Ecuaciones de la recta-Geometría Analítica siguiendo el libro de Teide-Cuarto Curso ESO

Bien, vamos a continuar con el punto 5-1, que es el de pendiente, vector-director y vector-normal. 00:00:00

Como sabéis, para definir una recta hacen falta dos puntos, o también se puede definir una recta por un punto y una dirección. 00:00:09

Entonces, aquí en este primer ejemplo tenemos la recta definida por dos puntos, y en este otro ejemplo lo tenemos definido por un punto y un vector-director. 00:00:20

Bien, ¿qué es lo que nos aporta el vector director? El vector director nos aporta una dirección, ¿vale? Que la tenemos aquí representada. Aquí nos está diciendo que v tiene dos componentes, v1 y v2. 00:00:30

Y como todos sabemos ya, V1 es la componente horizontal o la componente del eje de las X y V2 es la componente vertical o componente del eje de las Y. 00:00:49

Lo voy a representar aquí un poquito más ampliado porque en el dibujo no se ve muy bien. 00:01:02

Esto sería V2 y esto sería V1. 00:01:09

Lo he puesto con flechas también como para mantener la descomposición vectorial, ¿vale? 00:01:13

Como si fueran dos vectores, aunque se puede considerar que son coordenadas simplemente. 00:01:19

Y se define la inclinación de la recta a través de la tangente del ángulo que la recta forma con la horizontal. 00:01:26

Es decir, m es la pendiente de la recta y es igual a la tangente de alfa, ¿vale? 00:01:40

Y la tangente de alfa, si nosotros conocemos el vector, es decir, si nosotros tenemos aquí un vector director, ¿vale? 00:01:48

Hay que tener en cuenta que los vectores directores de una recta son infinitos, no existe un solo vector director, existen infinitos. 00:01:56

todos los que queramos, basta con que sean proporcionales, colineales, ¿no? 00:02:06

Bien, entonces, si eso es v sub 1 y eso es v sub 2, ¿cuál será la pendiente? 00:02:12

La pendiente, como hemos dicho, es la tangente de alfa, y la tangente de alfa es el cateto opuesto, 00:02:17

v sub 2 partido por el cateto adyacente, v sub 2 partido por v sub 1, ¿vale? 00:02:22

Bien, hay otro vector también importante que es el vector perpendicular o normal a uno dado, ¿no? 00:02:33

Si yo tengo aquí mi vector v, que tiene una descomposición horizontal v1 y una descomposición, una componente vertical v2, 00:02:42

Si yo quiero hallar el vector normal a v, ¿cómo lo podría hacer? 00:03:01

Bien, como iba diciendo, si nosotros tenemos aquí nuestro vector v, con sus dos componentes v1 y v2, 00:03:11

y giramos este vector, lo tendremos aquí. 00:03:19

y ya no se llamará v, sino que se llamará n, de vector normal, de vector perpendicular. 00:03:24

¿Y las componentes dónde habrán ido? v sub 1, se eleva y se pone en vertical, ¿no? 00:03:31

Es decir, para, si nos fijamos en el vector n, ¿no? Yo voy a escribir aquí el vector n, 00:03:38

Y ahora tengo que decir quién es su componente horizontal. 00:03:46

¿Quién es la componente horizontal del vector n? 00:03:53

Es v2 en magnitud, pero en sentido es menos, es negativo, ¿no? 00:03:57

v2 aquí es positivo porque va hacia arriba. 00:04:06

Y aquí v2 es negativa, pero la magnitud sí que es la misma. El módulo de la componente horizontal del vector normal es menos v2, es negativa. 00:04:10

Por eso escribimos menos v2. ¿Y quién es la componente vertical del vector normal? Es v1 y es positivo al igual que este vector de aquí es positivo. Es decir, la componente vertical del vector n es v1 y lo dejamos así. 00:04:28

Es decir, que nosotros, conocido un vector v, si queremos hallar su vector normal, tendríamos que hacer, o sea, la componente horizontal sería menos v sub 2, es decir, la componente vertical cambiada de signo, y la componente vertical del vector normal sería la componente horizontal con el mismo signo de v. 00:04:48

¿Vale? Bien. Y si queremos comprobar que son perpendiculares, ¿qué es lo que podemos hacer? Pues muy fácil. Para demostrar que n y v son verticales, vamos a hacer su producto escalar. 00:05:13

¿Sí? Entonces, sabemos que cuando dos vectores son perpendiculares, su producto escalar tiene que ser 0 00:05:30

Vamos a comprobar si eso es verdad 00:05:39

Vamos a hacer el producto escalar de v por n 00:05:40

¿Y eso cuánto sería? 00:05:46

Pues sería, v sub 1, v sub 2, producto escalar, menos v sub 2, coma, v sub 1, ¿y eso a qué es igual? Eso es igual a menos v sub 1, v sub 2, más v sub 2, v sub 1, ¿y eso cuánto es? 00:05:48

Eso es cero, porque si comprobamos, esto es igual a esto, cambia de signo, luego n es perpendicular a v, y se escribe así, ¿vale? 00:06:15

Bien, pues ya lo tenemos. Ahora nos están diciendo, nos están reponiendo un ejercicio. El ejercicio resuelto número 1, que dice, decide si los puntos 1, 1, b, menos 1, 2 y c, 19, 28, están alineados o no, ¿vale? 00:06:32

Yo lo voy a resolver de una manera un poquito diferente a... 00:06:54

Bien, entonces yo lo voy a hacer de la siguiente manera. 00:06:59

Voy a suponer aquí tres puntos, ¿vale? 00:07:03

Si los tres puntos están alineados, y yo aquí tengo el punto A, el punto B y el punto C, 00:07:07

Yo siempre podré decir que si yo fijo un origen, por ejemplo, el punto A, lo dejo fijo, siempre podré decir que AC es igual a un escalar por AB, ¿no? 00:07:26

Porque si este es el vector AB y este es el vector AC, yo multiplicando AB por un escalar siempre podré llegar al otro vector y si no están alineados no podré decir eso. 00:07:44

Vamos a comprobar si eso es así. Para ello vamos a calcular en primer lugar cada vector. El vector AB que será en las coordenadas del punto final, que son menos 1, menos 2, menos las coordenadas del punto inicial, que son 1, 1, ¿vale? 00:08:00

¿Y esto qué es? Escribo primero la estructura, que a mí me gusta más, y luego relleno. Esto es menos 1 menos 1 es menos 2. Y esto es menos 2 menos 1 menos 3. A ver si lo tengo bien. Menos 1 menos 1 es menos 2 menos 2 menos 1 menos 3. 00:08:17

¿Y cuál sería el vector AC? AC sería igual a las coordenadas del punto final, que serían 19, 28, menos las coordenadas del punto inicial, que serían las coordenadas del punto A, que es 1, 1. 00:08:35

Y esta que es igual a, pongo la estructura, y entonces sería 19 menos 1, sería 18, y 28 menos 1 serían 27. 00:08:54

Puedo decir ahora, de alguna manera, que AC, es decir, 18, 27, es igual a un escalar lambda por el vector AB, que es menos 2, menos 3. 00:09:07

Lo puedo decir, lo pongo entre interrogantes. Si eso fuera cierto, yo podría igualar las componentes x, es decir, 18 sería igual a menos 2 lambda, y la componente y, que es 27, sería igual a menos 3 lambda. 00:09:21

De aquí despejamos lambda y obtenemos que lambda es igual a 18 dividido entre menos 2 es menos 9. 00:09:46

Y si de aquí despejamos lambda, obtenemos que lambda es igual a menos 9. 00:09:56

Y como son iguales, la lambda que hace falta para la coordenada y, este sistema tiene solución para un único lambda. 00:10:02

Si aquí obtuviéramos un lambda y en la i obtuviéramos un lambda distinto, los puntos no estarían alineados, ¿vale? Luego, a, b y c están alineados porque ac es igual a menos 9 por ab, ¿vale? 00:10:15

existe un único lambda que es menos 9 que hace 00:10:50

que permite que multiplicando a b por menos 9 00:10:55

lleguemos a ac, ¿vale? luego están alineados 00:10:59

bien, otro ejercicio que se nos pide aquí 00:11:01

dice, vamos a copiar 00:11:05

control copy, control v 00:11:09

lo ponemos ahí, ahora hacemos así 00:11:17

¿Qué es lo que nos piden ahora? Dice, obten los datos que se piden en cada caso. 00:11:26

Nos dan dos puntos y nos piden el vector AB y su pendiente, ¿vale? 00:11:31

Bien, pues entonces hacemos apartado AB, como sabemos, son las coordenadas del punto final, que es menos 1, 4, menos las coordenadas del punto inicial, que es el punto 3, 5. 00:11:35

Y esto es igual a, menos 1 menos 3 es menos 4, y 4 menos 5 es menos 1, si yo no me he equivocado, ¿vale? 00:11:55

Menos 1 menos 3 es menos 4, y 4 menos 5 es menos 1. 00:12:07

Bien, y ahora nos dice, es decir, ya habíamos hecho un apartado, y ahora se nos pide la pendiente. 00:12:11

¿Cuál es la pendiente? m es igual a la tangente de alfa, esto es alfa, esto es v, esto es v sub 2, esto es v sub 1. 00:12:17

Y la tangente de alfa es igual a v sub 2 partido por v sub 1, es decir, menos 1 partido entre menos 4 y eso es igual a 1 cuarto, ¿de acuerdo? Luego ya tendríamos la pendiente también, ¿vale? 00:12:39

