. 00:20:22
Esta es la parte literal. 00:20:23
Vamos a ver. 00:20:24
Tengo la x elevada al cuadrado. 00:20:25
Tengo la x elevada al cuadrado. 00:20:27
Tengo la y. 00:20:29
Tengo la y. 00:20:31
Luego, la parte literal es la misma. 00:20:32
¿Vale? 00:20:36
Estamos hablando de 00:20:37
la misma parte literal. 00:20:39
Luego, estas dos expresiones en su conjunto 00:20:41
son semejantes. 00:20:44
Estos monomios son semejantes. 00:20:46
¿Vale? 00:20:47
Bien. 00:20:51
Da igual. 00:20:53
Es más complejo. 00:20:54
Da igual. 00:20:55
Exacto. 00:20:56
Porque el orden de los factores 00:20:57
no ha alterado el producto. 00:20:59
Yo puedo cambiar. 00:21:01
¿Vale? 00:21:02
Bien. 00:21:03
¿Qué operaciones básicas 00:21:04
podemos encontrarnos con los monomios? 00:21:05
Pues, de arranque, sumas y restas. 00:21:07
¿Vale? 00:21:09
Cuando yo sumo o resto monomios 00:21:11
que sean semejantes, 00:21:14
que sean semejantes, 00:21:16
yo me puedo sumarlos y restarlos. 00:21:18
¿Cómo? 00:21:20
Si yo digo 5 sillas más 2 sillas, 00:21:21
¿todos pensáis que son? 00:21:23
5 más 2, 7 sillas. 00:21:25
Pues, si yo digo 5x más 2x, 00:21:27
¿qué va a ser? 00:21:29
7x. 00:21:31
Cuando yo digo 5 mesas y 2 mesas, 00:21:32
o 5 sillas y 2 sillas, 00:21:34
lo que sumáis son los coeficientes. 00:21:36
La parte literal, la mesa, la silla, 00:21:38
la mantenéis. 00:21:40
Luego yo, para sumar o restar monomios semejantes, 00:21:42
simplemente sumo o resto 00:21:44
el coeficiente, 00:21:46
los coeficientes, 00:21:48
y mantengo la parte literal. 00:21:50
Esa no cambia. 00:21:52
¿Vale? 00:21:53
Aquí vienen algunos ejemplos. 00:21:54
5xy al cuadrado más 2xy al cuadrado. 00:21:56
¿Misma parte literal? 00:21:59
Sí. 00:22:01
Pues el resultado, 00:22:02
yo escribo xy al cuadrado, 00:22:04
eso no cambia, 00:22:06
pero los coeficientes los sumo. 00:22:07
5 más 2, 7. 00:22:09
En el siguiente, 00:22:11
4x al cubo menos x al cubo. 00:22:13
Coeficiente del primero, 4. 00:22:16
Coeficiente del segundo, menos 1. 00:22:18
Cuando no hay nada, 00:22:20
recuerda que era un más o menos 1, 00:22:21
según el signo. 00:22:23
4 menos 1, 3. 00:22:24
Pues 3x al cubo. 00:22:27
En el siguiente tengo x al cuadrado y 3x. 00:22:30
¿Cuál es el problema aquí? 00:22:33
x al cuadrado y x son diferentes, 00:22:37
como parte literal. 00:22:40
Luego, no son semejantes. 00:22:42
Luego yo no puedo hacer nada más. 00:22:44
No puedo sumar nada. 00:22:46
Ahí se queda. 00:22:48
¿Vale? 00:22:49
Y luego vamos a otro que dice 00:22:51
3x al cuadrado menos 5x, 00:22:53
más x al cuadrado y más 2x. 00:22:56
Bueno, yo voy a poder juntar 00:22:58
aquello que tenga la misma parte literal. 00:23:00
Las x al cuadrado con las x al cuadrado 00:23:02
y las x con las x. 00:23:04
3x al cuadrado más x al cuadrado, 00:23:06
que aquí está en color rojo, 00:23:08
son semejantes. 00:23:10
Pues 3 más 1, 4x al cuadrado. 00:23:12
Ahora, los términos con parte literal x, 00:23:15
en color azul, 00:23:19
menos 5x más 2x. 00:23:21
¿Misma parte literal? 00:23:23
Pues puedo sumarla. 00:23:25
Menos 5 más 2, menos 3, menos 3, x. 00:23:26
¿Vale? 00:23:30
