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V0401 Topología: Teoría desigualdades e intervalos. - Contenido educativo

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Subido el 13 de noviembre de 2018 por Pablo De A.

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Teoría de desigualdades, valor absoluto e intervalos.

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Hola chicos, voy a 00:00:00
danzar el tema 4 de topología de la recta real 00:00:03
y vamos a ver rápidamente 00:00:09
un poco de teoría. 00:00:11
Realmente tampoco es muy complicada 00:00:15
la teoría, son tres conceptos 00:00:18
y luego lo que haremos serán ejercicios fundamentalmente 00:00:21
de valores absolutos y de desigualdades. 00:00:24
Vamos a hablar de tres cosas. 00:00:27
La primera es las relaciones de orden. Es decir, si yo en la recta real, si yo en los números reales digo que A es menor que B, significa que si este es el 0, por ejemplo, y aquí está el número A y aquí está el número B, significa que A es menor que B, significa que A está más a la izquierda que B. 00:00:28
Bien, este tipo de orden es una de las propiedades fundamentales de los números reales. 00:00:53
Entonces, aquí tengo lo que se dice una relación del orden. 00:01:03
Entonces, yo respecto a dos números, A y B, cualesquiera, A y B que pertenecen al conjunto de los números reales. 00:01:13
Puede ser un número positivo, puede ser un número negativo, puede ser una fracción, puede ser un número irracional. 00:01:24
Por ejemplo, un número irracional es raíz de 2, puede ser raíz de 5, puede ser número pi. 00:01:33
Respecto a cualquier número de dos números, A y B, que pertenecen al conjunto de los números reales, siempre que A y B sean distintos, 00:01:38
solo pueden ocurrir dos cosas, que A sea menor que B o que B sea menor que A. 00:01:48
La otra opción sería, entre medias, que A fuera igual a B. Pero esto ya lo hemos excluido. Es decir, A y B son dos números distintos y o uno es el pequeño o el otro es el pequeño. Esa es la primera propiedad de las desigualdades o del orden, digamos. 00:01:55
La segunda propiedad es la propiedad transitiva, que significa que si A es menor que un número B y B es menor que un número C, pues esto significa que A es menor que C. 00:02:17
Vamos a poner unos números. Imaginaos que a es igual a 3, que b es igual a 5 y que c es igual a 7. 3 es menor que 5 y a su vez 5 es menor que 7 y se cumple también que 3 es menor que 7. 00:02:39
Esta es la que se llama la tricotomía. 00:03:03
No hace falta que os aprendáis esto ni mucho menos. 00:03:07
Pero, quedaos con esta segunda propiedad. 00:03:10
La primera propiedad es que un número o es mayor o es menor que otro. 00:03:12
La segunda es que sí, hay un número que es menor que otro. 00:03:16
Y a su vez ese es también menor que otro. 00:03:21
Entonces el primero es menor que el tercero. 00:03:24
La tercera propiedad del orden es que si A es menor que B. 00:03:26
Y yo tengo un número C que pertenece al conjunto de los números reales, independientemente de que C sea positivo o negativo. 00:03:39
Entonces, si yo se lo sumo a A y se lo sumo a B, la relación de orden no varía. 00:03:55
Fijaos, vamos a utilizar el mismo ejemplo. 00:04:03
A es menor que B. 3 es menor que 5. 00:04:05
Voy a sumarle 7 a los dos lados. 00:04:08
¿Qué me queda? Que 10 es menor que 12. 00:04:11
Bien, esto se llama... 00:04:15
Esto no tiene ningún nombre. 00:04:17
Perdonadme. 00:04:22
¿Cuál sería la cuarta propiedad? 00:04:23
