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Tema 4.- Ecuaciones y sistemas 4ª sesión Sistemas 11-02-2025 - Contenido educativo

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Subido el 12 de febrero de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 11 de febrero. 00:00:00
Hoy vamos a ver los sistemas de ecuaciones lineales y los métodos de resolución que utilizaremos para ellos, 00:00:05
para luego poderlos aplicar en problemas. 00:00:11
Los problemas van a ser mucho más fáciles de resolver con sistemas, 00:00:14
luego nos es muy útil que aprendamos a utilizarlos. 00:00:20
Empezamos viendo qué es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. 00:00:25
Pues le llamamos sistema lineal porque todas las ecuaciones que van a aparecer en él son de grado 1. 00:00:32
En realidad van a representar a rectas. 00:00:38
Cuando veamos el próximo tema de funciones, pues veremos lo que se llama el método gráfico de definición de sistemas, 00:00:41
que es simplemente dibujar cada una de estas dos rectas que componen el sistema 00:00:47
y ver que el punto en el que se cortan los dibujos de esas rectas en realidad es la solución del sistema. 00:00:51
Como aún no sabemos nada de funciones, pues vamos a ver los métodos analíticos. 00:00:59
Entonces, hemos dicho, tengo dos ecuaciones lineales, que son dos ecuaciones de grado 1. 00:01:05
Estoy viendo que las variables que son la x y la y tienen las dos exponentes 1. 00:01:11
Los coeficientes a, b, c, a', b' y c' son números reales, o sea, los números que nosotros conocemos. 00:01:17
Los he llamado como a, b, a', b' y b' para que veáis que las aes serían los coeficientes de las x, 00:01:26
las b los coeficientes de las ies y las c los términos independientes. 00:01:35
¿Vale? Y no confundamos unas con otras. 00:01:39
Entonces, tenemos por ejemplo este sistema que me ponen aquí, 2x más 3y igual a 9, 5x más y igual a 16. 00:01:43
Pues resolver un sistema consistirá en encontrar un par de valores, un valor de la x y otro de la y, una pareja de números, que cumplan las dos ecuaciones. 00:01:54
En este caso, que se cumpla que el doble de la X más el triple de Y me dé 9, en vez de que cojo 5 veces X más una vez la Y, me dé 16. 00:02:05
Para resolver estos sistemas vamos a utilizar tres métodos en la forma analítica. 00:02:17
El método de sustitución, método de igualación y método de reducción. 00:02:23
que solo van a ser formas de reescribir las cuentas 00:02:28
para que se me agilicen 00:02:33
pero la resolución que tengo que hacer en el fondo 00:02:35
siempre va a ser ecuaciones de primer grado 00:02:38
y además bastante más sencillitas 00:02:41
la mayoría de las veces 00:02:44
que las que hemos visto en el primer apartado del tema 00:02:45
entonces no le tengáis miedo a esto 00:02:48
porque es muy fácil 00:02:51
va a ser muy mecánico 00:02:53
seguro que los vais a ver y entender a la primera 00:02:54
y luego os practicar para tener la soltura suficiente 00:02:59
para darme cuenta de cuál me interesa en cada ocasión 00:03:03
bueno, pues vamos a ver el método de sustitución 00:03:08
lo vemos en el ejemplo aquí pasito a pasito 00:03:12
para que veáis los pasos y luego hacemos otro entre todos 00:03:16
pues lo primero que hay que hacer en el método de sustitución es 00:03:19
despejar una de las dos incógnitas, la que yo quiera, la X o la Y, 00:03:22
en la ecuación que yo quiera de las dos, bien en la primera o en la segunda. 00:03:28
La incógnita que yo quiera en la ecuación que yo quiera. 00:03:34
Entonces, si veo que se me complican las cuentas, pues cojo y cambio la incógnita o cambio la ecuación. 00:03:37
No me meto yo solo en la boca del lobo. 00:03:42
En este caso, pues la que más fácil de despejar es la Y de abajo en la segunda ecuación. 00:03:45
¿Por qué? Porque tiene de coeficiente un 1, entonces cuando despeje no me quedan fracciones. 00:03:52
Si despejase cualquiera de las otras tres, me quedaría una fracción en el resultado. 00:03:58
Por ejemplo, si despejase la y en la de arriba, me quedaría 9. 00:04:04
Menos 2x, y como el 3 se está multiplicando, pasaría dividiendo. 00:04:07
Me quedaría menos 2x partido de 3. 00:04:11
Ya me está quedando una fracción que no me gusta, aunque sabemos de sobra hacer las cuentas con ellas 00:04:15
y no tendría por qué haber tampoco ningún problema. 00:04:20
Pero buena gana de complicarnos si tengo la opción de despejarla ahí abajo 00:04:23
en la que solo tengo que coger el 5x y pasarle restando. 00:04:27
Entonces me quedaría que la y vale 16 menos 5x, como estamos poniendo aquí en el principio del ejemplo. 00:04:32
Una vez que he despejado esa incógnita que a mí me interesa, 00:04:39
lo que hago es el resultado que me ha salido sustituirlo en la ecuación contraria. 00:04:45
En la ecuación que no he utilizado, en este caso, la ecuación de arriba. 00:04:50
Lo que hago es, donde estaba la y, pongo el valor este que he dicho que tiene, de 16 menos 5x. 00:04:56
Con lo cual, me va a quedar una ecuación de primer grado, que es 2x más 3 por el 15 menos 5x. 00:05:02
Aquí no os olvidéis de poner paréntesis, porque el 3 va a multiplicar a todo, igual a 9. 00:05:10
Entonces, he transformado mi sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 00:05:16
en una ecuación con una sola incógnita 00:05:22
