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Polinomios 2 - Contenido educativo

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Subido el 5 de febrero de 2024 por Carolina H.

23 visualizaciones

Sacar factor común algebraico
División de monomios
División euclídea
División de Ruffini
Teorema del resto
Teorema del factor
Factorización de polinomios

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Buenas tardes, hoy a petición de algunos alumnos os voy a grabar un vídeo sobre la factorización de polinomios 00:00:00
y cómo utilizamos la división de polinomios para ayudarnos a conseguirla. 00:00:09
Entonces, en principio el otro día nos quedamos, no sé si recordáis, que en el vídeo anterior 00:00:14
podíamos multiplicar este factor por un binomio de esta manera 00:00:21
y entonces al multiplicar, esto se multiplicaba por 3, 6x cubo se multiplicaba por menos 2x 00:00:26
y lo que resultaba era 18x al cubo menos 12x a la cuarta. 00:00:36
Nosotros este contenido de aquí es un polinomio que tenemos en forma de suma, porque es una suma de varios términos 00:00:46
pero si nos fijamos en este otro lado, en realidad, 00:00:53
lo que tenemos aquí es una multiplicación, porque tenemos un factor multiplicado por este otro factor. 00:00:56
Entonces, vamos a llamar factorizar a escribir como un producto de factores, es decir, a hacer este camino. 00:01:05
En lugar de multiplicar, ver como un polinomio que es una suma, lo puedo escribir como un producto de factores. 00:01:14
Un poco semejante a como cuando yo escribía que 12x es igual a 12x. 00:01:22
¿Qué era 8x4? 00:01:26
¿O qué 12x era 4x3? 00:01:28
Porque en realidad, si nos fijamos, esto es 4x2 más 4x1 y si saco factor común es 4x2 más 1 y es 3. 00:01:35
Esto nosotros lo hacíamos porque nos ayudaba en un montón de operaciones al descomponer 00:01:46
en factores, normalmente además en unos factores muy especiales 00:01:53
que son los factores primos, pues un poco análogo va a ser factorizar, lo voy a utilizar en esas mismas operaciones cuando yo trabaje aquí con álgebra y es verdad que no voy a tener factores primos como yo tenía en aritmética, pero sí voy a tener binomios, que son los factores más pequeños, que van a ser del estilo x más algo o x menos algo, eso es lo que yo voy a ir buscando. 00:01:56
Entonces voy a buscar, fijaos que esto respondería a una factorización similar, ahora lo vamos a ir viendo, entonces es un poco el tener en claro que es factorizar, es escribir como un producto de factores, ¿por qué? Pues porque nos va a ser útil para operar, igual que factorizar con factores primos nos será útil para operar en aritmética. 00:02:23
Entonces, bueno, pues lo primero que podemos hacer es eso, ¿cómo hemos llegado, si de aquí hemos aplicado la propiedad distributiva? 00:02:45
Si vamos a sacar al polinomio, pues para pasar del polinomio a la factorización tendré que hacer lo contrario que era sacar factor común, entonces lo primero que yo voy a hacer para factorizar siempre es ver si puedo sacar factor común, algo en mi polinomio, en este caso, ¿cómo lo vemos? Pues tengo que mirar los factores y veo que aquí tengo una x cubo, porque aquí tengo 4, así que puedo sacar x cubo y aquí tengo 18 y tengo 12, que en realidad ambos son, 00:02:53
divisibles entre 6, por eso el factor común que sale es 6x cubo, vamos a verlo con un ejemplo, si yo tuviera, por ejemplo, 3x a la quinta más 6x a la cuarta, de aquí a aquí yo sé que por lo menos puedo sacar 4x, así que x a la cuarta es lo que voy a tener, y de entre 3 y 2 el factor sería el 3, así que esto es por lo que voy a poderlo sacar. 00:03:23
Si no se ve muy claro, mira, desarrolla. 00:03:50
