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2ª Sesión T1.- Números Enteros 02-10-2025 - Contenido educativo

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Subido el 4 de octubre de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase del día 2 de octubre de matemáticas 00:00:00
vamos a recordar lo último que vimos el otro día 00:00:05
que era cómo se calculaba el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor 00:00:09
antes de aplicarlo a problemas 00:00:13
vamos a hacer por ejemplo el apartado C del ejercicio 8 00:00:17
que no era de los que teníais puestos para enviar 00:00:21
pero que nos vale para practicar 00:00:24
Bueno, queremos calcular el mínimo como múltiplo y el máximo como divisor de 30 y de 84. 00:00:26
Lo primero que hacíamos en los dos casos era factorizar los números. 00:00:34
Y factorizar un número consistía en buscar todos los divisores primos de ese número 00:00:42
y luego escribirle como un producto de estos divisores primos. 00:00:47
Entonces empezamos siempre de menor a mayor. 00:00:52
el menor número primo era el 2 y la regla para saber si un número se podía dividir entre 2 00:00:54
era que ese número acabase en una cifra par o en un 0 00:00:59
como el 30 acaba en 0, pues puedo dividirlo entre 2 00:01:03
diríamos 30 dividido entre 2 00:01:08
el resultado acordado lo poníamos debajo del 30 es 15 00:01:11
¿puedo seguir dividiendo entre 2? No, porque el 15 ya no es un número par 00:01:16
pasaba al siguiente número primo que era el 3 00:01:20
y la regla para saber si un número era múltiplo de 3 o se podía dividir entre 3 00:01:23
era que la suma de las cifras 1 más 5 00:01:27
6 fuese un múltiplo de 3, pues ya en este 00:01:31
caso, ya sé que el 15 está en la tabla del 3, pues no hago 00:01:35
no hace falta que haga esa regla, bueno, le puedo dividir entre 3 00:01:39
y me daría 5, como el 5 es un número primo 00:01:43
solo le puedo dividir entre él y el resultado me da 1, entonces 00:01:47
El 30 lo podíamos escribir como 2 por 3 y por 5. 00:01:50
Vamos a hacer lo mismo con el 84. 00:01:57
Como es par, lo divido entre 2 y me queda 42. 00:01:59
Como es par, lo divido entre 2 y me queda 21. 00:02:04
El 21 es múltiplo de 3, pues divido entre 3 y me queda 7. 00:02:08
El 7 es número primo, pues lo divido entre 7 y me queda 1. 00:02:12
luego el 84 lo puedo escribir como 2 elevado a 2 porque el 2 se repetía dos veces 00:02:15
y eso lo indicábamos poniendo lo que llamábamos un exponente encima de ese factor primo que estábamos controlando 00:02:22
multiplicado por 3 y por 7 00:02:30
y ahora en el segundo paso es donde se diferenciaban el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor 00:02:34
Y la diferencia era la siguiente, que cuando yo quería coger el mínimo común múltiplo de dos números, o de tres, o de cuatro, me da igual, el proceso sería el mismo. 00:02:43
Lo que necesitaba era ver qué factores iban a entrar dentro de ese mínimo común múltiplo. 00:02:52
Y los factores que teníamos que coger para hacer ese mínimo común múltiplo eran todos los que estuviesen repetidos o no en las dos factorizaciones, 00:03:00
y repetido será que estuviesen en las dos factorizaciones con los exponentes más grandes. 00:03:09
Entonces digo, está repetido el 2 en los dos sitios. 00:03:16
¿Cuál es el que tiene el exponente más grande? Este. 00:03:19
Luego cojo ese 2 al cuadrado. 00:03:22
¿Quién más está repetido? El 3 en los dos sitios. 00:03:25
Como aquí los dos tienen exponente 1, me da igual cuál coja de los dos. 00:03:30
Pues este mismo. 00:03:34
Y ahora digo, ¿cuáles son los que no están repetidos? 00:03:35
el 5 y el 7, pues esos los tengo que añadir también 00:03:37
porque me tengo que asegurar que el número que me salga 00:03:42
sea tan grande o más que este 84 00:03:45
que es el número más grande de los dos, si yo hubiese dejado sin coger 00:03:50
el 7 sería imposible sacar el 84, si hubiese dejado sin coger 00:03:53
el 5, ay, me he movido el 84, ¿vale? 00:03:58
entonces tengo que coger todos los factores repetidos 00:04:01
o no? Pues recordamos 00:04:05
todos los factores con los exponentes 00:04:09
mayores. Bueno, hacíamos 00:04:18
la multiplicación de estos 00:04:27
factores, hacíamos 2 al cuadrado es 4, por 3 00:04:30
por 5 y por 7, voy a ver que me da 00:04:35
y aquí pues vamos un poco con picardía 00:04:39
