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1ºD 17/02/2022 Concepto de derivada en un punto_Definiciones de derivada - Contenido educativo

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Subido el 17 de febrero de 2022 por Mario C.

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Bueno, ya, venga. 00:00:00
Vamos a empezar el tema nuevo, derivadas, ¿vale? 00:00:02
Probablemente sea el tema... 00:00:05
No, no, es que el límite también lo resulta complicado. 00:00:07
Probablemente sea el tema más difícil del curso. 00:00:09
¿Derivadas? 00:00:11
Derivadas. 00:00:12
Pero, pero, en realidad las hemos estado preparando yo que no se hayan dado cuenta. 00:00:14
Entonces, derivadas, hay un punto... 00:00:19
Perdona, un momento, Polina. 00:00:21
Hay un momento del tema en el que os podéis reenganchar. 00:00:23
Si no entendéis el principio de derivadas, no pasa nada. 00:00:26
Porque es la definición de derivada y en el examen nos faltará un punto, pero lo gordo en realidad es aplicar una tabla que os daré un poquito más adelante. 00:00:30
Entonces es un tema en el que al tercer o cuarto día os avisaré, os podéis subir al carro. 00:00:37
Entonces, hoy me gustaría hacer entre todos el concepto de derivada y la roca de definición. 00:00:43
vale, es el tema 7 ya 00:00:57
a nivel de concepto 00:01:10
las operaciones son muy fáciles 00:01:17
derivadas básicamente 00:01:20
lo que vamos a hacer es 00:01:22
¿os acordáis de las 00:01:23
de los problemas de logaritmos 00:01:25
que os he puesto en todos los exámenes, de si el logaritmo 00:01:31
de A es tanto y el logaritmo de B es tanto, cuánto vale 00:01:33
no sé qué. Que he sido muy pesado 00:01:35
con ese ejercicio siempre. 00:01:37
Pero igual funciona igual, pero con otras fórmulas. 00:01:38
En vez de que el logaritmo de la multiplicación es la suma, 00:01:40
el logaritmo de la división es la resta, funciona igual, pero con 00:01:43
una tabla que os daré. Pues parece muy complicado, 00:01:45
pero a poco que hagáis unas cuantas, 00:01:47
salen todas. Unas cuantas 00:01:49
me refiero 00:01:51
a un astier o así. 00:01:51
derivadas tienen que ser así 00:01:53
¿vale? 00:01:57
venga, fenomenal 00:02:00
nos vemos en el examen 00:02:01
primero, derivadas 00:02:03
lo primero 00:02:05
lo primero de todo 00:02:07
lo primero de todo es 00:02:09
lo primero de todo es 00:02:10
entender 00:02:13
qué es una derivada o para qué queremos una derivada 00:02:15
la pregunta, si os acordáis 00:02:18
ahora en realidad nosotros sabemos hacer 00:02:20
analíticamente 00:02:21
sabemos hacer dominio 00:02:24
imagen no, pero no vamos a hacer nunca 00:02:25
cortes 00:02:28
que en realidad sería también el signo 00:02:29
que no lo hemos hecho por no perder tiempo 00:02:33
pero también sabemos hacer el signo 00:02:34
tres, simetría 00:02:36
pero ya que no lo vamos a hacer 00:02:37
sabemos hacer tendencias 00:02:42
y continuidad 00:02:43
¿qué nos falta? 00:02:47
¿qué falta? 00:02:56
ya, Paloma 00:02:58
Asintotas son tendencias en el infinito 00:02:58
¿Cómo estamos, eh? 00:03:02
¿No sabéis hacer asintotas? 00:03:03
¿Qué falta? 00:03:06
Punto de inflexión 00:03:08
¿Cuáles faltan? 00:03:10
Extremos 00:03:22
No, la imagen no la vamos a hacer 00:03:23
Extremos 00:03:26
curvatura 00:03:28
y crecimiento, ¿no? 00:03:29
Vale, nos faltan 00:03:36
estas cuatro, porque 00:03:38
periodicidad no la vamos a hacer, imagen no la vamos a hacer, 00:03:40
el signo, el sumatorio, los cortos y los cortos, que ya lo veremos 00:03:42
y tal. Entonces, necesitamos una herramienta 00:03:44
ahora, teniendo 00:03:47
límites, necesitamos una herramienta que nos permita 00:03:48
saber, en realidad, los extremos 00:03:50
los extremos son puntos donde la función llega arriba y se va, ¿no? 00:03:52
Lo que nos interesa es entender 00:03:55
el crecimiento y la curvatura, de verdad. 00:03:56
Necesitamos una herramienta que nos permita estudiar el crecimiento y los extremos los veremos como puntos en los que hay problemas con el crecimiento. 00:03:58
Y la curvatura, ¿no? 00:04:06
Suerte que tenemos que la herramienta es la misma. 00:04:09
¿Vale? 00:04:13
La herramienta que estudia las dos es la misma. 00:04:13
Y se llama derivada. 00:04:17
¿Vale? 00:04:23