y encima una ecuación de primer grado que sabemos resolver de sobra 00:05:25
¿Qué es lo que vamos a hacer en el tercer paso? 00:05:29
Pues resolver esa ecuación tranquilamente 00:05:32
¿Cómo la resolvíamos? 00:05:34
Pues lo primero que hacíamos era quitar el paréntesis 00:05:38
entonces el 3 que está afuera 00:05:43
le tengo que multiplicar por todo lo de dentro del paréntesis 00:05:46
que me queda 2x 00:05:49
más 3 por 16 me daría 48 00:05:52
y más 3 por menos 5x me da menos 15x 00:05:55
y todo eso igual a 9 00:05:59
lo siguiente que teníamos que hacer era 00:06:01
separar términos 00:06:04
por un lado tengo los términos que tengan x 00:06:07
por otro lado los que no la tengan 00:06:10
O sea, términos de primer grado al lado izquierdo, términos independientes al lado derecho. 00:06:12
Lo cual quiere decir que el 48 que tenía sumando en el lado izquierdo va a pasar restando al lado derecho de 9. 00:06:19
Me queda 2x menos 15x, que son menos 13x. 00:06:26
Y en el otro lado 9 menos 48, que serían menos 39. 00:06:31
Bueno, pues despejo la x, pasando el menos 13 este que está multiplicando, dividiendo al otro lado. 00:06:34
Entonces me queda x igual a menos 39 entre menos 13, que sería 3. 00:06:43
Vale, ya conocemos el valor de la x, pero yo no quiero saber solo el valor de la x, necesito también saber el valor de la y. 00:06:48
¿Qué es lo que haremos? Pues volveremos a la ecuación del primer paso, donde había despejado la y, 00:06:56
y cambiaré las x por el valor que he dicho que tienen, que es el 3. 00:07:03
Llego arriba y digo 16 menos 5 por 3, va a ser 16 menos 15, pues 1. 00:07:09
Entonces he llegado a la solución que me dice que la x vale 3 y que la y vale 1. 00:07:16
Nos faltaría aquí un quinto paso, ¿cuál creéis que va a ser? 00:07:26
¿Cuál diríais que sería el quinto paso? 00:07:32
para acabar de estar seguros de que todo está bien. 00:07:33
¿Poner los valores en X y en Y? 00:07:41
Efectivamente. Comprobar la solución. 00:07:43
Para ello me voy a ir al sistema original 00:07:46
y cambio las X por 3 y las Y por 1 00:07:49
y veo que es verdad que me sale la solución. 00:07:53
Vamos a verlo. 00:07:56
2 por 3, 6, más 3 por 1, 3, 6 más 3, el 9 de arriba. 00:07:57
Si miro nada abajo, 5 por 3, 15, más 1, 16. 00:08:05
Entonces, se cumplen las dos igualdades, pues entonces la solución que hemos encontrado es la que queríamos, 00:08:10
porque no va a haber dos soluciones distintas, solo va a poder haber una, puesto que son ecuaciones de primer grado, 00:08:18
o una o ninguna porque el sistema está mal planteado, pero nunca podrá haber dos distintas, ¿vale? 00:08:24
Entonces, si os dais cuenta, se ha reducido todo a resolver una ecuación de primer grado, que ya sabíamos de sobrehacerla, ¿vale? Vamos a hacer uno entre los tres. 00:08:29
A ver, de los que teníamos puestos, por ejemplo, pues el último mismo 00:08:42
A ver si me lo dejo aquí, en pantalla entera 00:08:48
Estamos diciendo que vamos a hacer el ejercicio E 00:08:54
Tengo que 3X más Y 00:09:16
A ver qué pasa 00:09:25
3x más y 00:09:27
quiero que sea igual a menos 4 00:09:37
y menos x menos 4y 00:09:39
quiero que sea igual a menos 6 00:09:43
¿qué variable despejaríais y en qué ecuación? 00:09:45
¿cuál os parece que va a ser más sencilla de todas? 00:09:50
yo para mí la y de arriba 00:09:54
efectivamente, la y de arriba, la que tenga coeficiente 1 00:09:56
¿vale? no os metáis en líos 00:10:00
de signos ni de otros números que me puedan dar fracciones. Si despejase la x de acuajo 00:10:03
me tengo que acordar luego de que tengo que cambiar el signo a todos y se me suele olvidar. 00:10:08
La más fácil es la y de arriba. Entonces, si despejo la y, el 3x que estaba sumando 00:10:12
a la y, ¿qué va a ocurrir con él? ¿Qué ocurre con este 3x? 00:10:18
Pues que pasa restando. Efectivamente. 00:10:25
menos 4 00:10:27
menos 3x 00:10:29
ya que ya he despejado 00:10:31
una de las variables, la que a mi me ha parecido 00:10:33
mejor, ¿qué hago ahora? 00:10:36
pues ese valor que me ha salido 00:10:41
lo tengo que sustituir 00:10:42
en la ecuación que todavía no he usado 00:10:44
que es la de abajo 00:10:46
menos x menos 4 00:10:47
y ese menos 4 multiplicará todo lo que hemos dicho 00:10:49
que va de la y 00:10:52
que es menos 4 menos 3x 00:10:53
y como resultado me tiene que dar un menos 6 00:10:56
he cogido en la ecuación de abajo 00:10:59
y donde estaba la y 00:11:01
he puesto todo su valor 00:11:03
ya está 00:11:05
pues vamos ahora en el tercer paso 00:11:06
lo que hacíamos era 00:11:09
resolver esta ecuación 00:11:10
de primer grado que ya solo tiene una incógnita 00:11:13
¿cómo la resolvemos? 00:11:15
quitando paréntesis 00:11:18
y agrupando términos 00:11:19
pues venga 00:11:21
menos x y ahora que me quedaría 00:11:23
cuando quita el paréntesis 00:11:25
Pues hará 4 por 4, 16 00:11:26
Pues más 16, primero siempre los signos 00:11:30
Sí, es verdad 00:11:33
Y menos 4 por menos 3x 00:11:34
Pues sería en positivo ahora 12x 00:11:37
Menos 12x igual a menos 6 00:11:40
¿Qué hago ahora? 00:11:43
Pues las x a un lado 00:11:46
Pues las x a un lado 00:11:47
Menos x, 12x, menos 10 00:11:48
Y en el otro lado lo que no tiene x 00:11:52
Menos 6 00:11:54
Y menos 16 00:11:55
Pues te lo estaba sumando para restar 00:11:57
Entonces me queda menos 3 de X 00:11:59
Igual a menos 19 00:12:01
¿Vale? 00:12:04
¿Menos 19? 00:12:09
