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2020_2021_MatemáticasII_0Modelo2_B2 - Contenido educativo

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Subido el 24 de agosto de 2021 por Pablo Jesus T.

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Bueno, vamos a resolver el ejercicio de análisis del modelo de Madrid de 2021, opción B, ejercicio 2. 00:00:00
Nos dan una función polinómica, x a la sexta menos 4x a la cuarta, nos piden estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales, y decir si son o no globales. 00:00:24
Nosotros normalmente lo llamamos relativos y absolutos. 00:00:36
Los relativos son los locales y los absolutos son los globales. 00:00:41
Y ahí haré el área de la región limitada, área de una gráfica o una integral. 00:00:45
¿De acuerdo? Vamos a empezar hablando un poquito de esta función, x a la sexta menos 4x cuarta, 00:00:50
que si lo vemos en GeoGebra, pues podéis ver que es una función par. 00:00:56
es una función polinómica 00:01:04
todos los monomios que la forman 00:01:07
son de grado par 00:01:09
por tanto es una función par 00:01:10
eso quiere decir que es simétrica 00:01:12
respecto al eje de las i's 00:01:14
x igual a 0 00:01:17
y que eso me permite 00:01:19
que lo que hagamos a un lado 00:01:23
puedo decir que tiene que ocurrir al otro 00:01:25
por otro lado 00:01:28
el grado mayor de este polinomio es par 00:01:29
x a la sexta 00:01:34
y por tanto quiere decir que los dos cuernos 00:01:36
van para el mismo sitio 00:01:38
función polinómica 00:01:39
todos sabemos 00:01:41
cómo se suelen pintar 00:01:43
si el grado es impar 00:01:45
un cuerno irá para arriba y otro para abajo 00:01:47
si el grado es par 00:01:49
los dos cuernos irán para el mismo sitio 00:01:52
también mirando el signo 00:01:54
podemos saber que los dos cuernos 00:01:55
van para arriba 00:01:58
porque cuando me voy tanto a menos infinito 00:01:59
como a más infinito la función se hace 00:02:01
infinito, así que los dos 00:02:03
cuernos van para arriba. Toda esa información 00:02:05
nos sirve para las preguntas que nos 00:02:07
hacen de los intervalos y 00:02:09
sobre todo para el apartado B. 00:02:11
Vamos a empezar a trabajar 00:02:14
y para 00:02:15
calcular los intervalos de 00:02:17
crecimiento y decrecimiento, pues 00:02:19
el apartado A empezamos 00:02:21
por hacer la derivada 00:02:23
será 6x a la 00:02:24
quinta menos 00:02:27
16x al cubo 00:02:29
que si sacamos factor 00:02:31
común, pues lo podemos expresar como x al cubo o incluso como 2x al cubo, si queréis, 00:02:33
por 3x al cuadrado menos 8 y ya estaría. Ahora lo que vamos a hacer es, para hallar 00:02:40
los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, vamos a igualar a cero la 00:02:52
primera derivada y vamos a resolver esta ecuación 2x al cubo por 3x al cuadrado menos 8 tiene dos 00:02:57
soluciones o que bien 2x al cubo sea 0 o que me proporciona la solución x 0 o que bien 3x no se 00:03:07
nos olvide igual a 0 si no no es una ecuación 3x menos cuadrado menos 8 igual a 0 lo que 00:03:18
proporciona x cuadrado igual a 8 tercios o x igual a más o menos la raíz de 8 tercios 00:03:26
o más o menos 2 raíz de 2 partido por raíz de 3, que si racionalizamos sería más o 00:03:44
menos 2 raíz de 6 partido por 3, ¿de acuerdo? 00:03:53
Vamos a ponerla incluso separadas, ¿vale? 00:03:59
Vamos a poner x sub 2 menos 2 raíz de 2 de 6, perdón, partido por 3, 00:04:04
y x sub 3, 2 raíz de 6 partido por 3. 00:04:11
Como hemos dicho que la función era par, 00:04:15
era evidente que las dos soluciones que anulan la derivada 00:04:17
tienen que ser simétricas respecto a cero, el otro punto como es cero, pues no presenta dos valores. 00:04:23
Ya tenemos nuestros valores y eso va a servir para saber los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 00:04:32
Si nosotros en la recta real ponemos menos dos raíz de seis partido por tres, cero, 00:04:42
Y 2 raíz de 6 partido por 3, pues vamos a ver dónde crece y dónde decrece. 00:04:49
Si nosotros lo hacemos con la calculadora, todavía 2 por la raíz cuadrada de 6 entre 3, no tiene claro el valor que es, pues ya sabéis que es 1,6. 00:04:58
Así que podemos coger menos 2, ¿vale? Si nosotros hacemos f de menos 2 y lo sustituimos en la primera derivada, aquí tenemos negativo, f de menos 2 sería 2 al cuadrado 4 por 3, 12, menos 8 positivo. 00:05:16
