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Representación de función racional con valor absoluto - Contenido educativo

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Subido el 1 de noviembre de 2024 por Carolina H.

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Representación de función racional con valor absoluto

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¿O no es? Bueno, vamos a comenzar con algunos ejemplos de representación gráfica de funciones, ¿vale? 00:00:00
Vamos a empezar con esta función que es racional, pero que además tiene un valor absoluto. 00:00:05
Entonces, lo primero que vamos a hacer es expresarla como una función definida a trozos. 00:00:11
Como siempre, tengo que ver dónde cambia de signo lo que está en el interior del valor absoluto. 00:00:18
Como este caso simplemente es x, tendré que ver qué pasa cuando la x es menor que 0 00:00:24
y cuando el x es mayor que 0, que es donde cambia de signo. 00:00:29
Para los valores negativos, el valor absoluto lo que hace es cambiarle el signo. 00:00:33
Por lo tanto, eso lo consigo poniendo un menos delante. 00:00:37
Y en cambio, para los valores positivos, el valor absoluto no lo afecta, 00:00:41
así que quedaría de la misma manera x partido por x al cuadrado más 1. 00:00:45
Muy bien, pues ahora ya podemos empezar a hacer la representación gráfica de la función. 00:00:50
Primero, como siempre, vamos a empezar con los puntos de corte, con los ejes. 00:00:54
Muy bien, puntos de corte y dominio. El dominio de la función, como veis, va a ser toda la recta real. ¿Por qué? Porque el denominador es siempre distinto de cero, así que no va a haber ningún punto donde no esté definida. 00:00:59
Y en el cero, tanto por la izquierda como por la derecha, podemos ir simplemente a ojo que se hace cero, así que va a ser continua. En este caso, como no me piden que estudie la continuidad, pues no tengo por qué hacerlo. Simplemente me piden que haga la representación gráfica de la función. 00:01:13
Así que el dominio es toda la recta real, por lo tanto, no van a existir asíntotas verticales, ¿vale? 00:01:29
Y vamos a ver los puntos de corte con los ejes. 00:01:37
Pues nada, simplemente lo valoro. Cuando la x vale 0, la y vale 0. 00:01:40
Y si la y vale 0, la única solución es que la x valga 0. 00:01:47
Así que existe un único punto de corte con el eje x e y que va a ser el 0, 0. 00:01:51
Porque si yo igualo a 0 la función, la única solución posible sería x igual a 0. 00:02:03
Así que ya no hace falta ni siquiera que lo ponga porque es bastante trivial. 00:02:16
Muy bien, pues lo primero que tenemos que hacer cuando representamos una función es ir dibujando lo que vayamos calculando 00:02:19
Aquí tengo mis ejes de coordenadas, el eje X, el eje Y y ya sé que la gráfica va a tener un punto de corte en el 0,0 00:02:28
Pues lo voy a dibujar, ¿vale? 00:02:37
Muy bien, el siguiente paso es saber si tiene asíntotas horizontales, el comportamiento en el infinito 00:02:39
Para ello tengo que hacer el límite cuando x tiende a más infinito de la función, que como es un valor mayor que cero, pues tendré que tomar el límite cuando x tiende a más infinito de x partido por x al cuadrado más uno. 00:02:49
Como es una fracción algebraica, tendríamos infinito partido por infinito, pero como tiene mayor valor el denominador, ya sabemos que este límite va a ser cero. 00:03:05
Así que tiene una asíntota horizontal y igual a cero, pero por la derecha. 00:03:14
Si hago el límite cuando x tiende a menos infinito de la función, ahora sería el límite cuando x tiende a menos infinito de menos x partido por x al cuadrado más uno, 00:03:25
que también va a dar cero. Así que tengo asíntota horizontal también igual a cero por la izquierda, ¿vale? 00:03:37