¿Menos 19? 00:12:11
¿Qué quedaría? 00:12:13
¿Por qué menos 19? 00:12:16
Dígale usted 00:12:18
Porque no me habéis seguido una cuenta 00:12:19
¿Hemos sumado el 16 con el 6? 00:12:23
Sí 00:12:27
Menos 4 00:12:28
pues menos 4 me da 00:12:30
más 16 00:12:33
ese 16 va a tener que pasar 00:12:34
restando 00:12:38
¿cuántos menos 6 menos 16? 00:12:39
menos 19 00:12:43
¿segura? 00:12:44
no, no, sería 00:12:46
¿sería cuánto? 00:12:50
yo creo que no 00:12:53
menos 6 y menos 16 00:12:55
ah, se sumaría 00:12:58
Sería menos 22 00:13:00
Menos 22 00:13:03
Nos ha engañado en otro sitio más 00:13:04
Pues estamos para que nos engañes 00:13:05
Ángel 00:13:09
A ver, mirad en el otro sitio 00:13:09
Menos, hay que salir dos paréntesis 00:13:12
Perdón 00:13:14
Menos 4 00:13:15
Por menos 3x 00:13:18
Que me va a dar más 12x 00:13:20
Claro, si lo 00:13:22
Venga, cuidado con los signos 00:13:23
Esto luego es lo que os pasa en los exámenes 00:13:26
Sabéis hacerlo, pero os confundís en los signos 00:13:28
por no tener cuidado, por hacer los números antes que el signo. 00:13:30
Entonces, en vez de quedarme menos 13, me va a quedar un más 11, ¿no? 00:13:34
De menos 1 más 12. 00:13:41
Y entonces me queda la cuenta más bonita porque me queda menos 22. 00:13:44
Y entre 11, que me va a dar menos 2. 00:13:47
O sea, que si os salen números muy raros, podrían salir, pero no es normal. 00:13:51
Pues echáis un ojillo, a ver si en algún signo, sobre todo, he metido la pata, ¿vale? Entonces, me queda menos 2 el valor de la x. Tengo que calcular aún el valor de la y. 00:13:57
¿Qué hago? Pues me voy, hemos dicho, a la ecuación original, el primer paso, y digo, bueno, pues como habíamos dicho que la y era menos 4 menos 3 veces la x, 00:14:10
Y ahora ya sé que la x vale menos 2, pues tendré menos 4 menos 3 por menos 2, pues tengo menos 4 más 6, pues la y va a valer 2 positivo, ¿vale? 00:14:29
Entonces, la solución de mi sistema es, esto hay que escribirlo así, como pares de valores, x y, siempre primero la x y luego la y, como si fuese en el orden que tenemos del abecedario, pues va a ser 2 menos 2, ¿vale? 00:14:46
Vamos a ver ese quinto paso que me asegura que lo he hecho bien. 00:15:07
El quinto paso sería comprobar la solución. 00:15:16
Quinto, comprobamos. 00:15:21
Y para comprobar, hemos dicho que nos íbamos al sistema original y cambiábamos cada letra por su valor. 00:15:27
Tengo tres por... ¿cuánto? 00:15:38
¿Dónde estamos? 00:15:45
Tres por tres. 00:15:46
Sí, 3 por 3 00:15:47
¿Cuánto vale la x? 00:15:50
La x vale 2 00:15:51
¿Dónde estamos? 3x más y 00:15:52
3 por 2 00:15:55
La x es la que vale menos 00:15:56
Y la y vale 00:16:00
Un segundito 00:16:04
Que se ha quedado pillado 00:16:20
Pues vamos 00:16:22
Por menos 2 00:16:38
Que vale la x 00:16:40
¿Estamos acordados? 00:16:42
Acordando 00:16:43
estamos resolviendo 00:16:44
este de aquí, hicimos el x 00:16:50
pues 3 por menos 2 00:16:52
más 00:16:56
la x que era 2 00:16:58
y eso me tendría que dar 00:17:01
menos 4, vamos a verlo 00:17:02
3 por menos 2 menos 6 00:17:04
6 más 2 00:17:06
menos 4, que es lo que queríamos 00:17:07
entonces la primera ecuación se cumple 00:17:10
voy a la segunda y digo menos 00:17:12
menos 2x 00:17:14
menos 4 por 2 00:17:16
esto va a ser y menos 2x 00:17:20
menos menos 2 que varía la x 00:17:22
menos 4 por la y 00:17:25
menos 4 por menos 2, tengo menos por menos 00:17:30
más, y ahora menos 4 por menos 2 00:17:33
menos 8, y eso es menos 6 00:17:36
y es lo que yo quería, si, pues el sistema 00:17:39
está bien resuelto, ¿vale? 00:17:42
Entonces, método de sustitución, despejo la variable que yo quiera, sustituyo su valor en la ecuación contraria y resuelvo la ecuación de primer grado que me queda. 00:17:44
Cuando es el valor de esa primera variable, me voy otra vez al primer paso y cambio la variable por su valor y calculo el valor de la segunda. 00:17:57
¿Vale? O sea, que es súper sencillo. 00:18:06
Y las cuentas que hay que hacer en realidad son resolver ecuaciones de primer grado. 00:18:07
O sea, que no tenéis por qué tener ningún problema. 00:18:12
no os asustéis si hubiese 00:18:14
fracciones en los coeficientes 00:18:16
porque antes de ponerme 00:18:18
a hacer las cuentas, luego puedo hacer ese denominador 00:18:20
común y quitarme todas las fracciones 00:18:22
y estaría en un sistema en el que 00:18:24
los coeficientes sean números enteros, ¿vale? 00:18:26
ya haremos alguno por ahí para que veáis 00:18:29
que no supone ningún problema 00:18:30
lo único que hago es el paso previo de 00:18:32
deshacerme de los denominadores 00:18:34
igual que hacíamos cuando recogí un denominador 00:18:36
¿vale? 00:18:37
muy bien 00:18:40
he entendido más o menos este sustituto 00:18:41
Sí, sí, más o menos, sí, hay que trabajar. 00:18:45
Vamos a ver por el de igualación, que es muy parecido. 00:18:47
También un detallito, pero muy parecido y muy sencillo también. 00:18:51
Que es un poco más retorcido es el de reducción, pero una vez que le pilleis no vais a querer hacer otro, 00:18:56
porque ese es como la termomis, va a toda leche las cuentas. 00:19:00
Bueno, pues en el método de igualación, lo que hago en el primer paso es despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. 00:19:04
la que yo decida, pero la misma en las dos 00:19:15
entonces yo veo este sistema y digo, la que me parece más sencilla 00:19:20