Voy cogiendo las multiplicaciones que me resulten más sencillas, no hace falta que las haga en orden ni nada. Pues 4 por 5 es 20, 20 por 3 es 60 y 60 por 7, 420. Luego en el orden que mi cabeza me deje calcularlo mejor. 00:04:43
Entonces, el menor de los múltiplos comunes a 30 y 84 es el 420. 00:05:02
Si hiciésemos por separado las tablas del 30 y el 84, sería el primer número que encontraríamos que se repitiese en ambas tablas. 00:05:10
Bueno, vamos a ver el máximo común divisor, recordadlo con vea, de 30 y 84. 00:05:20
Pues cuando queríamos calcular el máximo común divisor 00:05:27
La diferencia que teníamos es que si quiero que divida los dos números 00:05:31
Tendré que asegurarme que sean factores que estén repetidos en los dos números 00:05:35
Y si quiero que sea divisor siempre 00:05:40
Pues que esos factores repetidos sean lo más pequeños posible 00:05:43
Porque si cojo los grandes puede que divida uno sí y otro no 00:05:46
Entonces lo que cogíamos en el máximo común divisor 00:05:49
Eran solamente los factores repetidos 00:05:53
solo los factores repetidos 00:05:56
y con los exponentes más pequeños 00:06:01
¿quién tendré que coger en este caso? 00:06:10
pues los repetidos 00:06:21
eran, dijimos, el 2 y el 3 00:06:23
en los dos sitios, el exponente más pequeño 00:06:27
que tengo que coger, pues en este caso del 2 00:06:29
es este el más pequeño y de los 3 00:06:32
que eran iguales, pues da igual cualquiera de los dos que coja 00:06:35
entonces el máximo común divisor que yo está buscando 00:06:38
es 2 por 3, 6. El 6 es el divisor más grande que divide a 30 y 84 lados. El 420 es el múltiplo 00:06:41
más pequeño de 30 y 84 lados. Bueno, recordado esto, para que ahora podamos hacer las operaciones 00:06:53
bien, vamos a ver cómo aplicar esto a problemas. Os había puesto para que vosotros hicieseis 00:07:02
16, el 9 y el 10. Pues vamos a por el 11. Y os voy a dar un truquito para saber distinguir 00:07:11
qué tipo de problema es y qué cuentas tengo que aplicar según ese tipo de problema. Y 00:07:20
el truco va a ser el siguiente. Problemas con mínimo común múltiplo y máximo común 00:07:27
divisor. Pues vamos a fijarnos en dos 00:07:44
cosas. La primera, si el problema 00:07:48
me habla en algún sitio o me da a entender 00:08:03
que estoy tratando de coincidencias 00:08:08
¿vale? Cuando trate 00:08:12
de coincidencias, lo que haremos será 00:08:16
el mínimo común múltiplo. Y si el problema 00:08:26
me habla o me da a entender 00:08:30
que trata 00:08:32
de repartos 00:08:34
pues lo que haremos será el máximo 00:08:37
común divisor 00:08:42
teniendo claro esto 00:08:43
no tenemos que fallar en ningún problema 00:08:46
entonces tengo que leer muy despacito 00:08:50
el enunciado para que me quede 00:08:53
muy claro que es lo que quiere el ejército que haga 00:08:56
si un reparto o que calcule una coincidencia 00:08:58
Vamos a ver en los ejercicios cómo sería esto. 00:09:02
Vamos a hacer un par de ellos de cada tipo para que os quede bien claro 00:09:05
y luego podáis hacer vosotros el resto. 00:09:08
Me dice el ejercicio 11. 00:09:14
Tres amigos salen del mismo punto en una pista de atletismo. 00:09:16
Si sabemos que uno tarda tres minutos en dar una vuelta, 00:09:21
otro 120 segundos y el tercero un minuto y medio, 00:09:25
¿cuánto tiempo tardarán en volver a coincidir los tres? 00:09:28
¿Y cuántas vueltas dará cada uno al circuito? 00:09:32
Entonces, ¿en qué caso de los dos estaríamos, Elena? 00:09:36
¿En coincidencia o en reparto? 00:09:44
No sé si me oyes, ¿o estás por ahí? 00:09:49
Sí, sí, sí, estoy aquí. 00:09:52
¿En cuál crees tú que estaríamos de los dos? 00:09:54
Ahí. 00:09:58
Está diciendo que tres amigos están corriendo por una pista. 00:10:03
Y te pregunta que cuánto tiempo van a tardar en coincidir. 00:10:07
Yo creo que... 00:10:13
Me lo está diciendo directamente. Coincidencia. 00:10:14
Uno tarda tres minutos en cada vuelta, el otro 120 segundos y otro un minuto y medio. 00:10:19
Entonces yo me quedo con esos datos. 00:10:24
El problema trata de coincidencia. 00:10:25
y si sé que trata de coincidencia 00:10:30
ya sé que voy a tener que hacer el mínimo como múltiplo 00:10:36
¿de quién hago ese mínimo como múltiplo? 00:10:38
de los tiempos que tardan en dar una vuelta 00:10:41
pero cuidadito porque esos tiempos 00:10:43
me los pueden haber dado un poquillo 00:10:46
