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AR3. 4 Capitalización. Ejercicios 8-11 - Contenido educativo

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Subido el 21 de agosto de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AR3 dedicada a la matemática financiera. En la videoclase de hoy estudiaremos 00:00:21
la capitalización de depósitos y resolveremos los ejercicios propuestos del 8 al 11. 00:00:33
En esta sección vamos a estudiar la capitalización. La idea es similar al caso del interés simple 00:00:46
y el interés compuesto que hemos estudiado en las video clases anteriores, en el sentido 00:00:51
en el que depositamos en el banco una cierta cantidad de dinero, en la idea de transcurridos 00:00:56
una serie de años, obtener una cantidad mayor. Queremos obtener el capital inicial y los 00:01:00
intereses, el capital final que denominábamos en esas dos subsecciones anteriores. En este 00:01:05
caso va a funcionar de una forma ligeramente distinta. Como podemos ver aquí en la introducción 00:01:10
teórica, durante un periodo de T años vamos a pagar al inicio de cada uno de ellos una 00:01:14
cierta cantidad igual en todos ellos que se llama anualidad A. En la idea de obtener con ellas y sus 00:01:20
intereses compuestos calculados con un cierto rédito R minúscula, ya están tanto por 1%, un 00:01:26
cierto capital. Para poder calcular cuál es ese capital final que obtendríamos en estas condiciones 00:01:32
lo que vamos a hacer es ver qué es lo que pasa con cada una de las anualidades. Empezamos por la 00:01:38
primera como podemos ver aquí en este desarrollo teórico. La primera anualidad la hemos depositado 00:01:43
al inicio del todo y va a estar en el banco durante un periodo de T años, todo el periodo 00:01:49
de la capitalización. El capital final que produce esa anualidad se puede calcular con 00:01:54
la fórmula del interés compuesto y sería capital 1, el de la primera anualidad, igual 00:01:59
a cantidad inicial, que es igual a la anualidad, por 1 más el rédito elevado al tiempo. En 00:02:05
este caso, esa anualidad va a estar en el banco depositada T años, pues elevado a T. 00:02:10
¿Qué pasa con la segunda anualidad? 00:02:15
Esta la hemos depositado cuando ya ha transcurrido un año. 00:02:18
Y entonces permanecerá dentro del banco T-1. 00:02:22
No el tiempo total, T años, sino T-1. 00:02:25
Hay un año que ya ha transcurrido. 00:02:29
¿Cómo calculamos el capital final que produce esa anualidad? 00:02:31
Nuevamente con la fórmula anterior, la del interés compuesto. 00:02:34
Capital 2, el de la segunda anualidad, igual a 00:02:37
capital inicial, que es la anualidad, por 1 más el rédito, elevado a T-1. 00:02:40
Está un año menos que la anterior. 00:02:45
Continuamos. ¿Qué ocurre con la tercera anualidad? 00:02:47
Esta la hemos depositado cuando ya han transcurrido dos años. 00:02:50
Así que del periodo de años han pasado ya dos, el tiempo que permanece la anualidad dentro del banco es T menos dos años. 00:02:53
No T, sino T menos dos. 00:03:01
Así pues, esa anualidad produce un capital, capital tres, que sería anualidad por uno más el rédito elevado a T menos dos. 00:03:03
Como podéis ver, si continuamos con qué le ocurre a la cuarta, quinta, sexta, etcétera, anualidades, 00:03:13
lo que vamos a obtener es una expresión que se podría deducir por inducción. 00:03:18
Fijaos, la primera anualidad produce un capital A por 1 más R elevado a T. 00:03:22
La segunda anualidad, anualidad por 1 más R elevado a T menos 1. 00:03:26
Tercera anualidad, anualidad por 1 más R elevado a T menos 2. 00:03:31
Y la siguiente T elevado a T menos 3, la siguiente elevado a T menos 4 y así sucesivamente. 00:03:35