de despejar es la y, por ejemplo, como en una tengo coeficiente 1 00:19:24
pues siempre que haya unos de por medio son los que me van a 00:19:29
facilitar más las cuentas, pues cojo, despejo en la ecuación 00:19:33
de arriba la y, que me quedaría 9 00:19:37
menos el 2x que pasaría restando y dividido todo entre 00:19:40
3, que era el coeficiente que me indicaba 00:19:45
las y, pues ya tengo mi 00:19:47
primera ecuación. 00:19:49
Despejo esa 00:19:52
misma y en la segunda ecuación. 00:19:53
Esta sería más fácil, pues 00:19:55
solo tengo que pasar el 5x 00:19:57
que estaba sumando al otro 00:19:59
restando. 00:20:00
Y igual a 16 menos 5x. 00:20:02
Y ahora digo, bueno, 00:20:06
pero es que la y es 00:20:07
la misma. Entonces, si por 00:20:09
un lado vale esto y por 00:20:11
otro lado vale esto, esas dos cosas 00:20:13
tienen que ser iguales, con narices. 00:20:14
Entonces el segundo paso sería 00:20:17
igualar estas dos soluciones. 00:20:19
Y al hacerlo 00:20:22
me encuentro con esta ecuación de primer grado 00:20:22
porque también se ha parecido a las y 00:20:25
que solo depende de la x. 00:20:26
Tercer paso, 00:20:30
pues la resolvemos. 00:20:31
¿Cómo resolvemos esta ecuación de primer grado 00:20:33
que tiene denominadores? 00:20:35
Pues deshaciéndome de esos denominadores. 00:20:37
¿Cómo me deshacía de esos denominadores? 00:20:39
Pues haciendo mínimo como múltiplo. 00:20:42
o como queráis, o si queréis, pues este 3 que está dividiendo lo paso multiplicando 00:20:43
y ya está, ya me desecho también de él. Si lo hacemos como hacíamos 00:20:48
normalmente, que era hacer denominador común, pues sé que el denominador común 00:20:52
de los dos miembros de esta ecuación va a ser 3 00:20:56
el primer miembro se queda como estaba 00:20:59
haríamos 3 denominador nuevo, de 3 denominador antiguo a 1 00:21:03
por el numerador, se quedaría como está, y para ajustar la segunda 00:21:08
el segundo miembro, pues diríamos 3 denominador nuevo 00:21:12
entre 1 que era el denominador antiguo, pues sé que tengo que multiplicar por 3 a todo lo de arriba 00:21:16
pues 3 por 16 me daría 48 00:21:21
3 por menos 5, menos 5. Ningún problema, ¿no? 00:21:24
Cuando tengo los dos denominadores iguales los puedo quitar y quedarme 00:21:29
solamente con los numeradores. Siguiente paso 00:21:33
pues juntar términos 00:21:37
que sean semejantes, las x con un lado y las que no tienen x con otro. 00:21:41
Voy a traerme las x a la izquierda, tengo menos 2x más 15x 00:21:46
y a la derecha los términos independientes, el 48 menos 9. 00:21:50
Me queda 13x igual a 39. 00:21:55
Ahora despejo la x, pasando ese 13, dividiendo. 00:21:57
La x que quería era 39 dividido entre 13, que va a ser 3. 00:22:01
¿Qué haré ahora para calcular la y? 00:22:06
Pues lo mismo que en el método de sustitución. 00:22:08
Me iré a una de las ecuaciones del primer paso, a la que me parezca más sencilla, no os compliquéis la vida, no os vayáis a la primera que tiene fracciones, vamos a la segunda que me vale igualmente, y digo, pues las x las tengo que cambiar por un 3, vale, pues entonces la y será 16 menos 5 por ese 3, 16 menos 15, 1. 00:22:11
Y la solución del sistema será x igual a 3 e y igual a 1. 00:22:33
O sea, el mismo sintema que hemos hecho antes, ahora resuelto por este nuevo método. 00:22:40
¿Cuál os parecería más rápido y más fácil, el de sustitución o el de igualación? 00:22:46
Fíjate que a mí a este. 00:22:52
¿A ti a este? Pues nada, es cuestión de gustos. 00:22:53
En el fondo son un poco la misma idea o muy parecida. 00:22:56
Entonces, por eso decía, si no me dicen nada, yo lo hago por el método que me resulte más sencillo, con el que yo me sienta más cómodo. Si me obligan a hacerlo por uno concreto, pues no me queda más remedio que tirar por ese. Pero si no me dicen nada, yo echo un ojito al sistema y el que me parezca que va a ser más sencillo, porque yo mejor domine, pues es el que uso. Y desde luego en los problemas, pues puedo usar el que me dé la gana. En los problemas no me van a pedir nunca un sistema concreto. ¿Vale? 00:22:59
Bueno, pues vamos a hacer la misma de antes. Vamos a resolver uno entre todos con el método este de igualación. Pues, por ejemplo, el E también, de aquí abajo. A ver, déjame escribir. Vamos a hacer este. ¿Vale? 00:23:28
Vale. Pues me dice que tengo, tengo mi sistema 5X más 2Y igual a 17. Y menos 3X más Y igual a menos 3. Y vamos a hacer ahora igualación. ¿Cuál de las dos variables despejaríais? ¿Cuál os parece que va a ser más sencilla? 00:23:49
Yo la Y 00:24:33
La Y, porque la otra tiene coeficientes más grandes 00:24:35
Y encima tiene negativos 00:24:37
Y de los negativos tenemos que oír como el fuego 00:24:39
Porque son los que nos van a estar dando dolor de cabeza 00:24:41
Todo el curso 00:24:44
Entonces, despejo la Y 00:24:44
Si la despejo arriba 00:24:47
En la primera ecuación, ¿qué me quedaría? 00:24:49
Pues te quedaría 00:24:52
Igual a 17 00:24:55
Menos 5 00:24:58
Igual a 17 menos 5 00:25:01
Vale, vale, estaba yo corriendo mucho 00:25:04
Tienes razón, venga 00:25:06
Una Y solo, que es lo que yo quiero 00:25:07
Pues claro, nada, 1, ¿no? 00:25:10
Pues 17 menos 5X 00:25:15
Partido de 2 00:25:18
O sea, el 2 que estaba multiplicando 00:25:19
Claro, le pasa dividiendo 00:25:22
Bueno, pues esta es mi primera ecuación 00:25:24
