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TEMA 12 - DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD - PARTE 2.1 - Contenido educativo

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Subido el 2 de abril de 2025 por Antonio I.

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Muy buenas, bienvenidos al apartado 3, variable aleatoria continua. 00:00:00
Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor de un intervalo. 00:00:06
Si nos basamos en las anteriores y nos sigamos, por ejemplo, en la que teníamos de la discreta, 00:00:11
que teníamos que al final, pues podíamos tomar al lanzar un dado, pues el 1, el 2, el 3, el 4, 00:00:19
vamos a ver que es de cuatro caras, no podríamos tomar los valores que estaban en el intervalo del 1 al 4, ¿verdad? 00:00:25
Por eso no podríamos tomar el 1 con 7, ni el 2 con 8, ni el 3 con 0, 0, 3, ¿vale? 00:00:33
Simplemente nos tomaríamos el 1, el 2, el 3 o el 4 en este caso, ¿vale? 00:00:38
La diferencia que tenemos con respecto a la discreta es que en la continua sí que podemos tomar cualquier valor dentro de todo un intervalo. 00:00:42
Bien, si tomamos muchas observaciones, las representamos en un histograma y hacemos las clases, ¿vale? Es una manera de llamar a los intervalos, cada vez más finas. 00:00:48
Hacer una clase cada vez más fina significa que vamos a tener cada vez muchos más y que su grosor, por decirlo de alguna manera, va a ser menor. 00:01:00
Eso significa que vamos a tener cada vez más subintervalos. 00:01:08
Pues lo que va a pasar es que al final el histograma va a tender a una curva que describe el comportamiento 00:01:10
Es decir, aquí tenemos el histograma 00:01:15
Recordad que la diferencia con el diagrama de barras, fundamentalmente, es que no hay huecos entre las barras 00:01:20
¿Por qué? Porque eso es una variable continua 00:01:32
Si yo esto lo hago cada vez más pequeño, si yo hago mis rectangulitos cada vez más pequeños, cada vez más pequeños 00:01:35
¿Qué es lo que va a pasar al final? 00:01:43
lo que va a pasar al final es que se va a asemejar a una curva, ¿vale? 00:01:45
Y esto ya nos empieza a recordar un poquito a todo lo que vimos, sí, desgraciadamente, con las integrales. 00:01:52
¿Vale? Bueno, pues a esa curva a la que se describe ese comportamiento es lo que vamos a llamar función de densidad. 00:02:00
Aquí vemos un ejemplo de estatura, ¿no? Podríamos decir, alumnos que miden entre 1,50 y 1,90, ¿no? 00:02:05
Y entre medias vendríamos todos los intervalos que habría. 00:02:14
Y aquí el número de alumnos, por ejemplo, podríamos tener 5, 10, 15, 20, los que fuesen, ir marcándolo. 00:02:19
O 2, 4, 6, 8, eso ya va a depender de los datos que tengamos. 00:02:26
Pero vamos, importante, que nos quedemos con la función de densidad, que es la curva que describe el comportamiento. 00:02:32
diremos que una variable aleatoria x es continua cuando tiene asociada una 00:02:40
función de densidad que cumple lo siguiente que cumple que esa función 00:02:46
siempre va a ser mayor o igual que cero y además cumple que la integral entre 00:02:51
menos infinito infinito de la función es 1 00:02:56
recordad que la variable discreta lo que tenemos es que era que la suma de todos 00:02:59
los de todos estos al final nos dice 1 pues 00:03:03
Esto es lo mismo, es la suma de todos los rectangulitos, ¿vale? 00:03:10
Que tendríamos, yo al final si cogiese este área, su suma de todos esos cuadraditos, 00:03:14
que al final lo hacíamos con la integral, sería 1. 00:03:22
¿Cómo definimos la probabilidad en un intervalo? 00:03:29
Pues la probabilidad la vamos a definir como la integral entre a y b de f de x diferencial de x. 00:03:32
Como veis aquí, nosotros la probabilidad al fin y al cabo es el área que tenemos debajo de esta curva, en este intervalo. 00:03:42
Llamaremos función de distribución a la aplicación fx de x, esta es igual que la que llamamos para las discretas, 00:03:56
que asigna a cada valor de x la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales a x, 00:04:06
Es decir, otra vez, f sub x de x coincide con la probabilidad de que x sea menor o igual que x. 00:04:10
