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Máximo común divisor - Contenido educativo

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Subido el 26 de octubre de 2020 por Pablo C.

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buenas en este vídeo vamos a usar todo lo que hemos aprendido a lo largo de los 00:00:00
vídeos de divisibilidad para calcular el máximo común divisor de una serie de 00:00:15
números que nos den y veremos su utilidad en el próximo vídeo 00:00:20
trataremos su hermano gemelo que sería el mínimo común múltiplo pero bueno 00:00:26
ya nos ocupará en el siguiente vídeo por el momento vamos a centrarnos en 00:00:30
calcular el máximo común divisor. ¿Qué es el máximo común divisor? A ver, dado una 00:00:33
serie de números, el máximo común divisor, que lo escribiremos como MCD, es el divisor 00:00:41
común más grande que tiene. Vamos a verlo con un ejemplo. Imaginad que queremos calcular 00:00:48
el máximo común divisor de los números 6 y 8. Hacemos la lista de los divisores del 00:00:54
6, que son 1, 2, 3 y 6. Y la divisor es del 8, que son 1, 2, 4 y 8. Si os fijáis, divisores 00:01:00
comunes tienen el 1 y el 2, que son los que extraen ambas listas, y el más grande de 00:01:13
ellos es 2. Por tanto, diremos que el máximo común divisor de 6 y de 8 es 2. ¿Vale? 00:01:18
claro esto cuando calcular los divisores del número si el número es pequeño son poquitos 00:01:25
pues es fácil hacer la lista y mira cuál es el más grande pero qué podemos hacer si los números 00:01:32
son grandes y tenemos que calcular todos los divisores puede ser un trabajo muy laborioso 00:01:38
vale imaginar por ejemplo que queremos calcular el máximo como un divisor de 48 64 y 72 que 00:01:44
tampoco que sean tan grandes, pero ya podéis comprobar vosotros, os invito a 00:01:51
hacerlo, que calcular todos los divisores de estos números es una tarea un poco 00:01:56
pesada. Así que vamos a aprender otra estrategia para calcular el máximo común 00:01:59
divisor que no sé hacer la lista de todos los divisores. Vamos a ello. Vamos 00:02:03
a hacerlo primero con un ejemplo. Queremos calcular el máximo común divisor 00:02:11
de 12 y 18. En el anterior vídeo vimos cómo se calculaba la factorización de un 00:02:14
número en primos vale así que vamos a calcular la factorización en primos del 00:02:20
12 y del 18 00:02:24
os dejo ahora que paréis un momento el vídeo vale y que la calculéis vosotros 00:02:28
vale o sea por lo menos intentando a ver si luego sale lo que me va a seguir a mí 00:02:33
vale yo ya la he hecho fijaros que 12 primero se prueba entre 2 sale a 6 entre 00:02:38
2 a 3 ya el 3 no se puede dividir por 2 vale esto ya lo hablé en el vídeo 00:02:46
anterior y entre 3 sale a 1 cuando llegabas al 1 habéis terminado 00:02:50
ahora el 18 entre 2 a 9 el 9 entre 2 no se puede porque no es un número par así 00:02:55
que pasamos al 3 que sale 3 también se puede dividir entre 3 sale a 1 00:03:00
por tanto la factorización de ambos números sería 2 al cuadrado por 3 00:03:06
elevado a 1 esa para el 12 y 18 sería 2 elevado a 1 por 3 al cuadrado vale que 00:03:11
tenemos que hacer ahora vamos a coger los factores que hay comunes 00:03:19
al menor exponente vale eso es la regla para calcular el máximo común divisor de 00:03:28
una serie de números coger los factores primos comunes en todos los números al 00:03:33
menor exponente vale aquí por ejemplo los factores comunes serían el 2 y el 3 00:03:39
vale fijaros que tanto el 2 está en los dos sitios en el 12 en el 18 como el 3 00:03:44
vale ojo hablo de los números que están abajo no hablo de los exponentes vale 00:03:50
aquí los factores por ejemplo serían 2 y 3 y aquí también serían 2 y 3 como 00:03:55
están en ambos sitios esos son los factores comunes 00:04:00
el 2 en el 12 está elevado al cuadrado y en el 18 está elevado a 1 nos quedamos 00:04:03
con el exponente más pequeño así que nos vamos a quedar con el del 18 que es 00:04:10
2 elevado a 1 el 3 también está en ambos sitios aquí 00:04:14
está elevado a 1 en el 12 y en el 18 está elevado al cuadrado nos quedamos 00:04:19
con el más pequeño que sería en el 12 que está elevado a 1 00:04:23
con esto ya tenemos el máximo común divisor 00:04:27
el máximo común divisor aquí arriba aparece sería el 2 elevado a 1 que nos 00:04:31
hemos quedado multiplicado por el 3 elevado a 1 que también nos hemos 00:04:35
quedado si hacemos esta cuenta 2 elevado a 1 es 2 por 3 elevado a 1 que esto es 3 00:04:38
2 por 3, 6. Así que el máximo común divisor de 12 y 18 es 6. Vamos a hacerlo ahora con otro ejemplo, ¿vale? 00:04:43
Espero que haya quedado claro. Cualquier dificultad, como siempre os digo, escribidme, ¿vale? 00:04:52
Pero confío en que con esto haya quedado claro. Voy a hacer otro ejemplo de todas maneras. 00:04:58
¿Os acordáis de qué os he dicho antes, no? El máximo común divisor de estos tres números, ¿vale? 00:05:02
Vuelvo a deciros que paréis un momento el vídeo y que intentéis rellenar la factorización de números primos 00:05:07