¿Vale? Voy a hacer lo mismo 00:25:26
En esta de aquí abajo 00:25:30
Y esta es más fácil porque 00:25:31
La Y tiene coeficiente 1 00:25:33
Entonces me quedaría que Y es igual a qué? 00:25:35
A 3x menos 3. 00:25:38
A menos 3. 00:25:40
Menos 3x. 00:25:42
Más 3. 00:25:43
Ay, no sé. 00:25:44
Cuidado con los signos. 00:25:45
Sin correr, que si me cojo un signo, el sistema que estoy haciendo es otro distinto y me van a hacer soluciones que luego tendréis a no comprobar. 00:25:47
Vais a salir muy contentos y resulta que no he dado ni reintegro porque he hecho unas cuentas distintas a las que me pedía. 00:25:56
¿Vale? 00:26:03
Por eso os insisto que siempre que podáis comprobéis. 00:26:03
En este examen podéis salir sabiendo qué nota tenéis exacta 00:26:06
Porque podéis comprobar todos los ejercicios 00:26:12
Bueno, pues tengo esas dos ecuaciones 00:26:15
Hemos dicho que ahora lo que voy a hacer es igualarlas 00:26:17
Si tengo que las dos son el valor de Y 00:26:21
Pues entre ellas tendrán que ser iguales 00:26:25
Porque la Y es la misma 00:26:27
Entonces ese 17 menos 5X tiene que ser lo mismo que el menos 3 más 3X 00:26:30
Este sería mi segundo paso 00:26:36
Este era el primero 00:26:39
Vamos a resolver esta ecuación 00:26:42
Que era el tercer paso 00:26:45
¿Cómo la resuelvo? 00:26:47
Pues lo primero que hago es 00:26:49
Denominador común, hemos dicho, ¿no? 00:26:50
Para luego poderme quitar ese 2 de abajo 00:26:53
Y al hacer ese denominador común 00:26:56
Lo único que voy a tener que hacer es multiplicar por 2 00:26:58
A todo esto 00:27:00
Pues me queda menos 6 00:27:00
Más 6x 00:27:03
una vez que tengo los denominadores iguales 00:27:05
los puedo quitar 00:27:07
y me quedo con un 17 00:27:08
menos 5X 00:27:10
igual al menos 6 00:27:12
más 6X, ¿no? 00:27:14
vamos bien, ¿no? 00:27:16
y sin ningún problema, ningún sobresalto 00:27:17
ni ningún soco 00:27:20
con cuidadito 00:27:21
para no comer los signos 00:27:24
pero lo demás lo sabemos hacer ya de las ecuaciones de primer grado 00:27:26
y de la del segundo 00:27:28
todas estas operaciones de transposición 00:27:29
de término y tal, las tenemos 00:27:32
dominar de sombra. Ahora vamos a juntar términos. Y me da igual que los junte a la izquierda 00:27:34
que a la derecha. Da lo mismo. Mientras tenga las x con las x y los términos independientes 00:27:40
con los términos independientes. ¿Dónde pondríamos las x? A la izquierda. A la izquierda, 00:27:45
venga. Menos 5x menos 6x. Y a la derecha. Menos 6 menos 17. Menos 5x menos 6x. ¿Cuántas 00:27:51
menos 11 00:28:05
cuidado con los signos Verónica que la veamos 00:28:06
6 menos 17 00:28:09
¿cuánto es? 00:28:11
23, menos 00:28:13
23, vale 00:28:15
entonces la X que quiero es 00:28:17
partido de menos 11 00:28:20
la regla de los signos 00:28:23
positivo 00:28:26
23 partido de 11 positivo 00:28:27
vale 00:28:29
una solución un poco fea 00:28:31
Pero qué raro es eso, ¿no? 00:28:34
Es lo que me ha salido. 00:28:35
Entonces, cuando me sale tan fea, más motivo para comprobar por si acaso. 00:28:36
Bueno, pues tengo lo que vale la X. 00:28:40
Si me voy al primer paso y sustituyo en una de las dos ecuaciones, sacaría lo que vale la Y. 00:28:43
¿A cuál me interesa ir? 00:28:49
¿A esta primera o a la segunda? 00:28:51
¿En cuál van a ser las cuentas más fáciles? 00:28:54
En la segunda. 00:28:56
En la segunda, evidentemente, que no tiene fracciones. 00:28:57
por 1 menos 3, más 3 por ese 23 onceavos, vamos a ver cuánto da, 3, producto de fracciones, 00:29:00
multiplicamos los numeradores, o sea que 69 onceavos, pues la I que busco, si sumamos 00:29:11
estas dos fracciones haciendo denominador común, me queda menos 33 más 69, ¿no? 00:29:20
Resultado, treinta y seis onceavos, ¿vale? 00:29:30
Se vea bien esto, ¿de acuerdo? 00:29:38
Entonces, mi solución sería XI igual a veintitrés onceavos y las Y es treinta y seis onceavos, ¿no? 00:29:41
Sí. 00:29:58
pero no se puede reducir ni nada 00:29:59
no lo he mirado, yo que sé 00:30:03
no se puede 00:30:04
es un número primo y los otros no son múltiples 00:30:05
para que no sean múltiples tendrían que tener las citas iguales 00:30:08
entonces es una solución un poco 00:30:11
fea 00:30:13
un poco mosqueante 00:30:13
vamos a comprobar 00:30:16
por si acaso 00:30:19
no, no pueden salir las soluciones así de feas 00:30:19
pero 00:30:21
vamos a ver qué pasa 00:30:23
por si acaso me hubiese confundido 00:30:25
en alguna cuenta 00:30:27
Y digo, 5 por, ¿cuánto he dicho que varía la X? 00:30:28
No lo veo, 23 onceavos, ¿puede ser? 00:30:37
23 onceavos, sí. 00:30:45
Pues 5 por 23 onceavos, más 2, ¿por cuánto hemos dicho que varía la Y? 00:30:48
36 onceavos. 00:30:57
Si hago esas cuentas, digo 5 por 23, 115 onceavos. 00:30:59
2 por 36, 72 onceavos 00:31:05
Si lo sumo, me queda 5 y 2, 7 00:31:11
7 y 1, 8 00:31:15
187 onceavos 00:31:17
Hacemos la división 00:31:21
18 entre 11 a 1 00:31:24
Me quedan 7, 77 entre 11 a 7 00:31:28
¡Uy, qué bien! 00:31:32
Es la más difícil ha salido 00:31:34
Pues vamos a ver que la otra también. Menos 3 por 23 onceavos más el 36 onceavos. Pues tengo menos 69 onceavos más 36 onceavos. 00:31:35
resulta que el resultado 00:31:54
va a ser 00:31:56
33 menos 33 00:31:58
onceavos 00:32:01
y eso, con maravilla 00:32:02
es el menos 3 que quería 00:32:05
o sea, este que me haya 00:32:06