Apartado B, dados A16 y AB32, haya B y la pendiente de AB 00:12:57

Muy bien, pues nosotros sabemos que AB es 3 menos 2 00:13:07

Porque nos lo dice el enunciado 00:13:16

Pero sabemos que eso es igual a las coordenadas de B 00:13:17

x sub b y sub b 00:13:20

menos las coordenadas de A 00:13:25

pero las coordenadas de A las tenemos 00:13:30

que es 1, 6 00:13:32

¿no? 00:13:34

bien, pues entonces ahora separamos esta ecuación vectorial 00:13:35

en dos ecuaciones distintas 00:13:38

la ecuación de la x y la ecuación de la y 00:13:40

y decimos 3 es igual a x sub b 00:13:43

menos 1 00:13:45

de donde se sigue 00:13:47

que x sub b es igual a qué? A 3 más 1, o lo que es lo mismo, x sub b es igual a 4. 00:13:49

Ahora, las y es. Tomamos la y, que es menos 2, y decimos que eso es igual a y sub b menos 6. 00:14:00

de donde se sigue que I sub B es igual a menos 2 más 6 00:14:09

y I sub B, por lo tanto, I sub B es igual a 4 00:14:16

ya tendríamos que el punto B es igual a 4, 4 00:14:22

ese es el punto B, no le ponemos flecha 00:14:32

bien, y nos piden la pendiente de A 00:14:35

lo ponemos aquí 00:14:40

pendiente 00:14:44

de AB 00:14:45

es igual 00:14:51

a M 00:14:54

que es igual a la tangente 00:14:56

de alfa y es igual 00:14:58

a V2 00:15:00

partido por V1 00:15:01

y eso aquí es igual 00:15:03

como el vector está aquí 00:15:05

que es 3 menos 2 00:15:08

eso es menos 2 00:15:10

partido por 3 00:15:12

es decir, m es igual a menos 2 tercios 00:15:15

¿vale? 00:15:22

este sería el apartado b 00:15:24

este sería el apartado a 00:15:25

¿de acuerdo? 00:15:28

bien 00:15:30

siguiente apartado 00:15:30

pasamos al siguiente apartado 00:15:43

en el cual se expone la primera de las ecuaciones vectoriales 00:15:46

que vamos a ver 00:15:49

o sea, la primera de las ecuaciones 00:15:50

de la recta, que es la ecuación vectorial. Para explicar la ecuación vectorial de la 00:15:52

recta tenemos que tener en cuenta lo que hemos dicho antes, que una recta se puede definir 00:16:05

por dos puntos o por un punto y un vector, director. Esta última posibilidad es la que 00:16:09

nosotros vamos a utilizar, es decir, nosotros vamos a definir nuestras rectas mediante un 00:16:17

punto y un vector director. Y eso es lo que tenemos aquí representado. Tenemos los ejes 00:16:22

coordenados con su origen en O, y tenemos la recta R, y tenemos un punto fijo P, que 00:16:30

puede ser cualquier punto de la recta, pero elegimos uno cualquiera, que va a ser P, y 00:16:37

sobre esa recta tenemos el vector director V. Y yo ese vector V lo voy a multiplicar 00:16:43

por el escalar lambda. Lambda es la letra griega, es el equivalente a nuestra L, es decir, nuestra L viene de la lambda griega 00:16:51

y representa una escala, un número. Entonces, si nosotros multiplicamos a V por lambda, lo podemos alargar, contraer 00:17:00

o incluso cambiar de sentido si multiplicamos por un lambda negativo, ¿vale? 00:17:11

Pero yo, para generar el punto genérico x, ¿no? 00:17:17

Para ir desde el origen hasta un punto genérico de la recta R, 00:17:23

yo lo que hago es que voy desde el origen de coordenadas hasta P, 00:17:28

que es nuestro punto fijo de la recta, puede ser cualquiera, pero elegimos uno concreto, que es P, 00:17:32

Y a partir de ahí yo me desplazo, v o 2v o 3v o 1,5v o menos v y me voy para la izquierda hacia abajo o 0,5v y voy aquí en medio, ¿vale? Es decir, lambda es un continuo, representa a todos los valores reales. 00:17:38

Es decir, si yo multiplico v por menos infinito, estaría aquí, al infinito del todo, al final del todo, ¿vale? 00:18:01

Sin embargo, me ha salido esta recta un poco fea, la voy a deshacer, pero sería aproximadamente ahí. 00:18:10

Esto sería si yo multiplico lambda por, o sea, v por menos infinito, me iría allí al final del todo, donde indique la flecha. 00:18:17

Bien, si multiplico por menos 1, yo me estaría seleccionando este punto aproximadamente, lambda igual a menos 1. 00:18:24

Si multiplico v por menos 2, pues entonces me estaría viniendo aproximadamente, ahí estaría lambda igual a menos 2. 00:18:34

¿Vale? Tendría este punto de aquí. Si multiplico v por menos 10, pues a lo mejor me estoy viniendo hasta aquí. ¿Vale? Sería un poco más hacia la izquierda. 00:18:47

Pero bueno, y si doy valores positivos, bueno, si multiplico lambda por 0, pues no tendría nada. O sea, v por 0 no tendría nada. Estaría en p. 00:19:03

Si multiplico, si lambda es 1, yo tendría ese punto de ahí, lambda igual a 1. Si multiplico por 2, yo estaría ahí, ¿vale? Porque eso es v más v. Y si multiplico por infinito, estaría al final de todo esto, que sería lambda igual a más infinito. 00:19:12

Es decir, creando yo valores distintos a lambda, voy alargando el vector lambda v, alargando o encogiéndolo, ¿vale? 00:19:37

Y también lo puedo hacer hacia la izquierda, lambda v con v con lambda menor que 0 y aquí lambda v con lambda mayor que 0, es positivo. 00:19:50

Es decir, yo voy generando distintos puntos, ¿vale? Y como lambda es un continuo, es como una rueda de volumen, de las que tenemos de volumen, que va desde menos infinito hasta más infinito, pasando por cero, pues yo voy generando todos estos puntos. 00:20:10

Esa es la ecuación vectorial. Esta es la ecuación vectorial. OX es igual a OP más lambda V. ¿Vale? Porque vosotros ya sabéis cómo se suman los vectores. 00:20:31

Si esto es OP, y esto es lambda V, este es el vector, OX es igual a OP más lambda V. 00:20:43

Esa es la ecuación vectorial de la recta. 00:21:04

Y si ahora yo sustituyo por las coordenadas, yo sé que el punto P es x, y, ¿vale? Por lo tanto digo x, y es igual a x sub 0, y sub 0, que son las coordenadas del punto P, x sub 0, y sub 0, más lambda v sub 1, v sub 2, con lambda perteneciente a R. 00:21:06

¿Qué quiere decir lambda perteneciente a R? Que lambda pertenece al intervalo abierto menos infinito más infinito. 00:21:30

Que lambda varía desde menos infinito hasta más infinito. 00:21:39

¿Vale? Bien, esa sería la ecuación vectorial. 00:21:43

La vamos a dejar aquí y ahora ¿qué es lo que hacemos? 00:21:47

Separamos por un lado la componente X y por otro lado la componente Y. 00:21:51

Es la misma ecuación pero separando las coordenadas 00:21:56

Entonces, yo ahora digo que x es igual a x sub cero más lambda v1 00:22:01

Eso es 00:22:10

Y por otro lado puedo decir que y es igual a y sub cero más lambda v2 00:22:11

¿Sí? 00:22:18

Que es lo que tenemos aquí 00:22:19

Esto es lo que tenemos aquí 00:22:21

Estas son las ecuaciones paramétricas de la recta 00:22:25

¿Vale? Aquí curiosamente lo que antes se llamaba escalar, que era lambda, ahora lo vamos a llamar parámetro 00:22:28

Es un cambio de nombre, pero sigue siendo lo mismo prácticamente, ¿vale? 00:22:35

Bien, ahora nos están proponiendo un ejercicio que lo vamos a hacer inmediatamente 00:22:45

Voy a tapar el resultado 00:22:51

Voy a tapar esto 00:22:52

Bien 00:22:56

Y nos dice, calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P-4, 6 y Q, 2, 5. 00:22:58

Bien, pues, como hemos dicho, nosotros necesitamos, para definir una recta, un punto y un vector director. 00:23:07

¿Qué vector va a ser el nuestro? 00:23:17

Pues el nuestro va a ser el vector v, que va a ser igual al vector pq, ¿no? Yo tengo dos puntos, pues digo, bueno, pues defino el vector pq, podría ser perfectamente el qp, daría lo mismo, ¿vale? 00:23:20

¿Cuál es el vector PQ? Pues las coordenadas del extremo, que es Q, es decir, menos 2, 5, menos las coordenadas del origen final menos inicial, siempre final menos inicial, es decir, menos, menos 4, 6. 00:23:41

¿Y eso a qué es igual? Dejo la estructura primero y ahora relleno. Menos 2 menos menos 4 es menos 2 más 4, que es 2. Menos 2 menos menos 4 es menos 2 más 4, que es 2. Y a la 5 menos 6 es menos 1. Ese sería el vector v. 00:23:56

Y yo ya tengo el vector director, que me falta un punto. ¿Cuál preferimos? ¿P o Q? Da igual. 00:24:16

Vamos a coger P. Entonces, vamos a escribir primero la ecuación vectorial. 00:24:26

La ecuación vectorial sería decir que el punto XY, que es un punto genérico de la recta, es igual al punto fijo P, 00:24:31

que es menos 4, 6, más lambda por el vector director, que es 2 menos 1, con lambda perteneciente a los números reales, ¿vale? 00:24:39