¿Por qué me he equivocado? Se me ha olvidado el 2x³. Sería menos 8 por 2 menos 16, negativo por lo de dentro que es positivo, negativo, lo cual quiere decir que la función decrece. 00:05:34
si cojo menos 1 esto sería negativo por negativo positivo la función crece 00:05:49
1 negativo por positivo negativo la función decrece 00:05:57
y 2 positivo por positivo positivo la función crece 00:06:03
lo cual lo resumimos poniendo los intervalos de crecimiento y decrecimiento 00:06:10
La función crece cuando x pertenece de menos 2 raíz de 6 partido por 3 a 0 y unión también crece, en realidad es la conjunción o no, de 2 raíz de 6 partido por 3 hasta infinito y decrece en el resto. 00:06:17
Dado que es continua, no hay ningún problema, no hay ningún punto que pueda dar problemas. 00:06:45
De menos infinito a menos 2 raíz de 6 partido por 3, unión de 0 a 2 raíz de 6 partido por 3. 00:06:50
¿De acuerdo? 00:07:01
Bueno, pues ya tenemos el apartado A, que era estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 00:07:04
Si nos vamos a GeoGebra para estudiarlo, pues podemos ver fácilmente que la derivada es lo que nosotros hemos hecho y es positiva para estos valores. 00:07:10
También si la pintamos podemos ver que hasta ese menos 1,6 es negativa, está por debajo del eje x, lo cual quiere decir que desde menos infinito hasta ese punto decrece. 00:07:21
Luego desde aquí hasta el cero crece, vuelve a ser negativa, decrece y crece, que es lo que hace la función, ¿vale? Vamos con el apartado B, que nos preguntaba encontrar los máximos y mínimos locales y decir si son globales. 00:07:36
Bueno, pues para el apartado B, el apartado A ya nos ha servido, porque nosotros tenemos tres puntos y los vamos a poner en orden, de izquierda a derecha, el 0 y el 2 raíz de 6 partido por 3. 00:07:59
necesitamos calcular f de 2 raíz de 6 partido por 3 00:08:16
f de 0 es muy fácil, es 0 00:08:23
y entonces repito, necesitamos calcular f de 2 raíz de 6 partido por 3 00:08:25
como hay que sustituir en la función x a la sexta menos 4x a la 4 00:08:32
pues vamos a coger nuestra calculadora, perdonad el baile 00:08:39
y vamos a hacer simplemente 00:08:43
x a la 6 00:08:47
entonces ponemos 00:08:49
raíz de 8 tercios 00:08:50
voy a poner 00:08:53
porque no necesito 00:08:53
ponerlo de otra manera 00:08:56
si queréis incluso 00:09:00
perdonad que yo estoy acostumbrado a la calculadora 00:09:01
más vieja, raíz de 8 tercios 00:09:04
todo esto elevado a 6 00:09:06
no, hay que ponerlo 00:09:08
Cuidado con esto luego cuando manejamos la calculadora 00:09:14
Elevado a 6 00:09:19
Menos 00:09:20
Otra vez a la derecha 00:09:22
Menos 00:09:24
Otra vez por 00:09:27
La raíz cuadrada 00:09:29
Otra vez de 8 tercios 00:09:32
Dos golpes 00:09:33
Elevado a 4 00:09:35
Si lo hago bien 00:09:38
Ya veis que no soy muy artista con la calculadora 00:09:41
Me da menos 256 veintisieteavos, que si a alguien le interesa luego lo veremos en el algebra, es menos 9,5, menos 256 veintisieteavos. 00:09:44
Y por supuesto, como la función es par, habría que haberlo escrito, todo lo que he dicho hay que haberlo escrito. 00:10:04
Bueno, entonces los dos puntos, el 1 y el 3, son mínimos, mínimos locales, mínimo local, y global, los dos, claro. 00:10:13
¿Por qué? Porque si nosotros vemos que viene desde menos infinito decreciendo, lo tenemos aquí arriba en las contestaciones, 00:10:30
si vemos que viene desde menos infinito decreciendo 00:10:39
cuando llega al mínimo 00:10:42
lógicamente tiene que ser 00:10:45
absoluto 00:10:47
lo de que sean los dos globales 00:10:49
porque eso sí, es porque la función es par 00:10:50
eso habría que escribirlo 00:10:53
por ser par 00:10:55
porque si no, uno de los dos 00:10:56
podría ser 00:10:59
el global y los dos serían 00:11:00
locales, pero solo uno de los dos 00:11:03
serían 00:11:05
globales 00:11:07
Pero como es una función par, está en la misma altura. 00:11:09
Los dos valen menos 256 veintisiete agos. 00:11:12
Así que los dos son locales. 00:11:15
Y este que era el máximo local, pero no es global. 00:11:17
¿Por qué? 00:11:26
Porque lógicamente si viene de infinito, no puede ser el punto más alto de toda la función. 00:11:27
Y este es el apartado P. 00:11:34