parecido tan feo, recordad que lo he hecho bien 00:32:08
no pasa nada, me puede salir 00:32:11
cualquier número de los que hemos visto hasta ahora 00:32:13
incluso fracciones así de feas 00:32:15
¿vale? 00:32:17
¿controlado el método de 00:32:19
igualación? 00:32:20
bueno, controlado 00:32:22
controlado, entendido, sí 00:32:23
me lo has dicho todo bien 00:32:25
o sea que los dos van entendidos 00:32:26
lo único que hay que hacer luego es tener cuidado 00:32:29
con las cuentas y eso, practicar 00:32:31
los ejercicios que os puse 00:32:33
para que cojáis la soltura 00:32:35
de cuáles son los pasos, ¿vale? 00:32:37
esos ejercicios que os puse pues los hacéis 00:32:41
y si comprobáis vais a saber 00:32:43
si los tenéis bien 00:32:45
que no sale bien, es mejor 00:32:46
volverlo a hacer de nuevo que repasar 00:32:49
las cuentas hechas, porque 00:32:51
cuanto más tonto sea el fallo, como digo 00:32:53
muchas veces, más difícil de encontrar 00:32:55
entonces, que de segundas 00:32:57
me sigue sin salir, pues entonces 00:32:59
ya me dice Ángel, este le he hecho 00:33:01
dos veces y no me sabe que estoy 00:33:03
haciendo mal, ya me dices 00:33:05
las cuentas, pero vamos, estoy 00:33:07
casi seguro que si no a la primera 00:33:09
a la segunda te van a seguir 00:33:11
bien segurísimo, ¿vale? 00:33:13
Bueno, pues vamos a por 00:33:16
el método de reducción, ya sé que es un poco 00:33:17
más complicado porque 00:33:19
hay un truquillo que 00:33:21
no se ve tan fácilmente 00:33:24
hasta que no le pillo y no le meto yo en mi cabeza 00:33:27
luego ya, como os digo 00:33:29
es el más rápido con mucho 00:33:30
y el más sencillo una vez que le he pillado 00:33:32
mucho más que los dos anteriores 00:33:35
bueno, pues el método 00:33:36
de reducción 00:33:39
que nosotros le vamos a tratar como doble reducción 00:33:39
dígase como reducción-sustitución 00:33:43
a mí me parece más sencillo 00:33:45
hacerlo como doble reducción 00:33:47
ahora os diré cómo es la historia 00:33:49
¿vale? 00:33:50
Pues en lo que consiste es en buscar un sistema equivalente en el que una de las incógnitas desaparezca. 00:33:51
¿Cómo hago eso? 00:34:02
Pues decíamos que para pasar a una ecuación equivalente lo que hacíamos era multiplicar o dividir a todos los términos de la ecuación por un mismo número. 00:34:04
¿Vale? Era como buscar fracciones equivalentes. 00:34:15
Entonces, si yo veo este sistema aquí y decido, por ejemplo, que me voy a quitar las i's, 00:34:18
pues lo que me interesaría tener aquí abajo es un 3. 00:34:27
Mejor, un menos 3, porque lo que voy a hacer en el segundo paso de este método es sumar las dos ecuaciones. 00:34:32
Entonces, primer paso, lo que hago es multiplicar a una o a las dos ecuaciones 00:34:39
por los números que me hagan falta de tal forma que los coeficientes de una de las variables, 00:34:44
la que yo quiera, salgan igual pero de signo contrario. 00:34:52
Entonces, en este ejemplo, como decía, si yo la de arriba la dejo como está 00:34:57
y a la de abajo la multiplico por un menos 3, ¿qué me quedaría? 00:35:02
Pues arriba 2x, un 3y y un 9 porque no la he tocado, 00:35:07
y abajo me quedaría un menos 15, un menos 3Y y un menos 48, ¿vale? 00:35:10
Entonces, las Y se habrían quedado con un 3 las dos, pero una positiva y otra negativa, 00:35:20
con lo cual me las podría cargar. 00:35:25
Al sumarlas van a desaparecer una con otra. 00:35:28
Aquí lo han liado un poco más, porque han dicho, 00:35:32
yo multiplico la de arriba por un menos y la de abajo por un menos 1 y la de abajo por un 3. 00:35:34
Me da igual, llevo al mismo sitio. 00:35:38
Al multiplicar a la de arriba por un menos 1, me ha quedado un menos 2x menos 3y menos 9, o sea, todo ha cambiado de signo. 00:35:40
Y al multiplicar a la de abajo por un 3, me ha quedado 15x, 3y y un 48. 00:35:48
Lo que yo quería se cumple igual, que el coeficiente de las y sea el mismo pero de signo contrario, o sea, que sea el opuesto uno del otro. 00:35:55
cuando yo sume esas dos ecuaciones 00:36:04
¿qué va a ocurrir? 00:36:07
que las tres y de arriba que están restando 00:36:09
con las tres y de abajo lo están sumando 00:36:11
se van a ir, ¿no? 00:36:12
yo tengo una suma de polinomios 00:36:14
¿qué me va a quedar? 00:36:15
pues una ecuación solo con x 00:36:18
15x menos 2x 00:36:19
13x 00:36:22
48 menos 9, 39 00:36:23
pues ya tengo resuelta mi ecuación 00:36:26
ya solo tengo que despejar la x 00:36:29
pasando ese 13 que está multiplicando 00:36:30
dividiendo 00:36:32
y ahora tengo dos opciones 00:36:34
una vez que es el valor de la x 00:36:37
irme a una de las dos ecuaciones 00:36:39
a la que me dé la gana y sustituir la x por ese valor 00:36:41
y despejar la otra ecuación 00:36:44
que se llamaría el método de reducción-sustitución 00:36:45
o hacer el mismo proceso con las x 00:36:50
como lo que quiero que pilléis es el proceso de la reducción 00:36:55
dime qué harías Verónica 00:36:58
para conseguir que en el coeficiente de las equis te salga el mismo número, pero cambiado de signo uno con otro. 00:37:01
¿Por qué números multiplicarías? 00:37:08
Y puedes coger tú los que te dé la gana, mientras salga el resultado que tú quieres. 00:37:10
A ver si lo ves, porque si lo ves antes de que te diga yo el truco, genial, porque este le tendrías ya pillado 00:37:16
y no vas a querer hacer otro nunca más. 00:37:22