Y de aquí ya es muy fácil sacar las paramétricas, ¿por qué? Porque ahora lo que hacemos es igualar las coordenadas x, 00:24:55

O sea, separar las coordenadas x por un lado y las coordenadas y por otro. Luego digo x igual, y igual, x a que es igual a esta componente, que es la x, el punto fijo, menos 4, más 2 lambda, más 2 lambda. 00:25:02

Y para la i digo, la segunda componente, i es igual a la segunda componente, 6 más lambda por la segunda componente, que es menos 1, luego es menos lambda, 6 menos lambda, cuando lambda pertenece a r. 00:25:20

Luego ya tendríamos las ecuaciones paramétricas, ¿vale? 00:25:38

Esto si queremos se puede dibujar, por curiosidad, ¿no? 00:25:43

Vale, sería más o menos así. 00:25:50

Esto sería el eje X, este es el eje Y, este es el eje O. 00:25:52

Y entonces, el punto menos 4, 6. 00:25:57

Bueno, no nos da para dar. 00:26:00

A ver, control Z, Z, Z, Z, Z, Z. 00:26:03

Vale, vamos a hacer así, menos 4, 6. 00:26:05

Esto sería X, esto sería Y, esto sería O. 00:26:10

Entonces esto sería 1, 2, menos 2, menos 3, menos 4, menos 5, menos 6 00:26:14

No, es menos 4, 6 00:26:21

Menos 1, menos 2, menos 3, menos 4 00:26:23

Y ahora 1, 2, 3, 4, 5, 6 00:26:25

Luego esto estaría aproximadamente aquí 00:26:31

Más o menos ahí estaría el punto P 00:26:34

Menos 4, 6 00:26:39

Y el vector director es 2 menos 1 00:26:42

Es decir, avanzamos 2 00:26:45

En el eje X 00:26:47

Y bajamos 1 00:26:52

O sea, es decir, estaría aproximadamente así 00:26:53

Sería V 00:26:56

Estoy dibujando muy mal, no sé 00:26:57

Pero bueno 00:26:59

Y... 00:27:00

Y nada, esa sería la recta 00:27:02

¿Vale? 00:27:05

La recta sería una cosa así aproximadamente 00:27:08

¿Vale? 00:27:11

Menos 4, 6 00:27:13

y 2 menos 1 00:27:14

¿vale? 00:27:16

bien, ecuaciones 00:27:18

de la recta, ecuación continua 00:27:19

la ecuación continua 00:27:22

sale de las ecuaciones paramétricas 00:27:24

que las tenemos aquí 00:27:27

¿vale? si nosotros despejamos 00:27:28

el parámetro lambda 00:27:30

por escalar lambda 00:27:32

en las coordenadas x y las coordenadas y 00:27:33

obtenemos que lambda es igual a 00:27:36

x menos x sub 0 partido por 2 es 1 00:27:38

que lambda es igual a 00:27:40

I menos I sub cero partido por V sub dos. Y si nosotros igualamos estas dos cosas, que 00:27:42

es lo que tenemos, que lambda es igual a X menos X sub cero partido por V sub uno, es 00:27:48

igual a I menos I sub cero partido por V sub dos. Y esta es la ecuación continua de la 00:27:57

recta, que como veis, hace que desaparezca lambda, ¿vale? Y depende solamente del punto 00:28:08

x sub cero, x sub cero, y de las componentes del vector, ¿vale? Y no tiene en cuenta ningún 00:28:15

parámetro, es decir, no hace falta ningún parámetro. A mí esta ecuación me gusta 00:28:23

siempre demostrarla o apoyarme en ella, en vez de, como ha hecho el libro, despejando 00:28:28

la lambda, sacarla directamente de, o sea, sacarla por semejanza de triángulos. ¿Por 00:28:34

qué? Pues porque si yo tengo aquí mi vector v con sus dos componentes, v sub 1 y v sub 00:28:45

2, aquí tengo un punto x y genérico, ¿vale? Y esto de aquí es x sub 0, y sub 0, perdón, 00:28:54

y sub 0, ¿vale? Yo aquí voy a tener dos triángulos semejantes. Esto es x sub 0, esto 00:29:20

es x y esto va a ser x menos x sub cero, ¿vale? Y esto va a ser y menos y sub cero, ¿sí? 00:29:35

Vale. ¿Dónde van a estar los dos triángulos semejantes a los que me he referido? Esto 00:29:53

va a ser y y esto va a ser y sub cero. Pues los dos triángulos semejantes van a estar 00:30:03

aquí. A ver cómo puedo yo dibujar esto fácilmente. Va a ser este de aquí. No sé si se ve. Voy 00:30:10

a dibujarlo así, de esta manera, a ver si lo hago bien. Vale, vamos a dar otro color. 00:30:25

vamos a darle ese color 00:30:36

y luego el otro triángulo 00:30:39

semejante 00:30:43

va a ser este 00:30:44

vamos a hacer 00:30:46

que este sea un poquito 00:30:58

más 00:31:00

como hacemos 00:31:01

este va a ser un poquito más claro 00:31:10

vamos a por ejemplo 00:31:11

este color 00:31:20

a ver esto como queda 00:31:21

si esto lo llevamos al fondo 00:31:29

vale 00:31:31

Entonces, el triángulo naranja, o sea, rosa, queda debajo y el triángulo verde queda arriba. Y esos dos triángulos son semejantes, ¿vale? ¿Por qué? Pues porque los dos tienen un ángulo recto, que es este ángulo de aquí, ¿vale? 00:31:33

Este es el triángulo recto, este es el triángulo recto y este ángulo es el mismo, este es el ángulo alfa. 00:31:55

Por lo tanto, yo puedo establecer una relación de semejanza, o sea, una proporción. 00:32:04

¿Y qué proporción voy a establecer? 00:32:11

Que el cateto horizontal del triángulo grande, es decir, x menos x sub 0, es al cateto horizontal del triángulo pequeño, que es v sub 1, como el cateto vertical del triángulo grande, que es y menos y sub 0, es a v sub 2, y esta es la ecuación continua. 00:32:12

A mí me gusta más verla así, pero no es obligatorio que sepáis demostrarlo o que os lo aprendáis de memoria, aunque sí que lo recomiendo. 00:32:35

A mí al menos me gusta mucho ese otro sistema, ¿vale? 00:32:46

Bien, vamos a resolver un ejercicio que nos dice, haya la ecuación continua de la recta, ¿no? 00:32:50

A ver si relleno eso 00:33:00

Bueno, lo vamos a dejar así 00:33:03

Aunque se vea un poquito 00:33:05

Si no, lo cambio ahora 00:33:09

Le quito el canal alfa 00:33:12

Vale 00:33:16

Y le quito el color de trazo 00:33:17

Entonces, si hay la ecuación continua de la recta 00:33:20

R 00:33:25

Cuya componente x es igual a 5 00:33:26

y cuya componente I es igual a menos 2 más 6 lambda cuando lambda pertenece a F. 00:33:28

¿Cómo se hallará la ecuación continua? 00:33:35

Pues muy fácil. 00:33:38

Aquí tendríamos que despejar lambda. 00:33:40

¿Cuánto vale lambda si nosotros despejamos en la segunda componente? 00:33:45

Pues tendríamos que I es igual... 00:33:52

Es decir, la segunda componente nos dice que Y es igual a menos 2 más 6 lambda. 00:33:59

Por lo tanto, lambda es igual a Y más 2 partido de 6. 00:34:09

Si yo paso el 2 al otro lado, y el 6 pasa dividiendo, nos queda eso. 00:34:17

Vale. Pero, ¿cuánto vale lambda en la componente X? 00:34:25

Vale. Yo en la componente X, es un poquito más complicado de verlo, yo tengo que X es igual a 5 más 0 por lambda. 00:34:46

Porque no escribiendo en lambda, eso quiere decir que mi vector v1 es 0. 00:35:04

Pues si yo despejo aquí lambda, me va a quedar que lambda es igual a x menos 5 partido de 0. 00:35:12

Sabéis que nunca se puede dividir entre 0, pero en este caso se hace una excepción, tal y como indica el libro, 00:35:22

Para escribir, lambda es igual a x menos 5 partido por 0, y esto es igual a y más 2 partido de 6. 00:35:27

Esa sería la ecuación vectorial, o sea, la ecuación continua de la recta. 00:35:44

No es un ejemplo que me guste mucho, porque eso de estar dividiendo entre 0 no me gusta, pero se permite así, aquí. 00:35:48

¿Vale? De acuerdo 00:35:55

Bien 00:35:57

El primer ejercicio que nos proponen 00:36:04

Dice, haya 5 puntos de la recta R 00:36:11

Si tienen por ecuación 00:36:14

xy es igual a menos 1, 2 00:36:16

más lambda 00:36:19

que multiplica al vector 4, 3 00:36:20

Este ejercicio es muy sencillo 00:36:23

Y bastaría simplemente con dar 5 valores a lambda. 00:36:26

Nosotros vamos a dar solamente 3. 00:36:32

Por ejemplo, vamos a hacer lambda igual a menos 1. 00:36:35

Si lambda es igual a menos 1, eso implica que x y va a ser igual a menos 1, 2, menos 1, 00:36:40