Entonces. 00:04:25
los extremos y los puntos de inflexión 00:04:25
los veremos como puntos en los que cambia 00:04:29
la curvatura 00:04:31
o el crecimiento 00:04:33
venga, pues vamos a pensar como podemos estudiar 00:04:34
el crecimiento de una función 00:04:39
como podemos estudiar 00:04:40
el crecimiento de una función, a ver si nos ocurre 00:04:43
calculando la pendiente 00:04:45
bien, molina, que pendiente 00:04:51
esto te acuerdas del año pasado 00:04:52
como miraremos si crece aquí 00:04:56
entre A 00:05:01
vamos a poner entre A 00:05:02
entre A y D, como podemos ver si crece o no crece 00:05:04
si A y D son 4 unidades 00:05:08
4 unidades de la E 00:05:09
cuando está avanzada en la E 00:05:12
esto sería 00:05:13
este sería 00:05:15
este sería 00:05:16
este sería 00:05:19
¿sí? 00:05:20
venga, Claudia 00:05:25
vente para acá 00:05:25
entonces el planteamiento de molina es decir bueno esto en realidad es una recta 00:05:27
el planteamiento de molina es decir esto no es una recta pero bueno una recta y veo la 00:05:42
pendiente. Así puedo ver 00:05:51
con qué intensidad el criterio lo crece, ¿no? 00:05:53
Entonces 00:05:57
pondríamos 00:05:57
F de D menos F de A 00:05:58
partido de D menos A, ¿no? 00:06:02
Esto sería la pendiente. 00:06:04
Por ahora, primero entender el razonamiento. 00:06:08
¿Por ahora qué? 00:06:10
¿Por dónde entenderlo? 00:06:13
La idea es, repito el planteamiento, 00:06:17
pero por favor, atender. 00:06:19
La idea es, queremos ver 00:06:21
cuándo crece una función. 00:06:23
Todavía no lo sabemos. 00:06:26
Queremos buscar una herramienta que nos permita estudiar 00:06:28
si una función crece, decrece y dónde. 00:06:30
Entonces, he pintado esta y he dicho 00:06:32
¿cómo veríais si crece 00:06:34
entre A y D? Y Molina, 00:06:36
con mucho criterio, ha dicho, vale, 00:06:38
cojo la recta 00:06:40
que une A con D y veo la pendiente 00:06:42
que tiene. Si la pendiente es positiva, crece. 00:06:44
Si la pendiente es negativa, decrece. 00:06:46
¿Vale? 00:06:48
Por ejemplo. 00:06:50
Claro, la pendiente es 00:06:51
Y2 menos Y1 a partir de X2 menos X1 00:06:53
¿Vale? 00:06:56
Por ejemplo, si hiciésemos eso mismo aquí 00:06:57
Si hiciésemos eso mismo 00:06:59
Perdón, es que no he visto a qué decreto 00:07:03
No, quiero que intentéis el razonamiento 00:07:05
Luego os digo lo que tenéis que copiar 00:07:09
No os preocupéis 00:07:11
Si en vez de estos dos puntos 00:07:11
Lo cogemos entre estos dos 00:07:22
¿Veis que la función decrece? 00:07:23
¿Veis? 00:07:39
La pendiente de esta recta 00:07:39
me va a decir no solo si decrece o decrece, 00:07:41
con qué intensidad crece o decrece. 00:07:44
Si esto está más inclinado, 00:07:46
la pendiente va a salir más grande. 00:07:47
¿Entendéis? 00:07:49
En este caso, como la pendiente es negativa, 00:07:50
¿qué está haciendo esta función? 00:07:53
Decrece. 00:07:56
y aquí que es positiva que está haciendo la función 00:07:57
está creciendo, vale 00:07:59
entonces, tiene buena pinta 00:08:00
esto, ¿no? parece que me está dando información 00:08:03
sobre si crece o decrece, claro, ya he copiado 00:08:05
parece que me está dando información 00:08:07
sobre si crece o decrece, ¿no? 00:08:09
¿qué problema tenemos aquí? que en realidad 00:08:10
claro, hemos 00:08:13
cogido dos puntos al turtún 00:08:15
pero en realidad esto podría ser así 00:08:16
¿la función está creciendo entre 00:08:18
A y B? sí 00:08:23
¿crecen todos los puntos entre A y B? 00:08:25
no, no, entonces 00:08:27
Entonces, esto no es suficiente. Esto es lo que probablemente visteis el año pasado como tasa de variación media. ¿Os suena? Vale, la tasa de variación de una función es a grandes rasgos, ¿qué pasa entre A y D? Lo que hemos visto es que está claro que no es suficiente porque entre medias puede ser que decrece o vuelva a crecer y me lo estoy trabajando. Y a mí lo que me interesa es saber dónde crece, todos los puntos en los que crece, no si entre dos trozos está creciendo o no. ¿Vale? ¿Entendéis? ¿Patricia? 00:08:29
Ya, pero aquí era por regañar 00:08:55
¿Vale? 00:09:00
Entonces, esta información no es suficiente 00:09:03
¿Qué tendremos que hacer? 00:09:05
Pues buscar un punto más cerca todavía, ¿no? 00:09:07