En el primer caso, por 3. 00:37:27
Quiero cargarme las equis. 00:37:29
Si multiplicas por 3, te quedaría un 6x. 00:37:31
¿Por quién multiplicarías abajo al 5 para que sea un 6? 00:37:33
Ah, claro, que es arriba y abajo 00:37:37
Es arriba y abajo 00:37:38
Por los números que te haga falta en cada caso 00:37:39
Mientras el resultado sea el mismo al final 00:37:42
Pero con el signo cambiado 00:37:45
No lo sé, no lo veo ahora 00:37:47
Pues fíjate, si al de arriba le multiplicas por un 5 00:37:52
Y al de abajo por un 2 00:37:55
Ya tienes un 10 en largos, ¿no? 00:37:56
Sí 00:37:58
Pues ahora cambia de signo al que te dé la gana 00:37:58
Por ejemplo, digo, al de arriba 00:38:01
En vez de por un 5 lo multiplico por un menos 5 00:38:02
Ya tengo arriba un menos 10 y abajo un más 10 00:38:04
Se acabó. O sea que, cruzando los coeficientes y cambiando de signo a uno de ellos, si es que me hace falta, 00:38:07
porque si ya, por ejemplo, aquí arriba las x hubiesen sido negativas y abajo positivas, no me hace falta tocar el signo. 00:38:13
El signo le tendría bien. Yo lo que quiero es que me salga el mismo número, pero uno positivo y otro negativo. 00:38:19
Entonces, lo que hago es cruzarlos, al de arriba multiplicarle por el de abajo y al de abajo por el de arriba, 00:38:26
y si los dos se quedan en positivo, lo que hago es cambiar de signo a uno de ellos. 00:38:33
pues al de arriba le multiplico por un menos 5 00:38:36
y al de abajo por un 2 00:38:38
o al de arriba por un 5 y al de abajo por un menos 2 00:38:39
el caso es que queden al revés 00:38:42
¿vale? que quede el opuesto uno del otro 00:38:44
y ya 00:38:47
te saldría un 10x y un menos 10x 00:38:48
con lo cual las x desaparecerían 00:38:51
y solo te quedarías con y 00:38:52
¿vale? 00:38:54
o si has pillado bien la otra parte 00:38:57
pues hago reducción en una de las que veas 00:38:59
la más fácil en este caso, la y 00:39:01
y luego sustitución 00:39:03
el caso es que lleguemos a la solución final 00:39:04
fíjate 00:39:07
que este es el mismo sistema 00:39:08
que hemos estado haciendo todo el tiempo los ejemplos 00:39:11
y ahora en una línea le he resuelto 00:39:13
mientras que nosotros teníamos que hacer ahí 00:39:15
cuatro pesos 00:39:17
y alargando las cuentas 00:39:19
si, es más enredado pero bueno 00:39:21
es más enredado en lo que me doy cuenta 00:39:22
de ese detalle pero las cuentas luego son 00:39:25
super sencillas porque se va todo 00:39:26
entonces vamos a verlo en nuestro ejercicio 00:39:28
la doble reducción esta que yo os digo 00:39:31
porque si la veis 00:39:33
esta es la termomix de los sistemas 00:39:34
de cuándo 00:39:37
sale todo rico y rápido 00:39:38
no hacer nada, ¿vale? 00:39:41
venga, vamos a por uno de los ejercicios 00:39:43
los coeficientes son iguales 00:39:46
pues este no tiene mucho sentido 00:39:58
vamos a coger este que es el más feo posible 00:40:00
que teníamos aquí, ¿vale? 00:40:02
el C 00:40:04
digo, tengo 00:40:04
reducción doble, vamos a decirlo, doble reducción 00:40:07
Tengo mi sistema, 5x menos 7y igual a 17, y menos 3x menos 2y igual a 4. 00:40:19
Yo tengo la costumbre de, para no escribir 40 veces lo mismo, ponerme aquí a la izquierda y a la derecha, si me quiero cargar a las x, poner aquí a la izquierda porque el número es multiplicar, cuando me quiere cargar las y es ponerlo aquí a la derecha. 00:40:36
Ahora voy a reducir las x. ¿Vale? Vamos a ponerlo aquí. Reducción de x. ¿Por quién multiplicarías al 5 y al menos 3 para que te salga el mismo número? 00:40:49
pues si multiplico arriba por un 3 00:41:06
y abajo por un 5 00:41:10
ya tengo el 15 que yo quiero 00:41:13
y encima con la suerte de que como ya una era positiva 00:41:15
y la otra era negativa, pues genial 00:41:19
porque llego a lo que quería, que era que cada uno fuese el opuesto del otro 00:41:21
vamos a hacer esa multiplicación y me queda 00:41:25
15x, ahora me vas a decir tú la de las 10 00:41:28
¿vale? 00:41:32
No. 00:41:33
Menos, sí. 00:41:33
Menos 21 ahí. 00:41:35
Igual a 3 por 7, 21. 00:41:36
3 por 1 es 3. 00:41:39
Y 5, ¿vale? 00:41:40
O sea, he multiplicado a toda la ecuación de arriba por 3, ¿vale? 00:41:41
Voy a multiplicar ahora a toda la de abajo por 5. 00:41:47
Pues, ¿qué me va a quedar? 00:41:50
Menos 15x menos 10y igual a 20, ¿no? 00:41:52
¿Sí o no? 00:42:00
claro, porque hemos sustituido uno por el otro 00:42:01
vale, bien, sí, vale, vale 00:42:04
uno por tres y otro por cinco 00:42:06
efectivamente, o sea 00:42:08
al de arriba le he multiplicado por el coeficiente 00:42:09
de la de abajo y a la de abajo por el 00:42:12
coeficiente de la de arriba 00:42:14
¿y no le has cambiado el signo? 00:42:15
porque ya estaban cambiados, porque era un área positiva y otra negativa 00:42:17
si hubiesen sido las dos positivas 00:42:20
o las dos negativas, sí que había 00:42:22
cambiado el signo a uno de ellos 00:42:24
para que sí el resultado fuese en una 00:42:26
positivo y en otro negativo 00:42:28
Pero si ya los tengo que cambiar, ni siquiera me hace falta preocuparme del signo, ¿vale? Ahora sumo estos resultados y ¿qué va a pasar? 15x menos 15x fuera las x y aquí me quedaría menos 31y igual a 71, pues la y que yo quería era 71 partido de menos 31, ¿vale? 00:42:29
fíjate que feo es esta solución 00:42:55
si tuviese que hacer sustitución 00:42:58
