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AL3. 1. Introducción - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AL3 dedicada a los sistemas de ecuaciones lineales. En la videoclase de hoy
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caracterizaremos los sistemas de ecuaciones lineales. En esta primera videoclase de la
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unidad vamos a introducir algunos conceptos y definiciones que van a ser importantes a
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lo largo de toda ella. En esta ecuación vamos a estudiar sistemas de ecuaciones lineales. ¿Qué es
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un sistema de ecuaciones? Bien, pues está formado por un conjunto de varias, dos o más, ecuaciones
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que pretendemos resolver simultáneamente. Queremos encontrar los valores de las incógnitas que hacen
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que todas ellas se verifiquen simultáneamente. Estas ecuaciones van a ser lineales y eso quiere
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decir que las incógnitas van a aparecer dentro de las ecuaciones siempre en la forma de un
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coeficiente numérico que multiplica a la incógnita. No la incógnita al cuadrado, no la incógnita al
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cubo, no la incógnita en un cociente como 3 partido de x, 3 partido de y, no en el argumento de ninguna
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función. No nos encontraremos con raíz cuadrada de x, logaritmo neperiano de x, e elevado a x más 2.
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Nos vamos a encontrar siempre las ecuaciones en la forma coeficiente por incógnita más coeficiente
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por antincógnita más coeficiente por antincógnita, así tantas como tengamos, igual a, por último,
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un término independiente, un último valor numérico. En general, los sistemas de n ecuaciones con m
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incógnitas, sistemas lineales, van a tener la forma que vemos aquí. Un coeficiente a1,1 por
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la primera incógnita x1 más un segundo coeficiente a1,2 por la segunda incógnita x2 más así
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sucesivamente hasta encontrarnos con un último coeficiente, a sub 1m, por la última incógnita,
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en este caso la m-ésima, puesto que tenemos m incógnitas, xm. Es igual al término independiente,
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en este caso b1. Fijaos en que los coeficientes vienen denotados con un subíndice doble. Nos
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encontramos 1, 1, 1, 2 hasta 1m. El primer subíndice indica la ecuación. Nos encontramos a 1, 1, a 1, 2,
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a1m con la primera ecuación y aquí b1, el primer término independiente. En el caso de los
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coeficientes, el segundo subíndice nos va a indicar cuál es la incógnita. a11 es la primera incógnita,
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a12 la segunda incógnita, así hasta a1m, la emésima incógnita de la primera ecuación. Lo mismo con
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todas las demás ecuaciones. La última sería an1 por x1 más an2 por x2 más, así todas las demás
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incógnitas hasta anm por xm igual al último término independiente del anésimo puesto que
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tenemos n ecuaciones b sub n y le des la misma a sub n1 en la enésima ecuación el coeficiente de
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la primera incógnita a sub n2 en la enésima ecuación el coeficiente de la segunda incógnita
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hasta el último a sub nm en la enésima ecuación el coeficiente de la mésima incógnita. Esta
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anotación con los coeficientes con dos subíndices nos recuerda mucho la que ya introdujimos hace
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dos unidades al hablar de matrices y también utilizamos en la unidad anterior hablando
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de terminantes y es que habitualmente vamos a transcribir los sistemas de n ecuaciones lineales
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con m incógnitas en forma de una única ecuación matricial en la forma m por x igual a b donde
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esta matriz X mayúscula es la matriz de incógnitas que se define como una matriz
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columna, con una única columna. Va a tener M filas, tantas como incógnitas, y lo que va a ocurrir es
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que nos vamos a encontrar con las incógnitas ordenadas de arriba abajo, X1, X2, así hasta la
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emésima incógnita. M mayúscula va a ser la matriz de coeficientes y en ella es una matriz n por m,
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una matriz cuadrada n por m, nos vamos a encontrar todos los coeficientes ordenados. Por filas vamos
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a tener los coeficientes de cada una de las ecuaciones y por columnas los coeficientes de
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cada una de las incógnitas. Así que en el mismo orden en el que la teníamos aquí los transcribiremos
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dentro de la matriz. A1, 1, A1, 2, los coeficientes de la primera fila son los coeficientes de la
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primera ecuación y si los leemos por columnas A1, 2, A2, 2 hasta AN2 lo que vamos a tener son
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los coeficientes de la correspondiente incógnita, en este caso la segunda. Por último, esta matriz
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B, B mayúscula, va a ser la matriz de términos independientes. Está definida como una matriz
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columna, tiene una única columna y en este caso tiene n filas. En esta matriz vamos a tener B1,
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B2 hasta Bn ordenados todos los términos independientes. Puesto que tenemos n ecuaciones,
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tenemos n términos independientes y esta va a ser una matriz n por 1, n filas, una columna.