Buscar un punto más cerca 00:09:10
Por ejemplo, este 00:09:12
Bien, bien 00:09:15
Ahora vamos 00:09:21
Con el mismo paso por delante 00:09:22
esta 00:09:25
si os fijáis, esta segunda 00:09:28
me da una información más clara 00:09:30
me da una información más clara 00:09:32
de cómo crece 00:09:38
¿sí? 00:09:39
no, tienes que calcularla tú 00:09:44
la pendiente 00:09:46
a eso vamos 00:09:46
a esto vamos, un momento 00:09:53
entendéis que esta 00:09:55
que está más cerca 00:09:57
va a ser más exacta que esta que está más lejos 00:09:59
pero yo podría hacer aquí exactamente lo mismo 00:10:02
podría ser que metamos zoom 00:10:04
y en realidad 00:10:06
que metamos zoom 00:10:07
y en realidad esto será así también 00:10:09
y tampoco me vale 00:10:11
¿qué habría que hacer? 00:10:14
¿qué habría que hacer? 00:10:14
no es más uno, ahora vamos, estás a punto 00:10:23
no, no, esto es la fórmula 00:10:25
A mí me dan la fórmula, yo no tengo la gráfica 00:10:31
¿Vale? Entonces, si metemos zoom 00:10:33
Nos sale esto, ¿qué tendríamos que hacer? 00:10:35
Pues un punto todavía más cerca, ¿no? 00:10:38
¿Cómo? 00:10:47
Si lo hemos hecho en el primero 00:10:50
En el primero y también en el segundo 00:10:51
Vale, ¿veis que si me acerco más? 00:10:53
si me acento más 00:11:04
es más exacta 00:11:07
pero es verdad 00:11:08
pero podría volver a meter zoom 00:11:13
y que me vuelva a salir 00:11:15
otra cosa 00:11:16
justo, no sirve 00:11:18
¿por qué qué? ¿cuánto me acerco? 00:11:24
si quiero saber si crece 00:11:27
en el punto número, en el 1 00:11:29
¿cuánto me tengo que acercar? 00:11:31
para estar lo más cerca posible. ¿Cuál es el concepto 00:11:33
que tenemos de lo más cerca posible 00:11:35
al uno que se pueda por la derecha? 00:11:37
¡Bien! 00:11:39
Ahora sí, vamos a aplicar el límite. 00:11:41
Porque lo que me interesa saber es 00:11:44
al lado, lo más cerca 00:11:45
posible a este punto, 00:11:47
¿hacia dónde va? ¿Está girando 00:11:49
hacia arriba o está girando hacia abajo? 00:11:51
Lo más cerca posible de A. 00:11:53
En lo más cerca posible de A por la derecha 00:11:55
es el límite. 00:11:57
¿Vale? ¿Entendéis? 00:12:00
Ahora voy, ahora pongo la fórmula 00:12:01
La idea es, quiero saber 00:12:05
Lo más cerca que pueda 00:12:07
A un punto 00:12:09
¿Qué pasa con la función? ¿Si va para arriba o va para abajo? 00:12:10
Entonces, entendéis 00:12:14
Que quiero calcular esta pendiente, ¿no? 00:12:15
Vale, borro un momentito 00:12:17
Vamos a usar la fórmula, esta fórmula de la pendiente 00:12:18
Pero esta no me vale 00:12:25
Hemos visto que esta no era suficientemente exacta 00:12:26
¿qué puntos cojo para ver si crece en el 1? 00:12:28
si crece en el 1 00:12:32
cojo el 4 y el 1 00:12:33
cojo el 3 y el 1, cojo el 2 y el 1 00:12:34
tendría que coger el número más cerca 00:12:37
que pueda de 1 y el 1 00:12:39
claro, la idea es, yo cojo el punto 00:12:40
F de A 00:12:56
y quiero saber cuánto crece 00:12:58
o sea, si va hacia arriba o hacia abajo la pendiente 00:13:00
en el punto más cercano 00:13:02
que pueda dar por la derecha 00:13:04
¿vale? 00:13:05
esto lo vamos a llamar 00:13:08
A más algo 00:13:12
muy pequeñito 00:13:14
un momento, primero entendedlo, luego os digo cuando copiéis 00:13:14
cojo A y les pongo algo 00:13:18
lo más pequeño que pueda, lo más cerca posible de A 00:13:21
¿veis estos dos puntos? 00:13:24
están lo más cerca que podamos 00:13:26
Si este es A más AX, ¿este cuánto será? 00:13:27
Este de A más AX. 00:13:31
Este de A más AX, perfecto. 00:13:33
¿Vale? 00:13:37
Entonces, ¿cómo será? 00:13:39
Perdona, Polito, un momento. 00:13:40
¿Cómo será la fórmula de la pendiente de esta recta que pasa por estos dos puntos? 00:13:43
Y que me dice cómo crece. 00:13:49
¿Cómo será? 00:13:54
Queremos saber 00:13:55
Hemos visto que cuanto más separado esté el punto 00:14:13
Menos información me da de crecimiento 00:14:16
Menos me vale 00:14:18
Entonces tengo que apuntarlos todo lo que pueda 00:14:19
Para apuntarlos todo lo que pueda lo que voy a decir es 00:14:22
Este es un punto 00:14:24
este es un punto 00:14:26
A, yo quiero calcular 00:14:29
si crece en A, pues lo que hago es 00:14:31
le sumo algo lo más pequeño que pueda 00:14:33
que le voy a llamar H 00:14:35