¿Y eso qué va a ser? Pues la integral entre menos infinito y x. 00:04:17
No nos asustemos, no vamos a tener que hacer integrales entre menos infinito o infinito o lo que sea. 00:04:21
Al final se pone menos infinito porque nuestra función podría venir desde el menos infinito. 00:04:27
Pero realmente lo que aquí vamos a encontrar luego después es que a lo mejor mi función funciona del 3 en adelante, 00:04:33
o del menos 2 en adelante o del 0 en adelante, entonces aquí aparecerá justamente eso. 00:04:38
Y estos límites que vamos a encontrar de integración, ¿vale? 00:04:45
Que sabéis que los límites de integración son los numeritos que ponemos aquí, 00:04:48
al final van a tener que coincidir con el dominio, ¿vale? 00:04:52
Pero lo que es formalmente en la definición lo tenemos así. 00:04:55
Cosa que tenemos que saber que f es acumulativa, creciente y que tiene valores entre 0 y 1. 00:04:59
llame anteriormente esta f, que eso nos asemejaba 00:05:04
a las frecuencias acumuladas 00:05:08
¿por qué? porque vamos sumando las probabilidades anteriores a las que yo tengo 00:05:13
¿vale? la verdad que es, la probabilidad de que x sea menor o igual que algo es 00:05:16
x menos o igual que x menos 1, que x menos 2, que x menos 3, que x menos 4 00:05:20
y todas esas acumuladas, así es como construimos nuestra f 00:05:24
bueno, aquí tenemos un ejemplo, ¿vale? que lógicamente voy a hacer yo 00:05:28
Me dice que hay en la función de distribución que tiene por función de densidad, es decir, nos dan la f pequeña y nos quieren que averigüemos la f grande. 00:05:32
Vamos a hacer de dos formas, ¿vale? Mi f pequeña es en el intervalo 0, 1, vale 2x y vale 0 en el resto. 00:05:41
Y entonces vamos a ver, os muestro ya todo el ejercicio, pero os voy explicando. 00:05:51
Si nos vamos directamente a la definición, por definición tenemos lo que teníamos antes, que fx de x es la probabilidad de que x sea menor o igual que x. 00:05:54
¿Eso qué va a ser? Yo sé que mi función empieza en el 0, o va a ser la integral entre 0 y x 00:06:02
Y ahora, como ya estoy usando aquí la x, pues uso otra variable, la t y diferencial de t 00:06:09
Es decir, que esto va a ser 2 por la integral de t, es t2 entre 2 00:06:17
Y luego evaluarlo todo entre 0 y x 00:06:24
Pues esto es 2x cuadrado entre 2 menos 2 por 0 al cuadrado entre 2 00:06:27
Pues he sustituido la x aquí y el 0 allí. 00:06:32
Como esto da 0, al final me queda que 2x al cuadrado entre 2 es x al cuadrado. 00:06:37
Es decir, que para todos los valores, fx de x es igual a x al cuadrado. 00:06:42
¿Que quiero fx de 0,3? Pues sustituyo 0,3 al cuadrado. 00:06:48
¿Que lo quiero de 0,8? Sustituyo 0,8 al cuadrado. 00:06:52
¿Vale? Es decir, solo para valores entre 0 y 1. 00:06:55
Ya la tenemos. 00:06:58
Pero para comprenderlo, habéis visto antes que son una especie de áreas también 00:06:59
Vamos a representar f de x, la pequeña, que nos la dan 00:07:04
Me dice que del 0 al 1, 2x 00:07:07
Es decir, donde x vale 1, vale 2 00:07:15
Y cuando x vale 0, vale 0 00:07:20
Y luego en el resto vamos a tener que vale 0 mi x 00:07:22
Si bien me queda algo así 00:07:30
Si yo cogiese cualquier valor al azar entre el 0 y el 1, por ejemplo el valor x, este que hemos visto aquí 00:07:31
Este valor se corresponde con este valor, con el valor 2x 00:07:37
La cosa es, muy bien, ¿y cuánto vale el área que me genera debajo de mi función f? 00:07:48
¿Vale? Para cada valor x, que hemos dicho que esa era la definición 00:07:56
Bueno, pues el área de este triángulo va a ser la base por la altura entre 2 00:07:59
¿Cuánto mide la base? La base mide x 00:08:03
¿Cuánto mide la altura? La altura mide 2x 00:08:06
Pues x por 2x entre 2, el 2 y el 2 se va 00:08:09
Y x por x me queda x al cuadrado 00:08:12
Que es exactamente lo que tenía 00:08:15
Es decir, lo puedo calcular con la integral 00:08:17
O en este caso lo puedo calcular también simplemente visualizándolo 00:08:19
Os recomiendo que nos aprendamos esto 00:08:24
¿Por qué? Porque aquí en este ejemplo y en el siguiente 00:08:26
Son funciones muy fáciles de representar 00:08:30