Vamos a ir hacia el final. ¿Qué es lo que le ocurre a la última anualidad? Voy a saltar esta que tenemos aquí. 00:03:41
La última anualidad es la anualidad teésima. Durante un periodo de te años estamos ingresando en cada año una anualidad. 00:03:48
La última es la teésima. Quinta si son cinco años, séptima si son siete años, con carácter general se llama teésima. 00:03:57
tésima. Esa última anualidad va a estar depositada durante un último año, el último, y el capital que produce será sub t igual a la anualidad por 1 más r elevado a 1. 00:04:03
Podemos ver entonces que el capital final lo podríamos determinar sumando todos estos capitales que son los que producen cada una de las t anualidades. 00:04:17
Sería capital 1 más capital 2 más capital 3 puntos suspensivos, capital T menos 1, capital T, esta fórmula que tenemos aquí, igual a. 00:04:26
Y lo que he hecho ha sido poner a continuación estas expresiones. 00:04:35
Anualidad por 1 más R elevado a T, más anualidad por 1 más R elevado a T menos 1, más anualidad por 1 más R elevado a T menos 2 puntos suspensivos. 00:04:39
Y a continuación, pues anualidad por 1 más R elevado al cuadrado, más anualidad por 1 más R. 00:04:49
Si vemos esta expresión, aquí tenemos un montón de sumandos y todos ellos tienen en común la anualidad y al menos un factor 1 más r. 00:04:56
Por lo menos aquí en este último tenemos 1 más r, en el primero tenemos 1 más r elevado a t. 00:05:05
Así que sacamos factor común a la anualidad y el factor 1 más r. 00:05:10
¿Factor común de qué? Bueno, pues aquí tendríamos 1 más r elevado a t menos 1, hemos quitado uno de ellos. 00:05:15
Aquí 1 más r elevado a t menos 2, aquí 1 más r elevado a t menos 3, como podemos ver, continuamos con los puntos suspensivos y aquí tenemos 1 más r, teníamos dos factores, hemos quitado uno y aquí sencillamente uno. 00:05:20
Hemos sacado factor común a 1 más r, factor común de 1. 00:05:34
Bien, esto que tenemos aquí entre corchetes podríamos identificarlo como la suma de los t primeros términos de una progresión geométrica, cuyo primer término es 1, como vemos aquí, y a partir de aquí todos los demás se obtienen multiplicando por la razón que resulta ser 1 más r. 00:05:38
Primer término 1, siguiente 1 por 1 más r, siguiente 1 más r por 1 más r, 1 más r al cuadrado, 1 más r al cubo, la cuarta, etc. 00:05:55
Lo que vamos a hacer es sustituir este corchete por la fórmula que se obtiene de suma de los t primeros términos de una progresión geométrica, primer término 1 y razones 1 más r. 00:06:04
Aquí lo que tenemos es entonces 1 más r elevado a t menos 1 dividido entre r. 00:06:17
Así pues, con esta fórmula podemos calcular el capital final obtenido cuando estamos pagando durante T años al principio de cada uno de ellos una anualidad A, calculando los intereses compuestos que producen cada una de las anualidades con un radito R-1. 00:06:22
En ciertas ocasiones no nos planteamos por cuál pueda ser el capital final que obtenemos 00:06:39
depositando en el banco anualmente una cierta cantidad, sino que nos planteamos cuál es 00:06:45
la anualidad, cuál es la cantidad que debemos depositar anualmente para obtener un cierto 00:06:50
capital. Nuestro objetivo es obtener un capital y nos preguntamos por cuánto hemos de ir 00:06:55
ahorrando. En ese caso lo que podemos hacer es tomar la expresión anterior y de ella 00:06:59
despejar la anualidad en función del capital y obtendríamos esta expresión que podemos 00:07:03
ver aquí. Como primer ejemplo vamos a resolver este ejercicio 8, en el cual se nos dice que 00:07:08