¿vale? ¿sí? entonces estos dos puntos 00:14:36
van a estar lo más cerca que yo pueda 00:14:39
por ejemplo, que H sea 0.0001 00:14:40
si esto fuese 00:14:43
2 y fiesemos el dibujo 00:14:45
de antes, si lo hacemos 00:14:47
entre el 2 y el 3 00:14:48
¿veis que? la información no me vale 00:14:50
porque aquí puede ser que esté decreciendo y vuelva a crecer 00:14:53
me da demasiada poca información 00:14:55
pero si hacemos 2 00:14:56
más 0.0001 00:14:58
ya la cosa va a pintar mejor 00:15:00
¿no? 00:15:02
ahora mismo voy a meter el límite 00:15:04
estamos haciendo 00:15:06
una aplicación del límite 00:15:09
¿vale? entonces, ¿entendéis que quiero 00:15:10
regular la pendiente aquí entre los dos puntos más 00:15:13
cercanos que pueda? para ver si 00:15:15
esta recta hace así 00:15:17
o hace así 00:15:18
entre los dos puntos más cercanos, ¿entendéis? 00:15:20
¿sí? ¿estáis todos en el mismo 00:15:23
ah, porque es la diferencia 00:15:25
o sea, de aquí a aquí yo me muevo 00:15:36
esto es 2, esto es 2 con 0, 0, 0, 1 00:15:37
esto es 0 con 0, 0, 0, 1 00:15:40
¿qué magnitud de aquí quiero que sea infinitamente pequeña? 00:15:42
sí, pero un momento 00:15:49
nada, es la fórmula de la pendiente 00:15:50
y2 menos y1 partido de x2 menos x1 00:15:54
f de a más h menos f de a 00:15:57
partido de a más h 00:16:00
esto sería 00:16:01
f de a más h iría entre paréntesis 00:16:06
¿lo veis más claro? 00:16:09
vale, ¿estamos todos aquí? 00:16:12
¿Aronso? 00:16:14
¿qué pasa? 00:16:15
no, no entiendo lo que es 00:16:16
lo de y, y, y 00:16:17
la fórmula de la pendiente 00:16:20
de una recta es esta. Esta es la pendiente de una recta que pasa por el punto 00:16:24
X1, Y1 y por el punto X2, Y2, ¿vale? 00:16:32
¿Sí? Entonces yo quiero ver la pendiente. Para ver la pendiente 00:16:37
simplemente voy a tener que hacer esta fórmula. ¿Qué hago? Voy a decir 00:16:40
uno es el punto A, este de A, ¿vale? Por ejemplo, el 2, 3 00:16:44
y otro es el punto más cercano que pueda sumándole algo. 2,0001 00:16:48
y a ver a dónde va el de al lado. Si va al 3,0001 está creciendo. 00:16:52
Si va 2,9999, está decreciendo. 00:16:57
Entonces, si el cálculo está pendiente, 00:17:00
si esto me sale positivo, 00:17:02
me va a decir, está creciendo, porque estoy subiendo. 00:17:04
Si sale negativo, 00:17:06
me va a decir, está decreciendo, porque estoy bajando. 00:17:07
¿Entiendes? 00:17:10
¿Sí? ¿Seguro? Vale. 00:17:11
Ahora lo que nos falta es, ¿qué es lo que 00:17:13
quiero? Ahora sí, Mario, ¿qué es lo que quiero? 00:17:15
Que sea lo más pequeño posible 00:17:17
en este cálculo. 00:17:19
Hace. Es más, 00:17:22
no es que quiera que sea lo más pequeño posible, es que quiero que sea 00:17:23
infinitamente pequeño, porque cuanto más cerca 00:17:25
esté de A, 00:17:27
más me vale para el crecimiento. Es lo que hemos visto antes. 00:17:29
Cuanto más me acerco, más exacto es, ¿no? 00:17:31
¿Qué herramienta tenemos para hacer algo infinitamente 00:17:33
pequeño? El límite. 00:17:35
El límite, ¿cuándo qué? 00:17:37
Cuando X tiende a... 00:17:39
a... 00:17:41
Cuando H tiende... No, cuando X no, cuando H, 00:17:42
que es lo que quiero hacer pequeño. ¿Cuándo tiende a qué? 00:17:45
A infinito. 00:17:47
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 00:17:48
0. Quiero que sea lo más 00:17:55
cercano de A posible. 00:17:57
Si esto es 2, y quiero que esto sea 00:17:59
2 con infinitos ceros y 1, 00:18:01
lo que quiero es que la A se tienda 00:18:03
a 0. 00:18:05
¿Entendéis? 00:18:08
¿Y si se me va a ir una cosa? 00:18:08
Si esto viene en una mediatura de 00:18:11
de límites, ¿no sería sencillamente 00:18:12
A por la izquierda o por la derecha? 00:18:15
Sí. Esto sería 00:18:17
básicamente poner A por la 00:18:19
derecha. ¿Vale? Pero como estamos anculando 00:18:21
la pendiente, necesitamos dos puntos. 00:18:22
entonces no podemos hacer el límite por la derecha 00:18:24
tenemos que hacer que un punto sea A 00:18:26
y otro sea el límite por la derecha 00:18:27
pero sí, se podría escribir 00:18:30
ahora te lo escribo 00:18:32
de esa otra manera 00:18:34
bueno, espera 00:18:35
20 segundos 00:18:40
¿habéis entendido 00:18:42
¿habéis entendido 00:18:44
este razonamiento? 00:18:46
¿seguro? 00:18:49