los cuales el dibujo nos ayuda a verlo y son, en este caso, el área de un triángulo y en el siguiente veremos el área de un rectángulo. 00:08:32
Pero, ¿qué pasaría si mi función hace algo parecido a esto? 00:08:41
Pues que ya vamos a tener que hacer otro tipo de integración y vamos a tener que hacerla integral para calcular el área, 00:08:47
que si sabemos hacerlo, porque el área de esa forma no tenemos ni idea de cómo calcularla, ¿vale? 00:08:55
pero está bien para que comprobemos que da lo mismo. 00:09:02
Vámonos a este ejercicio. 00:09:07
¿Vale? También os lo muestro. 00:09:09
Bueno, os lo muestro hasta aquí. 00:09:13
Me da la función f, ¿vale? 00:09:15
Me dice que vale 0,1, es decir, es constante, de 0 a 10, y en el resto 0. 00:09:17
Es decir, que si la represento, es decir, representamos f de x y me queda 00:09:23
que del 0 a la izquierda para acá, del 10 a la derecha para acá, 00:09:26
y luego entre el 0 y el 10, fijaos que al final es punto gordo, 00:09:31
me he pasado de gordo ahí, y luego después de eso, es constante. 00:09:36
¿Qué es lo que va a pasar? Vamos a hacer como antes. 00:09:48
Vamos a ver primero cómo calcularlo con la fórmula, es decir, la integral entre 0 y x, 00:09:51
0 porque empieza en el 0, si aquí hubiese un 7, empezaría en 7, de 0 con 1. 00:09:58
Es decir, el 0 con 1 saldría afuera y me quedaría integral el diferencial de t, que eso es t, 00:10:04
evaluándolo entre 0 y X 00:10:09
pues es el de arriba sustituir la T por X 00:10:13
menos el de abajo sustituir la T por 0 00:10:17
como esto va a dar 0, 0,1X por 0,1X 00:10:20
¿entre qué? 00:10:24
pues nos vemos entre el 0 y el 10 00:10:28
si lo calculo como anteriormente 00:10:30
me dice, calcula el área de este rectángulo 00:10:34
bueno, pues si este es el valor X 00:10:36
Si este es un valor x, esto me va a generar este rectángulo que veis aquí. 00:10:38
Como la fórmula es base por altura, la base mide x, la altura mide 0,1, resultado de esa área 0,1x, que como veis, coincide. 00:10:46
Es decir, ¿cuánto vale entonces fx de x? 00:11:01
Pues vale, si es menor que 0, 0 00:11:04
Si es mayor que 10, 1 00:11:10
¿Vale? Que sería el máximo 00:11:11
¿Verdad? Que f de x alcanza el valor mínimo al principio, 0 00:11:13
Y un valor máximo al final 00:11:17
Y entre medias va cogiendo estos valores 00:11:18
¿Vale? De 0 al 10 00:11:20
Pues va haciendo así 00:11:22
Si me preguntasen entonces 00:11:24
La representamos, la representamos es esto 00:11:25
Que realmente lo que nos interesa es este trozo de aquí 00:11:28
si no dicen entonces 00:11:31
¿cuál es la probabilidad de que un valor se encuentre 00:11:37
entre? 00:11:40
¿por qué digo que además se nos interesa 00:11:42
este área? 00:11:43
porque el área 00:11:50
se va a ir acumulando 00:11:51
uy, perdón 00:11:53
vamos a borrarlo 00:11:55
porque se va a ir acumulando 00:11:58
y en este caso nos va a decir 00:11:59
¿cuál es el área entre el 4 y el 6? 00:12:01
pues va a coincidir 00:12:05
con este trocito de aquí 00:12:05
me dice 00:12:09
F de 6 es la probabilidad de que X sea menor o igual que 6, que lo sustituyo, que es 0,1 por 6, 0,1 por 6, 0,6. 00:12:11
F de 4, se verá el 0,4, que más o menos, si estuviese bien hecho esto, aquí tendríamos el 0,6 y aquí tendríamos el 0,4, ¿vale? 00:12:23
Por tanto, la probabilidad que un valor esté entre el 4 y el 6, puesto que x menor o igual que 4 significa que esto es 0,1 por 4, que es 0,4, al hacer la resta me quedaría 0,2. 00:12:43
No os preocupéis, no es habitual que nos pregunten este tipo de ejercicios. 00:12:58
Pero ya sabéis que me gusta contar desde el principio las cosas para que entendamos de dónde salen las fórmulas, etc. 00:13:03
¿Vale? 00:13:09
Vamos a seguir avanzando. 00:13:11
Un poquito más de teoría. 00:13:13
Nos dice, sea X una variable aleatoria continua. 00:13:16
Igual que en el anterior apartado ponía v.a.d. cuando quería hablar de variable aleatoria discreta, 00:13:21
o para ahorrar boli, pues aquí lo mismo. 00:13:27
Variable aleatoria continua, pondremos v.a.c. 00:13:30
Si lo encontráis más veces, es justamente por eso. 00:13:32
Bueno, dice, sea X esa variable aleatoria continua. 00:13:36