El coeficiente va a cambiar 00:23:31
porque lo sumo o lo resto, 00:23:33
pero la parte literal se queda igual 00:23:35
cuando yo sumo o resto. 00:23:37
¿Vale? 00:23:38
¿Sí? 00:23:39
Y aquí ya pues no podré hacer más. 00:23:40
Ahí hemos terminado. 00:23:41
Suma o resta de monólogos. 00:23:42
¿Vale? 00:23:44
Para ello yo necesito que tengan, 00:23:46
que sean semejantes para poder sumar o restar. 00:23:48
¿Vale? 00:23:50
Que tengan la misma parte literal. 00:23:51
Ahora, 00:23:54
¿qué vamos a hacer cuando multiplicamos o dividimos? 00:23:55
Pues mirad. 00:23:59
Por un lado, 00:24:00
yo voy a multiplicar los coeficientes, 00:24:01
o los voy a dividir, 00:24:03
depende de lo que toque, 00:24:04
y voy a multiplicar o voy a dividir 00:24:05
la parte literal. 00:24:08
¿Cómo hacemos eso? 00:24:11
Mirad. 00:24:12
Caso sencillo. 00:24:13
3x por 7x. 00:24:14
Esos 3 por x por 7 por x. 00:24:17
Yo puedo cambiar el orden 00:24:20
y poner el 3 y el 7 al comienzo. 00:24:21
3 por 7. 00:24:23
¿3 por 7? 00:24:24
21. 00:24:25
Fijaros, 00:24:26
primero, 00:24:27
aunque esta parte intermedia 00:24:28
no tengáis que hacerla vosotros, 00:24:29
pero para que entendamos qué estamos haciendo, 00:24:30
digo, vamos a ver, 00:24:33
yo puedo cambiar el orden de los factores. 00:24:34
Me voy a poner primero los números, 00:24:36
luego las letras. 00:24:37
Y digo, 00:24:38
3 por 7 por x por x. 00:24:39
¿Vale? 00:24:41
Esto lo podéis hacer de cabeza. 00:24:42
Y yo digo, 00:24:44
oye, 3 por 7, 00:24:45
esto es un producto de los de toda la vida, 00:24:46
pues multiplico. 00:24:48
¿Cuánto es 3 por 7? 00:24:49
21. 00:24:50
Pero ahora nos encontramos con x por x. 00:24:52
¿Vale? 00:24:56
¿Qué sucede? 00:24:57
Que x y x, 00:24:58
yo puedo verlos como dos potencias. 00:25:00
x elevado a 1, 00:25:02
x elevado a 1. 00:25:03
La base es la misma, 00:25:05
que se llama x. 00:25:06
Cuando yo multiplico potencias con la misma base, 00:25:08
¿Vale? 00:25:11
El resultado es la misma base 00:25:12
y sumo los exponentes. 00:25:13
Luego pongo la x 00:25:16
y sumo 1 más 1, 00:25:17
En el siguiente, 00:25:21
mira, 5 por x por menos 2 por x al cubo. 00:25:22
¿Cuáles son los coeficientes? 00:25:25
5 y menos 2, 00:25:26
pues lo multiplico 5 por menos 2, 00:25:28
menos 10. 00:25:30
Y luego suelto x, 00:25:33
pues el resultado va a ser una x 00:25:35
y voy a sumar los exponentes. 00:25:36
x elevado a 1, 00:25:38
x elevado a 3, 00:25:39
1 más 3, 00:25:40
es 4. 00:25:41
¿Vale? 00:25:43
Si yo divido, 00:25:45
como este que veis aquí, 00:25:46
3x al cuadrado 00:25:47
entre 2x al cuadrado, 00:25:48
pues es lo mismo. 00:25:49
Por un lado divido, 00:25:50
3 entre 2, 00:25:51
que lo puedo dejar como 3 medios, 00:25:52
lo puedo dejar como 1,5, 00:25:54
y luego tengo x al cuadrado 00:25:56
entre x al cuadrado. 00:25:58
Al dividir, 00:25:59
lo que hago es 00:26:00
misma base 00:26:01
y resto de los exponentes. 00:26:02
En este caso concreto 00:26:04
es 2 menos 2, 00:26:05
Y cualquier número elevado a 0 es 1. 00:26:07
Este otro, a lo mejor, 00:26:10
es cierto que quita como está desarrollado 00:26:11
hasta para que tachéis. 00:26:13