¿Qué factor es el común? Se repiten, mira, 4x las tengo aquí y el 3 lo tengo aquí, así que ¿por qué voy a multiplicar 3x a la cuarta para que me dé 3x a la quinta? Por el factor que queda. 00:03:53
Por x más, ¿y por qué voy a multiplicar 3x a la cuarta para que me dé 6x a la cuarta? Por el factor que queda, que es el 2. 00:04:23
Y ya tendría la primera factorización, 3x a la cuarta por x más 2. 00:04:34
Otro ejemplo, un poquito más largo. 00:04:48
2x a la cuarta más 8x al cubo más 8x al cuadrado. 00:04:53
Me fijo primero en los números 1, 2, 1, 8 y 1, 8, 1, 1000. 00:05:05
Ya creo que habéis visto que lo que yo quiero es el máximo común divisor de todos esos coeficientes, que va a ser el 2. 00:05:10
Pues va a ser 2 lo que yo pueda sacar, porque es el mayor que puedo sacar aquí, que es el más pequeño y ya no puedo sacar otro factor. 00:05:16
Y aquí tengo 4x, aquí tengo 3 y aquí tengo 2. 00:05:22
¿Cuántas puedo sacar? Evidentemente 2. 00:05:25
Entonces, lo único que voy a hacer es ver por lo que tengo que multiplicar este para que me dé este. 00:05:28
Es decir, dividir. 00:05:34
Si yo 2x a la cuarta lo divido entre 2x al cuadrado, se me quedan x al cuadrado. 00:05:36
Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes. 00:05:43
4 menos 2 es 2, así que aquí voy a poner un x al cuadrado. 00:05:48
¿Qué hago? 00:05:51
Signo más, que va a ser mi coeficiente, más entre más, más, así que más. 00:05:52
Y ahora, 8 entre 2, 4. 00:05:57
Y x al cubo entre x al cuadrado, x. 00:06:01
Voy a comprobarlo. 00:06:04
8x al cubo entre, perdón, 2x al cuadrado. 00:06:06
Divido 8 entre 2, que es 4, y x al cubo entre x al cuadrado, dejo la misma base y resto los exponentes. 00:06:17
x a la 1, 4x. 00:06:22
Y ahora, más 8 entre más 2, más 4 otra vez, y x al cuadrado entre x al cuadrado, nada. 00:06:26
Pues acabo de factorizar. 00:06:34
Esto sobra. 00:06:36
Y he sacado factor común. 00:06:39
Voy a borrar todo esto que sobra. 00:06:46
Y he sacado factor común, 2x al cuadrado, y aquí está multiplicando a este otro factor, que no deja de ser un polinomio. 00:06:52
Fijaos que ahora, el problema es que este polinomio yo no lo puedo deshacer en factores más pequeños, 00:07:07
porque no puedo sacar factor común, luego necesito otra herramienta. 00:07:15
¿Cómo? 00:07:19
Pues igual que tanteábamos antes, con la divisibilidad. 00:07:19
Que me daba resto 0, pues ahora voy a tantear con restos. 00:07:23
Entonces, con restos 0, con factores algebraicos que multiplicados, o sea, que divididos, me den 0. 00:07:27
Entonces, para entender bien cómo utilizo la división para factorizar, 00:07:35
vamos primero a entender un teorema muy importante, que es el teorema del resto. 00:07:41
El teorema del resto, lo que me dice, 00:07:48
es que el valor numérico de un polinomio 00:07:52
Pbx 00:08:02
cuando x toma el valor de a, 00:08:18
de un número a, 00:08:21
es decir, 00:08:26
PdA, 00:08:29
coincide, y esto es lo importante, 00:08:32
ese PdA coincide con el valor 00:08:35
del resto, 00:08:42
vamos a dejarlo solo con el resto, 00:08:44
coincide con el resto 00:08:46
que, 00:08:48
que, 00:08:50
se obtiene, 00:08:51
al dividir, 00:08:55
Pdx, 00:08:59
entre, 00:09:03
el binomio x-a. 00:09:05
Entonces, 00:09:10
hombre, está claro que para esto, para empezar a hablar esto, hablamos de división de polinomios, 00:09:13
estaría bien saber cómo se divide en polinomios, 00:09:18
que sabemos multiplicarlos, pero no hemos dividido hasta ahora. 00:09:21
Entonces, vamos por ejemplo a dividir este polinomio x cuadrado más 4x más 4 entre el polinomio x menos 2. 00:09:24
Vamos a ver, x cuadrado más 4x más 4, no, lo voy a dividir entre x menos 3. 00:09:32
¿Vale? Quiero hacer esta división. 00:09:46