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Y entonces todo cuadra. La matriz m n por m puede multiplicarse por esta matriz de incógnitas tal y como está definida m por 1
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y el resultado sería una matriz n por 1 las dimensiones de esta matriz de términos independientes.
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Entonces, nosotros habitualmente no vamos a resolver así, de esta forma, directamente el sistema de ecuaciones resolviendo la ecuación matricial.
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Aunque sea cierto que nosotros transcribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial puesto que nos va a ser útil.
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Nosotros habitualmente lo que vamos a hacer es utilizar no por separado esta matriz de coeficientes y esta matriz de términos independientes,
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sino que utilizaremos la que se define como matriz de coeficientes ampliada que vamos a denotar por m asterisco o también vamos a leerlo como m estrella
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y que no es más que poner a continuación de la matriz de coeficientes como columna adicional la matriz de términos independientes.
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Es una matriz n por m más 1, tiene n filas tantas como ecuaciones y m más 1 columnas tantas como incógnitas y una más para los términos independientes y lo que ocurre es que como decía se colocará a continuación de la matriz de coeficientes la matriz de términos independientes y habitualmente dibujaremos siempre esta línea vertical que nos va a ayudar a separar visualmente esas dos submatrices de esta matriz de coeficientes.
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La matriz de coeficientes a la izquierda y la de términos independientes a la derecha.
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Nosotros en esta unidad y en este curso estudiaremos sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas con carácter general.
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La extensión a más ecuaciones o más incógnitas es inmediata, no es excesivamente complicada y sí lleva mucho más trabajo.
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Con lo cual nos vamos a restringir con carácter general, como decía, a tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
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Nuestros sistemas de ecuaciones en esta unidad van a ser de la forma a1,1 por x más a1,2 por y más a1,3 por z igual a b1, a2,1 por x más a2,2 por y más a2,3 por z igual a b2, a3,1 por x más a3,2 por y más a3,3 por z igual a b3.
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Y como podéis ver no vamos a denotar las incógnitas x1,x2,x3 de esa forma general sino que habitualmente utilizaremos x,y,z.
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En forma matricial, nuestra matriz de incógnitas será una matriz columna 3x1, tres filas y una única columna.
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En filas tendremos las incógnitas x, y, z.
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La matriz de coeficientes será una matriz cuadrada de orden 3 y tendremos los coeficientes a11, a12, a13, los de la primera ecuación,
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a21, a22, a23, los de la segunda, a31, a32, a33, los de la tercera, ordenados.
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En la primera columna los coeficientes de la primera incógnita en esta matriz, x, en la segunda columna los de la segunda incógnita en esta matriz, y, y en la tercera columna los de la tercera incógnita en esta matriz, z.
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La matriz de términos independientes es una matriz columna 3x1, tenemos tres ecuaciones y tenemos los términos independientes b1, b2 y b3.
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Y como decía, con carácter general, más que definir y escribir estas dos matrices por separado, la matriz de coeficientes y la matriz de términos independientes, utilizaremos la matriz de coeficientes ampliada, M asterisco, M estrella, como queramos leerla, que no es más que la matriz de coeficientes añadiendole a su derecha una columna adicional con la matriz de términos independientes.
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De tal forma que tenemos una matriz M asterisco formada por dos submatrices, matriz de coeficientes, esta línea vertical que nos ayuda a separar visualmente la información contenida en las dos matrices, a continuación la matriz de términos independientes.
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Si, por ejemplo, nos preguntamos por este sistema de ecuaciones, que trataremos más adelante en la siguiente videoclase, vemos cómo tenemos efectivamente tres ecuaciones.
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La primera x más 2y más z igual a 0, la segunda x menos y igual a 1 y la última menos y menos z igual a menos 1.
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Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. Ya vemos x, y, z.
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¿Cuál va a ser la matriz de incógnitas? Pues va a ser una matriz columna con las incógnitas en este orden x, y, z.
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¿Cuál va a ser la matriz de coeficientes? Bueno, pues en este orden los coeficientes por incógnitas, ordenados por incógnitas, en cada una de las ecuaciones.
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En la primera fila tendremos 1, 2, 1. En la segunda fila tendremos 1, menos 1, 0, puesto que en la incógnita z no aparece en esta ecuación.
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Y en cuanto a la tercera fila, tendremos 0, menos 1, menos 1, 0, porque en esta ecuación no aparece la incógnita x.
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En cuanto a la matriz de términos independientes, va a ser una matriz columna, 3 por 1, y lo que tendrá serán los términos independientes ordenados, 0, 1, menos 1.
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La matriz de coeficientes ampliada, m asterisco, lo que contiene son los coeficientes y los términos independientes en este orden.