Que eso es lambda 00:36:56

Por 4,3 00:36:57

4,3 00:36:59

¿Vale? 00:37:02

O lo que es lo mismo 00:37:04

Esto lo he hecho un poquito para la izquierda 00:37:05

Quedaría 00:37:08

XI 00:37:09

Es igual 00:37:10

A 00:37:16

Menos 1,2 00:37:19

Menos 00:37:21

4,3 00:37:23

Eso es igual a 00:37:27

menos 1, menos 4, menos 5 00:37:31

y 2, menos 3, menos 1 00:37:35

ese sería nuestro punto para lambda igual a menos 1 00:37:39

si ahora hacemos lambda igual a 0 00:37:42

nos quedaría que x, y 00:37:45

es igual a menos 1, 2 00:37:49

más lambda por 4, 3 00:37:54

Pero como lambda es 0, pues ese sería nuestro punto para lambda igual a 0. 00:37:58

Y si lambda es igual a 1, nos va a quedar que x y es igual a menos 1, 2, más 1 por el vector 4, 3. 00:38:07

Y esto daría el vector menos 1 más 4, 3, y 2 más 3, 5. Ese sería mi vector, o sea, mi punto para lambda igual a 1, ¿vale? Y así podríamos continuar para sucesivos lambdas, ¿vale? Todos los que quisiéramos. 00:38:23

Ahora nos está diciendo el ejercicio 16 00:38:47

Este sería el ejercicio 15 00:38:52

Y el ejercicio 16 sería 00:38:54

Haya las ecuaciones paramétricas de una recta 00:38:59

De la que sabemos que tiene por pendiente M3,2 00:39:05

Y que pasa por el punto X,5,2 00:39:08

Por el punto P,5,2 00:39:12

¿Vale? 00:39:14

Sabemos que las ecuaciones paramétricas son estas 00:39:16

x es igual a x sub cero más lambda v sub uno 00:39:20

y y es igual a y sub cero más lambda v sub dos 00:39:26

siendo x sub cero y y sub cero las coordenadas de un punto 00:39:32

que las tenemos, es el punto cinco dos 00:39:37

lambda se queda como lambda y v sub uno y v sub dos 00:39:40

son las coordenadas del vector director 00:39:43

Nosotros no sabemos las coordenadas del vector director, pero sabemos la pendiente 00:39:48

M es igual a qué? A tres medios 00:39:53

Y por definición, M que es M es igual a la tangente de alfa 00:39:56

Y es igual a V2 partido por V1 00:40:03

¿Vale? 00:40:07

Entonces, podemos dar a V1 el valor que nosotros queramos 00:40:10

Por ejemplo, si v sub 1 es igual a 1, eso implica que 3 medios va a ser igual a v sub 2 partido por 1. 00:40:15

Es decir, v sub 2 va a ser igual a 3 medios. 00:40:32

Es decir, que nosotros podemos tener el vector v, nuestro vector va a ser v, 1, 3 medios, pero si no nos gusta ese vector podemos multiplicarlo por 2 y así nos quitamos ese denominador. 00:40:40

¿Vale? O también, o también, perdón, o también v' que va a ser igual a 2v, esto va a ser igual al vector 2, 3, porque yo he multiplicado, el vector v' es el vector v multiplicado por 2, porque no quería yo tener ahí el denominador. 00:40:57

Y como v' tiene la misma dirección, el mismo sentido, también nos vale. 00:41:29

Es un vector director también válido. 00:41:35

Por lo tanto, ¿cuáles serían las ecuaciones paramétricas que a mí me están pidiendo? 00:41:40

Pues serían x, y, siendo x igual a x sub 0, que es 5, lo tenemos aquí, a 5, 00:41:45

más 00:41:52

lambda por la componente 00:41:54

x 00:41:57

de v' 00:41:59

¿vale? voy a hacer más 00:42:00

2 lambda 00:42:03

y ¿a qué va a ser igual? 00:42:05

y va a ser igual a esta 00:42:08

coordenada, a la coordenada y 00:42:09

del punto p, va a ser igual a 00:42:11

2 más 00:42:14

3 lambda 00:42:15

3 lambda 00:42:16

¿vale? 00:42:18

¿de acuerdo? 00:42:21

Cuando las escribimos de esta manera, sin sustituir por valores, ponemos antes la lambda 00:42:22

Lambda v1, lambda v2 00:42:27

Y luego cuando sustituimos por los valores, la ponemos en segundo lugar 00:42:29

Pero bueno, eso es cuestión menor 00:42:34

Y aquí ponemos que lambda pertenece a los reales 00:42:38

O sea que varía desde menos infinito hasta más infinito 00:42:43

El ejercicio 17a 00:42:46

¿Qué es lo que nos pide? 00:42:50

Nos dice, escribe correctamente las siguientes ecuaciones en forma continua. 00:42:52

Indica un punto y un vector director de las rectas correspondientes. 00:42:58

Si recordamos, la ecuación continua es de esta manera. 00:43:04

x menos x sub cero partido por v sub uno es igual a y menos y sub cero partido por v sub dos. 00:43:11

Esa es la ecuación continua 00:43:21

¿Qué es lo que tenemos aquí? 00:43:24

En el apartado A, ¿lo tenemos escrito igual? 00:43:26

¿Qué es lo que nos piden? No 00:43:29

Vamos a escribirlo bien 00:43:31

Nosotros tenemos 3 menos x 00:43:34

Y tenemos que pasar a x menos algo 00:43:36

¿Cómo lo hacemos? Pues multiplicamos arriba y abajo por menos 2 00:43:40

Es decir, 3 menos x partido por 2 00:43:43

es lo mismo que, y ahora multiplicamos por menos 1 arriba y abajo, es decir, esto queda 00:43:49

x menos 3 partido por menos 2, ¿vale? Y esto es igual a y más 5 partido por menos 3. Esto 00:43:55

de aquí sí que es la ecuación continua de la recta, ¿vale? Ahora sí está bien 00:44:11

escrita. Y nos piden el hecho de que aquí hay un más y que la ecuación, tal y como 00:44:18

la ponemos de manera general, hay un menos, no tiene que ver. Bueno, si a esto le cuesta 00:44:28

verlo, vamos a hacerlo de esta manera todavía más clara. Vamos a escribir x menos 3 partido 00:44:36

por menos 2 es igual a y menos menos 5 partido por menos 3, que es quizá más claro todavía, ¿vale? 00:44:44

Y entonces ahora sí que se vería muy bien que el punto x sub 0 y sub 0, que nos estaban pidiendo, 00:44:55

porque nos estaban diciendo que indiquemos un punto y un vector director, el punto x sub 0 y sub 0 00:45:05

va a ser igual al punto 3 menos 5. Y el vector y lector V es igual a menos 2 menos 3. Ese 00:45:11

sería el apartado B de este ejercicio. ¿Vale? Uy, esto lo he movido. ¿Sí? Bien, pues lo 00:45:23

mismo se podría hacer con el apartado b. Voy a borrar todo esto. Voy a desplazar esto 00:45:38

porque no lo quiero borrar. Y ahora hago zoom. Apartado 17b. Tenemos 3 más 2i partido por 00:45:48

menos 4, y eso yo lo tengo que expresar como, bueno, vamos a empezar por orden, vamos a 00:46:26

empezar por las x, vale, a mí me están diciendo que tenemos 5 menos 3x partido por 2, y yo 00:46:33

esto lo tengo que expresar como x menos x sub 0 partido por v sub 1, vale, ¿qué se 00:46:50

nos ocurre hacer aquí? Pues multiplicar arriba y abajo por menos 3, ¿no? Entonces, si multiplico 00:46:56

arriba y abajo por menos 3, eso va a quedar x menos 5 tercios partido por menos 2 tercios, 00:47:04

¿Vale? Porque eso quedaría menos 5 tercios, bien, eso se quedaría x, bien, eso es, eso es lo correcto. 00:47:19

He dividido arriba y abajo por el coeficiente de x, que tiene que ser positivo. 00:47:30

O sea, que x me tiene que quedar sin coeficiente, como tiene un menos 3, pues voy a dividir arriba y abajo entre menos 3, 00:47:37

que es este coeficiente con el que aparece la x. ¿Vale? 00:47:44

Y con la i voy a hacer lo mismo. ¿Qué tengo en la i? Tengo 3 más 2i. ¿Vale? Esto es igual a 3 más 2i, lo escribo igual, dividido entre menos 4. 00:47:49

¿Qué es lo que hago? Divido arriba y abajo entre 2. Y me va a quedar y más 3 medios partido por menos 2. ¿Vale? ¿Sí? 00:48:04

Entonces, si ahora yo igualo esto con esto, ¿qué es lo que voy a tener? Que x menos 5 tercios dividido entre menos 2 tercios es igual a y más 3 medios dividido entre menos 2. 00:48:20

Ah, perdón, voy a hacer una cosa también. En vez de poner y más 3 medios voy a poner y menos menos 3 medios partido por menos 2. 00:48:50

Y ahora queda claro que x sub 0 y sub 0 es igual a 5 tercios coma menos 3 medios y que el vector v es menos 2 tercios menos 2. 00:49:03

Aquí si se quisiera se podría sacar un vector 00:49:33

Director prima 00:49:37

Sin denominadores 00:49:39

Multiplicando el vector v por 3 00:49:40

Sería 3v si se quisiera 00:49:45

Y esto es igual a menos 2 menos 6 00:49:48

¿De acuerdo? 00:49:55

Esta sería la solución al 17b 00:49:59

Bien, siguiente apartado 00:50:05

Ecuaciones de la recta, ecuación general o implícita 00:50:10

Bien, la ecuación general o implícita 00:50:15

De una recta 00:50:24

Es la ecuación a la que estamos acostumbrados a trabajar 00:50:27

Desde hace tiempo 00:50:31

Desde que esta ecuación es la que se ve 00:50:34

en tercero de la ESO, en segunda de la ESO, cuando tenemos que resolver sistemas de ecuaciones lineales. 00:50:37