La cuarta propiedad y la quinta propiedad son las que realmente son importantes para nosotros. 00:04:25
La cuarta propiedad es la que está relacionada con el producto de dos números. 00:04:31
A es menor que B y define un número C que pertenece al conjunto positivo de los números reales. 00:04:36
Cuando digo positivo, perdonadme porque es que estoy... 00:04:45
Vosotros no lo veis, pero estoy viendo un iPad que tengo alguno. 00:04:48
Si C pertenece al conjunto de los números reales positivos, 00:04:53
entonces se cumple que A por C es menor que B por C. 00:04:58
Vamos a poner otra vez números. 00:05:04
3 es menor que 5. 7 es un número positivo, entonces 3 por 7 es menor que 5 por 7. Me 00:05:05
sale que 21 es menor que 35. ¿Y esto es verdad? Bien, quinta propiedad. Esta es la propiedad, 00:05:17
digamos, que tiene más enjumbia, es la más complicada. Significa que si A es menor que 00:05:25
b y c pertenece al conjunto de los números reales, pero a los negativos, entonces a por 00:05:33
c es mayor que b por c. Fijaos que cambia. Fijaos que en vez de c voy a poner, igual 00:05:41
a 7 voy a poner c igual a menos 7. Teníamos que 3 es menor que 5. Vale, y voy a poner 00:05:50
3 por menos 7, no voy a poner el signo todavía, y voy a poner 5 por menos 7, ¿vale? Y aquí 00:05:55
no sé qué tipo de relación tengo, pues venga, voy a escribir menos 21 y menos 35. ¿Cuál 00:06:04
es el número que es más grande? Menos 21 es más grande que menos 25. Acordaos, el 00:06:12
que está más a la... a es menor que b, si a está más a la izquierda, menos 35 está 00:06:19
bastante más a la izquierda que menos 21, el 0 está por aquí. Por tanto, la relación 00:06:28
de orden cambia. Fijaos, aquí tengo esto, un menor, y aquí tengo un mayor. Entonces, 00:06:35
Cuando estoy manejando desigualdades, por ejemplo, 3x al cuadrado más 3 es menor que 2. 00:06:45
Si yo multiplico todo en este lado y en este lado por un número negativo, ¿qué tendría que hacer? 00:06:54
Pues multiplico por menos 1, por ejemplo. 00:06:59
Esto sería lo mismo que cambiar a este lado y otro cambiarlo al otro lado. 00:07:06
Pero este, digamos, esta consecuencia de multiplicar por un número negativo es lo que hace que las desigualdades tengan algún truco que otro. 00:07:09
Bien, hemos hablado de las propiedades de las desigualdades y ahora vamos a hablar de lo que son los intervalos. 00:07:29
Bien, ¿qué es un intervalo? Si yo defino un intervalo AB, el intervalo AB, si A y B pertenecen al conjunto de los números reales, es el conjunto de todos los números que pertenecen al conjunto de los números reales, 00:07:38
tales que x es mayor que a y x es menor que b, estrictamente. 00:08:04
Cuando digo estrictamente es que no es menor o igual o menor o igual. 00:08:14
Es decir, x pertenece al intervalo a, b si se cumple esta condición. 00:08:17
Tengo varios tipos de intervalos. 00:08:25
Este intervalo que he dibujado aquí es un intervalo abierto. 00:08:28
Fijaos que aquí hay un paréntesis. 00:08:32
¿Qué ocurre si tengo aquí este intervalo de aquí? Pues que cuando tengo un corchete la relación con respecto a A se convierte en un mayor o igual o menor o igual en el caso de que fuera el valor de la derecha. 00:08:34
Entonces sería x estrictamente mayor o igual que a y x es menor que b. Para que x pertenezca al intervalo a, b, tendría que ocurrir esto. 00:08:49
Es decir, si los dos valores con los que defino, o si el valor, perdón, con el que defino uno de los extremos del intervalo está incluido, entonces es cerrado por ese lado. 00:09:05