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Podríamos escribirlo directamente leyéndolo también en el sistema de ecuaciones.
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En la primera fila de M asterisco tendremos 1, 2, 1, 0, el término independiente.
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En la segunda, 1, menos 1, 0, 1, el término independiente.
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Y en la última, 0, menos 1, menos 1 y menos 1.
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Y pondríamos una línea vertical separando la última columna para tener claro que la última columna son términos independientes,
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las tres columnas anteriores serían los coeficientes.
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Voy a volver atrás para continuar con algunas definiciones que nos van a hacer falta dentro de esta unidad.
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Como decía al principio, nosotros buscamos resolver el sistema de ecuaciones y eso supone resolver todas las ecuaciones del sistema simultáneamente.
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Atendiendo a cuáles sean las soluciones que podamos o no encontrar del sistema de ecuaciones, vamos a distinguir tres tipos de sistemas.
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En primer lugar, los sistemas que llamaremos incompatibles son aquellos que no tienen solución.
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Bien porque algunas o todas las ecuaciones no tengan solución, podría ocurrir,
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o bien porque teniendo todas las ecuaciones solución, no haya ninguna solución que sea solución simultánea de todas ellas.
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Por oposición a los sistemas incompatibles, definimos los sistemas compatibles, que son aquellos que sí tienen solución.
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Y aquí distinguiremos sistemas compatibles determinados, son aquellos que tienen solución y esa solución es una única, y sistemas compatibles indeterminados, que son aquellos que sí tienen solución, pero esa solución no es única.
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Y en ese caso las soluciones van a ser infinitas. Fijaos en que si tenemos un número finito de soluciones va a ser una única. Y si tienen solución y no es única, tendremos infinitas soluciones.
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Cuando hablo de una única solución, tened en mente que no hablo de un único valor numérico, sino de un único valor para la matriz de coeficientes.
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En el caso en el que tenemos sistemas con tres incógnitas, como va a ser el caso, la solución va a estar dada por tres números cada una de las soluciones.
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Y así, por ejemplo, diremos que un sistema de ecuaciones tiene una única solución y esa solución será x igual a 1, y igual a 2, t igual a 3, por ejemplo.
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Fijaos que una única solución va a estar formada por un único juego de valores para el número de incógnitas que nosotros tengamos.
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No es un único número, sino tantos valores numéricos como incógnitas tengamos.
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Aprovecho para decir que nosotros definiremos la matriz de incógnitas de esta manera y entonces esperamos encontrarnos la solución de esta manera,
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en forma de una matriz columna que va a tener tres filas, tantas filas como incógnitas tengamos, y una única columna.
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Alternativamente y por una cuestión estética, para que no ocupe tanto en la vertical, podremos dar las soluciones en ciertas ocasiones cuando no estemos utilizando en sentido estricto la notación matricial porque no estemos resolviendo en sentido estricto la ecuación matricial.
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Lo veremos más adelante a lo largo de esta unidad, en las siguientes videoclases.
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Como decía, utilizaremos una notación que va a ser más alargada en una única fila.
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Y entonces lo que haremos será no dar la solución en forma de matriz columna, sino en forma de matriz fila.
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Y lo que tendremos será, en primer lugar, la X, a continuación la Y, a continuación Z.
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Lo veremos, como digo, más adelante en alguna videoclase posterior.
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Por último, para cerrar esta primera videoclase de introducción,
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quiero señalar que dentro de los sistemas de ecuaciones van a tener especial importancia
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los sistemas que se llaman homogéneos.
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Son aquellos cuyos términos independientes son todos idénticamente nulos.
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Estos sistemas homogéneos van a ser importantes porque van a aparecer en la vida real
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en muchas condiciones de importancia, de importancia real.
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Y desde el punto de vista algebraico, desde el punto de vista operativo
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porque todos estos sistemas van a ser siempre compatibles.
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Pueden ser compatibles determinados, compatibles indeterminados, pero seguro que compatibles, puesto que la solución idénticamente nula, x igual a 0, igual a 0, z igual a 0, va a ser siempre solución de estos sistemas.
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En un sistema compatible determinado, solución única, esta será la única solución, la idénticamente nula.
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En sistemas compatibles indeterminados tendremos infinitas soluciones, pero una de ellas al menos va a ser la solución idénticamente nula.
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Con esto vamos a poder resolver ya estos sistemas de ecuaciones dados en forma de un enunciado, los plantearemos, los transcribiremos en forma de matricial y los resolveremos en clase y en posteriores videoclases.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes videográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 5
- Fecha:
- 8 de septiembre de 2024 - 18:55
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 16′ 11″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 40.87 MBytes