Si la ponemos en forma de cajetín, sería aquí x cuadrado más 4x más 4 y lo voy a repartir entre x menos 3. 00:09:49
Al igual que hacemos la división aritmética, la vamos a hacer aquí. 00:10:01
Yo necesito un número, encontrar una expresión, un monomio, en realidad no es un número, es un monomio, que multiplicado por este, me dé este. 00:10:06
Pues lo que yo hago habitualmente en una división. 00:10:16
La división es que x cuadrado lo divido entre x y veo lo que toca. 00:10:19
Entonces, x cuadrado entre x sale x. 00:10:23
Porque es x cuadrado entre x a la 1 y queda x a la 1. 00:10:28
Así que ese x a la 1 es el que pongo aquí, que es x. 00:10:33
Y ahora, vamos a recordar lo que hacíamos con la división normal. 00:10:39
Si yo divido el número 17 entre el número 3, busco... 00:10:44
Un número que multiplicado por 3 se acerque a 17. 00:10:50
5 por 3, 15. 00:10:53
Y ese 15 se lo resto a 17. 00:10:55
Es decir, le añado... 00:10:58
Yo no le añado 15, le añado menos 15, lo resto. 00:11:03
Y me queda 2, que es el resto de dividir 17 entre 3. 00:11:10
Pues eso es lo que voy a hacer aquí. 00:11:14
Yo voy a ir multiplicando, voy a ir poniendo... 00:11:16
El homonomio resultante debajo del grado que le toque con el signo opuesto, 00:11:19
porque lo voy a quitar. 00:11:23
Y voy a sumar el opuesto de lo que me sale. 00:11:25
Igual que aquí, añado menos 15. 00:11:28
En la aritmética. 00:11:31
Entonces, x por x, x cuadrado. 00:11:33
Pues añado menos x cuadrado. 00:11:35
x por menos 3 es menos 3x. 00:11:39
Así que añadiré más 3x, que es el opuesto de lo que me da aquí, que es menos 3x. 00:11:41
Y ahora... 00:11:48
Ya no hay más. 00:11:49
Lo que hago es resto y veo que me queda... 00:11:50
Estos se van. 00:11:54
Y me va a quedar 7x y bajo la cifra siguiente, que es 4. 00:11:57
Ahora, voy a dividir 7x entre x. 00:12:03
Y me da 7. 00:12:08
Ojo que 7 en álgebra es más 7. 00:12:10
Eso significa que aquí yo voy a poner mi término más 7. 00:12:13
Y con más 7... 00:12:18
Yo voy a tener más 7 por x, más 7. 00:12:19
Pues aquí, menos 7x, que es el opuesto. 00:12:22
Menos 3 por más 7 es menos 21. 00:12:25
Pues aquí lo voy a añadir, más 21. 00:12:29
¿Qué me va a quedar? 00:12:32
Aquí se van y me queda un resto de 25. 00:12:33
Ya no puedo seguir dividiendo porque esto es un término de grado 0. 00:12:36
Y esto es un término de grado 1. 00:12:40
Así que no puedo dividir más. 00:12:42
He terminado y mi resto es 25. 00:12:44
¿Qué me dice el teorema del resto? 00:12:47
¿Qué me dice el teorema del resto? 00:12:49
Que si yo cojo este polinomio que está dividiendo x al cuadrado más 4x más 4 00:12:49
y calculo su valor para p de a, que sería x igual a 3... 00:13:00
Perdón, a igual a 3, porque esto es x menos a. 00:13:10
Y nosotros... 00:13:17
Aquí estábamos diciendo que si yo dividía entre x menos a, 00:13:19
la raíz que ponía, o sea, el valor que cogía era x igual a a, 00:13:25
hacia p de a. 00:13:30
Entonces, si aquí tengo que es x menos 3, a es igual a 3. 00:13:31
Entonces, donde pone x, yo pongo p de 3. 00:13:37
Es decir, calculo el valor numérico de mi polinomio para x igual a 3. 00:13:41
Entonces, sería 3 al cuadrado más 4x. 00:13:46
4x3 más 4. 00:13:49
Fíjate que sale 9 más 12 más 4. 00:13:51
Y eso nos da 25. 00:13:56
Que coincide justo con el resto de dividir mi polinomio entre x menos 3. 00:13:58
Este tipo de divisiones es muy cómoda. 00:14:08
Lo que pasa... 00:14:12
O sea, este teorema es muy cómodo de utilizar, 00:14:13
pero la división es un poquito engorrosa. 00:14:17
Entonces, cuando yo dividía por binomios, 00:14:19
porque son dos términos, de la forma x menos a, 00:14:24
Ruffini inventó una forma de hacer esta división bastante más sencilla. 00:14:28
En realidad hago lo mismo, pero me quedo solo con los coeficientes. 00:14:34