como me decían en el ejemplo 00:43:01
joder, hacer las cuentas con este 00:43:02
menos 71 partido de 31 00:43:04
telita, ¿vale? 00:43:06
entonces digo, pues para qué 00:43:09
voy a complicarme la vida 00:43:10
voy a hacer reducción en la otra 00:43:12
reducción 00:43:14
de la i 00:43:18
y hago la misma historia, digo, ¿por quién tendría 00:43:20
que multiplicar a esta 00:43:24
7i y a este 00:43:26
2i para que me salga el mismo 00:43:28
número. 00:43:30
¿Al 7 por 2? 00:43:32
Efectivamente, al 7 por 2 00:43:34
es al 2. ¿En positivo? 00:43:36
Sí. ¿Y al otro por el 00:43:38
2 por el 7, en este caso, no? 00:43:40
Pero fíjate que si hiciese eso 00:43:43
me queda menos 14 y menos 14. 00:43:44
Y necesito que uno sea 00:43:47
positivo y otro que sea negativo. 00:43:48
Pues le tendría que cambiar el signo. 00:43:51
Pues cambio el signo a uno de los dos, 00:43:52
al que más rabia me dé y ya está. 00:43:54
Por ejemplo, al menos 2. 00:43:56
Cuando hago esas cuentas, ¿qué me queda? 00:43:58
Menos 10x más 14y igual a menos 34. 00:44:01
Y cuando hago la cuenta del de abajo, me queda menos 21x menos 14y. 00:44:11
o sea, que vamos muy bien 00:44:21
y 28 00:44:23
las x también las multiplicamos 00:44:26
vale, vale, vale 00:44:29
claro, no lo sabía 00:44:30
vale, vale, no sabía 00:44:33
ahora cuando sume 00:44:36
lo que se van son las i 00:44:38
y me queda 00:44:39
menos 31x 00:44:41
igual a 00:44:43
menos 34 más 28 00:44:45
pues menos 6 00:44:47
pues la x que yo quería es 00:44:49
menos 6 entre 00:44:51
menos 31 00:44:54
que se aborre la de signos 00:44:55
6 treinta y unavos 00:44:57
que sería lo que me hubiese salido si hubiese hecho sustitución 00:44:59
pero el pitote que se me monta 00:45:02
con las fracciones pues es fino 00:45:04
mientras que así 00:45:06
no tengo que hacer nunca cuentas con fracciones 00:45:07
y me ha salido en un segundo 00:45:10
el resultado 00:45:12
¿Cómo lo vio? 00:45:13
Bien, bien, bien, mejor, mucho mejor ahora 00:45:16
Con reducción hay que pillar este truquillo, pero una vez que le pillo es el más rápido, más cómodo y que menos problemas me da, porque nunca tengo que operar nada más que con números enteros. 00:45:18
¿Cuándo utilizaré reducción? Pues cuando tenga coeficientes distintos de uno en todos los sitios y me den lugar a fracciones si hago el método de sustitución o el método de igualación. 00:45:33
¿Cuándo utilizaré el método de sustitución? Pues cuando tenga, como en el caso de antes, por ejemplo, coeficientes iguales. 00:45:48
¿Cuándo haré el de sustitución? Cuando tenga variables que tengan de coeficiente un 1. 00:45:59
Es cuando van a ser más eficientes. No se me ocurrirá hacer sustitución o igualación en un caso como este, 00:46:07
que todos los coeficientes son distintos de unos 00:46:13
y me dan a las relaciones que me complican la vida 00:46:16
y menos si encima esos coeficientes 00:46:18
son negativos, porque todavía 00:46:20
me complico más la vida porque tengo que andar controlando 00:46:22
los signos, ¿vale? 00:46:24
Entonces, todos los métodos valen 00:46:26
para todos los sistemas 00:46:28
pues yo antes de ponerme a hacer cuentas 00:46:29
pienso 00:46:32
qué método es el que me interesa hacer 00:46:33
y me voy a por él 00:46:35
¿De acuerdo? 00:46:37
¡Ostras! Se nos ha ido la hora 00:46:39
yo, hoy es que estaba yo 00:46:41
bueno, pues no, pero si lo hemos pillado 00:46:42
me gusta más hablar yo solo 00:46:45
que no 00:46:47
no tengo 00:46:48
ese ritmo de, si os vais enterando 00:46:50
o me estoy acelerando 00:46:52
bueno, pues para el próximo día 00:46:54
intentad 00:46:57
hacer los ejercicios de cada uno de los 00:46:59
métodos, que seguro que os van 00:47:00
a salir uno a la primera o a la segunda 00:47:02
y echáis también un ojo a los problemas 00:47:04
porque vamos a ver 00:47:06
los problemas del próximo día y las dudas que me digáis 00:47:08
y vais a ver que la forma 00:47:11
de plantear los problemas ahora va a ser muchísimo más 00:47:14
sencilla que cuando hacemos ecuaciones de primer grado y de segundo grado 00:47:17
mucho más, al poder separar las condiciones 00:47:20
en dos variables va a ser mucho 00:47:23
más cómodo, ¿vale? claro, si hago 00:47:26
esa separación luego tengo que saber hacer las cuentas 00:47:29
estas para poder resolverlo, pero los problemas 00:47:32
todos los líos que nos daban antes ahora van a ser 00:47:35
pues nada, una tontería, pues voy a ser 00:47:37
literalmente lo que me digan usando 00:47:39
dos nombres en vez de uno solo que usábamos 00:47:41
antes, ¿vale? 00:47:44
Muy bien. Bueno, pues 00:47:46
que tengáis buena tarde 00:47:47
y buen fin de semana. Igual. 00:47:49
Ya me contáis qué tal 00:47:52
se os ha dado esto, que yo creo que va a ser 00:47:54
bien. Venga, va a ser 00:47:56
verdad. Gracias, Ángel Luis. 00:47:58
Adiós. 00:48:00
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Matemáticas
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Autor/es:
Angel Luis Sanchez Sanchez
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Angel Luis S.
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12 de febrero de 2025 - 9:06
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Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
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48′ 02″
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