¿todo el mundo? 00:18:50
todo el mundo no, pero bueno 00:18:53
¿Pero lo habéis entendido, no? 00:18:54
Vale, a esto 00:18:56
se le llama 00:18:57
derivada 00:18:59
de f de x 00:19:00
¿Es nada? 00:19:02
Se escribía aquí. 00:19:05
¿Era la prima? 00:19:05
No, eso luego 00:19:20
lo voy a hacer, eso luego 00:19:21
porque hay una tabla para el subreglante. 00:19:23
Este símbolo, 00:19:26
el símbolo prima, 00:19:27
este, 00:19:29
significa derivada de... 00:19:30
Esto significa derivada de x... 00:19:36
Para decir que era otra ecuación. 00:19:41
Es que se usa para muchas cosas. 00:19:49
Esto quiere decir derivada de la función. 00:19:50
Y esto... 00:19:53
Quiere decir, en el punto, en el punto x igual a a, va a ser lo mismo hacer la derivada aquí que aquí. 00:19:56
¿Por qué? 00:20:09
Va a ser el mismo hacer el límite en un punto de rango, porque van a hacer la a. 00:20:10
Esta es f de b, y esta es f de b más a. 00:20:20
Si yo hago la derivada aquí, ¿qué número me va a salir? 00:20:25
¿Positivo o negativo? 00:20:29
negativo 00:20:29
porque la pendiente es hacia abajo 00:20:31
si lo hago aquí me va a salir positivo 00:20:33
porque es hacia arriba 00:20:36
no es lo mismo hacer la derivada en un sitio que en otro 00:20:37
igual que el límite 00:20:39
el límite de la función aquí, ¿cuánto valdrá? 00:20:41
menos 7, por ejemplo 00:20:43
el límite aquí, ¿cuánto valdrá? 00:20:44
perdón, el límite aquí igual vale 4 00:20:48
el límite aquí vale 2 00:20:50
no es lo mismo hacer el límite en un lado que en otro 00:20:51
¿me estaban tirando? 00:20:52
¿pero me referiría a un titular? 00:20:56
nada, simplemente es el nombre 00:21:01
es la definición de derivada. 00:21:02
Ahora. 00:21:06
Ahora sí. 00:21:07
Le he puesto 00:21:08
a este incremento infinitamente pequeño 00:21:10
una función, le vamos a llamar 00:21:12
derivada. 00:21:14
O sea, x por a 00:21:16
se define por el límite de a3. 00:21:20
Es la definición de la derivada. 00:21:23
En el caso de la derivada 00:21:25
en función de... 00:21:28
Ya veré. En función de cuánto 00:21:29
me meta en demostración de derivada. 00:21:31
Dime, de un gallo. 00:21:34
claro 00:21:35
ahora hacemos un ejemplo 00:21:49
eso es 00:21:51
h es el límite que estoy calculando 00:21:57
ahora hacemos un ejemplito 00:21:58
¿habéis entendido el razonamiento? 00:22:00
Pablo 00:22:02
esto es una rayita 00:22:03
es derivada 00:22:08
la derivada de la función f de x 00:22:10
en x igual a a, igual que si te pongo 00:22:12
logaritmo de a 00:22:14
la definición del logaritmo 00:22:16
la definición del logaritmo era 00:22:18
el logaritmo en base de b de n es igual a x 00:22:22
así, y todo aquí 00:22:24
¿vale? 00:22:25
es, ¿qué hemos puesto aquí? 00:22:28
porque aquí ponemos log 00:22:30
es la operación que estamos haciendo 00:22:32
¿no? pues esto es lo mismo 00:22:34
el simbolito de prima quiere decir 00:22:36
a este cálculo 00:22:37
le voy a llamar derivada 00:22:39
es para no 00:22:42
por así decirlo, para no escribir siempre esto 00:22:43
vamos a poner directamente 00:22:46
este simbolito 00:22:48
eso después 00:22:49
esto después, justo 00:22:56
los logaritmos, en realidad esta es la definición 00:22:58
pero cuando hacemos problemas de logaritmos 00:23:00
utilizamos la definición muy a menudo 00:23:01
casi siempre usamos las propiedades 00:23:03
pues las derivadas van a pasar lo mismo, pero primero 00:23:05
hay que entender lo que es la derivada 00:23:07
¿Por qué quiero que esto sea lo más pequeño posible? 00:23:09
Porque quiero acercar lo más posible estos dos números. 00:23:21
¿Cuál es el número más cercano a 2 si se te ocurre por la derecha? 00:23:28
No, 2 con 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, ¿no? 00:23:33
entonces esta arte, que es la diferencia 00:23:36
que hay entre las dos, será 0 con 00:23:38
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 00:23:40
es así siempre 00:23:42
está la definición de derivado 00:23:45
ahora si lo borro y os lo pongo 00:23:46
para que lo copiéis, ¿vale? 00:23:48
bueno, el dibujo lo habéis 00:24:04
enviado, ¿no? 00:24:05
¿No? ¿No lo habéis copiado? Vale, pues mirando en la clase y copiando, ¿vale? 00:24:06
Un momento, un momento, uno por uno, al otro. 00:24:36