Y me va a dar el cociente y el resto. 00:14:39
Fijaos, en esta división yo puedo escribir que mi dividendo... 00:14:41
Voy a borrar ya lo que no sale. 00:14:47
Lo que no nos sirve. 00:14:49
Voy a coger la división. 00:14:53
Y me la voy a pasar aquí. 00:15:01
Esta era la división que teníamos por ahí. 00:15:08
Fíjate que a mí, en la prueba de la división que funcionaba en aritmética, 00:15:14
también me funcionó. 00:15:18
Ahora, nadie me ha dicho que tiene que ser en aritmética, pues en álgebra. 00:15:19
Entonces, el dividendo siempre es el divisor por el cociente más el resto. 00:15:26
Podemos aprovecharlo además para ir repasando. 00:15:30
Entonces, voy a hacer que... 00:15:34
Voy a hacer el dividendo por el cociente, 00:15:36
que es x menos 3 es mi divisor, 00:15:41
y lo voy a multiplicar por x más 7, que es mi cociente. 00:15:46
Y luego, si yo ahora quiero añadirle el resto, 00:15:49
tendré que añadirle el 25. 00:16:04
Vamos a comprobar que esto que he escrito yo aquí 00:16:09
es justo... 00:16:14
es justo... 00:16:16
x al cuadrado más 4x más 4. 00:16:19
Vamos a ver. 00:16:25
Aquí lo dejo tal cual, y aquí empiezo a operar. 00:16:30
Recordamos, el primero por todo lo anterior, 00:16:34
y el segundo por todo lo anterior. 00:16:38
Entonces, x por x, x cuadrado. 00:16:40
x por más 7, más 7x. 00:16:43
Menos 3 por x, menos 3x. 00:16:46
Y menos 3 por más 7, menos 21. 00:16:51
Y luego me queda añadirle el más 25. 00:16:54
Entonces, por aquí me queda x al cuadrado más 4x más 4. 00:17:04
Y por aquí me queda x cuadrado, solo hay uno. 00:17:10
x cuadrado ahora. 00:17:14
Más 7x menos 3x, más 4x. 00:17:15
Y menos 25, menos 21 más 25, más 4. 00:17:19
¿Veis que queda lo mismo? 00:17:26
Luego, igual que puedo hacer la división, 00:17:28
como es un poco engorroso, 00:17:34
a Ruffini se le ocurrió que podía entonces hacer un algoritmo 00:17:36
de esta misma división, pero puesto de otra manera. 00:17:39
Me voy a quedar... 00:17:42
Él dice, me voy a quedar solo con los cuadrados, 00:17:43
con los coeficientes de mi polinomio. 00:17:45
El dividendo es x cuadrado más 4x más 4. 00:17:47
¿Quiénes son mis coeficientes? 00:17:51
Pues el coeficiente de la x, 00:17:55
voy a borrar esto de aquí para que se vea mejor. 00:17:58
El coeficiente de la x, como no hay nada, es un 1. 00:18:11
El coeficiente... 00:18:14
Perdón, del x cuadrado. 00:18:15
El coeficiente de la x más 4. 00:18:16
Y el coeficiente, que es el término independiente, otro más 4. 00:18:18
Entonces, más 1, 4 y 4. 00:18:22
Y ponemos aquí dos barras. 00:18:27
Y ahora, aquí, en el lugar de aquí, 00:18:30
tengo que poner la raíz del divisor. 00:18:32
Es decir, el valor que hace que el divisor valga 0. 00:18:35
Es 3x igual a 3, que era, ¿os acordáis? 00:18:39
Cuando decíamos el valor... 00:18:43
El polinomio para x igual a a es el resto de dividir mi polinomio entre x menos a. 00:18:45
Luego, yo tengo que poner la a, que se llama la raíz del divisor. 00:18:51
El valor que anula el divisor. 00:18:54
En este caso, es x igual a 3. 00:18:57
Así que aquí voy a poner, porque para x igual a 3, 3 menos 3 se hace 0. 00:18:59
Entonces, aquí voy a poner un 3, que es el divisor. 00:19:04
Y ahora, este número de aquí, este coeficiente principal, 00:19:10
siempre lo bajo, 1. 00:19:15
Y lo que yo voy a hacer siempre es multiplicar el número que tengo aquí 00:19:17
por el factor que tengo aquí. 00:19:20
1 por 3, 3. 00:19:22
Y entonces, aquí voy a poner un 3. 00:19:28
Y para abajo sumo 4 más 3, 7. 00:19:32
7 por 3, 21. 00:19:35
Pues aquí pongo 21. 00:19:36
Y lo que pongo para abajo sumo 25. 00:19:38
Y lo que me dice Ruffini es que lo que me queda 00:19:41
en el último término es el resto. 00:19:45