Por ejemplo, si a nosotros nos aparece en segundo una ecuación que dice 2x más 3y más 1 igual a 0, 00:50:44

dentro de un sistema nosotros sabemos que representando, dando coordenadas, eso corresponde a una recta. 00:50:56

Esa es la ecuación general o implícita. 00:51:04

Y de forma más general, la ecuación general es del tipo ax más bi más c igual a cero. 00:51:07

Es decir, la x multiplicada por un número, por un coeficiente, más la y multiplicada por otro número, más un término independiente, igual a cero. 00:51:18

Esa es la ecuación general. 00:51:29

Vamos a ver cómo se obtiene. 00:51:31

Pues muy fácil, se obtiene a partir de la ecuación continua 00:51:32

Haciendo la ecuación continua es la que dice 00:51:36

x menos x sub cero partido por v sub uno 00:51:39

Como hemos visto en el anterior apartado 00:51:41

Y eso es igual a y menos y sub cero 00:51:43

Partido por v sub dos 00:51:45

Si hacemos producto de medios igual a producto de extremos 00:51:48

Multiplicamos en cruz 00:51:51

Nos queda que v sub dos por x menos x sub cero 00:51:53

Es igual a v sub uno por y menos v sub cero 00:51:55

Y si ahora aquí aplicamos la propiedad distributiva 00:51:58

Nos queda que v sub 2 por x menos v sub 2 por x sub 0 00:52:01

Y ahora pasamos para el otro lado 00:52:05

O sea, aquí se han saltado un paso 00:52:08

Eso sería v sub 2 x menos v sub 2 x sub 0 00:52:10

Es igual a v sub 1 y menos v sub 1 y sub 0 00:52:16

Y ahora ¿qué es lo que hacemos? 00:52:24

dejamos la x y la y en el lado izquierdo de la igualdad 00:52:26

por lo tanto vamos a pasar esto a la izquierda 00:52:31

y esto también a la izquierda 00:52:34

entonces nos queda v2x menos v2x sub cero menos v1y más v1y sub cero es igual a cero 00:52:39

entonces, ¿dónde está la x? aquí 00:52:49

¿dónde está la y? aquí 00:52:55

y el resto va a ser el coeficiente independiente 00:52:58

es decir, v sub 2, x sub 0 y v sub 1 y sub 0 00:53:05

van a ser el coeficiente independiente 00:53:09

y aquí va a quedar mi x 00:53:10

y aquí va a quedar mi y 00:53:12

¿vale? que esas son las importantes 00:53:14

y como yo tengo que llegar a la forma 00:53:17

ax más bi igual a 0 00:53:20

pues yo ahora identifico 00:53:22

Yo ahora sé que a va a ser v2 y que b va a ser igual a menos v1. 00:53:24

Y la c es menos importante, la c es toda esta expresión de aquí que es un poco más compleja. 00:53:35

Lo importante de verdad es esto, que a, que el coeficiente que multiplica a x va a ser v2 00:53:39

y que el coeficiente que multiplica a y va a ser igual a menos v1. 00:53:53

¿Sí? Esto es muy importante que lo aprendáis. Muy importante. 00:54:01

¿Vale? 00:54:06

Vamos a hacer el primer ejercicio que nos propone. 00:54:08

Que dice así. 00:54:17

Vale. Dice allá la ecuación general de la recta que pasa por el punto menos 2, 5 00:54:28

y cuyo vector director es v menos 1, 3. 00:54:32

Hay dos formas de hacer este ejercicio. 00:54:37

El primero de ellos es a partir de la ecuación continua, como hemos visto antes. 00:54:41

Mediante la ecuación continua. No, vamos a llamarlo a partir de la ecuación continua. 00:54:55

vale, es decir, yo voy a hallarme la ecuación continua de esa recta 00:54:59

que sería x menos x sub 0 partido por v sub 1 00:55:24

es igual a y menos y sub 0 partido por v sub 2 00:55:29

yo sé que esa es la ecuación continua 00:55:36

ahora sustituyo valores 00:55:38

y digo x menos x sub 0 que es menos 2 00:55:40

partido por v sub 1 00:55:44

¿cuál es el valor de v sub 1? 00:55:47

menos 1 es igual a 00:55:48

a y menos y sub 0 00:55:52

que es 5 00:55:53

partido por v sub 2 00:55:54

que es 3 00:55:57

y ahora hago producto de medios igual a producto de extremos 00:55:58

multiplico en cruz 00:56:02

antes puedo decir que x más 2 00:56:03

partido por menos 1 00:56:06

es decir, aquí voy a quitar paréntesis 00:56:08

es igual a 00:56:10

Ahí, menos 5 partido de 3. 00:56:12

Y ahora sí, aplico, producto de medio es igual a producto de extremo. 00:56:16

Me queda 3X más 6 es igual a menos Y más 5. 00:56:20

Paso el menos Y y el 5 al lado de la izquierda, al miembro de la izquierda. 00:56:29

Me queda 3X más Y más 1 igual a 0. 00:56:34

Esa sería la ecuación general de esta recta. Y ahora vamos a hacerlo por lo que acabamos de aprender. Yo sé que la ecuación general es de esta forma. 00:56:40

AX más BI más C igual a 0 00:56:55

Y sé que la A es V2 00:57:03

¿No? Y yo sé que V2 es 3 00:57:08

Entonces sustituyo, en vez de A pongo V2 00:57:12

Que esto es V2 y esto es V1 00:57:20

Entonces me queda 3x, y ahora sé que b es v1 cambiado de signo, luego como v1 es menos 1, cambiado de signo, queda 1, luego 3x más y más c es igual a 0. 00:57:23

Bien, ya casi lo tengo, solamente me falta el valor de c. ¿Cómo hallo el valor de c? Bueno, pues utilizando lo que yo sé, que la recta pasa por el punto , es decir, que si sustituyo en esta ecuación la x por menos 2 y la y por 5, tiene que ser 0. 00:57:41

Pues lo hago. 3 por menos 2 más 5 más c es igual a 0. Es decir, 3 por menos 2 menos 6 más 5 más c es igual a 0. 00:58:03

Por lo que es lo mismo, c es igual a 6 menos 5, que esto es igual a 1. 00:58:24

Por lo tanto, nos quedaría 3x más y más 1 es igual a 0, que es la misma ecuación a la que hemos llegado por la ecuación continua de la recta. 00:58:35

Luego hemos resuelto este problema de dos maneras distintas. 00:58:50

Siguiente apartado, ecuaciones de la recta, ecuación explícita. 00:58:57

Bien, la ecuación explícita se obtiene cuando a partir de la ecuación general de la recta nosotros despejamos y 00:59:08

Y esta es nuestra ecuación general, ax más bi más c es igual a cero, y si nosotros despejamos de aquí la y, ¿no? ¿Qué obtenemos? ax más bi más c es igual a cero, ¿vale? 00:59:19

¿Cómo se despeja de ahí la y? Muy bien. Lo primero la dejamos sola. Decimos bi es igual a menos ax menos c. ¿No? Menos c. Muy bien. 00:59:36

Y ahora lo segundo que hacemos es dividir entre B. Nos queda I es igual a menos A partido por B menos C partido por B. 00:59:54

Pero a la vez sabemos que A es igual a V sub 2. Y sabemos que B es igual a menos V sub 1. 01:00:06

¿No? Entonces, ¿qué representa menos a partido por b? 01:00:18

Menos a partido por b es igual a menos v sub 2 partido por menos v sub 1. 01:00:29

Menos a partido por b es v sub 2 01:00:42

Porque a es v sub 2 01:00:46

Y b es menos v sub 1 01:00:48

Menos entre menos, más 01:00:50

Luego esto es igual a v sub 2 partido por v sub 1 01:00:52

¿Y qué era v sub 2 partido por v sub 1? 01:00:56

Esto es la pendiente de la recta que la representábamos por m 01:00:59

Y es la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal 01:01:03

Si os acordáis, cuando nosotros representábamos aquí el vector v, ese es el ángulo que forma el color horizontal, eso es v2 y esto es v1. 01:01:08

Y la tangente de alfa, que es la pendiente, es v2 partido por v1. 01:01:18

¿Vale? Luego, cuando yo represento, aquí me he comido la X, cuando yo represento o expreso la recta en su forma explícita, me queda Y es igual a menos A partido por B por X menos C partido por B, 01:01:23

yo estoy obteniendo que y es igual a m, a la pendiente de la recta, por x más n, más una constante. 01:01:45

Y esa constante, ¿qué va a ser? y es igual a mx más n, siendo n la ordenada en el origen. 01:01:55

¿Qué significa eso de la ordenada en el origen? Lo recordamos, porque eso lo habéis estudiado ya otras veces, lo cual es que a lo mejor se os ha olvidado. 01:02:19

Si yo tengo una recta, esto es n. El valor de la y cuando la x se hace 0. Si yo tengo una recta y hago x0, eso es el valor de la ordenada, el valor de la y es n. 01:02:28

¿Vale? n es el valor que toma la y cuando la x se hace 0, la ordenada en el origen 01:02:53

¿Vale? 01:03:01

Vamos a hacer el primer ejercicio que viene resuelto 01:03:04

Y que dice así, haya la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto 0, 2 01:03:09