Claro, estamos calculando 00:25:06
Una pendiente 00:25:14
La derivada es básicamente 00:25:14
Es básicamente 00:25:16
La pendiente entre dos puntos 00:25:19
Lo más cercanos que podamos 00:25:22
No, porque depende 00:25:23
Vas a depender del punto 00:25:29
M no depende de un punto 00:25:31
La pendiente de una recta no depende del punto 00:25:32
La derivada sí 00:25:34
Esto es A, acordaos que esto es A más H, esto es F de A, 00:25:36
es la derivada, pero la derivada de la función es la derivada, la derivada. 00:25:44
¿Vale? 00:25:48
No, la verdad es que decir la derivada de la función en el punto A se calcula así. 00:25:50
¿Cuál? ¿Esto? 00:25:58
Esto es el símbolo de derivada. 00:25:59
esto quiere decir 00:26:01
la calculo en el punto de X 00:26:05
igual a 2, no es lo mismo 00:26:08
no es lo mismo la derivada 00:26:09
aquí en menos 3 que me daría 00:26:12
negativo, que calcularla en 2 00:26:14
que me da positiva, ¿no? 00:26:15
entonces tengo que decir donde la calculo 00:26:17
la grande la vamos a usar 00:26:19
relativamente poco, la grande lo que dice 00:26:23
ya, la grande lo que dice 00:26:25
es en qué punto lo calculo 00:26:27
Igual que en el límite, tú tienes que poner límite cuando x tiende a no sé qué. 00:26:29
¿Entendéis que en el límite hay que poner límite cuando x tiende a 3? 00:26:33
Pues aquí hay que decir que calculo la derivada. 00:26:37
¿Dónde? 00:26:39
En x igual a 3. 00:26:39
Sería lo mismo que este cuando x tiende a algo del límite. 00:26:41
Alonso. 00:26:44
Siempre. 00:26:47
Porque siempre quiero que sea el punto más cercano posible. 00:26:48
¿Vale? 00:26:51
¿Entendido? 00:26:54
¿Entendido? 00:26:55
Sí, ¿no? 00:26:58
Vamos a hacer siembra a la derecha. 00:26:59
una identidad notable. Ahora vemos. 00:27:29
Polina. 00:27:32
Pone A, A y A. 00:27:37
Vale, entonces 00:27:40
esto es la definición 00:27:41
de derivada como 00:27:43
operación. 00:27:44
¿Vale? Definición de derivada 00:27:46
como operación. 00:27:47
¡Ya! 00:27:55
Vale, es lo mismo hacer la derivada aquí, que sería el 2, por ejemplo, 00:27:59
es que la derivada a la positiva, si crece, 00:28:03
que hacerla aquí, en menos 3, que decrece, no, ¿no? 00:28:05
Es lo mismo calcular el límite de esta función aquí que aquí, 00:28:08
y lo que podíamos era el límite cuando x tiende a 2, por ejemplo, ¿no? 00:28:12
O el límite cuando x tiende a menos 2. 00:28:15
La derivada es lo mismo, es lo que decir dónde la estoy calculando. 00:28:17
Para hacer esto, lo que se pone es una barra, es decir, en x igual a a. 00:28:20
Igual que en el límite hay que poner cuando x tiende a 3, debajo, 00:28:24
aquí se pone en barra x igual a 3 00:28:28
¿eh? 00:28:30
claro, aquí en la a pondrías menos 2 00:28:36
¿vale? 00:28:38
entonces, ya hemos entendido la derivada de la operación 00:28:40
gráficamente 00:28:42
¿qué es la derivada? 00:28:44
sí, sí, copiando, copiando ya 00:28:56
el dibujo copiando 00:28:57
Bueno, imagino que habéis entendido la anterior, pero ya copiaré esto. 00:29:01
Como operación es esto, ¿vale? 00:29:17
Y gráficamente va a ser esto. 00:29:24
Ahora voy a dictar la definición gráfica de la derivada. 00:29:26
Vamos a ver tres definiciones de la derivada, pero dos son primas y las demás. 00:29:28
si lo hacéis bien 00:29:32
la fórmula 00:30:01
de las derivadas, no las vais a tener 00:30:02
que estudiar. O sea, ¿os acordáis que he dicho 00:30:04
opción derivada? Yo os habéis reído en mi cara. 00:30:06
Ya me lo contaréis al final del tema. 00:30:09
¿Vale? La tabla 00:30:11
de las fórmulas, al final 00:30:12
del tema, os las vais a saber de memoria. 00:30:14
Y de estudiar. 00:30:17
Esas no las vamos a ver aquí. 00:30:24
No, y además 00:30:27
es que no os van a hacer falta. 00:30:28
Las fórmulas, las fórmulas 00:30:30
las propiedades de los logaritmos. 00:30:32
Pues las tuvisteis que estudiar. 00:30:33
¿Los logaritmos o la multiplicación de los logaritmos? 00:30:35
Yo no lo conozco. 00:30:37
¿Cuántos hicisteis? ¿10 o 12, no? 00:30:39
No, no. 00:30:41
¿10 o 12? 00:30:42
Bueno, pues ya está. 00:30:45
Dicto. 00:30:46
Las mismas. 00:30:49
Un momentito, que voy a dictar 00:30:52
la definición gráfica. 00:30:54
A dictarla. 00:30:57
Gráficamente, 00:30:59
¿qué es la derivada? 00:31:00