Y lo que me queda aquí son los coeficientes del cociente. 00:19:50
Y esta es la raíz del divisor. 00:19:59
Y estos son los coeficientes de... 00:20:08
...el dividendo. 00:20:15
Entonces, fíjate que como yo siempre he dividido por un x menos algo, 00:20:19
si es x al cuadrado, voy a tener un orden menos. 00:20:24
Entonces, el cociente me tiene que quedar 1 por x. 00:20:27
Si este ha sido 1 por x cuadrado, porque tengo otros términos. 00:20:32
¿Lo veis? 00:20:37
Entonces, podría escribir directamente viendo esta división. 00:20:38
Que mi dividendo x al cuadrado más 4x más 4 00:20:45
es igual a mi cociente, que lo tengo aquí. 00:20:52
Y sería x más 7, recuerda que entre paréntesis, que va junto, por el divisor. 00:20:57
¡Ojo! Recuerda que este solo es la raíz. 00:21:05
Así que mi divisor es x menos 3 más el resto, que es esto. 00:21:08
Que es justo lo que teníamos aquí. 00:21:15
Entonces, lo que estamos viendo es que la división que en principio era un poco engorrosa de hacer, 00:21:19
con el algoritmo de Ruffini se hace muy fácil. 00:21:24
Vamos a comprobar otro. 00:21:27
Vamos, por ejemplo, a dividir este mismo polinomio. 00:21:29
¿Qué es esto? 00:21:33
Lo quiero dividir entre x... 00:21:41
Entre x más 2. 00:21:45
Vale. 00:21:54
Pongo mis rayas. 00:21:55
Y entonces digo, vale, vamos a ver. 00:21:58
Coeficientes del dividendo. 00:21:59
El 1, el 4 y el 4. 00:22:02
Raíz del divisor menos 2. 00:22:07
Porque es el valor que anula a x más 2. 00:22:12
Y yo aquí pongo menos 2. 00:22:15
Menos 2 más 2 se hace 0. 00:22:16
Así que es la raíz. 00:22:19
Raíz en álgebra es el valor que anula un polinomio. 00:22:21
Una expresión algebraica. 00:22:24
Entonces, la raíz del divisor. 00:22:25
Y ahora, el 1 lo bajo. 00:22:27
1 por menos 2, menos 2. 00:22:31
4 por menos 2, 4 menos 2, más 2. 00:22:34
Menos 2 por más 2, menos 4. 00:22:38
Y resto 0. 00:22:40
¡Anda! 00:22:42
Fíjate. 00:22:43
Como... 00:22:44
Me da un resto de 0. 00:22:45
Yo puedo escribir que x cuadrado más 4x más 4 00:22:47
es igual a mi divisor, que es x más 2, 00:22:52
por mi cociente, que es x más 2, 00:22:59
más 0. 00:23:03
Como mi resto es 0, no hay nada que añadir. 00:23:06
Y entonces consigo, utilizando esta herramienta, 00:23:10
algo que era tan útil, 00:23:13
y también en aritmética, que era 00:23:14
cuando yo encuentro divisiones en que mi resto vale 0, 00:23:16
lo que estoy haciendo en realidad es buscar factores. 00:23:21
Estoy factorizando mi dividendo. 00:23:24
Por eso, cuando tú divides 15 entre 3, 00:23:27
que te da 5 y el resto 0, 00:23:32
tú puedes escribir que 15 es 3 por 5, 00:23:34
porque no hay resto que sume. 00:23:37
Entonces estás factorizando el 15. 00:23:39
Pues en este caso es lo mismo. 00:23:42
En este caso, si yo consigo hacer la división 00:23:44
de mis polinomios, de mi dividendo entre mi divisor, 00:23:51
y el resto me da 0, 00:23:56
lo que estoy haciendo es justo encontrar los factores 00:23:58
que multiplicados entre sí me dan este. 00:24:01
Mira, x por x, x cuadrado. 00:24:04
Aquí. 00:24:07
Aquí. 00:24:08
, x por más 2, más 2x. 00:24:14
Más 2 por x, más 2x. 00:24:19
Y más 2 por más 2, más 4. 00:24:22
De hecho, es una identidad notable, 00:24:24
porque en realidad lo que yo estoy haciendo es que x cuadrado más 4x más 4, 00:24:26
acabo de encontrar que es x más 2 al cuadrado. 00:24:30
Que en las identidades notables será cuadro del primero, 00:24:34
más el cuadro del segundo, 00:24:37
más el doble producto del primero por el segundo, 00:24:38
que es 4x. 00:24:40
Así que es verdad. 00:24:42
Voy a intentar entonces utilizar esta herramienta 00:24:44
para factorizar polinomios más complicados. 00:24:48
Por ejemplo, 00:24:52