Vamos a verlo como siempre en GeoGebra. 00:11:37
Un segundito. Aquí lo tenemos, ¿veis? Los puntos A, B y C, los dos mínimos locales son globales y el máximo local no es global. 00:11:43
Los valores, menos doscientos veintiséis veintisieteavos, con GeoGebra es muy fácil, ¿verdad? 00:11:56
Pronto lo dejarán llevar a la... 00:12:03
y bueno, pues vamos con el apartado C, 00:12:06
que es una integral, dice, 00:12:12
calcula la región acotada entre igual a cero y la gráfica de y. 00:12:13
Bueno, lo que necesitamos lógicamente es ver 00:12:17
dónde corta igual a cero 00:12:20
y la función. 00:12:23
Para eso, pues muy fácil, 00:12:33
x a la sexta menos 4x a la cuarta igual a cero, 00:12:35
x a la cuarta por x cuadrado menos 4 igual a 0, y tenemos tres valores, el 0, y tenemos el otro es x cuadrado menos 4 igual a 0, x cuadrado igual a 4, x igual a más menos 2. 00:12:38
Así que tenemos menos 2 y 2. 00:12:58
Bueno, aquí nosotros, dado que ya tenemos un poco de idea de dónde crece, dónde decrece, y como la función es par, pues como la función es par, lo que vamos a hacer es calcular solamente la integral entre 0 y 2. 00:13:00
y esa integral nos va a dar el área entre 0 y 2 00:13:28
que por cierto va a ser negativa 00:13:39
porque sabemos que hay un mínimo que va por debajo del eje x 00:13:40
¿de acuerdo? 00:13:44
así que al final si a esto lo llamamos c 00:13:45
por ejemplo 00:13:51
pues el área va a ser menos 2 veces c 00:13:52
menos porque está por debajo del eje x 00:13:58
y 2 porque era par 00:14:02
y no hemos calculado entre menos 2 y 0 00:14:04
y 0 y 2, podríais hacerlo 00:14:06
pero sería mucho más 00:14:08
trabajoso, lo que sí que hay que hacer 00:14:10
es justificar obviamente 00:14:12
por qué vamos a hacerlo así 00:14:14
bueno, la integral entre 00:14:15
0 y 2 de x a la 00:14:18
sexta menos 4x a la 00:14:20
cuarta, es una integral 00:14:22
polinómica, por lo tanto 00:14:24
chupadísima, x a la 7 00:14:26
partido por 7 00:14:28
menos 4x a la 5 partido por 5, entre 0 y 2, cuando sustituyamos por 0, pues va a dar 0, y por 2, pues da 2 a la 7, ahora lo haremos, 2 a la 7, 2 elevado a 7 partido, vamos a ver, a la derecha, 00:14:30
partido por 7 00:14:57
menos 00:15:00
a la derecha 00:15:02
4 por 00:15:04
2 elevado a 4 00:15:06
2 elevado 00:15:10
ya veis que yo por eso 00:15:18
intento hacerlo de cabeza incluso 00:15:19
porque voy a tardar menos 00:15:21
partido por 5 00:15:24
que es 2 elevado a 5 00:15:27
bueno, 2 elevado a 7 partido por 7 00:15:31
menos 00:15:40
hay que repasarlo 00:15:42
no sé por qué me gusta tanto hacerlo con la cámara 00:15:45
menos no, es más 00:15:48
más 00:15:50
4 por 2 elevado a 5 partido por 5 00:15:51
me da 1536 partido por 35 00:15:55
1536 00:16:00
era menos 00:16:02
al final 00:16:04
me he equivocado 00:16:06
bueno, menos mal que eso sí 00:16:08
con este tipo de calculadoras 00:16:14
no se tarda nada 00:16:16
menos 256 00:16:18
35 agos, eso sí que me sonaba 00:16:19
de GeoGebra 00:16:23
sería menos 256 00:16:24
partido por 35 00:16:27
menos 0 00:16:29
que es menos 256 partido por 20 00:16:30
esto es negativo porque eso no es un área 00:16:34
es una integral definida 00:16:36
puede ser positiva o negativa 00:16:37
el área que nosotros buscamos 00:16:39
es menos 2 por menos 256 00:16:42
partido por 35 00:16:45
que esto es 512 00:16:47
partido por 35 unidades cuadradas 00:16:50
¿de acuerdo? 00:16:54
y esta es la respuesta al apartado C 00:16:55
Bien, si se lo decimos a GeoGebra, que lo hace muy fácil, pues aquí tenemos las cuentas, la integral x a la 7 partido por 7 menos 4x a la 5 partido por 5, los valores de sustituir 2 y 0 y menos 2 por el área, pues en regla de barro, 512 y 35 agos unidades cuadradas, 00:16:57
que es esta zona rosada, la que había que calcular, y por cierto, si hacéis la cuenta, pues veis que da menos 14,63, 00:17:23
porque está por debajo del eje X, 14,63, 512,35 agos da 14,63, que es el área morada. 00:17:34
Y con esto, pues hemos terminado el ejercicio. 00:17:44
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
91
Fecha:
24 de agosto de 2021 - 19:59
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
17′ 49″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
156.30 MBytes

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