Y tiene por vector director 5 menos 3 01:03:21

¿Vale? Pues vamos a escribir lo que nosotros sabemos 01:03:26

Nosotros sabemos que la ecuación explícita de la recta es de esta forma, y es igual a mx más n, siendo m igual a la tangente de alfa y es igual a v2 partido por v1. 01:03:29

Por lo tanto, en nuestro caso, m es igual a v sub 2, que es menos 3, partido por v sub 1, que es 5. 01:03:52

Esta es la pendiente de la recta. 01:04:04

Me faltaría la ordenada en el origen. 01:04:08

Pues yo ya sé que y es igual a menos 3 quintos de x más n. 01:04:10

¿Sí? Pero claro, ¿cómo hago n? Pues como sabemos que la recta pasa por el punto 0,2 01:04:18

Yo sé que esta ecuación de aquí va a ser cierta para todos los puntos de la recta 01:04:27

Y en concreto para el 0,2, bueno, pues sustituyo 01:04:33

Es decir, la y vale 2, 2 es igual a menos 3 quintos de x, siendo x 0 01:04:36

más n, es decir, como esto es 0, todo esto es 0, es un cerapio, n es igual a 2, por lo tanto, la ecuación que a mí me estaban pidiendo es y es igual a menos 3 quintos de x más 2, y así quedaría resuelto este ejercicio, ¿vale? 01:04:45

vamos con el siguiente apartado 01:05:13

ecuaciones de la recta, ecuaciones punto 01:05:17

antes de pasar al punto siguiente 01:05:20

vamos a hacer este ejercicio por otro método distinto 01:05:24

que es a partir de la ecuación continua de la recta 01:05:28

¿cómo se haría? 01:05:32

planteamos la ecuación continua de la recta 01:05:35

que es x-x0 partido por v1 01:05:37

x menos x sub cero partido por v sub uno es igual a y menos y sub cero partido por v sub dos 01:05:40

es decir, x menos cero porque el punto es cero dos partido por v sub uno que es cinco 01:05:48

es igual a y menos y sub cero, que es 2, partido por v sub 2, que es menos 3. 01:06:01

Y desde aquí despejamos. 01:06:11

Hacemos producto de medios igual a producto de extremos. 01:06:14

Este cero es como si no estuviera, luego me queda menos 3x, es igual a 5y menos 10, ¿vale? 01:06:16

Porque estoy multiplicando el 5 por y menos 2. 01:06:24

Menos 10. 01:06:29

Bueno, voy a hacer el paso intermedio, que sería menos 3, que multiplica a x menos 0, es igual a 5, que multiplica a y menos 2. 01:06:29

He hecho este paso por si alguien se pierde. 01:06:42

Y llegaríamos a esto, menos 3x es igual a 5y menos 10, y ahora pasamos el menos 3x sumando al otro lado. 01:06:45

Y me quedaría 3x es igual, perdón, 3x más 5y menos 10 igual a 0, ¿vale? 01:06:53

Y, ah, es que me estoy liando. 01:07:09

Esta sería la ecuación general y a mí me han pedido la explícita, ¿vale? 01:07:12

Entonces, la explícita, ¿cómo se haría? 01:07:17

Despejando la y, ¿vale? 01:07:19

Entonces quedaría 5y es igual a menos 3x más 10, porque hemos pasado el 3x y el menos 10 al otro lado, ¿vale? 01:07:21

Y ahora simplemente dividiendo entre 5 ya tendríamos la ecuación explícita, es decir, x es igual a menos 3 quintos de x más 2, ¿vale? 01:07:35

Esta es otra forma de hallar la ecuación explícita. 01:07:46

Ecuación explícita. 01:07:51

¿Vale? 01:07:58

Así lo tendríamos. 01:07:59

Esa sería otra forma de hacerlo. 01:08:00

Bien. 01:08:04

Siguiente apartado. 01:08:05

Ecuación punto pendiente. 01:08:06

Punto pendiente. 01:08:09

Bien. 01:08:16

La ecuación punto pendiente, la verdad es que no tiene mucho misterio. 01:08:17

y es muy similar a las ecuaciones que ya hemos estado viendo. 01:08:23

Es simplemente una ecuación, es una ecuación más con una forma muy similar a la ecuación explícita 01:08:29

y que se obtiene a partir de la ecuación continua de la recta de una forma muy sencilla. 01:08:39

Nosotros, bueno, antes de nada voy a exponer la ecuación punto pendiente, que es nada más y nada menos que esto. 01:08:44

y menos y sub cero es igual a m, que es la pendiente, por x menos x sub cero. 01:08:50

¿Cómo se llega a ella? Pues muy fácil, a partir de la ecuación continua, 01:08:55

que es prácticamente la ecuación a partir de la que se obtienen muchas otras, 01:08:58

es de las más fructíferas, ¿vale? 01:09:02

Y que la volvemos a recordar, x menos x sub cero es igual a y menos y sub cero partido por v sub dos. 01:09:06

¿Y qué pasa si el v sub dos lo paso multiplicando al otro lado? 01:09:14

me queda que y menos y sub cero es igual a v sub dos partido por v sub uno por x menos x sub cero. 01:09:18

Y que era v sub dos partido por v sub uno es m, es la pendiente de la recta. 01:09:32

¿Vale? Esto lo voy a borrar porque no me ha gustado como ha quedado. 01:09:46

¿Vale? Suprimir, suprimir. Eso es un 2. Eso es un 2. ¿Vale? Esto de aquí es la pendiente de la recta. Y así llegamos a que y menos y sub 0 es igual a m por x menos x sub 0, que es la ecuación punto pendiente. 01:09:54

No aporta nada más, porque es muy similar a la ecuación explícita, a la ecuación continua, ¿vale? Y se obtiene, como digo, pasando el v sub 2, que está dividiendo, multiplicando al primer lado, al lado de la izquierda, ¿vale? 01:10:17

Entonces, vamos a resolver este ejercicio que nos dan aquí 01:10:32

Y que nos dice 01:10:38

Calcula la ecuación punto pendiente de la recta de vector director V-2,5 01:10:42

Y que pasa por el punto 0,3 01:10:49

Nosotros sabemos que la ecuación punto pendiente es de esta forma 01:10:52

Y menos Y sub 0 es igual a M por X menos X sub 0 01:10:56

Es decir, nosotros podríamos muy fácilmente decir y, a ver, y menos, he puesto los colores que no son, a ver, y menos y sub cero, que es tres, y menos tres es igual a m por paréntesis x menos x sub cero, que es cero. 01:11:02

Lo voy a poner así aunque quede un poco feo, ¿vale? 01:11:31

Luego me faltaría encontrar el valor de m, pero m es igual a la tangente que forma la recta con la horizontal y es igual a v2 partido por v1, ¿vale? 01:11:34

Una vez más vuelvo a hacer el resumen, la representación gráfica, ¿vale? 01:11:48

Si ese es el vector, con sus componentes v1, que es la horizontal, y v2, que es la perpendicular, la vertical, esto es alfa, y m es igual a la tangente de alfa, que es cateto opuesto, v2, partido por v1, ¿vale? 01:11:54

Por lo tanto, m, en nuestro caso, como conocemos v, conocemos v sub 2, que es 5 partido por menos 2, ¿vale? 01:12:14

Por lo que es lo mismo, menos 5 medios, ¿vale? 01:12:26

Y por lo tanto, la ecuación punto pendiente ahora sí será y menos 3 es igual a menos 5 medios de x. 01:12:32

El 0 ya no lo pongo 01:12:41

Esa será la ecuación punto pendiente 01:12:43

¿De acuerdo? 01:12:46

¿Algo he hecho mal? 01:12:53

Pues está bien 01:12:56

Calcule la ecuación menos 2 01:12:57

A ver, está bien 01:12:59

Y menos 3 es igual a menos 5 medios de x 01:13:01

Sí, está bien 01:13:05

Lo tengo bien 01:13:06

¿Vale? 01:13:07

Está bien 01:13:07

Ahora, siguiente apartado 01:13:08

¿Qué vamos a hacer? 01:13:11

Siguiente ejercicio 01:13:13

Ejercicio 18 01:13:13

Dice, pasa de la ecuación explícita y igual a 3x menos 2 a la ecuación vectorial, extrayendo dos puntos, extrayendo un vector director y un punto. 01:13:14

Bien, vamos a hacer ahora el ejercicio número 18, que dice, pasa de la ecuación explícita y igual a 3x menos 2 a la ecuación vectorial. 01:13:28

Y nos piden que lo hagamos de dos maneras. Una, extrayendo dos puntos, y otra, extrayendo un vector director y un punto. 01:13:37

Vamos a comenzar escribiendo la ecuación vectorial. 01:13:46

La ecuación vectorial es la que nos dice que x y las coordenadas x y generales de la recta son iguales a x sub 0 y sub 0, 01:13:51

es decir, las coordenadas de un punto, más lambda por el vector director, que es v sub 1, v sub 2, ¿de acuerdo? 01:14:02

Aquí no tenemos directamente ningún punto, pero los podemos obtener, porque nosotros tenemos que tener muy claro 01:14:12

que si nosotros tenemos una recta y sabemos su ecuación, esta en concreto y es igual a 3x menos 2, 01:14:21

que no sería así, por cierto, no sería así, la vamos a representar bien. 01:14:32

Esta recta, ¿cómo sería más o menos? 01:14:39

Si yo hago la x cero, la y va a valer menos dos, ¿no? 01:14:41

La ordenada en el origen es menos dos, y la pendiente es tres, 01:14:44

es decir, que cuando la x vale uno, esto sube tres, o sea, esto tiene que subir tres. 01:14:48