raros 00:10:49
y digo raros en este caso porque no me los ha dado 00:10:51
en las mismas unidades, me dice que el primero 00:10:55
tarda 3 minutos por vuelta 00:10:57
que el segundo tarda 00:11:01
120 segundos por vuelta 00:11:03
y que el tercero tarda 00:11:07
1,5 minutos por vuelta 00:11:09
entonces me están mezclando las unidades 00:11:13
en unos me habla de minutos y en otros me habla de segundos 00:11:14
¿qué haré cuando me ocurra esto? 00:11:17
tanto aquí en matemáticas en los problemas como cuando lleguemos 00:11:21
en ciencias a la parte de física 00:11:24
por lo que haré siempre, primero antes de empezar a hacer ninguna operación 00:11:25
ajustar las unidades, poner todas las unidades con la misma medida 00:11:30
y lo que me interesa en este caso es no tener números decimales 00:11:34
si me quiero deshacer de este minuto y medio y que no tenga decimales 00:11:40
pues lo que puedo hacer es pasar todo a segundos 00:11:46
entonces ese que tardaba 3 minutos, si lo pongo en segundos 00:11:48
como cada minuto son 60 segundos 00:11:52
sería 3 por 60 00:11:54
180 segundos 00:11:57
el segundo me lo daba ya en segundos 00:11:59
pues no tengo que hacer nada, se queda como estaba 00:12:02
y el tercero que me decía que era un minuto y medio 00:12:04
pues digo 1,5 por 60 00:12:08
¿cuánto es? pues 90 segundos 00:12:11
y ya tengo todas las velocidades 00:12:14
de estos tres chicos con las mismas unidades 00:12:16
Ahora digo, hombre, pues ahora sí, ahora ya esto tiene mejor pinta 00:12:21
Ya como sabíamos que era una coincidencia 00:12:24
Lo que tengo que hacer, según el razonamiento que hemos dicho 00:12:28
Es calcular el mínimo común múltiplo 00:12:32
De ese 180, del 120 y del 90 00:12:34
Porque eso me dirá cuál es el múltiplo de los tres la vez 00:12:39
O sea, cuánto tiempo tiene que pasar 00:12:43
Para que los tres vuelvan a estar juntos en la salida 00:12:46
¿vale? como siempre 00:12:50
pues para hacer eso 00:12:53
factorizamos los números 00:12:54
tranquilamente y con cuidado 00:12:56
porque si me confundo en la factorización 00:12:59
pues luego todas las operaciones van a ir mal 00:13:01
entonces hacemos las 00:13:02
factorizaciones tranquilamente y digo 00:13:04
180 entre 2 00:13:06
a 90 00:13:08
puedo seguir dividiendo entre 2 porque es par 00:13:09
a 45 00:13:12
ya no puedo seguir dividiendo entre 2 00:13:14
pero como 4 más 5 00:13:17
son 9, que es múltiplo de 3, puedo dividir entre 3, que me daría 00:13:19
15. El 15 sé que es múltiplo de 3, pues vuelvo a dividir 00:13:23
entre 3, que me da 5. El 5 es primo, pues entre 5 00:13:27
y he terminado. Entonces me ha quedado 2 00:13:31
elevado a 2, por 3 elevado a 2 y por 5. 00:13:34
Hago la factorización del 120, igualmente 00:13:40
entre 2 a 60, entre 2 00:13:43
a 30, entre 2 a 15 00:13:47
el 15 dijimos que era múltiplo de 3, 5, 5 y 1 00:13:51
entonces me queda 2 elevado a 2 00:13:56
perdón, 2 elevado a 3 00:13:59
por 3 y por 5, y el último 00:14:02
el 90 entre 2, 45, si os fijáis 00:14:10
esa ya la tengo hecha aquí, ya me salió el 90 antes 00:14:14
Pues la copio. Entre 3 a 15, entre 3 a 5, 5 y 1. Pues el 90 es 2 por 3 elevado a 2 y por 5. 00:14:18
Elena, como queríamos hacer el mínimo común múltiplo, ¿con qué factores me tengo que quedar? 00:14:34
Espera que os te voy a dar una chuleta. Con los exponentes mayores. 00:14:43
con los exponentes mayores de los todos 00:14:49
de los repetidos 00:14:54
no, de todos, repetidos y no repetidos 00:14:55
para que no te dejen ningún factor atrás 00:14:58
entonces los exponentes mayores 00:15:01
pues del 2 00:15:02
el 2 al cubo 00:15:04
del 3, el 3 al cuadrado 00:15:06
y luego el 5 00:15:09
como en todos es igual, pues cojo el que me dé más rabia 00:15:10
aquí todos eran repetidos 00:15:13
pero si me ha salido alguno no repetido 00:15:15
le tengo que coger también 00:15:17
entonces el número que estoy buscando es 2 00:15:18
elevado a 3, por 3 elevado a 2 00:15:21
y por 5, que eso sería, pues 2 elevado a 3 es 00:15:25
8, que era 2 por 2 por 2, el 3 elevado 00:15:29
a 2 es 9, porque es 3 por 3 00:15:33
y por 5, y como os decía antes, pues esta cuenta 00:15:36
con mejor me la pueda yo acomodar en mi cabeza, y la forma 00:15:41
más fácil de acomodármela es decir, 8 por 5 00:15:45
40 y ahora ese 40 lo multiplico por 9 00:15:48
que me va a dar 360. ¿Qué es este 00:15:52