Chicos, vaya. 00:31:02
¿Qué duda hay por ahí? 00:31:04
Vale, esto lo que quiere decir es en qué punto calcula la derivada. 00:31:09
Si calculábamos el límite de una función, hay que decir dónde, ¿no? 00:31:13
Si yo te pongo, calcula el límite de x cuadrado más 2. 00:31:16
¿Cómo que el límite de x cuadrado más 2? 00:31:20
Pues depende. 00:31:21
Si es en 0, me dará 0 al cuadrado más 2, 2. 00:31:22
Si es en 1, me dará 3. 00:31:25
Tendrás que decirme dónde quieres que lo calcules. 00:31:27
Ah, vale. 00:31:30
el 1 vale 3 00:31:30
¿vale? esto es lo mismo 00:31:32
esto es lo mismo, la derivada es 00:31:34
¿en qué punto la estoy calculando? 00:31:37
¿vale? 00:31:41
venga, dicto 00:31:42
bueno, lo voy a ver 00:31:46
la derivada de una función en un punto es 00:32:03
¿qué es gráficamente? 00:32:05
¿Qué es la derivada? 00:32:08
¿Lo hemos hablado? 00:32:10
Es rebajar un grado. 00:32:12
Bueno, esto es polinómica. 00:32:14
No, lo digo gráficamente. 00:32:15
Una línea. 00:32:16
¿Qué ha sido? 00:32:18
Calcular el crecimiento. 00:32:19
¿Qué propiedad de una línea? 00:32:20
Calcular el crecimiento de una función. 00:32:21
No, la vamos a usar para calcular el crecimiento, pero no es el crecimiento. 00:32:23
Yo he empezado preguntando, ¿cómo se calcula el crecimiento? 00:32:26
¿Y tú qué me has dicho? 00:32:29
La pendiente. 00:32:30
La pendiente. 00:32:30
Entonces, la derivada de una función en un punto es la pendiente 00:32:33
de la recta. 00:32:36
¿De la recta qué? 00:32:43
¿De qué recta? 00:32:45
Es la pendiente de esta recta roja. 00:32:52
La derivada. 00:32:55
¿Qué recta es esta? 00:32:56
Entre A y A más H, ¿no? 00:33:01
Es decir, la recta más cercana 00:33:04
que pueda hacer yo a A. 00:33:06
¿Eso lo entendéis? 00:33:08
No, no, todavía no. 00:33:10
ahora lo escribo la recta más cercana que pueda hacer yo a entender 00:33:11
otra vez por dios 00:33:25
y he puesto un ejemplo con un límite la derivada hacerla en este punto 00:33:28
tendré que decir de alguna manera 00:33:34
álgebraicamente donde la calculo 00:33:39
la calculo en 00:33:42
x al cuadrado 00:33:43
venga, pues ya está, es lo mismo 00:33:44
es como poner debajo del límite 00:33:47
cuando x tiende a 3 o cuando x tiende a 2 00:33:49
lo que pasa es que en las derivadas se pone la barra larga 00:33:51
y x igual a tal 00:33:53
es decir, calculo la derivada 00:33:55
voy a calcular la derivada de la función que me den 00:33:56
en el punto x igual a 2 00:33:59
por ejemplo, que salimos con 2 y 2 00:34:02
¿vale? 00:34:03
es la pendiente de la recta 00:34:04
¿qué recta? 00:34:15
lo más cercano que pueda 00:34:19
a ese punto 00:34:21
esto en matemáticas se llama recta tangente 00:34:22
bueno, es de trigonometría porque este ángulo 00:34:27
esto es 00:34:33
si la pendiente de la recta tangente porque tangente se llama tangente porque es la 00:34:34
recta que yo pueda hacer juntando lo máximo posible este y este punto 00:34:47
la recta tangente yo voy a decir la recta tangente y en los exámenes 00:34:56
y en la de abajo va a poner recta tangente 00:34:59
la recta tangente 00:35:01
ahora sí, Molina 00:35:04
¿qué faltaba en la definición? 00:35:06
a las funciones 00:35:08
en ese punto 00:35:11
definición de recta tangente 00:35:11
lo acabo de explicar 00:35:23
tangente quiere decir 00:35:24
que toca las funciones en ese punto 00:35:26
es decir, que A y A más 00:35:28
están lo más cerca que se pueda 00:35:30
a eso se le llama recta tangente 00:35:32
No, no es que en la recta esté lo más cerca posible 00:35:34
Es que en la función está lo más cerca posible 00:35:41
Y yo con esos dos 00:35:43
Hago la recta 00:35:44
Ah, y por eso la recta roja 00:35:46
Es la diferencia de la recta roja 00:35:49
Claro, si lo acercara más todavía 00:35:50
La recta roja cada vez se inclinaría más 00:35:52
Y me dice con más decimales 00:35:54
Cuánto es el crecimiento 00:35:57
Sí, la definición 00:35:58
Ah, de tangente 00:36:02
En realidad en matemáticas tangente quiere decir 00:36:03
que toca en un punto solo. 00:36:05
Pero aquí lo que 00:36:08
como lo estamos usando es 00:36:09
la recta que une los dos puntos 00:36:10
más cercanos que yo pueda dentro de la función. 00:36:13
Los dos puntos más cercanos que yo pueda 00:36:17