¿Vale? Esto, la pendiente es 3. Luego el cateto opuesto es 3 para 1. Esto va a subir así, más o menos. Es decir, esta sube bastante. Es bastante vertical. Esta es la recta Y igual a 3X aproximadamente dibujada. No está muy exacta. 01:14:58

Es decir, que yo, si doy puntos, yo doy valores a las x, voy a obtener distintas y. 01:15:20

Entonces, ¿qué valor queremos dar a la x? Por ejemplo, ¿x igual a 0? 01:15:27

Pues para x igual a 0, y vale menos 2. 01:15:31

Luego yo ya tengo un punto, el punto 0 menos 2, ¿vale? 01:15:37

Que sería ese de ahí, ese punto de ahí. 01:15:42

¿Sí? 01:15:47

Bien, luego yo ya tengo x sub 0 y sub 0, ¿qué me faltaría? El vector director, pero el vector director como tal no lo tengo, yo lo que tengo es la pendiente que es 3, ¿vale? 01:15:50

Porque yo sé que cuando yo tengo la ecuación explícita, el coeficiente que multiplica a la x es la m, ¿vale? 01:16:04

Luego m es igual a 3 y sabemos que eso es igual a v2 partido por v1. 01:16:14

Y como a mí me vale cualquier vector director, yo puedo coger, por ejemplo, el vector v que tiene de componente horizontal 1 01:16:21

y de componente vertical, v sub 2, ¿vale? 01:16:30

Entonces, este vector me valdría, voy a hallar v sub 2, que sería igual a, 01:16:35

es decir, yo sé que 3 es igual a v sub 2 partido por v sub 1, 01:16:43

pero como yo he hecho v sub 1, 1, yo voy a tener que v sub 2 es igual a 3, ¿vale? 01:16:48

Es decir, mi vector va a ser v es igual al vector 1, 3, ¿vale? Porque a mí me vale cualquier vector director que sea paralelo al 1, 3. Es decir, me vale este o cualquier otro. 01:16:56

Entonces yo he decidido coger el vector que tiene v sub 1 igual a 1. 01:17:13

Podría haber cogido 2, 3, 4, 5, cualquier valor, pero me resulta cómodo hacer v sub 1, 1, porque es el que está en el denominador. 01:17:20

Si hubiéramos cogido 2, v sub 2 tendría que haber sido 2 por 3, 6, pero este me vale. 01:17:30

Entonces yo ya sé un punto que es el 0 menos 2 y sé el vector director. Luego la ecuación vectorial va a ser x y es igual a x sub 0 y sub 0 que es 0 menos 2 más lambda por el vector que es 1, 3. 01:17:37

Entonces esa sería la ecuación vectorial de la recta, ¿de acuerdo? Bien, lo que pasa es que este sería el apartado B, porque lo hemos hecho obteniendo un vector director y un punto, ¿vale? 01:18:03

Y a nosotros nos lo estaban pidiendo como extrayendo dos puntos. Pues vamos a hacerlo extrayendo dos puntos, ¿vale? Entonces, yo ya tengo el punto, uno de los puntos es el 0 menos 2, ¿vale? Luego, mi punto P va a ser 0 menos 2. Voy a aprovechar lo que hemos hecho antes. 01:18:18

Y ahora voy a sacar otro punto, por ejemplo, haciendo la x igual a 1. x igual a 1 implica que y es igual a qué? A 3 por 1 menos 2. 3 por 1 menos 2, que esto es 3 menos 2, 1. 01:18:39

Luego, esa recta pasa por el punto Q, que lo vamos a llamar Q1, 1. 01:19:02

Luego yo ya tengo dos puntos. 01:19:08

¿Cuál será el vector director? 01:19:11

V será el vector PQ, PQ, o QP, el que prefiramos, pero ya sé que lo ponemos como PQ. 01:19:14

Vamos a poner coordenadas del extremo, que son el punto Q, menos coordenadas del origen, que es 0, menos 2. 01:19:22

Lo que es lo mismo, 1 menos 0, 1. 1 menos menos 2 es 1 más 2, 3. ¿Vale? Veis que obtengo el mismo vector director. ¿Vale? Luego, ya estaría, porque yo ahora escribiría las ecuaciones, la ecuación vectorial de la recta como x, y es igual a el punto P, las coordenadas del punto P, podría también coger las de Q, si quisiéramos. ¿Vale? 01:19:31

Es decir, 0 menos 2 más lambda 1, 3. Ya lo tendríamos hecho, ¿vale? Y habríamos llegado al mismo resultado, pero dando dos puntos, ¿vale? Esta sería haciéndolo por el punto, por dos puntos, por el procedimiento A que nos pedían, ¿vale? 01:19:59

Bien, ahora, ¿qué más nos están pidiendo? El siguiente apartado. ¿Qué nos dice? Apartado 19. Vamos a hacerlo aquí debajo. Voy a desplazar esto aquí, que hoy lo he dejado muy pegado. Vamos a llevarlo ahí. 01:20:21

Y este es el ejercicio 18. Y ahora vamos a hacer el ejercicio 19. Aquí debajo. Dice 19. Transforma la ecuación dada a la ecuación que se requiere en el menor número de pasos posible. 01:20:50

Bueno, eso de dar el menor número de pasos posible es un poco complicado. Entonces, me dan aquí una ecuación continua y me están pidiendo que la pase a la ecuación vectorial, ¿vale? Esta ya está expresada en forma continua, porque si os acordáis, la ecuación continua es x menos x sub 0 partido por v sub 1 es igual a y menos y sub 0 partido por v sub 2, ¿vale? 01:21:13

Y a mí los datos que me están dando son x menos 5 partido por 2 es igual, y lo voy a escribir de esta manera, y, para que lo veáis más claro, y, en vez de poner y más 1 voy a poner y menos menos 1 partido por 1. 01:21:40

Le voy a poner denominador que no lo traía. De tal manera que así se ve claramente que el punto x sub 0 y sub 0 es el punto 5 menos 1. ¿Lo veis? 01:21:59

Entonces, x menos x sub 0 es x menos 5. Por lo tanto, x sub 0 es 5. Y menos menos 1 es y menos y sub 0. Luego, y sub 0 es menos 1. Y esto es v sub 1 y esto es v sub 2. Luego, v es igual al vector 2, 1. 01:22:16

Y por lo tanto, la ecuación vectorial va a ser, las coordenadas del punto general de la recta es xy va a ser igual a 5, menos 1, más lambda, 2, 1. 01:22:38

Cuando lambda pertenece a los reales. 01:23:01

Esa sería la solución del apartado A. 01:23:06

Bien, vamos con el apartado B, que dice 3x menos 5y igual a 2 a paramétricas, ¿vale? ¿Cuáles son las paramétricas? Las paramétricas son estas, x es igual a x sub 0 más lambda v sub 1, e y es igual a y sub 0 más lambda v sub 2, ¿vale? 01:23:09

Y nosotros, ¿qué es lo que tenemos? 3x menos 5y, nosotros tenemos 3x menos 5y igual a 2. Por lo tanto, nosotros podemos sacar todos los puntos que nosotros queramos dando valores a la x y obteniendo la y, despejando la y. 01:23:37

O al revés, si quisiéramos, ¿vale? Pero normalmente la x es en el que se le da la variable independiente, ¿no? 01:24:02

Bien, pues ¿qué valor damos a x? Podemos hacer x cero, ¿no? 01:24:12

Entonces, x igual a 0 implica que 3 por 0 menos 5y es igual a 2. 01:24:17

Por lo que es lo mismo, 5Y es igual a 2. Por lo que es lo mismo, Y es igual a 2 quintos. ¿Sí? ¿De acuerdo? 01:24:34

Luego habríamos obtenido el punto P, P, 0, 2 quintos, 0, 2 quintos. 01:24:50

Y habríamos obtenido un punto para tener mi X sub 0 y mi Y sub 0. 01:25:06

¿Y qué me faltaría? V sub 1 y V sub 2. 01:25:15

pero yo sé que cuando yo tengo la ecuación general de la recta 01:25:18

la voy a escribir aquí pasando el menos 2 al otro lado 01:25:22

el 2 a la izquierda, aunque no es necesario 01:25:26

3 sería A 01:25:28

pero sabemos que el coeficiente de la X es V sub 2 01:25:30

y sabemos que el coeficiente de la Y es menos V sub 1 01:25:36

Por lo tanto, el vector v va a ser igual a, si menos v sub 1 es menos 5, es porque v sub 1 es 5 y v sub 2 es igual a 3. 01:25:44

Luego el vector es el vector 5, 3. Y ya podemos de aquí expresar las coordenadas paramétricas de esta manera. 01:26:01

x es igual a x sub 0, que hemos obtenido, que es 0, más 5 lambda. 01:26:11

En vez de lambda o v sub 1, ponemos v sub 1 lambda, porque queda más bonito, 5 lambda. 01:26:22

Y la coordenada I sería igual a I sub cero, que es dos quintos, dos quintos, más lambda V sub dos, o mejor dicho, V sub dos lambda, que es tres lambda, ¿vale? 01:26:28

Cuando lambda, lambda pertenece a los reales, ¿vale? 01:26:47

Estas serían las ecuaciones paramétricas 01:26:57

Si hubiéramos cogido otro punto, pues nos hubiera variado x sub 0 y sub 0 01:27:00

Podríamos haber tenido unos valores distintos aquí 01:27:06

Ahora me están pidiendo, por último, que exprese en el apartado c 01:27:09

Y igual a 4x menos 1 como ecuación continua 01:27:17

¿Cuál era la ecuación continua? x menos x sub cero partido por v sub uno es igual a y menos y sub cero partido por v sub dos. 01:27:27