vamos a intentar factorizar este. 00:24:55
x cuadrado menos x, 00:24:57
menos 12. 00:25:01
¿Cuál es mi problema ahora? 00:25:05
Que cuando yo lo voy a dividir entre algo, 00:25:07
no tengo ni idea de lo que tengo que poner aquí. 00:25:11
Entonces, si yo hiciera esto, 00:25:14
aquí pondría un 1, 00:25:17
aquí un menos 1, 00:25:18
y aquí un menos 12. 00:25:20
Y aquí, pues no lo sé. 00:25:22
Ahí no sé lo que tengo que poner. 00:25:26
Pero yo sí sé algo. 00:25:28
Y es que cuando yo... 00:25:30
Ay, que no... 00:25:33
¿Por qué no borra? 00:25:35
Ahora. 00:25:41
Yo sí sé que cuando yo... 00:25:42
Yo haga la división entera, 00:25:44
aquí en el resto, 00:25:47
si busco factorizar, 00:25:48
busco factores, 00:25:51
aquí en el resto me tiene que quedar sí o sí o un cero. 00:25:52
Para que aquí me quede cero, 00:25:55
aquí arriba, ¿qué tiene que haber? 00:25:56
Pues en este cuadrado tiene que haber un más 12. 00:25:58
Pero este cuadrado, 00:26:02
si os acordáis aquí, 00:26:03
era el resultado de multiplicar este número por este. 00:26:05
Es decir, que este número siempre va a ser un múltiplo de lo que tenga aquí. 00:26:09
O lo que es lo mismo. 00:26:13
Lo que tengo aquí, este menos 2, 00:26:14
siempre va a ser un divisor de este número de aquí. 00:26:17
El signo me da igual, porque puede ser positivo o negativo, 00:26:20
tendré que averiguarlo. 00:26:23
Pero seguro, seguro, que tiene que ser lo que yo ponga aquí, 00:26:25
tiene que ser un múltiplo, o sea, un divisor de más 12. 00:26:29
Divisores que tengo del 12. 00:26:33
Pues el 1, el 2, el 3, el 4, el 6, 00:26:35
y si no me acabo, no recuerdo mal, 00:26:41
el 12 nada más, sí, ya está. 00:26:44
Evidentemente, positivos o negativos, 00:26:46
porque pueden ser de las dos maneras. 00:26:48
Yo no sé lo que me va a salir. 00:26:50
Entonces, ¿de qué se trata aquí? 00:26:53
Pues de ir tanteando. 00:26:54
De ir tanteando, empezar a coger uno que parezca posible. 00:26:56
Yo en este caso, siempre os recomiendo empezar por el pequeño. 00:27:01
No va a salir, pero os recomiendo empezar por el pequeño, 00:27:04
porque siempre es mucho más fácil. 00:27:07
Entonces, voy a empezar, si aquí tengo que tener un menos, 00:27:08
voy a empezar con el más 1, por ejemplo. 00:27:12
Entonces, este número lo bajo, más 1, más 1 por más 1, más 2. 00:27:14
Menos 1, más 2, 1, y 1 por 1, 1. 00:27:19
Veo que es distinto de 12. 00:27:22
Este número que yo he cogido, no vale. 00:27:24
¿Y si pusiera el menos 1? 00:27:28
1 por menos 1, menos 1, menos 1. 00:27:33
1 por menos 1, menos 1. 00:27:44
Menos 1 y menos 1, menos 2. 00:27:47
Esta pizarra últimamente no va bien. 00:27:51
No sé por qué no me coge los valores en negro. 00:27:56
Menos 2 por menos 1, más 2. 00:28:01
También es distinto de más 12. 00:28:10
Así que, no nos vale. 00:28:12
A borrar. 00:28:14
Y hay que ir tanteando. 00:28:18
Estos ya no valen. 00:28:20
Voy ahora a probar con el más 2. 00:28:22
Y así voy buscando. 00:28:26
Más 1 por más 2, más 2. 00:28:28
Menos 1, más 2, más 1. 00:28:30
No me vale. 00:28:32
Voy ahora a probar con el menos 2. 00:28:36
1 menos 2, menos 2, menos 1, menos 2, menos 3. 00:28:38
Menos 3 por menos 2. 00:28:42
Menos 2, más 6. 00:28:44
No, pero ya me voy acercando. 00:28:46
Así que, estos no valen. 00:28:48
¿Cuál sería el siguiente? 00:28:52
¿Más 3 o menos 3? 00:28:54
Voy a probar con el más 3. 00:28:58
1 por 3. 00:29:04
3 menos 1, más 3. 00:29:06
2, me sale más 6. 00:29:08
No, no me vale. 00:29:10
Voy a probar con el menos 3. 00:29:12
1 menos 3, menos 3. 00:29:14
Menos 1, menos 3, menos 4. 00:29:16
Menos 4 por menos 3, más 12. 00:29:18
Lo he encontrado. 00:29:20
Aquí sí que me sale. 00:29:22
Esta división está bien. 00:29:24
Eso significa que yo puedo escribir 00:29:26