360? Pues son los segundos 00:15:56
que tardan en volver a coincidir. 00:16:00
¿Vale? O sea que la primera pregunta 00:16:15
la tenemos, que me decía ¿cuánto tiempo tardarán en coincidir 00:16:17
los tres? No me han dicho que lo diga ninguna unidad concreta, pues yo 00:16:22
la que me ha salido que eran segundos 00:16:26
¿vale? ya tengo la primera respuesta 00:16:28
a lo que me preguntaban 00:16:31
ahora lo segundo que me preguntan es 00:16:34
¿cuántas vueltas da cada uno? 00:16:37
¿cómo puedo calcular las vueltas que da cada uno? 00:16:40
pues la forma de calcular las vueltas que da cada uno 00:16:46
antes de volver a coincidir es decir 00:16:48
a ver, cambio de color que lo veáis mejor 00:16:50
el número de vueltas 00:16:54
de cada corredor 00:16:57
El primero, pues como tardan en coincidir 360 segundos y él tardaba en dar una vuelta 180 segundos, que dijimos, pues las vueltas que va a dar es 360 entre 180, dos vueltas. 00:17:04
El segundo corredor, esos 360 segundos que tardan en coincidir, si lo divido entre los 120 segundos que tarda en dar cada vuelta, ¿cuántas vueltas va a dar? 00:17:27
pues 360 entre 120 00:17:43
3 vueltas 00:17:46
y el tercer corredor 00:17:48
si cojo esos 300 segundos 00:17:52
entre los 00:17:56
¿cuánto tardaba este en dar una vuelta? 00:17:59
90 segundos 00:18:02
pues da 4 vueltas 00:18:03
o sea que el que iba más rápido 00:18:07
va a dar más vueltas antes de coincidir 00:18:11
y el que iba más lento va a dar menos vueltas 00:18:13
antes de coincidir. 00:18:16
Lógico, ¿no? 00:18:18
Pues cuando hagáis así los problemas 00:18:20
razonaditos, despacito 00:18:22
y veáis que el resultado 00:18:24
tiene lógica 00:18:27
pues lo más 00:18:28
razonable es pensar 00:18:29
que lo he hecho bien. 00:18:32
Ahora hago las cuentas y me sale un resultado 00:18:34
que ya veo que no tiene ni pies ni cabeza 00:18:36
pues darle un repasito. 00:18:38
Que si no luego lo veo y digo 00:18:40
madre mía, pero qué está haciendo esta persona, que está poniendo una cosa que no hay por donde agarrarla 00:18:42
y se ha quedado tan tranquilo. Sabemos más cosas de las que creemos. 00:18:49
El razonamiento lo tenéis muy desarrollado ya del día a día. No tengáis miedo a los problemas. 00:18:54
Son muchas veces muchísimo más fáciles que lo que nosotros les hacemos. 00:19:00
Los hacemos difíciles porque nos empezamos a agobiar pensando que no voy a saber hacerlo. 00:19:05
y no, sí que sabéis hacerlo, porque lo estáis haciendo todos los días 00:19:09
lo que estamos ahora recordando, repasando o aprendiendo es 00:19:12
cómo escribirlo en forma matemática 00:19:16
ordenadito y que todo el mundo lo pueda entender 00:19:21
¿vale? Elena, ¿entendido este de aplicación 00:19:23
del mínimo común múltiplo? Sí, entendido 00:19:29
Sí, bueno, vamos a ver uno de aplicación del máximo común divisor 00:19:33
Si miramos, por ejemplo, el ejercicio 12, pues lo que hay es hacer una pareja que trabaja de ATS, tiene jornadas nocturnas y uno trabaja cada 8 días y otro cada 12 días, ¿cuándo vuelven a coincidir? 00:19:38
Pues este va a ser otra vez de mínimo con múltiplo, de mínimo con múltiplo, otra vez coincidencias, ¿vale? 00:19:50
Ahora vamos a ver el 14, que me dice que un profesor quiere hacer grupos del mismo tamaño con los alumnos de dos de sus clases. 00:19:56
Si en la primera hay 24 alumnos, en la segunda hay 36, 00:20:07
¿cuántos alumnos como máximo podrá colocar en cada grupo sin que se le mezcle una clase con otra? 00:20:12
Y entonces, ¿cuántos grupos saldrían en cada clase? 00:20:18
¿Qué estaríamos haciendo en este ejercicio? 00:20:22
¿De qué me estaría hablando? ¿De una coincidencia o de un reparto? 00:20:26
¿A qué le atribuirías tú este ejercicio, Elena? 00:20:32
¿A coincidencias como el ejercicio de antes de tiempos? 00:20:35
¿O a repartir alumnos en grupos? 00:20:38
Yo creo que a repartir 00:20:44
A repartir, pues nada, cuando yo me doy cuenta de eso 00:20:45
Llego y digo, el ejercicio 14 es de repartos 00:20:48
Y si es de repartos, ¿qué tengo que usar? 00:20:51
¿Qué operación voy a tener que hacer? 00:20:55
¿Para repartos qué dijimos que hacíamos? 00:20:59
Pues para repartos hacíamos el máximo común divisor 00:21:08
¿Vale? 00:21:10
Elena 00:21:15
Aquí estoy, aquí estoy 00:21:16
