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AR1. 6.4 Propiedades de los logaritmos. Operaciones con logaritmos - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos las propiedades
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de los logaritmos y las operaciones con ellos. En esta videoclase vamos a estudiar las propiedades
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y las operaciones con logaritmos y vamos a comenzar con dos identidades que se deducen
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directamente a partir de la propia definición del logaritmo. El logaritmo en cualquier base del
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número 1 va a ser siempre igual a 0 independientemente de la base y eso es porque cualquier base elevado
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a 0 es igual a 1. Igualmente el logaritmo en cualquier base de ella misma va a ser igual a 1
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y eso es porque la base elevado a 1 va a ser idénticamente igual a sí misma. Estas dos
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propiedades las vamos a utilizar bastante siempre que tengamos que realizar ciertas operaciones con
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logaritmos. Vamos a hablar de la suma y resta de logaritmos con la misma base. Aquí lo que vemos
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es el logaritmo en base b de a más el mismo logaritmo en base b de a'. Aquí vemos logaritmo
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en base b de a menos el logaritmo en la misma base b de a'. Bien, pues lo que podemos hacer es expresar
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esta suma o esta resta de logaritmos como un único logaritmo. En el caso de la suma, el argumento va
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a ser el producto de los argumentos. En el caso de la diferencia, el argumento va a ser el cociente
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de los argumentos. Se pueden deducir estas propiedades, estas operaciones, igual que se
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pueden deducir todas las demás, sin más que transformando estos logaritmos que tenemos en
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el miembro de la izquierda en potencias, utilizando la definición del logaritmo, utilizando las
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propiedades de las potencias para operar y luego transformar, hacer la transformación inversa para
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obtener logaritmos. Fijaos en algo que es terriblemente importante. La suma de logaritmos
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con la misma base es igual al logaritmo del producto, igual que la diferencia de logaritmos
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con la misma base es igual al logaritmo del cociente, pero no al revés. Si nosotros nos
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encontramos con el producto de dos logaritmos, eso no equivale a una suma ni al logaritmo de la suma,
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y si nosotros nos encontramos con el cociente de logaritmos, aunque tenga la misma base,
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eso no va a ser equivalente al logaritmo de una resta. Así que hemos de tener cuidado si dentro
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del argumento de un logaritmo nos encontramos con una suma o una resta, eso no equivale al producto
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ni al cociente de logaritmos. La propiedad adecuada o la forma adecuada de operar es esta que vemos
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aquí, no intercambiando las operaciones entre sí. Otra operación con la que nos vamos a encontrar
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es con el logaritmo de una potencia, cuando en el argumento nos encontramos con una potencia.
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Bien, pues lo que podemos hacer es lo que localmente se denomina sacar la potencia y lo que vamos a
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hacer es poner esta potencia multiplicando como coeficiente al logaritmo del argumento en el cual
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ya no tenemos la potencia. Como caso particular, si nos encontramos con un radical, puesto que todos
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los radicales equivalen a potencias con exponente fraccionario, transformaríamos el radical en
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potencia y operaríamos de esta manera. En este caso, si nos encontramos con la raíz enésima de
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a en el argumento, lo que obtendremos fuera como coeficiente es 1 partido por n y lo que tendríamos
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el argumento, una vez que hemos extraído, por así decir, el índice, o en este caso
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el exponente de la potencia, sería el número a. También tenemos una forma de
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producir un cambio de base. Si nosotros tenemos un logaritmo en base b de a y
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estamos interesados en cambiar esa base en otra, por la razón que quiera que
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fuere, lo que podemos hacer es operar de esta manera, elegir una nueva base en la
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que estemos interesados, que sería, por ejemplo, b', y podemos expresar este logaritmo en base b de a
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como el cociente de logaritmo en la nueva base b' de a entre logaritmo en la nueva base b' de b.
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Equivalentemente, si nosotros despejáramos de aquí, podríamos encontrar una fórmula en la cual podemos
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producir un cambio de base en lugar de con un cociente con una multiplicación, como veríamos aquí.
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Este cambio de base tiene sentido en un momento dado cuando, por ejemplo, nosotros estemos interesados en calcular el logaritmo en una base, por ejemplo, 3, de un cierto argumento y nosotros vamos a utilizar una calculadora y nuestra calculadora únicamente tiene logaritmos decimales o logaritmos neperianos, por ejemplo.
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Hay muchas calculadoras actuales en las que podemos calcular un logaritmo en cualquier base, pero si nos encontramos en esa circunstancia, nosotros podríamos cambiar ese logaritmo en base 3 del argumento por un logaritmo decimal, una operación con logaritmos decimales o bien con logaritmos neperianos.
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Si elegimos como base 10, sería el logaritmo decimal del argumento entre el logaritmo decimal de 3, la base que tuviéramos aquí, igualmente con logaritmos neperianos.
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Con esto que hemos visto en esta videoclase y en la videoclase anterior, ya podemos resolver todos estos ejercicios involucrando operaciones con logaritmos.
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También podemos resolver este que tenemos aquí, en el cual no es directamente resolver una operación, sino que tenemos un argumento que tenemos que falsear.
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Algo no funciona en el argumento que se nos está dando y tenemos que encontrar dónde está el error.
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Todos estos ejercicios los resolveremos en clase, posiblemente lo resolveremos en alguna videoclase posterior.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 30
- Fecha:
- 22 de agosto de 2025 - 16:48
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 06′ 42″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 16.52 MBytes