Siempre tenemos que comprobar por los dos lados. Vamos a dibujar la asíntota, como hemos dicho, 00:03:50
vamos a ir dibujándola, ¿sí? Va a haber una asíntota horizontal por la derecha y una asíntota horizontal 00:03:55
por la izquierda, ¿vale? 00:04:02
Una asíntota y la vamos a escribir 00:04:04
asíntota horizontal 00:04:06
y igual a 0 00:04:08
con su ecuación. 00:04:10
Muy bien, pues ya tenemos el comportamiento 00:04:12
en el infinito, ya tenemos 00:04:14
los puntos de corte, 00:04:16
vamos a estudiar ahora el crecimiento, 00:04:18
¿vale? Máximos y mínimos 00:04:20
relativos. Para ello 00:04:22
tenemos que derivar la función, 00:04:29
así que vamos a derivarla, 00:04:35
derivar el primero por el segundo 00:04:37
sin derivar menos el primero sin derivar por la derivada del segundo partido por el segundo al 00:04:38
cuadrado y la otra pues sería exactamente igual pero cambiada de signo. Bueno pues si simplificamos 00:04:49
esta expresión voy a obtener x al cuadrado menos 1 partido por x al cuadrado más 1 al cuadrado y 00:04:58
Y menos x al cuadrado menos 1 partido por x al cuadrado más 1 al cuadrado. 00:05:10
Cuando la x sea menor que 0 y cuando la x sea mayor que 0. 00:05:16
Muy bien, pues para estudiar el crecimiento tengo primero que ver dónde cambia de signo la derivada. 00:05:21
Así que la tengo que igualar a 0. 00:05:27
F de x valdrá 0 si solamente si x al cuadrado menos 1 vale 0, que va a tener dos soluciones. 00:05:28
x igual a 1 y x igual a menos 1. Así que vamos a construir su tabla de crecimiento. 00:05:37
Como no tiene asíntotas verticales, simplemente vamos a ir desde el infinito más infinito 00:05:45
y vamos a colocar los dos valores donde cambia de signo la derivada, que como hemos visto es en el menos 1 y en el 1. 00:05:50
Pero en el 0, aunque no tenga ninguna asíntota, puesto que la función cambia de expresión, 00:06:01
también podría ser que cambiase su crecimiento, así que también en el 0 voy a ponerlo en la tabla de crecimiento, ¿vale? 00:06:07
No solamente cuando hay asíntotas verticales, sino también cuando es una función definida a trozos, 00:06:14
porque en ese punto podría cambiar la expresión, como de hecho lo hace, ¿vale? 00:06:20
Así que tendríamos que estudiar el signo de f' para ver el crecimiento de f. 00:06:25
Como siempre, tomamos un valor que esté en el intervalo que nos interesa, ¿vale? 00:06:30
tenemos aquí la expresión de la derivada 00:06:34
así que si tomo un valor a la izquierda del menos 1 00:06:37
por ejemplo tomamos el menos 2 00:06:39
me quedaría positivo arriba, positivo abajo 00:06:41
por lo tanto positivo 00:06:45
aquí la función va a ser creciente 00:06:46
si cojo el menos 0,5 00:06:48
siguen mostrando valores menores que 0 00:06:51
en cambio el menos 0,5 va a quedar negativo el numerador 00:06:54
y positivo el denominador 00:06:57
Así que va a estar aquí negativa y la función va a ser decreciente. 00:07:00
Si tomo ahora un valor positivo, 0,5, hay que darse cuenta que ahora ya tengo que utilizar el otro trozo de la derivada, puesto que estamos valores que son mayores que 0. 00:07:05
Así que en el 0,5 el numerador va a quedar menos por menos más, va a quedar más entre más positivo, así que la función va a ser creciente. 00:07:16
y en cambio aquí va a ser negativo y la función va a ser decreciente. 00:07:27
Muy bien, recordemos que se define un máximo relativo como el valor donde la función pasa de ser creciente a decreciente 00:07:34
siempre que la función se continúa y un mínimo relativo donde la función pasa de ser decreciente a creciente. 00:07:41
Así que como vemos aquí, podemos deducir que en el menos 1, el 1 va a haber un máximo relativo 00:07:48