este va a ser el cociente, 00:29:28
que va a ser x menos 4. 00:29:30
Y esto es la raíz del divisor. 00:29:32
Luego mi factor va a ser 00:29:34
x más 3. 00:29:36
Esto que acabo de escribir aquí 00:29:38
es lo que se conoce 00:29:40
como el teorema del factor. 00:29:42
Es decir, 00:29:44
si la raíz de un polinomio 00:29:46
es x, 00:29:48
o sea, si un polinomio 00:29:50
se anula para x igual a menos 3, 00:29:52
eso quiere decir que su factor 00:29:54
es x más 3. 00:29:56
El teorema de factor me dice 00:29:58
que cuando encuentro una raíz 00:30:00
acabo de encontrar también 00:30:02
un factor del polinomio. 00:30:04
Así que esto en realidad 00:30:06
es x más 3 00:30:08
y la raíz es 00:30:10
x igual a menos 3. 00:30:12
Y si yo cojo este polinomio 00:30:14
y calculo p de menos 3, 00:30:16
por el teorema del resto 00:30:20
lo que estoy calculando 00:30:22
es este 0. 00:30:24
Se anula el valor del polinomio 00:30:26
para x igual a menos 3. 00:30:28
Compruébalo. 00:30:30
Menos 3 al cuadrado 00:30:32
menos menos 3 00:30:34
menos 12. 00:30:36
Eso es igual a menos 3 al cuadrado 00:30:38
menos 3 es más 3 menos 12 00:30:40
que es igual a 0. 00:30:42
Por eso x igual a menos 3 00:30:44
es raíz 00:30:46
de p de x. 00:30:48
Porque 00:30:54
p de menos 3 00:30:56
el valor que adquiere el polinomio 00:30:58
para x igual a menos 3 00:31:00
es 0. 00:31:02
Y eso significa 00:31:04
que x menos 3 00:31:06
es factor 00:31:08
de p de x. 00:31:10
Es factor 00:31:12
de p de x. 00:31:14
Por tanto, 00:31:16
¿por qué? 00:31:18
Porque voy a poder factorizar 00:31:20
y escribir x al cuadrado 00:31:22
menos x menos 12 00:31:24
perdón 00:31:26
como el producto 00:31:28
de x más 3 00:31:30
uy perdón 00:31:32
aquí es un más 3 00:31:34
si p de menos 3 00:31:36
es 0 00:31:38
el factor es x más 3 00:31:40
por x más 3 00:31:42
por x menos 4 00:31:44
perdón me acabo de equivocar 00:31:46
y acabo de factorizar el polinomio 00:31:48
que es lo que yo voy buscando 00:31:50
con este tipo de operaciones. 00:31:52
Entonces, 00:31:54
¿qué nos van a pedir habitualmente? 00:31:56
Pues por ejemplo 00:31:58
aquí 00:32:00
2x a la cuarta 00:32:08
más 10x al cubo 00:32:10
menos 8x cuadrado 00:32:12
menos 40x 00:32:14
y me van a pedir que lo factorice. 00:32:16
El primer paso 00:32:18
siempre, sacar factor común 00:32:20
par, par, par, par 00:32:22
puedo sacar el 2 00:32:24
y aquí tengo una x 00:32:26
tengo que tener un término independiente 00:32:28
para no poder sacar x 00:32:30
y lo voy a multiplicar por 00:32:32
¿qué le queda aquí? 00:32:34
más 5x cuadrado 00:32:36
menos 4x 00:32:38
menos 20 00:32:40
menos 20 00:32:42
menos 20 00:32:44
Entonces, ¿qué es lo que me toca ahora 00:32:46
para seguir factorizando? 00:32:48
Factorizar este 00:32:50
Así que 00:32:52
voy a hacer Ruffini 00:32:54
me voy a quedar con los coeficientes 00:32:56
y será 00:32:58
uy perdón 00:33:02
más 5 00:33:06
menos 4 00:33:08
y menos 20 00:33:10
me fijo en este 00:33:12
aquí voy a tener que tener un más 20 00:33:14
porque aquí me tiene que salir 0 para factorizar 00:33:16
el resto tiene que ser 0 00:33:18
eso quiere decir que voy a probar con los 00:33:20
con las raíces del 20 00:33:22
pueden ser 00:33:24
más menos 1 00:33:26
más menos 2 00:33:28
más menos 4 00:33:30
y más menos 5 00:33:32
y más menos 10 00:33:34
voy a empezar con el 1 00:33:36
bajo el 1 00:33:38
1 por 1 es 1 00:33:40
estos son 6 00:33:42
6 por 1 es 6 00:33:44
estos son 2 00:33:46
2 por 1 es 2 00:33:48
no me vale 00:33:50
menos 1 00:33:52
1 por menos 1 es menos 1 00:33:54
4 por menos 1 es menos 4 00:33:56
menos 4 y menos 4 es menos 8 00:33:58
menos 8 por menos 1 es más 8 00:34:00
no me vale 00:34:02
entonces 00:34:04
estos ninguno 00:34:06