¿Vale? 00:26:14
Lo vamos a ver en el papel, 00:26:15
algunos ejemplos. 00:26:17
En el papel. 00:26:21
A ver. 00:26:22
3 por x al cuadrado 00:26:24
por 5, 00:26:27
por y, 00:26:29
por x a la cuarta 00:26:30
y por y al cuadrado. 00:26:31
Este de aquí. 00:26:34
¿Cuál es la parte de coeficientes o numérica? 00:26:36
3 y 5. 00:26:40
Pues la multiplico 3 por 5, 00:26:42
15, 00:26:44
por, 00:26:46
como es un producto, 00:26:48
las x, 00:26:49
de momento me da igual el exponente. 00:26:50
Yo multiplico potencias con la misma base. 00:26:52
Pues el resultado tendrá una x y tendrá una y. 00:26:54
Yo ya sé que aquí va a haber x y va a haber y. 00:26:57
¿Cuál es el exponente de las x? 00:27:00
Pues a ver, x al cuadrado 00:27:02
lo multiplico con x a la cuarta. 00:27:03
Potencias con la misma base sumo exponentes, 00:27:05
porque es una multiplicación. 00:27:07
2 más 4, 00:27:09
x elevado a 6. 00:27:12
¿Y la y? 00:27:13
Y elevado a 1, 00:27:14
aunque no esté escrito aquí hay un 1, 00:27:16
y elevado a 2. 00:27:18
Pues 1 más 2, 00:27:19
¿Sí? 00:27:24
¿Lo veis? 00:27:25
Vale. 00:27:27
Bien. 00:27:33
Aquí tienes algunos ejercicios 00:27:34
pues si queréis practicar. 00:27:35
¿Vale? 00:27:37
¿Qué es un polinomio? 00:27:40
Pues es la suma de varios monomios 00:27:42
que no son semejantes. 00:27:45
Porque si fueran semejantes, 00:27:47
yo al final los sumo 00:27:48
y me queda uno solo, nada más. 00:27:50
Es decir, una vez que yo he simplificado, 00:27:52
que he sumado aquello que puedo sumar, 00:27:54
tienen que quedar dos o más monomios, 00:27:56
¿vale?, 00:27:59
que no son semejantes. 00:28:01
Eso es un polinomio. 00:28:02
Son varios monomios. 00:28:03
Aquí tenéis varios ejemplos, ¿vale? 00:28:05
En todos ellos al final 00:28:07
ya no puedo juntar nada. 00:28:09
No puedo juntar el x elevado a 4 00:28:10
con x al cubo, ni con la x, ni con el número. 00:28:12
¿Vale? 00:28:15
Porque son distintas partes literales. 00:28:16
Eso es un polinomio, ¿vale? 00:28:18
En un polinomio, 00:28:20
una de las cosas quizás más importantes, 00:28:22
¿vale?, 00:28:24
es lo que se llama el grado. 00:28:25
Para ver hacia dónde vamos a ir, 00:28:29
¿vale?, 00:28:31
pensad cuando hablamos de las ecuaciones. 00:28:32
Y usted cree que es una ecuación de primer grado, 00:28:34
ecuación de segundo grado. 00:28:36
Vale que en la ecuación hay una igualdad, ¿vale? 00:28:37
Pero va a haber expresiones algebraicas 00:28:39
con unos exponentes. 00:28:41
Al final ese grado del polinomio 00:28:42
es lo que me va a ir a marcar, ¿vale? 00:28:44
Si algo es de grado 4, si es de grado 3, 00:28:46
cuando hay una igualdad, hay una ecuación, 00:28:48
ya sabemos por dónde va a ir el 00:28:51
que es de grado 4 o grado 3. 00:28:53
De aquí nos va a venir, ¿vale? 00:28:55
En este caso el grado de un polinomio es 00:28:57
el mayor de los grados 00:28:59
de los monomios que lo forman. 00:29:02
Es decir, un polinomio, cojo este primero, 00:29:04
5x elevado a 4, más 2x al cubo, 00:29:06
menos 3x y más 1, ¿vale? 00:29:09
Hay cuatro términos que yo sumo, ¿no? 00:29:12
Bueno, aquí viene explicado. 00:29:14