y sin embargo aquí en el 0 vamos a obtener un mínimo relativo. 00:07:54
Así que intervalos de crecimiento tendríamos que f es creciente, si nos lo piden, 00:08:02
en los intervalos que van de menos infinito a 1 y en el infinito 0 a 1. 00:08:12
f es decreciente en el intervalo que va de menos 1 a 0 00:08:17
y en el intervalo que va de 1 a más infinito 00:08:23
y f tiene máximos relativos en x igual a 1 y x igual a menos 1 00:08:27
y un mínimo relativo en x igual a 0 00:08:38
Muy bien, pues lo que tenemos que hacer siempre cuando calculemos los máximos y los mínimos 00:08:46
es representarlos, ¿vale? 00:08:51
Para ello tenemos que calcular las dos coordenadas, no solamente una, 00:08:54
sino que tenemos aquí x y en el menos uno, en el cero y en el uno. 00:08:59
En el cero ya sabemos que valía cero, ¿vale? 00:09:05
En el menos uno pues tendremos que sustituir el menos uno, 00:09:07
tenemos que ver que sería uno partido por dos, un medio, 00:09:11
y en el uno pues también va a valer un medio. 00:09:18
Bueno, pues vamos a dibujar estos puntos. Sabemos que cambia en el 1 un medio, aquí va a haber un máximo relativo y aquí también va a haber un máximo relativo. 00:09:21
Y lo vamos a escribir, ¿vale? Máximo relativo en el punto 1 un medio y máximo relativo en el punto menos 1 un medio. 00:09:32
¿Vale? Pues nos faltaría saber si la función es o no es derivable en el cero, ¿vale? 00:09:46
Porque en el cero habíamos visto que la derivada no era nula, entonces realmente no vamos a tener un mínimo relativo en un punto donde la derivada no es cero, donde la tangente no es horizontal. 00:09:51
Efectivamente, si yo hago el límite al cero por la izquierda y por la derecha, vamos a ver que por un lado me va a dar menos uno y por el otro lado uno. 00:10:06
así que la función no es derivable bueno vamos a ver si ya podríamos representar gráficamente 00:10:14
a la función vamos a ver me dicen que tiene un asíntota horizontal y que tiene un máximo 00:10:20
relativo así que parece que la función sube hasta su máximo y tenderá hacia su asíntota horizontal 00:10:28
y también parece ser que captará su máximo y luego su asíntota horizontal bueno como veis tiene toda 00:10:36
la pinta de que la concavidad también va a cambiar tiene toda la pinta que por aquí habrá algún punto 00:10:45
de inflexión y por aquí también habrá algún punto de inflexión y como vemos en el cero va a ser un 00:10:51
punto no derivable así que la función va a ser convexa entre los dos puntos de inflexión y 00:10:55
cóncava cuando tiende hacia sus asíntotas así que si nos lo piden tendríamos que estudiar la segunda 00:11:02
derivada vale vamos a hacer la segunda derivada ojo esto no lo tengo que hacer siempre ni mucho 00:11:08
menos para representar la gráfica nosotros ya habríamos representado básicamente lo que es la 00:11:14
gráfica de la función solamente si me lo piden haríamos la segunda derivada vamos a hacer la 00:11:20
segunda derivada, que sería, vamos a ponerla aquí, tendríamos que derivar x cuadrado 00:11:27
menos 1 partido por x al cuadrado más 1 al cuadrado. Así que sería derivada del primero 00:11:37
por el segundo sin derivar menos el primero sin derivar por la derivada del segundo partido 00:11:42
por el segundo al cuadrado. Fijaos siempre que en la segunda derivada va a ser muy común 00:11:53
en las fracciones alfebraicas que podamos simplificar un factor, en este caso x al cuadrado 00:12:01
más uno, porque se repite en todos los sumandos del numerador y en el denominador. Así que si 00:12:06
la simplificamos me quedaría de esta manera 2x al cubo más 2x menos 4x al cubo más 4x partido por 00:12:12
x cuadrado más 1 al cubo. Si la simplificamos un poco más, me va a quedar, esto es un cubo, 00:12:32