más 2 00:34:10
1 por más 2 00:34:12
más 2 5 más 2 son 7 00:34:14
7 por 2 14 00:34:16
14 menos 4 son 10 00:34:18
y 10 por 2 20 lo tengo 00:34:20
así que 00:34:22
yo podría escribir 00:34:24
este polinomio como 2x por 00:34:26
y ahora esto 00:34:28
su cociente 00:34:30
que es este por su divisor 00:34:32
sería 00:34:34
x menos 2 00:34:36
así que es el divisor x menos 2 00:34:38
por el cociente que me sale 00:34:40
que es x cuadrado 00:34:42
más 7x más 10 00:34:44
os recordáis porque si este es 00:34:46
de grado 3 00:34:48
esto va a ser 00:34:50
de grado 2 00:34:52
que me pasa? 00:35:02
y lo tendría que seguir 00:35:04
porque yo esto todavía lo puedo factorizar 00:35:06
como antes 00:35:08
eso significa que 00:35:10
lo bueno es que ya tengo aquí puesto los coeficientes 00:35:12
lo que voy a hacer es 00:35:14
agrandar mi rufiní 00:35:16
y volverlo a hacer con los que me quedaban 00:35:18
no pruebo con las que no funcionan 00:35:20
si no funcionaron antes no pueden funcionar ahora 00:35:22
si no son divisores de un factor anterior 00:35:24
no lo van a ser de ahora 00:35:26
pero yo puedo volver a probar por ejemplo con el más 2 00:35:28
el menos 2 el más 4 menos 4 más 5 00:35:30
menos 5 más 10 y menos 10 00:35:32
me da 2 00:35:34
9, 9 por 2 00:35:36
18, 28 por 2 00:35:38
36, perdón 00:35:40
que me he ido 00:35:42
28 no puede ser 00:35:44
porque aquí me tiene que dar 00:35:46
es decir que aquí me tiene que dar 00:35:50
menos 10 00:35:52
voy con el menos 2 00:35:56
1 por menos 2 00:35:58
perdón 00:36:00
1 por menos 2 00:36:02
menos 2 00:36:04
7 menos 2 00:36:06
5 y 5 por 2 menos 10 00:36:08
ya lo he encontrado 00:36:10
entonces esta es una raíz 00:36:12
su factor es x menos 2 00:36:14
pues esta es una raíz 00:36:16
su factor va a ser x más 2 00:36:18
que va a ser el divisor 00:36:20
entonces yo ahora puedo escribir que este mismo 00:36:22
polinomio es 00:36:24
2x por 00:36:26
el que tenía antes 00:36:28
no cambia x menos 2 00:36:30
y ahora este nuevo dividendo 00:36:32
es el que voy a escribir como 00:36:34
su divisor 00:36:36
que ahora es 00:36:38
x más 2 00:36:40
por su cociente 00:36:42
que es 00:36:44
x más 5 00:36:46
y ahora sí que tengo 00:36:48
factorizado mi polinomio 00:36:50
p de x 00:36:52
fíjate 00:36:58
que raíces tengo 00:37:00
pues las que anulan cada uno de los factores 00:37:02
que es por lo que es interesante 00:37:04
yo sé que esto va a valer 0 00:37:06
si la x vale 0 00:37:08
si la x 00:37:10
es igual a 2 00:37:12
si la x 00:37:14
es igual a menos 2 00:37:16
y si la x es igual a menos 5 00:37:18
entonces 00:37:20
p de 0 00:37:22
es 0 00:37:24
si vosotros en este polinomio hacéis que la x valga 0 00:37:26
mi polinomio vale 0 00:37:28
de 2 00:37:32
también es 0 00:37:34
porque x igual a 2 es una raíz 00:37:36
luego si yo sustituyo 00:37:38
en este 00:37:40
factor la x por 2 00:37:42
p de x se hace 0 00:37:44
p de menos 2 00:37:52
también es 0 00:37:54
y p de menos 5 00:37:56
también es 0 00:37:58
y el valor numérico tiene que salir así 00:38:00
así que esto 00:38:02
es para lo que sirve realmente 00:38:04
factorizar un polinomio 00:38:06
para encontrar los valores que lo anulan 00:38:08
que es para lo que lo vamos a usar 00:38:10
encontrar que valores 00:38:12
son los que anulan un polinomio 00:38:14
os he dejado en el aula virtual 00:38:16
una ficha con 00:38:18
ejercicios de factorización de polinomios 00:38:20
Autor/es:
Carolina Hassmann
Subido por:
Carolina H.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
23
Fecha:
5 de febrero de 2024 - 20:00
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
38′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
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