Si a y b, por ejemplo, pertenecen al intervalo, es decir, si tengo un intervalo cerrado por los dos lados, esto se hace así. x pertenece a b siempre que se cumpla que x es mayor o igual que a y x es menor o igual que b. 00:09:17
Hay una cosa importante que no he dicho antes, que es que a siempre es menor que b. 00:09:38
Esta es la condición para que yo pueda definir un intervalo. 00:09:44
Es decir, el número que me queda a la izquierda siempre es el más pequeño con respecto al segundo. 00:09:48
Por ejemplo, 1, 3. 00:09:53
¿2 pertenece a 1, 3? Sí. 00:09:56
Esta sería la pregunta, ¿no? 00:10:01
Pues sí, porque x es mayor o igual que, perdón, es mayor que 1 y x también es mayor que 3, perdón, es menor que 3. 00:10:03
x sería 2, es mayor que 1, sí, se cumple. x es menor que 3, 2 es menor que 3, sí, se cumple. 00:10:17
Entonces puede decir que 2 pertenece al intervalo. 00:10:26
Si el intervalo, por ejemplo, fuera el 1, 3, digo, 1 pertenece al intervalo, esta sería mi pregunta. 00:10:29
Pues entonces, pongo lo mismo, x es mayor o igual que 1, x es menor que 3. 00:10:42
Y ahora sustituyo el valor de x con el valor que quiero averiguar. 00:10:48
¿1 es mayor o igual que 1? 00:10:52
Sí. 00:10:54
¿1 es menor que 3? 00:10:56
También. 00:10:58
Bien, entonces 1 pertenece al 1, 3. 00:10:59
fijaos que aquí pertenece al intervalo porque este intervalo es cerrado, es decir, incluye a 1 también, ¿vale? 00:11:03
Y luego hay otro tipo de intervalos que son, por ejemplo, estos que tengo aquí, por ejemplo, el más 2, pongo el más 2 porque quiero, ¿vale? 00:11:08
Infinito. Serían, si este es el 0 y este es el 2, serían todos los números hasta el infinito y más allá positivos que son mayores que 2. 00:11:17
Esto, por ejemplo, se dibuja así. Así lo puedo representar. Y si tengo, por ejemplo, el menos infinito, menos siete, si este fuera el cero y este fuera menos siete, serían todos los números hacia acá. 00:11:31
Este, por ejemplo, sería cerrado por aquí. Serían todos estos números hasta el menos infinito. ¿Vale? 00:11:48
Fijaos, cuando tengo un intervalo que acaba en infinito, perdón, que empieza en infinito y que acaba en infinito, siempre pongo abierto. 00:11:54
¿Por qué? Bueno, es una convención. 00:12:02
Porque básicamente el definitor existe. 00:12:04
Pues estamos trabajando con ese tipo de cosas. 00:12:08
Y luego hay una cosa que también vamos a utilizar, que es el tema de valores absolutos. 00:12:11
El valor absoluto de X de cualquier número, si X pertenece al conjunto de números reales, 00:12:16
es decir, es cualquier número en la recta de los números reales, el valor absoluto 00:12:29
de x es igual a qué? Pues es igual a x si x es mayor que 0 y menos x si x es menor que 0. 00:12:34
¿Esto qué significa? Por ejemplo, ¿cuál es el valor absoluto de 2? x si x es mayor 00:12:45
que 0. Dentro del valor absoluto tengo un 2. ¿2 es mayor que 0? Sí, 2. ¿Cuál es 00:12:51
el valor absoluto de menos 3. 00:12:57
¿X menos 3 es menor que 0? 00:13:01
Está por aquí, ¿no? 00:13:03
Pues este vale 3. 00:13:04
Y ya está. 00:13:06
Esta es toda la teoría que vamos a necesitar. 00:13:07
Muchas gracias. 00:13:10
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Pablo de Agapito Vicente
Subido por:
Pablo De A.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
112
Fecha:
13 de noviembre de 2018 - 21:47
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
13′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
119.95 MBytes

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