estos tres números vale confío en que lo hayáis intentado esa factorización sería 00:05:12
estas vale ya las tienes aquí 48 entre 2 a 24 entre 2 a 12 bueno esto ya sabéis 00:05:19
cómo se hace vale podéis pararlo para mirarlo un poquito más tímidamente 00:05:26
el caso es que 00:05:32
un segundo 48 se puede escribir como 2 elevado a la 00:05:36
cuarta por 3, 64,2 elevado a 6 y 72,2 al cubo por 3 al cuadrado. Fijaros que ahora el único 00:05:41
factor común es el 2. El 3 no aparece como factor en el 64, así que el 3 queda descartado. 00:05:50
Tiene que estar el 3 en los tres sitios, bueno, el 3 o el factor que sea. Tiene que aparecer 00:05:57
en todos los números. Aunque esté en el 48 y en el 72, si no está en el 64 no funciona. 00:06:03
El 2, sin embargo, sí que está en los tres sitios, así que vamos a quedar con el 2. 00:06:12
Una posible pregunta es, ¿y qué pasa si no hay ninguno en común? 00:06:16
Bueno, en ese caso, decimos siempre que el máximo común divisor es 1, y ya está, ¿vale? 00:06:19
Si no hubiera ningún factor en común, ponemos que el máximo común divisor de los números que aparecen es 1. 00:06:24
Vale, ahora el 2, ¿a qué números está elevado? 00:06:32
Está elevado a 4, a 6 y a 3. 00:06:35
por tanto, el más pequeño es el 3 00:06:37
nos quedamos con 2 elevado al cubo 00:06:40
si calculamos 2 elevado al cubo 00:06:43
os recuerdo que es 2 por 2 por 2 00:06:44
que sale 8 00:06:46
el máximo común divisor de todos estos 3 números 00:06:47
de 48, 64, 72 00:06:50
es 8 00:06:52
lo vais a construir en la lista de divisores también 00:06:53
y veis que efectivamente sale eso 00:06:55
bueno, espero que os haya quedado claro 00:06:57
ahora vamos a ver esto aplicado a un problema 00:07:01
el máximo común divisor 00:07:03
lo vamos a usar en problemas 00:07:08
donde queremos agrupar diferentes cantidades en conjuntos que tengan todos el mismo tamaño y que 00:07:09
sean lo más grande posible. Yo he pensado un ejemplo, sería este por ejemplo. Sara tiene 98 00:07:15
cromos de sus jugadoras de fútbol favoritas y Marina tiene 42. Quieren formar montones con sus 00:07:23
cromos. Los montones tienen que tener el mismo tamaño y no queremos mezclar los cromos. Es decir, 00:07:31
que tanto los cromos de Sara como los cromos de Marina tienen que poder ser divisibles 00:07:37
¿vale? entre la cantidad que tenga cada montón ¿vale? para que no se tengan que mezclar 00:07:41
¿vale? de qué tamaño tienen que ser esos montones y cuántos montones tendrá cada 00:07:47
una ¿vale? para hacer el problema vamos a calcular el máximo común divisor de esas 00:07:51
dos cantidades, aquí os he hecho la descomposición en factores primos, 42 es 2 por 3 por 7 y 00:07:59
98 es 2 por 7 al cuadrado. ¿Qué factores hay comunes? El 2 y el 7. El 3 no, que no está aquí abajo en el 98. 00:08:08
El 2 aquí está elevado a 1, y aquí está elevado a 1, así que nos quedamos con 2 elevado a 1. 00:08:16
El 7 está elevado aquí a 1, y aquí al cuadrado, así que nos quedamos con el 7 elevado a 1. 00:08:22
Por tanto, el máximo común divisor de 42 y 98 es 2 elevado a 1 por 7 elevado a 1, 2 por 7, 14. 00:08:27
¿Qué significa entonces este 14? El 14 significa la cantidad que tiene que tener cada montón de cromos 00:08:38
Los montones son de 14 cromos cada uno 00:08:45
¿Cuántos montones tendrá cada una? Pues ahora tendrá, si tenía 98 cromos y los quiere dividir en montones de 14 cromos 00:08:49
Pues si hace la división le sale 7, 7 montones 00:08:56
Y si Marina tenía 42 cromos y lo va a dividir en montones de 14, pues le saltarán 3 montones 00:08:59
Bueno, entonces os voy a dejar aquí un par de ejercicios para hacer 00:09:05
El primer ejercicio sería calcular estos dos máximos comunes divisores 00:09:11
Aquí de tres números pequeñitos y aquí de dos números grandes 00:09:15
Me gustaría que se hiciera con lo de la descomposición en factores primos 00:09:19
Lo podéis hacer también de la otra manera, poniendo la lista de divisores 00:09:23
Pero quiero que intentéis la que os he explicado en el vídeo 00:09:29
Y si hubiera alguna dificultad, me la mandáis 00:09:32
Y luego un problema, ¿vale? 00:09:34
Juan tiene una cuerda de 120 metros 00:09:36
y otra de 96 metros 00:09:39
las quiere cortar en trozos iguales 00:09:40
pero lo más largos posibles 00:09:42
cuántos tienen que medir esos trozos 00:09:44
y cuántos trozos de cuerda obtendrá 00:09:47
un ejercicio muy parecido al de los cromos 00:09:49
bueno, pues aquí dejo el vídeo 00:09:51
me repito una vez más 00:09:55
si hay algo que no se haya entendido 00:09:58
escribidme 00:10:00
y lo intento solucionar 00:10:02
un saludo 00:10:04
Gracias. 00:10:06
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Pablo Carrillo Martín
Subido por:
Pablo C.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
108
Fecha:
26 de octubre de 2020 - 18:02
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ISIDRA DE GUZMAN
Duración:
10′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1364x768 píxeles
Tamaño:
205.63 MBytes

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