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Distancia de un punto a una recta en el plano - Contenido educativo

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Subido el 19 de febrero de 2024 por Paula P.

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Demostración de la expresión para calcular la distancia de un punto a una recta en el plano.
¡Atención! Hay un signo No correcto al hallar x por reducción.

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Vamos a demostrar la fórmula que nos da la distancia de un punto genérico en el plano a una recta genérica en el plano. 00:00:02
Para ello, aquí tenemos definida la recta R en el plano, cuya ecuación implícita es genérica x más bi más c igual a cero, 00:00:10
y un punto genérico en el plano, cuyas coordenadas son la b. 00:00:20
¿Cómo definimos la distancia de este punto a esta recta? 00:00:24
Bueno, pues la distancia de este punto a esta recta es el camino más corto entre P y R 00:00:27
¿Cuál es dicho camino más corto? 00:00:33
Pues es el segmento perpendicular a la recta R que pasa por P 00:00:36
¿Cómo calculamos este segmento? ¿Qué estrategia seguimos? 00:00:41
Bueno, pues parece natural que lo primero que tendríamos que hacer es 00:00:45
calcular la ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a R 00:00:48
¿Vale? Esta recta que vamos a llamar S 00:00:53
Y luego, esto ya nos define el otro extremo del segmento que buscamos, que sería Q, este punto Q de corte entre dicha recta y la recta R, ¿no? Aquí lo tenemos, vemos P y Q, y la recta S que es perpendicular a R, ¿vale? Perfecto. 00:00:56
Y entonces, ahora, ¿cómo calculamos la distancia? Pues, una manera fácil sería, calculamos el vector que va de Q a P, y el módulo dicho vector coincidirá con la distancia del punto a la recta, ¿no? 00:01:18
Pues, hacemos eso, calculamos el vector QP, que tenemos aquí, y su módulo será la distancia de la recta al punto. 00:01:36
Bueno, pues ya tenemos estrategia, vamos a ir siguiendo los pasos. 00:01:46
Siguiente, primera cosa. 00:01:50
Bueno, hallamos la recta S está verde 00:01:52
y sabemos que un vector normal a la recta R 00:01:55
se vendrá dado por las componentes AB. 00:02:00
Esta es la ecuación implícita. 00:02:05
Por tanto, como S tiene que ser perpendicular a R, 00:02:07
su vector normal también será perpendicular al vector normal de R. 00:02:11
Por tanto, ns, un vector normal a s, viene dado, por ejemplo, por las coordenadas b menos a. 00:02:15
Este vector es normal a la recta s. 00:02:25
Por tanto, podemos escribir ya sus primeros dos coeficientes de la ecuación implícita. 00:02:29
BX menos AI y C' lo dejamos aún como incógnita, pero C' si imponemos que el punto P esté en S, 00:02:37
vendrá dado por menos BA más AB, como podemos ver aquí. 00:02:47
C' debe imponer que el punto P pertenezca a la recta S. 00:02:52
Muy bien, pues ahora ya podemos pasar al punto 2, que es hallar el punto de corte Q 00:02:58
entre S y R 00:03:05
esto equivale a resolver el sistema de ecuaciones lineales 00:03:08
de las dos rectas que son por construcción secantes 00:03:12
pues vamos a ver 00:03:16
resolvemos este sistema 00:03:19
y para resolver este sistema 00:03:21
a mí me ha resultado cómodo 00:03:23
hacer reducción dos veces 00:03:26
uno para reducir la Y y calcular la X 00:03:27
y otro para calcular la y y reducir la x. 00:03:32
Entonces, la primera cosa es calcular x 00:03:36
y para ello he multiplicado por a la primera ecuación 00:03:41
y por b la segunda ecuación y las he sumado. 00:03:45
Nos queda a cuadrado x más ab por i más c por a igual a cero 00:03:49
y b cuadrado x menos a por b por i más c prima por b igual a cero. 00:03:54
Las sumamos y luego sustituimos el valor este que tenemos de c' para obtener x. 00:04:01
Y bueno, pues esta es x, la rodeamos. 00:04:10
Y ahora para calcular y en vez de sustituir el resultado de x, lo que he hecho es volver a aplicar reducción. 00:04:18
Entonces vamos un poquito aquí para abajo. 00:04:28
Ahí está. 00:04:29
Entonces, multiplicamos por b la primera ecuación y por a la segunda 00:04:34
Y las restamos y así nos quitamos la x 00:04:42