¿vale? Menos 2x al cubo más 6x partido por x cuadrado más 1 al cubo. Esto cuando la x es 00:12:41
menor que 0. Y cuando es mayor que 0, simplemente va a quedar 2x al cubo menos 6x, cambiada de 00:12:52
signo. Muy bien, entonces si igualamos a 0 la derivada, la segunda derivada, menos 2x al cubo 00:13:00
más 6x será 0 o bien cuando la x vale 0 o bien cuando x al cuadrado es igual a 3, o sea cuando 00:13:10
x vale raíz de 3 y x vale menos raíz de 3. Estos van a ser justamente los puntos de inflexión. 00:13:29
Pero para estar seguros de que lo son, tendremos que hacer ahora una tabla de concavidad. 00:13:38
Como siempre, desde menos infinito hasta más infinito, vamos a dar los dos valores, menos infinito, más infinito, menos raíz de 3, 0 y raíz de 3. 00:13:44
Siempre vamos a tener que poner el valor donde cambia de trozo la función. 00:13:59
Así que f' perdón, f' y f' y vamos viendo cómo cambia la segunda derivada a su signo en cada uno de los intervalos, ¿vale? 00:14:04
Si tomo un valor a la izquierda de menos raíz de 3, por ejemplo, el valor menos 2, ¿vale? Va a quedar positivo, por lo que la función va a ser cóncava. 00:14:14
Si cojo un valor entre menos raíz de 3 y 0, por ejemplo, el 1, ¿vale? 00:14:23
Si tomo ahora un valor comprendido entre el menor raíz de 3 y 0 como el menos 1, 00:14:30
pues vamos a ver que aquí esta expresión me va a quedar negativa. 00:14:35
Por lo tanto, en este intervalo la función va a ser convexa. 00:14:38
Si tomo el 1, me va a pasar exactamente lo mismo. 00:14:42
En el 1, ahora como ya tomaríamos el otro trozo de la segunda derivada, 00:14:46
me va a quedar negativo, por lo tanto es convexa, y aquí positivo y cóncava. 00:14:51
así que podemos ver que en realidad solo existen dos puntos de inflexión 00:14:55
a pesar de que en el 0 se haya anulado la segunda derivada 00:15:00
así que esos puntos de inflexión que ya habíamos adivinado que tenían que existir 00:15:03
van a estar en el menos raíz de 3 y en el raíz de 3 00:15:09
son los puntos donde la función pasa de ser cóncava, compresa, viceversa 00:15:14
y este punto 0 es lo que llamamos un punto singular 00:15:19
¿Vale? Es un punto no derivable, ¿de acuerdo? Un punto singular de la gráfica, así que ya tendríamos la concavidad. 00:15:24
Si además me pidieran la paridad, pues nos damos cuenta rápidamente que esta es una función par, ¿vale? 00:15:38
f de x es simétrica par, ya que f de menos x, que sería igual al valor absoluto de menos x partido por menos x al cuadrado más 1, 00:15:45
Esto es lo mismo que x partido por x cuadrado más 1 que es f de x y como veis en la gráfica pues efectivamente es una función simétrica. 00:16:01
Si lo hubiera tenido en cuenta desde el principio pues ya hubiera tenido seguro que iba a haber dos máximos relativos y dos puntos de inflexión simétricos respecto a la recta igual a x. 00:16:12
Bueno, pues simplemente recordaros que siempre con GeoGebra os podéis corregir las gráficas, ¿vale? 00:16:22
Y si la metéis en GeoGebra os va a salir este dibujo que os enseño aquí ahora, ¿vale? 00:16:30
Que como veis, pues es muy similar a la que habíamos dibujado nosotros previamente. 00:16:34
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Científicas
Niveles educativos:
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    • Niveles para la obtención del título de E.S.O.
      • Nivel I
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Autor/es:
Irene Tuset Relaño
Subido por:
Carolina H.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
45
Fecha:
1 de noviembre de 2024 - 23:01
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
16′ 40″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
99.45 MBytes

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