En total hay cuatro términos que yo sumo. 00:29:16
El grado de 5x elevado a 4 es 4. 00:29:18
El de x al cubo, el grado es 3. 00:29:21
x elevado a 1, el grado es 1. 00:29:24
Y una cosa que no he dicho antes, 00:29:26
si no hay término independiente, 00:29:28
perdón, si no hay término independiente, 00:29:30
lo he dicho mal, perdón. 00:29:32
En un monomio no hay letra. 00:29:35
Es como si fuera x elevado a 0. 00:29:37
Cualquier número elevado a 0 es 1. 00:29:40
¿Vale? Entonces, en este caso, 1, 00:29:42
su grado es 0. 00:29:45
Cuando no hay parte literal. 00:29:47
Cuando no hay parte literal, el grado es 0. 00:29:49
Luego aquí los grados serían 4, 3, 1 y 0. 00:29:51
El grado del polinomio es el mayor, pues 4. 00:29:54
Este polinomio tiene grado 4, ¿vale? 00:29:57
¿Sí? 00:29:59
¿Y el de x elevado a 7? 00:30:01
Pues grado 1 y 7 tiene grado 0, 00:30:03
porque no hay parte literal. 00:30:05
Pues entre 1 y 0, grado 1. 00:30:07
¿X al cuadrado menos 8x menos 2? 00:30:09
Grado 2, grado 1, grado 0. 00:30:11
¿Pues el mayor? Grado 2. 00:30:13
¿Vale? 00:30:15
Y luego siempre al término 00:30:17
que no tiene parte literal, 00:30:20
es decir, el que tiene grado 0, 00:30:22
se le va a llamar el término independiente. 00:30:24
Al número, el número que va sin letra. 00:30:27
Este 1, este 7, ese menor 2, 00:30:29
eso es lo que se va a llamar 00:30:31
término independiente, ¿vale? 00:30:33
El que no lleva parte literal, ¿vale? 00:30:35
Y tiene grado 0. 00:30:37
Bueno, aquí viene 00:30:41
un ejercicio, por ejemplo, este polinomio. 00:30:43
7x al cubo, 00:30:45
menor 2x menos 3. 00:30:47
¿Cuál va a ser el grado del polinomio? 00:30:49
X al cubo parece que es. 00:30:53
Sí. 00:30:55
X al cubo es elevado a 3. 00:30:57
2x está elevado a 1. 00:31:01
Y el término independiente, grado 0. 00:31:03
Pues el grado va a ser grado 3. 00:31:05
El coeficiente principal es 00:31:07
el del término de mayor grado. 00:31:09
El coeficiente principal es el 7. 00:31:11
¿Y el término independiente? 00:31:13
El menos 3. 00:31:15
Signo incluido. 00:31:17
El coeficiente principal sería 7. 00:31:21
7 que es el número que multiplica 00:31:23
al monomio, digamos, 00:31:25
que tiene mayor grado. 00:31:27
En el de x al cuadrado más 5x, 00:31:31
¿cuál va a ser el grado? 00:31:33
El grado 2. 00:31:35
Grado 2. 00:31:37
¿Coeficiente principal? 00:31:39
De los dos monomios, el que tiene mayor grado 00:31:43
es x al cuadrado. 00:31:45
X al cuadrado. 00:31:47
¿Cuál es su coeficiente? 1. 00:31:49
Y el término independiente 00:31:51
es el número que va sin letras. 00:31:53
¿Quién va a ser aquí? 00:31:55
No viene ningún número. 00:31:59
Más 0. 00:32:03
Si yo sumo 1, ya lo cambio. Más 0. 00:32:05
El término independiente 00:32:07
va a ser 0. Cuando no hay término independiente, 00:32:09
es 0. 00:32:11
Porque estoy sumándolo. 00:32:13
Cuando yo multiplico la multiplicación, 00:32:15
el que no me cambia nada, 00:32:17
el elemento neutro es el 1 00:32:19
en la suma, el que no me cambia nada, 00:32:21
es el 0. 00:32:23
Lo siguiente. 00:32:31
Valor numérico 00:32:33
de una expresión algebraica 00:32:35
o valor numérico 00:32:37