¿Vale? ¿Conozco x sub cero y sub cero de aquí? No, pero los puedo hallar. 01:27:42

¿Y V1, V2? Pues tampoco directamente, porque cuando yo tengo la ecuación explícita de la recta, yo lo que conozco es la pendiente, ¿vale? M es la pendiente y N es la ordenada en el origen. 01:27:50

Luego yo sé que m es igual a 4, ¿vale? Porque esta es la ecuación explícita de la recta. 01:28:09

¿Y 4 qué era? Era la componente vertical del vector v partido por la componente horizontal v2 partido por v1, ¿vale? 01:28:19

Como a mí me vale cualquier vector del tamaño que sea, como hemos dicho otras veces, voy a coger el vector que tiene de componente horizontal un 1 y la v2 la voy a calcular, ¿vale? 01:28:34

Me podría valer cualquier otro vector, pero yo voy a coger ese porque me resulta común. 01:28:47

Entonces, si v sub 1 es 1, como el cociente de v sub 2 entre v sub 1 es 4, 01:28:53

eso quiere decir que v sub 2 es igual a 4. 01:28:59

Luego, v va a ser el vector 1, 4. 01:29:06

Ya voy a tener v sub 1 y v sub 2, me faltaría x sub 0 y sub 0 01:29:14

Vale, pues voy a dar un valor en la ecuación explícita que yo tengo 01:29:20

Que es y igual a 4x menos 1 01:29:27

Voy a dar por ejemplo el punto, voy a hacer a la x 0 01:29:29

x igual a 0 implica que y es igual a menos 1 01:29:33

¿Vale? Bien, por lo tanto mi punto va a ser el punto P, 0, menos 1 01:29:41

Y por lo tanto la ecuación continua va a ser igual a X menos X sub 0, que es 0 01:29:49

Partido por V sub 1, que es 1 01:29:57

Es igual a Y menos Y sub 0, que es menos 1 01:29:59

Luego menos menos 1 se hace más 1, partido por V sub 2 01:30:05

Y v sub 2 vale 4. 01:30:10

Luego esta sería la ecuación continua que me están pidiendo. 01:30:14

¿Vale? 01:30:21

Bien. 01:30:22

Siguiente apartado. 01:30:24

Posiciones relativas entre dos rectas. 01:30:25

Voy a... me está quedando esto bastante sucio, pero bueno. 01:30:28

Lo voy a poner ahí. 01:30:39

Ah, había un ejercicio más, que es el 20, que dice 01:30:47

Calcula la ecuación punto pendiente de las siguientes rectas 01:30:52

La recta que pasa por los puntos A y B 01:30:56

Es decir, me dan dos puntos, ¿no? 01:31:04

Bien, pues vamos a empezar 01:31:07

La ecuación punto pendiente 01:31:08

¿Cómo era la ecuación punto pendiente? 01:31:11

La ecuación punto pendiente es 01:31:14

Lo voy a poner aquí 01:31:16

Y 01:31:20

Bueno, voy a empezar explicando de dónde viene 01:31:21

Viene de la ecuación continua 01:31:27

Me remonto a la ecuación continua porque es la que mejor nos debemos saber 01:31:28

O una de las que mejor nos debemos saber 01:31:33

x menos x sub 0 partido por y sub 1 es igual a y menos y sub 0 partido por v sub 2 01:31:35

Si aquí yo paso el v sub 2 multiplicando al otro lado 01:31:42

Ya tengo la ecuación punto pendiente 01:31:46

que es y menos y sub cero es igual a v sub dos partido por v sub uno que multiplica a x menos x sub cero. 01:31:49

Pero nosotros sabemos que v sub dos partido por v sub uno es m, 01:32:02

luego la ecuación punto dependiente es y menos y sub cero es igual a m por x menos x sub cero. 01:32:06

Esta es la ecuación punto dependiente. 01:32:15

Esta es la que a mí me están pidiendo 01:32:27

Una ecuación que pasa y ahora me dan dos puntos 01:32:32

En el apartado A me dan el punto A y el punto B 01:32:35

Luego, x sub cero y sub cero, yo lo conozco 01:32:39

Lo que no conozco es la pendiente 01:32:41

Bueno, pero yo puedo hallar el vector director 01:32:44

Y una vez conocido el vector director puedo hallar la pendiente 01:32:46

Entonces yo voy a decir, el vector AB 01:32:52

es igual a las coordenadas del extremo, que son 2, 3, menos las coordenadas del origen, que es menos 1, 5, ¿no? 01:32:55

Bien, y eso es lo que es igual, eso es 2 menos menos 1 es 2 más 1, que es 3. 01:33:13

2 menos menos 1 es 2 más 1, que es 3 01:33:21

Y 3 menos 5 es menos 2 01:33:24

Ese es mi vector v 01:33:27

¿Vale? Este es el vector v 01:33:29

Por lo tanto, ¿cuánto va a valer m? 01:33:31

m, como sabemos, es v sub 2 partido por v sub 1 01:33:35

Por lo tanto, es menos 2 partido entre 3 01:33:40

¿Vale? 01:33:45

Entonces yo ya puedo hacer fácilmente 01:33:47

La ecuación 01:33:50

Punto pendiente 01:33:52

Y menos Y sub 0 01:33:54

¿Qué punto cogemos? 01:33:55

Vamos a coger el punto A 01:33:58

Porque es el primero que aparece 01:33:59

Por lo tanto 01:34:02

Mi Y sub 0 va a ser 5 01:34:02

Y menos 5 01:34:06

Es igual a M 01:34:07

Que hemos dicho que es menos 2 tercios 01:34:09

Que multiplica a X 01:34:12

Perdón 01:34:14

Si me he movido esto 01:34:16

a x menos x sub cero. ¿Y quién es x sub cero? Menos uno. Por lo tanto, menos menos uno es más uno. ¿Vale? 01:34:18

Esta sería la ecuación punto pendiente que me están pidiendo. ¿Vale? Apartado b. 01:34:27

Haya la ecuación punto pendiente de la recta que tiene como vector director u y pasa por p3,1. 01:34:37

Bueno, pues más fácil, porque aquí es como en el anterior, pero no tengo que hallar el vector, porque ya me lo están dando. 01:34:44

En vez de llamarlo v, lo llaman u, que es menos 2, 7. 01:34:49

Y el punto p es el punto p, 3, menos 1. 01:34:56

Es decir, esto es igual a x sub 0, y sub 0. 01:35:05

Y conociendo el vector, ¿yo cómo puedo hallar la pendiente? 01:35:09

La pendiente es v sub 2, perdón, como aquí me lo llaman u, lo voy a llamar u sub 2 partido por u sub 1 01:35:16

Porque me ha llamado al vector como u, ¿vale? 01:35:24

Y esto es igual a 7 partido por menos 2, ¿sí? 01:35:27

Bien, pues vamos a sustituir en la ecuación punto pendiente 01:35:33

Y digo y menos y sub cero, ¿quién es y sub cero? Menos uno. Luego menos menos uno se hace más uno. Y más uno es igual a menos siete medios que multiplica a, perdón, menos siete medios que multiplica a x menos x sub cero. 01:35:37

¿Y quién es x sub 0? 3. Luego x menos 3. Y esta sería ya la ecuación punto pendiente del apartado B. ¿Vale? Y ahora tengo que hallar la ecuación punto pendiente del apartado C en el que me dan la recta S a través de su ecuación general. 01:35:57

3x menos 2y más 1 es igual a 0 01:36:17

¿Qué sabemos cuando nos dan la ecuación general de una recta? 01:36:24

¿Qué es lo que sabemos? 01:36:31

Que el coeficiente de la x es v2 y que el coeficiente de la y es menos v1 01:36:31

Por lo tanto, v1 es igual a qué? A 2 y v2 es igual a 3, ¿vale? 01:36:42

Porque menos 2 es menos v1, luego v1 es 2 y v2 es 3. 01:36:55

Por lo tanto, m, que es igual a v sub 2 partido por v sub 1, es igual a 3 dividido entre 2, ¿vale? Punto y coma. 01:37:02

Y ahora ya sustituyo en la ecuación continua, para hallar la ecuación continua de la recta, ¿vale? 01:37:19

La ecuación punto pendiente, que es la que me están pidiendo, y menos y sub 0, ah, y sub 0 no lo he hallado, perdón, x sub 0 y sub 0 no lo he hallado. 01:37:26

Tengo que hallar un punto de esta recta. ¿Cómo lo hallo? Pues dando valores, como siempre. 01:37:34

Entonces vamos a dar aquí, por ejemplo, el valor 1, yo creo. 01:37:42

X igual a 1 implica que 3 por 1 en la recta R menos 2Y más 1 es igual a 0. 01:37:49

Por lo que es lo mismo que 2y es igual a 4 y que y es igual a 2, ¿vale? Por lo tanto, mi punto x sub 0 y sub 0 es igual al punto que 1, 2. 01:38:08

Y ahora ya sí que puedo, ya tengo la pendiente, que es tres medios y un punto, por lo tanto, la ecuación punto pendiente va a quedar y menos y sub cero, que es dos, y menos y sub cero es y menos dos, es igual a m, que es tres medios, por x menos x sub cero, que es uno. 01:38:29

Esa sería la ecuación punto pendiente. 01:38:54

¿Vale? 01:38:58

Bien. 01:39:00

apartado 6, posiciones relativas de dos rectas. 01:39:00

Vamos con ello, lo voy a cuadrar un poco... 01:39:10