Y f, la función de densidad de X. 00:13:39
Pues, ¿qué cosas tenemos que saber? 00:13:42
Pues que mu, es decir, la media, es igual a esto. 00:13:44
¿Vale? Es la integral entre menos infinito e infinito de x por f de x de x. 00:13:50
¿Qué va a pasar? Que habitualmente vamos a tener un intervalo en el que actuar. 00:13:54
Es decir, vamos a quedar con esta, la integral entre a y b de x por f de x. 00:13:58
Y eso nos lo tenemos que aprender sí o sí. 00:14:04
La varianza, pues va a ser lo mismo que nos va a sonar al sumatorio que teníamos antes 00:14:08
La verdad que en la discreta era el sumatorio de los x cuadrado por probabilidad de x 00:14:16
Aquí lo que tenemos es los x cuadrado por f de x 00:14:22
¿Vale? Es su integral entre a y b 00:14:27
Y cuando haya hecho esto, le resto mu al cuadrado del lugar que pasaba en la discreta 00:14:29
es decir, que necesito calcular primero la media para poder obtener la varianza 00:14:34
y luego lo único que tenemos que hacer para calcular la desviación típica 00:14:40
que es muy importante en este tema, deberéis ver por qué 00:14:43
pues simplemente es hacer la raíz cuadrada del valor que nos dice la varianza 00:14:45
y quedarnos con la raíz positiva 00:14:49
vamos al ejercicio anterior, por ejemplo 00:14:53
que me dice que calcule estos parámetros 00:14:57
no me dan esta función, me dan a F 00:15:00
y me dice que calcula cuánto valdría esto, ¿vale? 00:15:03
Pues hemos dicho que esto es igual a x por f de x, como habéis visto aquí, 00:15:08
x por f de x, y digo, vale, la x ya está y el f de x es este, ¿vale? 00:15:16
Pues este va a ser mi f de x, y lo he cambiado de orden, 00:15:23
en vez de x por f de x, pues f de x por x para meter el número delante. 00:15:28
Integramos esto, que es x2 partido 2, que multiplica por 0 con 1, 00:15:32
Evaluamos en el 10 menos evaluación en el 0 00:15:35
Todo lo que se va a multiplicar por 0 se va 00:15:39
10 al cuadrado es 100, 100 entre 2 es 50 00:15:41
Y 50 por 0 con 1 es 5 00:15:44
Es decir, ya tengo cuánto vale mi media 00:15:47
¿Cómo conseguiré la varianza? 00:15:52
Pues bueno, cogiendo la fórmula, esto era 00:15:57
x cuadrado por f de x menos la media al cuadrado 00:15:59
Pues bueno, integro esto y me queda x3 partido 3, que multiplica al 0,1, y esto hay que integrarlo entre 0 y 10. 00:16:05
Y además restarle 25. ¿Por qué? Porque 5 al cuadrado es 25. 00:16:14
Ya de estas operaciones me queda 10 elevado al cubo partido 3 por 0,1 menos 25. 00:16:19
¿Vale? Porque, a ver, si lo vieseis, por si alguien se despista, lo voy a poner. 00:16:25
Esto de aquí sería como tener 0,1 por 10 al cubo entre 3 menos 0,1 por 0 al cubo entre 3 y menos 5 al cuadrado que es 25. 00:16:31
esto no cuenta, esto es 1000 00:16:53
por 0,1 es 100 entre 3 00:16:56
y 100 entre 3 menos 25 00:16:59
me queda 25 tercios 00:17:03
como veis ahí, y tú no te escapes 00:17:06
luego tenemos 00:17:13
calcular la desviación típica que es simplemente 00:17:16
del resultado anterior hacer la raíz cuadrada de quedarme con la positiva 00:17:19
que lo podemos dejar en esta forma 00:17:23
o en esta forma 00:17:26
y con esto hemos terminado sorprendentemente el apartado 3 00:17:27
nos vendría ahora el apartado 4 de distribución normal 00:17:35
que es el más importante de todo el tema 00:17:39
es en el que nos vamos a basar fundamentalmente para los ejercicios 00:17:41
aunque necesitamos también controlar la variable binomial 00:17:45
porque nos va a volver a aparecer, perdón, la distribución binomial 00:17:48
y el que nos va a llevar mucho más tiempo es este de aquí 00:17:51
así que de momento paramos aquí en este apartado 4 00:17:55
no os asustéis con lo que estáis viendo 00:17:59
y seguimos en contacto 00:18:00
estudiad 00:18:03
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Antonio Inarejos de la Dueña
Subido por:
Antonio I.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
26
Fecha:
2 de abril de 2025 - 20:15
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES EUROPA
Duración:
18′ 06″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1024x576 píxeles
Tamaño:
63.26 MBytes

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