de un polinomio. 00:32:39
Va a ser tan sencillo 00:32:41
como sustituir. Ya veréis. 00:32:43
El valor numérico de un polinomio, 00:32:45
para un valor completo, 00:32:47
se obtiene al sustituir la x 00:32:49
o la letra que toque 00:32:51
por el valor que digamos. 00:32:53
Aquí no viene un polinomio. 00:32:55
Un polinomio 3x al cubo 00:32:57
menos 7x al cuadrado más 8. 00:32:59
Este de aquí. 00:33:01
Me dice que calcule el valor numérico 00:33:03
cuando x vale 2 y cuando x vale menos 1. 00:33:05
Lo voy a hacer primero cuando x vale 2. 00:33:09
¿Qué hago? Donde hay una x, pongo un 2. 00:33:11
Y hago las cuentas. 00:33:13
Y cuando x vale 2, 00:33:15
para que lo veáis paso a paso, 00:33:17
lo voy a hacer en el papel casi mejor. 00:33:19
Estoy copiándolo. 00:33:21
Vamos a la cámara. 00:33:29
Cuando x vale 2, 00:33:31
tengo 3 por x. 00:33:33
Si me doy una x, pongo un 2. 00:33:35
Pero la x está elevada al cubo. 00:33:37
El 2 va elevado al cubo. 00:33:39
Menos 00:33:41
7 por x elevado a 2. 00:33:43
¿Quién es x ahora? 00:33:45
2 por 2 al cuadrado. 00:33:47
Y más 8. 00:33:49
Una vez que yo he sustituido, 00:33:51
lo único que tengo que hacer es 00:33:53
resolver numéricamente. 00:33:55
Calculo las potencias en primer lugar. 00:33:57
2 al cubo. 00:34:01
2 por 2 es 4. 00:34:03
Que nadie meta la pata y me diga 2 por 3 es 6. 00:34:05
No. Es 2 por 2 y por 2. 00:34:07
Que es 8. 00:34:09
Menos 7 por... 00:34:11
2 al cuadrado es 4. 00:34:13
Y más 8. 00:34:15
Es decir, 3 por 8 es 24. 00:34:17
Menos... 00:34:19
7 por 4. 00:34:21
28. 00:34:23
Y más 8. 00:34:25
Si no me quiero liar, sumo primero los positivos. 00:34:27
24 más 8. 00:34:29
24 más 8 me da... 00:34:31
32. 00:34:33
El resto de 28 me da 4. 00:34:35
Pues 4 es el valor numérico 00:34:37
de este polinomio, de esta expresión algebraica. 00:34:39
¿Vale? 00:34:41
Cuando X vale 2. 00:34:43
¿Vale? 00:34:45
Que lo tenemos ahí hecho. 00:34:47
¿Vale? Muchas veces, 00:34:49
a un polinomio se le da un nombre. 00:34:51
Y yo a este polinomio, 00:34:53
o a cualquier otro, 00:34:55
lo puedo llamar, por ejemplo, P de X. 00:34:57
P de polinomio. 00:34:59
Y digo P de X es 2X al cuadrado 00:35:01
más 3X. 00:35:03
A otro en vez de P lo puedo llamar Q. 00:35:05
Por ejemplo. 00:35:07
Venga, a este lo voy a llamar Q de X. 00:35:09
Es 4X al cubo 00:35:11
más X al cuadrado 00:35:13
más X 00:35:15
y más 1. 00:35:17
P, Q, R. Yo puedo darle nombre. 00:35:19
¿Y qué pasa? 00:35:21
Que si yo quiero sumarlo, 00:35:23
yo te pongo, oye, este es P, este es Q. 00:35:25
Pues cálculame quién es 00:35:27
el polinomio 00:35:29
PX más QX. 00:35:31
¿Quién va a ser? PX más QX. 00:35:33
La suma de estos dos polinomios, ¿no? 00:35:35
O sea, yo los pongo 00:35:37
y digo, a ver, ¿quién es P? 00:35:39
2X al cuadrado 00:35:41
más 3X 00:35:43
más el siguiente, pues el siguiente 00:35:45
más 4X al cubo 00:35:47
más X al cuadrado 00:35:49
más X 00:35:51
y más 1. 00:35:53
Pues aquí tengo una suma de polinomios, como hemos hecho antes. 00:35:55
Voy a ver qué puedo juntar. 00:35:57
A ver qué puedo juntar. Pues a ver, 00:35:59