dentro de esta función. En realidad, 00:36:19
tangente quiere decir que toca solo en ese punto. 00:36:21
Pero como estamos haciendo el límite cuando hace 10 de acero, 00:36:23
suponemos que 00:36:26
toca en ese punto. Ya, chicos, por Dios. 00:36:27
¿Vale? ¿Lo entendéis? 00:36:32
vamos a hacer una tercera y última definición 00:36:33
que en realidad 00:36:37
habría que dar por lo menos una clase entera 00:36:40
aplicándola, pero en bachillerato no lo dais así 00:36:42
así que estoy la fórmula y tirado 00:36:45
la idea 00:36:46
la idea es que yo puedo calcular 00:36:48
la derivada en cualquier punto 00:36:51
¿no? 00:36:52
eso tiene una propiedad muy buena 00:36:54
en las derivadas y es que yo en realidad 00:36:56
puedo hacer una 00:36:59
función que sea la derivada de la que me han dado 00:37:01
al principio. Y ya puedo calcular 00:37:02
el punto que quiera. Es decir, no vamos a 00:37:04
en los límites, ¿os acordáis que teníamos que 00:37:06
hacer el límite en cada punto que quisiéramos 00:37:08
ver si era continua en ese punto o no? 00:37:10
Vale, pues en derivadas en realidad habría 00:37:13
que hacer lo mismo. Pero 00:37:14
lo bueno de las derivadas es que 00:37:16
si yo calculo la derivada 00:37:18
general, ya sustituyo 00:37:20
el punto que quiere y me va dando los valores. Entonces 00:37:23
nos ahorramos hacer esto 70 veces 00:37:24
y directamente lo hacemos una vez y luego 00:37:26
sustituimos puntos que es mucho más rápido. 00:37:28
la de x y x más h 00:37:30
entonces 00:37:37
definición de derivada 00:37:37
¿cómo funciona? 00:37:40
y esta es la que vamos a utilizar 00:37:50
el 99% de las veces 00:37:52
el otro 1% la otra 00:37:54
para sacar la tabla de derivadas 00:37:57
para los ejercicios que yo os pongo 00:38:02
y todo eso, vamos a usar la derivada 00:38:04
como función, nosotros vamos a entender 00:38:06
la derivada más como función que como un cálculo 00:38:08
en un punto 00:38:10
eso es, la derivada de una función 00:38:10
a secas 00:38:14
sin x igual a a 00:38:16
la derivada en general, en el mundo 00:38:18
en el que yo quiera calcularla 00:38:20
es lo mismo 00:38:21
pero con x 00:38:26
lo que me permite esto 00:38:27
o lo bueno que tiene 00:38:36
casi siempre 00:38:38
lo bueno que tiene 00:38:53
¿quién me está hablando? 00:38:55
No os preocupéis, vamos a usar esta prácticamente siempre. 00:38:59
La otra es para que entendáis qué es la derivada. 00:39:02
Esta es la que os he dicho, esto es lo que os he dicho, 00:39:05
que tendríamos que dar una clase entera explicando cómo se pasa aquí. 00:39:07
Pero en realidad no me interesa. 00:39:10
Vamos a meter esta aquí, la vamos a referir a la derivada. 00:39:13
Sí, claro. 00:39:16
Vale, la definición es la misma, lo único es que esto es en cualquier punto. 00:39:18
Entonces, en realidad... ¡Ya! 00:39:22
Ya, chicos, por favor. 00:39:24
en realidad 00:39:25
con lo que hemos visto antes 00:39:27
Claudia, con lo que hemos visto antes 00:39:29
si yo quería calcular la derivada en 2, en 3 y en 7 00:39:31
tenía que hacer esto 3 veces 00:39:34
uno para 2, otro para 3 00:39:36
y otro para 7, ¿no? 00:39:38
ahora en realidad lo que hacemos es calcular esto 00:39:39
y directamente 00:39:41
la derivada 00:39:42
de la función en x igual a 00:39:44
simplemente cojo y sustituyo 00:39:47
lo que hay en el caso 00:39:49
lo que quiero 00:39:50
lo que quiero que entendáis es, la fórmula anterior 00:39:54
si yo quiero calcular la derivada en 4 puntos 00:39:56
tengo que aplicar la fórmula 4 veces 00:39:59
con esta de ahora 00:40:00
lo que hago es, hago la derivada 00:40:03
en general de la función 00:40:05
y luego sustituyo los 4 puntos en lo que me haya salido 00:40:06
que es mucho más rápido 00:40:09
esto, claro 00:40:10
cambiarme a x pero habiendo calculado en general 00:40:12
es decir, calculo una vez la derivada 00:40:14
pero para toda la función 00:40:17
y luego sustituyo los puntos en los que quiero 00:40:19
¿vale? 00:40:21
Sí, pero es que ya son y cuartos, lo hacemos el lunes. 00:40:24
El lunes lo hacemos tranquilamente. 00:40:27
¿Vale? 00:40:29
Autor/es:
Mario Coma
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17 de febrero de 2022 - 17:39
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