Entonces nos queda una ecuación similar a la que teníamos para x y para y 00:04:45
Despejamos, sustituimos el valor de g' y obtenemos esta cantidad 00:04:49
¿Vale? Entonces, este punto es el punto q 00:04:55
Que simplemente he cogido el resultado de x y el resultado de y 00:05:01
Ahora tenemos que hallar QP 00:05:07
Hemos dicho que la llamamos QP 00:05:18
Para ello, pues bueno, ya tenemos las coordenadas de Q 00:05:22
Tenemos las de P que son a B 00:05:26
Pues calculamos, álgebra 00:05:28
Tenemos A menos la primera componente de Q, B menos la segunda componente de Q. 00:05:31
Operamos reduciendo como un denominador y aquí vemos que hay términos que se nos cancelan, 00:05:39
tipo este B cuadrado por A y B cuadrado por A, y aquí tenemos A cuadrado por B y A cuadrado por B se cancelan, ¿no? 00:05:49
Y luego, si siguiéramos, tendríamos que aquí A está multiplicando a todos los sumandos, por tanto, podemos sacar factor común, ¿no? 00:05:58
Entonces me queda a por a más c más b mayúscula, b minúscula por a entre a cuadrado más b cuadrado y en el otro igual b, está multiplicando a todos los sumandos, por tanto podemos sacar factor común. 00:06:13
Entonces me queda b por b más c más a por a igual a, o sea, por b, perdón, voy a poner aquí, por entre a cuadrado más b cuadrado. 00:06:41
Y vemos que este factor que tenemos aquí delante multiplicando es exactamente igual a este de aquí. 00:07:04
Perdonad que a lo mejor con la cruz es mejor. 00:07:11
Esto de aquí es igual a esto de aquí. 00:07:14
Por tanto, podremos sacar factor común todo hacia afuera, ¿no? 00:07:16
Bueno, pues eso es lo que hemos hecho. 00:07:20
Y es como queda. 00:07:23
Uy, queda un poco. 00:07:24
Lo bajo un poco, ahí. 00:07:26
Este es el punto, o sea, el vector que va de Q a P. 00:07:28
Y ahora ya solo nos queda hallar su módulo. 00:07:33
Bueno, pues vamos a hallar su módulo. 00:07:37
hallamos, y su módulo nos da ya la distancia de R a P 00:07:39
pero su módulo, ¿qué le pasa? que todo este factor que está adelante 00:07:43
lo podemos sacar fuera, con la única salvedad 00:07:47
de que nos tenemos que acordar que aquí tenemos que poner el valor absoluto 00:07:52
porque A por A más B por B más C puede ser una cantidad negativa 00:07:56
y realmente si sacamos el módulo, esto viene de 00:07:59
hacer la raíz cuadrada de esto al cuadrado entre esto al cuadrado 00:08:03
que nos lo vamos a sacar de la raíz cuadrada, pero no podemos olvidar quedarnos con el valor absoluto. 00:08:08
Por tanto, vamos, voy a poner aquí, ahí, el módulo de Q a P, que en definitiva va a ser la distancia 00:08:16
generado por, aquí ya ponemos el valor absoluto, espero haberos convencido, 00:08:25
si no, lo hacéis entero y os saldrá, y abajo también sale a al cuadrado, aquí no hace falta a al cuadrado más b al cuadrado, 00:08:34
no tengo que poner el valor absoluto porque esta cantidad es siempre positiva, además nunca se va a anular, 00:08:43
porque si tenemos que bien en a y b de la ecuación de una recta, uno de los dos ha de ser no nulo, 00:08:50
Y luego ya si quedemos la raíz cuadrada de las componentes al cuadrado aquí 00:08:57
Y este sería el módulo 00:09:04
Pero podemos poner la raíz cuadrada de a cuadrado más b cuadrado entre a cuadrado más b cuadrado es 1 partido de la raíz cuadrada 00:09:07
Entonces esta es la fórmula que nos queda al final 00:09:15
Tendría que, a ver 00:09:22
Bueno, esta es la fórmula 00:09:29
Queda un poco encima, pero bueno, lo siento ya 00:09:30
Esta es la fórmula 00:09:33
Que queda al final 00:09:35
Voy a ir al layer anterior 00:09:36
Y ya me lo 00:09:39
Lo selecciono 00:09:44
Me lo bajo un poquito 00:09:46
Vale 00:09:47
Entonces la distancia vendrá dada al final 00:09:48
Por esto, que es la ecuación 00:09:52
que estábamos buscando. Pues muchas gracias y aquí ya terminamos. 00:09:53
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
Paula Pérez
Subido por:
Paula P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
12
Fecha:
19 de febrero de 2024 - 11:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ LUIS SAMPEDRO
Duración:
10′
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
190.46 MBytes

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