voy a comenzar por el de mayor grado, ¿vale? 00:36:01
Si tengo grado 3, luego grado 2, luego grado 1. 00:36:03
X al cubo. X al cubo 00:36:05
solo tengo este. 00:36:07
¿Lo puedo juntar con alguien? No. 00:36:09
4X al cubo. 00:36:11
¿Qué más tengo? 2X al cuadrado 00:36:13
con X al cuadrado. 00:36:15
No hay más X al cuadrado. 00:36:17
La sumo. 2 más 1 00:36:19
Pues más 3X al cuadrado. 00:36:23
Términos en X. 3X 00:36:25
y una X. 00:36:27
3 y una, 4X. 00:36:29
Y términos independientes, 00:36:31
el 1 nada más. 00:36:33
Pues más 1. Ya está. 00:36:35
Pues ya he hecho la suma. 00:36:37
¿Vale? 00:36:39
Igual que de sumo, 00:36:41
pues podríamos restar. 00:36:43
¿Vale? 00:36:45
Vamos a ver. 00:36:47
Y por ejemplo, podríamos tener 00:36:49
que un polinomio sea 00:36:51
3X al cuadrado 00:36:53
más 2X 00:36:55
más 3 00:36:57
¿Qué otro? Perdóname. 00:36:59
Aquí no he puesto nada. Delante de la curva no hay nada. ¿Vale? 00:37:01
Q de X sea 00:37:03
X al cuadrado 00:37:05
menos X 00:37:07
más 4 00:37:09
Y ya os digo que 00:37:11
me restéis P de X menos Q de X. 00:37:13
¿Vamos a restarnos? 00:37:15
Pues escribo. ¿Quién es P de X? 00:37:17
Pues 3X al cuadrado 00:37:19
más 2X 00:37:21
y más 3. Y cuidado con esto. 00:37:23
Menos Q de X. 00:37:25
Pongo el menos 00:37:27
pero no me copiéis 00:37:29
todo a continuación. Porque si lo copiamos 00:37:31
todo a continuación. Mira, X al cuadrado 00:37:33
menos X más 4. 00:37:35
Este menos 00:37:37
yo lo he puesto aquí y me afecta solo al X al cuadrado. 00:37:39
No me está afectando al menos X tal como 00:37:41
yo lo he escrito. El menos, este, afecta a toda la Q. 00:37:43
Luego, este menos 00:37:45
afecta a todo. Pues yo lo pongo 00:37:47
a todo. Y un menos delante 00:37:49
lo que hace es cambiar de signo a todo lo de dentro. 00:37:51
A todo. Luego esto va a ser lo mismo 00:37:53
que si yo digo, a ver, 00:37:55
copio lo que está afuera 00:37:57
y ahora digo 00:37:59
menos. A ver, X al cuadrado. ¿Estaba positivo 00:38:01
dentro? Pues va 00:38:03
al negativo. Menos X 00:38:05
negativo. Pongo un menos delante. 00:38:07
Menos por menos. Más. 00:38:09
Más X. 00:38:11
Menos y más 4. 00:38:13
Menos por más. Menos. 00:38:15
Menos por más. Menos. 00:38:17
Menos por menos 4. 00:38:19
Vale. Ya lo tengo escrito 00:38:21
y he salvado la dificultad del signo. 00:38:23
¿Qué hago ahora? 00:38:25
Pues juntar lo que pueda. 00:38:27
X al cuadrado con X al cuadrado. Las X con las X 00:38:29
y los números con los números. 00:38:31
3X al cuadrado 00:38:33
y menos X al cuadrado. 3 menos 1. 00:38:35
2X al cuadrado. 00:38:37
2X y una X. 00:38:39
3X. 00:38:41
¿Y los números? 00:38:43
3 menos 4. 00:38:45
Menos 1. 00:38:47
Ya estaría. No puedo juntar más cosas. 00:38:49
¿Vale? 00:38:51
Paro la grabación para que no pase mucho 00:38:55
y seguimos en otro vídeo. 00:38:57
Subido por:
Diego R.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
23 de noviembre de 2023 - 20:02
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB SIERRA NORTE
Duración:
39′
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
655.57 MBytes

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