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26_distancias 2 desde un punto - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a estudiar la distancia de un punto a otro punto a una recta y a un
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plano en el espacio. La distancia entre un punto y otro punto pues no es nada más que
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el módulo del vector que los une, da igual si tomamos el vector AB que el vector BA porque
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su longitud es la misma. La distancia de un punto a una recta pues es la que se verifica
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siempre entre dicho punto y su proyección sobre la recta que es la distancia más corta
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entre el punto y la recta. Por lo tanto una forma de calcular la distancia entre punto
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y recta es calcular primero ese punto proyección y después calcular la distancia entre los
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puntos P y Q con el módulo como se indicó en el caso anterior. Como calcular la proyección
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pues lleva unos cuantos pasos, buscamos una fórmula alternativa para calcular la distancia
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de un punto a una recta y que se basa en observar que la altura coincide, la altura de ese paralelogramo
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que se ve en la imagen coincide justo con la distancia. Esta fórmula se explica con
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detalle en otro vídeo pero básicamente consiste en calcular el área de ese paralelogramo
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y dividirla por la longitud de la base lo que nos dará la altura. La distancia de un
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punto a un plano también es aquella que se verifica entre el punto y su proyección
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sobre el plano. Luego podríamos calcular antes esa proyección y calcular simplemente
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la distancia entre dos puntos. Como de nuevo eso lleva un tiempo pues también hemos buscado
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fórmulas alternativas basadas en este caso en la proyección del vector que une un punto
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cualquiera con el punto P. Esta fórmula también se explica con detalle en otro vídeo al igual
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que esta otra que deriva de la anterior y que es la que utilizaremos en la práctica
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en la que observamos que en el numerador aparece el valor absoluto de esa expresión fabricada
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con los coeficientes de la ecuación general del plano A, B, C y D serían los coeficientes
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de la ecuación general de pi y Px, Py y Pz serían las coordenadas del punto P cuya distancia
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al plano queremos calcular. En el denominador lo que aparece es el módulo del vector normal
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al plan. Vamos ahora a resolver un par de ejemplos prácticos. En el primero pues tenemos
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un punto y una recta y vamos a calcular la distancia entre ellos. En este caso empezaremos
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por sacar de la ecuación de la recta pues uno de sus puntos, en este caso AR2-15 y uno
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de sus vectores directores, (-1, 1, 2), podemos leer en las ecuaciones paramétricas. Estos
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puntos los representamos sobre la recta, este punto y este vector y a partir de AR y P vamos
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a fabricar un nuevo vector. Restando simplemente las coordenadas de P menos las de AR obtendremos
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el punto (-1, 1, 8). Bien, con este nuevo vector pues ya podemos calcular la distancia
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recordando que el área de ese paralelogramo que observamos en la figura puede calcularse
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como el módulo del producto vectorial de los dos vectores que lo delimitan, es decir,
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AR y ARP. Si ese módulo, que es el área, lo dividimos entre la base vamos a obtener la altura
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que es lo que realmente equivale a la distancia, es decir, vemos la distancia como una altura
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y la calculamos dividiendo área del paralelogramo entre su base. Bueno, ahí tenemos ya calculado
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la distancia vectorial y por lo tanto pues bastaría calcularle su módulo, el módulo
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de IBR raíz de 6 y operándolo un poco más pues vamos a llegar a la expresión raíz
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de 300 partido por 3 que sería la distancia buscada. Y vamos ya a resolver el problema
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mucho más directo de calcular la distancia de un punto a un plano. Para esto aplicamos
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directamente la fórmula en la que los coeficientes del plano se utilizan para fabricar ese numerador
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4, menos 5, menos 1 y 1 y utilizamos también las coordenadas del punto P cuya distancia
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del plano queremos calcular que irán multiplicadas por los primeros coeficientes. En el denominador
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situamos simplemente el módulo del vector normal. 4 al cuadrado menos 5 al cuadrado
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más menos 1 al cuadrado. En este caso pues el resultado es 8 partido raíz de 42 que
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es lo mismo. Después de operar un poco, 4 raíz de 42 partido 21 que sería la distancia
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que necesitábamos calcular.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Guerrero López, Jaime
- Subido por:
- Jaime G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 6
- Fecha:
- 28 de agosto de 2023 - 9:32
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
- Duración:
- 05′ 10″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1600x900 píxeles
- Tamaño:
- 7.99 MBytes