Voy a contestar a mi mujer. Perdón, perdón. Como es de repartos, máximo común divisor. Entonces, me calculo ese máximo común divisor y luego ya interpretaré los resultados. ¿De quién quiero hacer ese máximo común divisor? Pues de los 24 alumnos y los 36. 00:21:19
Pues máximo común divisor de 24 y 36 00:21:40
La misma historia de siempre 00:21:46
Lo primero factorizar y luego ver qué factores me tengo que dar 00:21:49
Factorización, pues 24 entre 2 a 12 00:21:54
Puedo seguir dividiendo entre 2, me da 6 00:21:58
Puedo seguir dividiendo entre 2, me da 3 00:22:01
3 y 1, entonces me ha salido 00:22:04
2 elevado a 3 por 3 00:22:06
hago la del 36, digo 36 entre 2 00:22:10
18 entre 2, 9 00:22:14
el 9 le puedo dividir entre 3, que me da 3, 3 y 1 00:22:18
entonces me ha quedado 2 elevado a 2 por 3 elevado a 2 00:22:22
como ahora estoy haciendo el máximo como un divisor 00:22:26
con qué factores me tengo que quedar 00:22:30
Y ahora sí son los que tú querías antes, Elena 00:22:33
¿Cuáles eran? 00:22:36
Para el máximo común divisor 00:22:38
Solo cogemos los repetidos 00:22:39
Y exponentes más pequeños 00:22:43
Son los repetidos, que aquí resulta que se están repitiendo los mismos 00:22:44
El 2 y el 3 en los dos sitios 00:22:47
Pero ¿qué exponente cojo de esos repetidos? 00:22:50
¿El más grande o el más pequeño? 00:22:54
Los divisores más grandes 00:22:58
No, perdona, los exponentes más pequeños 00:22:59
los más pequeños. Acuérdate, si quiero que sea múltiplo, quiero lo más grande 00:23:02
porque el múltiplo es un número mayor. Ahora, si quiero que sea divisor, quiero 00:23:06
que sea más pequeño. Entonces, cojo lo mismo, ¿vale? Acuérdate de ese detalle para que 00:23:10
porque si no es muy fácil confundirlos. Múltiplo, quiero un 00:23:14
número mayor. Divisor, quiero un número más 00:23:18
pequeño. Pues en 1, todos comunes y no comunes con los 00:23:22
exponentes más grandes. Aquí, solo los repetidos con los exponentes más 00:23:26
pequeños, entonces tengo que quedar con el 2 al cuadrado y con el 3, que son los más 00:23:30
pequeños. Pues 2 al cuadrado por 3, eso sería 4 por 3, 12. ¿Qué quería decir este 00:23:36
12? Pues era el número de alumnos que había en cada grupo, o sea que 12 son los alumnos, 00:23:46
hay que explicar siempre los resultados para que yo lo entienda 00:23:59
y para que vosotros veáis si habéis terminado de contestar a la pregunta que os hacía 00:24:04
o os faltan cosas, son los alumnos que habrá en cada grupo 00:24:07
pero me preguntaba algo más, me decía 00:24:15
¿cuántos alumnos como máximo formarán cada grupo? 00:24:23
y además ¿cuántos grupos saldrán en cada una de las clases? 00:24:27
¿cómo calculamos eso segundo? 00:24:33
de cuántos alumnos va a haber en cada clase. 00:24:34
¿Qué se te ocurre, Elena, que puedes hacer ahora 00:24:43
para repartir cada una de las clases que teníamos, 00:24:45
la de 24 y la de 37, en grupos de 12? 00:24:49
¿Repartir qué operaciones? 00:24:54
¿Dividir, no? 00:24:59
Claro. 00:25:00
Pues digo, clase A, por ejemplo, 00:25:01
tenía 24 alumnos, 00:25:04
quiero repartirlos en grupos de 12, 00:25:06
Pues me salen dos grupos. 00:25:09
Y la clase B, tenía 36 alumnos, la quiero repartir en grupos de 12, pues me salen tres grupos. 00:25:12
Ya está, sin más. O sea, no le busquéis cinco pies al gato que no los va a tener. 00:25:21
Tal cual, cuanto más sencillo penséis que es la operación, más estáis acertando. 00:25:27
Si empezáis a pensar cosas raras es cuando ya me entendéis hacer cuentas raras y sale lo que Dios quiera, ¿vale? 00:25:33
¿Vale? Ya está. El número mayor de alumnos que puedo tener para que no se me mezclen los alumnos de una clase con otra son 12, porque es el mayor de los divisores que tienen en común. Una vez que sé ese número de alumnos, solo tengo que repartir contra ese número de alumnos y ya está para ver los grupos, sin más. ¿Vale? 00:25:38
¿he entendido el máximo común divisor? 00:26:00
sí, sí 00:26:08
te lo vamos a ver ahora 00:26:08
hoy solo le vamos a dedicar a problemas 00:26:10
porque quiero que los vayáis 00:26:12
creando bien desde el principio 00:26:14
porque el objetivo final en todos los temas es 00:26:16
aplicar los problemas 00:26:18
y además quiero que veáis que no hay que tenerles miedo 00:26:19
que son mucho más sencillos 00:26:23
de lo que parece 00:26:24
¿vale? solo es 00:26:26
quedarme con estos pequeños trucos 00:26:28
que son trucos que son de puro razonamiento 00:26:30