al comienzo de cada año depositamos 6.000 euros en un banco al 7% anual y nos preguntan 00:07:14
por el capital que tendremos al finalizar el décimo año. Vamos a tomar la fórmula 00:07:19
que hemos deducido del capital final y vamos a sustituir los datos que tenemos aquí. El 00:07:23
capital final se calcula multiplicando la anualidad, que en este caso son 6.000 euros, 00:07:28
por 1 más el rédito, que sería 0,07, pasamos este 7% a tanto por 1, por 1 más el rédito elevado a T al finalizar el décimo año, 00:07:32
así que vamos a dejar el depósito vivo durante 10 años, menos 1 y entre el rédito. 00:07:42
Operando esta expresión numérica, vemos que el capital final sería de 88.701,60 euros. 00:07:48
Fijaos que si ahorramos 6.000 euros durante 10 años, obtendríamos sencillamente 6.000 euros. 00:07:55
El hecho de depositarlo en el banco, obtener unos ciertos intereses y que estos intereses se vayan acumulando, producen no tener 60.000 euros, sino tener 88.702, redondeando. 00:08:01
Como un segundo ejemplo, se nos pide en este ejercicio 9 que calculemos cuál es la cantidad de dinero que se necesita depositar en un banco al 2% anual, al comienzo de cada año, para, transcurridos 8 años, obtener un capital de 24.000 euros. 00:08:14
En este caso se nos pregunta por la anualidad. Queremos obtener 24.000 euros pasados 8 años, si el rédito es el 2%, en tanto por 1, 0,02, ¿cuál es la anualidad que debería depositar? 00:08:29
Lo que vamos a hacer es tomar esta fórmula que tenemos aquí directamente y sustituir los datos. 00:08:43
Capital final 24.000 euros, rédito como he comentado hace un momento 0,02, uno más el rédito, uno más el rédito elevado al tiempo. 00:08:47
Nos preguntan por 8 años, así que sustituiremos con lo exponente 1, 8 menos 1. Operamos y vemos que la anualidad sería 2.741,41 euros. 00:08:55
Si tomamos 24.000 euros y lo dividimos entre 8, lo que calcularíamos es la cantidad que tendría que ahorrar sin utilizar para nada los servicios del banco para obtener finalmente 24.000 euros. 00:09:08
Esas cantidades son de 3.000 euros. Así pues, el hecho de ahorrar depositando en el banco me permite ahorrar una cantidad de dinero menor, 2.740 euros aproximadamente, en lugar de 3.000 euros, puesto que este dinero depositado en el banco genera intereses, cosa que el dinero que ahorro sin utilizar el banco no hace. 00:09:19
Por último, se nos pide en este ejercicio número 10 que calculemos cuál es el tiempo necesario, los años, para que al depositar en un banco al comienzo de cada año 2.500 euros al 3% anual, se obtenga un capital de 20.000 euros. 00:09:40
Vamos a ver cuánto tiempo tenemos que operar de esta manera, depositando 2.500 euros para obtener un capital de 20.000 euros. 00:09:56
En este caso podemos utilizar o bien la fórmula del capital o bien la fórmula de la anualidad. Yo he tomado la fórmula del capital. 00:10:03
Y lo que he hecho ha sido de ella despejar el tiempo, este t que tengo aquí en el exponente. 00:10:10
Para ello lo primero que hago es el rédito que tengo aquí dividiendo, pasarlo al miembro de la izquierda multiplicando. 00:10:17
Me queda esta expresión, lo que tenía el numerador antes en el miembro de la derecha, igual a capital final por el rédito. 00:10:22
A continuación, anualidad por 1 más el rédito, lo paso dividiendo al miembro de la derecha. 00:10:29
Este 1 que está aquí restando, a su vez lo paso sumando. 00:10:35
y ahora necesito despejar esta t que tengo en el exponente. 00:10:38
La forma de operar es tomar logaritmos tanto en el miembro de la izquierda como en el de la derecha. 00:10:43
Elijo logaritmos decimales, aunque podría ser cualesquiera otros. 00:10:48