como que digo, la cuenta de la vieja 00:26:33
pura y dura es la que me va a llevar siempre 00:26:35
al mejor resultado 00:26:37
bueno, pues os había puesto 00:26:38
de Benes también 00:26:40
me parece que era él 00:26:42
bueno, eran de estos 00:26:44
eran el 9 y el 10, vale, entonces cualquiera 00:26:48
de estos nos vale, vamos a ver uno que no sea 00:26:50
en las cuentas muy largas para que no dé tiempo 00:26:52
para que te dé tiempo de decirme cómo hacerle 00:26:54
vale, porque me lo vas a decir tú 00:26:57
Elena 00:26:59
por ejemplo, dice, dos amigos cronometran 00:26:59
sus relojes, cronometra sería sincronizan, aquí se han confundido 00:27:02
o han iniciado, sincronizan sus relojes a las 4 de la tarde 00:27:07
y conectan sus alarmas, uno la pone cada 15 minutos 00:27:09
y el otro cada 18, ¿cuándo volverán a sonar 00:27:14
los dos relojes a la vez? 00:27:18
estuve pensando de qué tipo de ejercicio es 00:27:23
si de mínimo como múltiplo o de máximo como divisor 00:27:26
Estamos en el ejercicio 15. Te lo dejo leer otra vez, Elena. A tu ritmo. Dos amigos sincronizan sus relojes a las 4 de la tarde. Conectan las alarmas y una la pone para que suene cada 15 minutos y la otra para que suene cada 18. 00:27:30
¿Cuándo volverán a sonar a la vez? 00:28:00
¿De qué me está hablando aquí indirectamente? 00:28:04
¿De una coincidencia o de un reparto? 00:28:07
¿Qué te parece a ti? 00:28:14
¡Lena! ¿Estás ahí o te me has escapado? 00:28:25
Pues parece que se ha desconectado 00:28:30
Sin querer, pues estaríamos hablando de una coincidencia 00:28:41
Como es una coincidencia de tiempos 00:28:46
Mínimo como múltiplo 00:28:51
Mínimo como múltiplo 00:28:53
de quién? Pues de esos 15 minutos y esos 18 minutos. Vamos a ver cuántos minutos tendrían 00:28:56
que pasar para que vuelvan a sonar las alarmas a la vez. La factorización del 15, pues divido 00:29:06
entre 3, 5, 5 y 1. La factorización del 18, divido entre 2 lo primero, 9, entre 3, 3, 00:29:15
3 y 1. Entonces, tengo por un lado 3 por 5 y por otro lado 2 por 3 al cuadrado. 00:29:26
Como estoy hablando de mínimo común múltiplo, me tengo que quedar con los factores repetidos y no repetidos con los exponentes más grandes. 00:29:36
Pues entonces me tendré que quedar con el 2, que no está repetido. 00:29:45
ahora entre el 3 y el 3 al cuadrado 00:29:49
que es el único factor que se repita 00:29:53
me quedo con el más grande de los dos 00:29:54
y luego también con el 5 que no estaba repetido 00:29:58
entonces tengo que hacer 2 por 3 al cuadrado 00:30:02
y por 5 00:30:06
pues sería 2 por 9 00:30:07
que es 3 al cuadrado 00:30:11
3 por 3 y por 5 00:30:12
la misma historia de siempre 00:30:15
Hago las multiplicaciones como mejor me organice yo en mi cabeza. 00:30:17
En este caso, pues 2 por 5, 10, y 10 por el 9, 90. 00:30:22
Pues 90 minutos tardan en volver a sonar las alarmas a la vez, ¿vale? 00:30:29
nada más, como no me preguntaban 00:30:50
con una unidad completa, pues así me valdría la solución 00:30:54
si me preguntasen que a qué hora 00:30:59
volverían a sonar las alarmas a la vez, pues lo único que hago es 00:31:02
decir, bueno, pues como habían sonado la primera vez 00:31:06
juntas a las 4 de la tarde 00:31:10
la hora sería esas 4 00:31:12
de la tarde más 90 minutos 00:31:23
pues nos habríamos ido 00:31:30
a las 5 y 30 minutos 00:31:33
de la tarde, luego solo es 00:31:39
interpretar tranquilamente la solución 00:31:44
ajustándola a como me hayan hecho la pregunta 00:31:48
sin más, no me complico más la vida para nada 00:31:51
si no me lo preguntan en un formato concreto 00:31:55
pues yo doy la respuesta más sencilla y ya está, he terminado 00:31:58
no me complico yo solo la vida 00:32:02
que me preguntan, pues solo os das una pequeña vuelta de tuerca 00:32:03
al resultado que ya sabemos cuál es 00:32:07
bueno, pues esto sería 00:32:09
la forma de tratar los ejercicios 00:32:17
aplicando el mínimo como múltiplo y el máximo como divisor 00:32:22
os comento por encima sin hacer las cuentas 00:32:25
que ya no nos da tiempo a calcularlas despacito, pues por ejemplo, en el ejercicio 16 me dice que tengo en una bodega 00:32:28
tres toneles de vino con unas capacidades de 250 litros, 360 y 540. 00:32:35
Quiero invasar esos toneles de vino en garrafas que sean iguales y de la mayor capacidad posible. 00:32:42
y me pregunta que de cuánto tienen que ser esas garrafas 00:32:51
y cuántas garrafas necesitaré. 00:32:57
¿Qué estamos haciendo en este ejercicio? 00:33:00
Repartir. 00:33:03
Repartir el vino de los toneles en garrafas más pequeñas. 00:33:05
Si es un ejercicio de repartir, tendré que hacer el máximo común divisor. 00:33:10
¿Máximo común divisor de quién? 00:33:16
del 250, 360 y 540 00:33:18
que saldrá lo que sea 00:33:22
cuando sepa, imaginaos que me sale que es 00:33:25
el 10, por ejemplo 00:33:28
va a ser un poco más grande 00:33:31
pues lo que sabré ahí es que las garrafas son de 10 litros 00:33:32
y cuando me pregunte en la segunda parte 00:33:37
que cuantas garrafas necesito, pues diré 00:33:40
bueno, pues para tener en torno al que da de 250 00:33:42
por los 150 litros, repartido, o sea, dividido en garrafas de 10, necesito 25 garrafas. En el segundo tonel, que era de 360 litros, repartido en garrafas de 10 litros, 00:33:45
pues necesito 360 garrafas. Y en el último, que era de 540 litros, pues repartidos en 10 litros, pues serían 54 garrafas. Y ya está. 00:33:57
O sea, la parte, digamos, un poco más complicada con la que tengo que tener más cuidado es la inicial de qué tengo que aplicar, si el máximo como un divisor o el mínimo como un múltiplo. 00:34:07
Cuanto yo identifico cuál de los dos es, pues luego se hacen las cuentas con cuidadito para no confundirme en las operaciones, pero no hay nada más, ¿vale? 00:34:21
vamos a ver un pelín de teoría de avance para el próximo día 00:34:30
en los 10 minutitos que me quedan 00:34:40
vamos a ver ahora cómo se opera con los números enteros 00:34:43
recordad a lo mejor alguna cosa que se os pueda haber olvidado 00:34:47
o que no lo hayáis oído de estas operaciones 00:34:50
los números enteros sabemos que eran los números naturales 00:34:54
que eran el 0 con los positivos 00:34:57
más los números negativos 00:34:59
pues vamos a recordar algo que se llama valor absoluto 00:35:02
que lo que me hace el valor absoluto es quitar el sigma 00:35:06
porque la definición de valor absoluto es 00:35:11
la distancia a la que el número se encuentra del 0 00:35:14
por ejemplo, el valor absoluto del menos 2 es 2 00:35:17
porque está a 1 y 2 pasitos del 0 00:35:20
el valor absoluto del 6 es 6 00:35:24
porque está a 1, 2, 3, 4 00:35:27
5 y 6 pasitos del 0 00:35:31
pero la del menos 6 también sería 6 00:35:34
porque está a 1, 2, 3, 4, 5 y 6 pasitos del 0 00:35:37
o sea que distancia a la que me encuentro del 0 00:35:43
me da igual por la izquierda que por la derecha 00:35:47
o por arriba o por abajo, como lo queráis ver 00:35:50
entonces, a efectos prácticos 00:35:53
lo que estoy haciendo es quitar el signo 00:35:56
signo, omitir el signo, pues con eso es lo que me voy a quedar, valor absoluto se representa 00:35:59
con dos barritas a los lados del número, pues digo valor absoluto de menos 5, le quito 00:36:05
el signo al menos 5 y me queda el 5 solo, valor absoluto del más 5, le quito el signo 00:36:11
al 5 y me queda el 5 solo, valor absoluto del 0, como el 0 no tenía el signo, se queda 00:36:16
como está, valor absoluto del menos 18, le quito el signo y se queda el 18 solo, pues 00:36:22
Y ya está. Eso sería el valor absoluto. 00:36:27
¿Qué es el opuesto de un número? 00:36:31
Pues el opuesto de algo es lo contrario. 00:36:33
En el caso de los números, pues el opuesto de estar tres pasos a la derecha será estar tres pasos a la izquierda. 00:36:37
El opuesto de estar a la derecha del cero es estar a la izquierda del cero. 00:36:48
O sea que el opuesto del cuatro será el menos cuatro. 00:36:51
el opuesto del 6 será el menos 6 00:36:55
por así decirlo es como buscar el simétrico 00:36:58
respecto al 0, si por el 0 yo pusiese una rayita 00:37:01
y doblarse por ella, pues el 1 cae encima del menos 1 00:37:04
el 2 encima del menos 2, el 3 encima del menos 3 00:37:07
pues eso es lo que estamos haciendo al hacer el opuesto 00:37:10
a efectos prácticos, pues calcular el opuesto es 00:37:12
cambiar el signo al número 00:37:16
opuesto de menos 5, pues el menos le convierto en un más 00:37:17
más 5, opuesto de más 5 00:37:22
el más le convierte en un menos, menos 5, opuesto del 0 00:37:25
como el 0 no tiene signo, pues se queda como está, opuesto 00:37:29
de menos 18, pues el menos le convierte en un más, más 18 00:37:33
ya lo tendríamos, vamos a recordar 00:37:36