Logaritmo decimal de 1 más r elevado a t, igual a logaritmo de esta expresión que tenía aquí. 00:10:51
Propiedad de los logaritmos, este t que tengo en el exponente lo puedo pasar delante multiplicando. 00:10:57
Este t es el número de años que tiene que transcurrir, es lo que quiero calcular. 00:11:02
lo voy a despejar pasando este logaritmo de 1 más r dividiendo al miembro de la derecha. 00:11:05
Ahora sí puedo sustituir todos los datos para calcular esta t. 00:11:11
Tengo logaritmo de capital final 20.000 euros. 00:11:15
Rédito, me hablan de un 3% anual, aquí lo tengo, sería 0,03. 00:11:19
La anualidad 2.500 euros, sustituyo esto de datos, opero, y veo que el resultado sería 7,09. 00:11:24
Tengo que dar un número de años, un número entero de años, y siempre voy a redondear hacia arriba. 00:11:33
Así que este 7,09 quiere decir que al menos tengo que tenerlo depositado durante 8 años y tengo que pagar 8 anualidades. 00:11:39
De forma análoga a como ocurría en las secciones anteriores, podemos preguntarnos qué es lo que ocurre si no se realiza un único pago anual, 00:11:48
sino que se realizan n pagos a lo largo del año. 00:11:57
N igual a 12 si los pagos son mensuales, N igual a 4 si los pagos son trimestrales. 00:11:59
En este caso lo que vamos a hacer es operar análogamente a como hemos hecho en las secciones anteriores. 00:12:05
Vamos a sustituir el rédito por el rédito entre N, N el número de pagos que se realiza cada año, 00:12:10
y vamos a sustituir T minúscula, el número de años, por T mayúscula, el número de periodos. 00:12:16
Así pues, vamos a tomar la fórmula para el capital, que hemos deducido hace un momento, 00:12:21
y lo que vamos a hacer es las sustituciones que acabo de comentar. 00:12:26
Tendríamos anualidad por 1 más el rédito entre n, por, en el numerador de esta expresión, 1 más el rédito entre n elevado a t, número de periodos, menos 1, dividido entre el rédito entre n. 00:12:29
Análogamente, en el caso de la fórmula, para la anualidad, que en este caso ya no sería la anualidad, sino el pago que se realizaría periódicamente. 00:12:44
Si n es igual a 12, sería la mensualidad, y si n fuera 4, sería la trimestralidad. 00:12:52
Como ejemplo para ver cómo funciona, vamos a resolver este ejercicio número 11. 00:12:58
Se nos dice que al comienzo de cada mes depositamos 100 euros en un banco al 6% anual. 00:13:02
¿Qué capital tendremos al final del segundo año? 00:13:07
Bueno, pues lo que vamos a hacer es tomar esta fórmula para el capital y sustituir los datos. 00:13:10
A sería la mensualidad, puesto que estamos haciendo pagos cada mes, 100 euros. 00:13:16
1 más el rédito, 0,06, que es el tanto por 1 que equivale al 6%, 00:13:20
entre 12, puesto que estamos haciendo pagos mensuales y hay 12 meses en un año. 00:13:25
En cuanto a T mayúscula, el número de periodos es el número de meses que hay en dos años. 00:13:30
2 por 12, total 24. 00:13:36
Si operamos, lo que vemos es que el capital final, el capital que tendremos al final del segundo año, 00:13:39
será de 2.555,91 euros, más que 100 por 24, el capital que tendríamos ahorrando 100 euros 00:13:44
sin utilizar los servicios del banco, que serán sólo 2.400 euros. 00:13:53
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:14:00
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:14:06
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:14:11
Un saludo y hasta pronto. 00:14:17
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
26
Fecha:
21 de agosto de 2025 - 18:18
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
14′ 45″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
37.30 MBytes

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