cómo se suman y restan números enteros, vale 00:37:44
y al sumar o restar números enteros, aunque pongo aquí 00:37:47
esas reglas de signos, lo que vamos 00:37:51
a pensar en otra cosa mucho más práctica. Para nosotros, los números positivos, si 00:37:56
pensamos en dinero, es que tengo ingresos en mi cuenta. Y números negativos, que hago 00:38:03
gastos de mi cuenta. ¿Cómo echamos nosotros las cuentas en nuestras casas para saber si 00:38:10
me ha sobrado o me ha faltado dinero? Pues lo que hacemos es sumar todos los ingresos, 00:38:15
o sea, sumar todos los positivos por un lado, sumar todos los gastos, o sea, sumar todos los negativos por otro 00:38:20
y al final coger y restar los resultados. A los positivos le resto los negativos, o sea, a los ingresos que he tenido en total 00:38:29
que es lo que llamábamos en las cuentas del banco el débil, le resto lo que me he gastado, el haber 00:38:38
Y lo que me queda de resultado es el saldo. Si me he gastado más dinero del que tenía, pues me quedo en números rojos, me sale un número negativo. Si me he gastado menos dinero del que tenía, me quedo en saldo positivo, me queda un número positivo. 00:38:45
Pues esa es la forma de sumar números enteros, agruparlos por el mismo signo y restar los resultados finales, que es lo que pongo en esta segunda parte. 00:39:03
La otra es muy parragosa y muy larga, que es el hacer las cuentas una a una. 00:39:16
Fijaos mejor en esta parte. 00:39:24
junto todos los negativos por un lado 00:39:26
menos 3, menos 2, menos 5 y menos 1 00:39:28
que me sale menos 11 00:39:31
y los positivos por otro 00:39:33
10 y 8, 10 y 8 00:39:34
y luego el resto de los resultados 00:39:37
eso es mucho más práctico 00:39:39
y más seguro 00:39:41
con lo cual me voy a equivocar 00:39:42
mucho menos 00:39:45
recordamos como se multiplicaban 00:39:46
y dividían 00:39:49
números enteros 00:39:51
esto lo voy a volver a recordar el próximo día 00:39:52
porque vamos a ir un poco más de prisa 00:39:55
y nos queda poco tiempo 00:39:57
pues para multiplicar y dividir números enteros 00:39:59
hay que tener mucho cuidado 00:40:02
con los signos 00:40:03
perdón 00:40:06
porque los signos van a 00:40:06
pesar mucho en esta operación 00:40:10
¿cómo controlo 00:40:13
esos signos? pues con lo que se llama 00:40:15
la regla de los signos 00:40:17
si los signos son iguales 00:40:18
si yo multiplico 00:40:21
dos números positivos 00:40:23
o multiplico dos números negativos, el resultado final será positivo. 00:40:25
Ahora, si tengo uno de cada, si multiplico un positivo por un negativo 00:40:30
o un negativo por un positivo, el resultado es negativo. 00:40:35
O sea que signos iguales, resultado positivo. 00:40:38
Signos distintos, resultado negativo. 00:40:42
Y esa misma regla de signos vale también para la división. 00:40:45
Si divido dos números positivos, me da positivo. 00:40:49
Si divido dos números negativos, me dan positivo también. 00:40:52
Ahora, si divido un positivo entre negativo o un negativo entre positivo, el resultado es negativo. 00:40:56
Pues ahí tenéis varios ejemplos para ver. 00:41:03
Entonces, signos iguales, resultado positivo. 00:41:06
Signos distintos, resultado negativo. 00:41:09
¿Qué pasará si en vez de solo un par de números tengo más? 00:41:16
Pues nada, que tendré que controlar la regla de los signos de todos ellos 00:41:21
¿Cómo la voy controlando? 00:41:26
¿Uno a uno? Pues no, no me interesa 00:41:30
Lo puedo hacer del tirón y así cargamos menos 00:41:32
¿Qué hago? Pues hacer la regla de los signos de todos 00:41:37
En este caso negativo por negativo por negativo 00:41:40
Y por positivo lo que hago es quedarme con que 00:41:43
Si hay un número par de negativos 00:41:45
el resultado va a ser negativo 00:41:50
pero si hay un número impar de negativos 00:41:52
el resultado, perdón, si hay un número par 00:41:54
el resultado es positivo 00:41:57
bueno, lo vamos a dejar aquí por hoy 00:41:58
el próximo día volvemos a recordar esto 00:42:00
y vemos cómo funcionan las potencias 00:42:02
Buena tarde 00:42:05
Materias:
Matemáticas
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Autor/es:
Angel Luis Sanchez Sanchez
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Fecha:
4 de octubre de 2025 - 8:41
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Duración:
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