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Rouché-Fröbenius con parámetros - método 2 - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Rouché-Fröbenius con parámetros - método 2

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Para este vídeo conviene haberse visto antes el vídeo sobre rangos. Ya hemos visto en otro vídeo 00:00:00

cómo se puede hacer el método de Roche-Provenius, pues dando varios valores ahí y comprobando. 00:00:05

Ahora voy a hacerlo, yo voy un poco más rápido, con sólo dos determinantes, porque hay gente que me ha preguntado 00:00:12

si se puede hacer así. Bueno, vamos a suponer que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones 00:00:17

Y nos piden estudiarlo en función del parámetro a. Como hay gente que es muy rápida haciendo cálculos aljabreicos, lo suele hacer además bien, pues vamos a hacer esto. 00:00:22

Primero, hacemos esto en función de a. Ponemos la matriz a ampliada, que es esto, a-1, 4, 1, 5a más 1, 3, a, 2, 2. 00:00:34

y esta es A. Lo primero que hacemos es buscar una submatriz 2x2 de 0, con 00:00:52

determinante distinto de 0, podría ser esta, pero en este caso hay una todavía más fácil que es 00:01:00

esta y es la que voy a coger. Siempre vais a encontrar una de estas, es muy raro que os 00:01:07

aparezca una en Madrid donde no os lo puedan encontrar. Bien, pues una vez que tenemos esto 00:01:13

Podemos calcular, incluso al lado 00:01:19

Pues tenemos que 3, 1, 1, 5 00:01:22

Perdón, menos 1, esto es igual a 15 más 1 que es 16, 200 de 0 00:01:30

Por tanto, el rango de A es mayor o igual que 2 00:01:36

También obviamente el rango de ampliada 00:01:39

Si queréis ponerlo se puede, pero no es necesario 00:01:40

Y rango de ampliada mayor o igual que 2 00:01:43

Lo segundo, pues digamos el determinante de A 00:01:45

El distremiante de A, podéis poner esto justo seguido, para ahorrar espacio, que en la va una más o la dos. 00:01:49

A, 3 menos 1, 4, 1, 5, 3, A, 2, y esto nos daría 2A más 45, menos 4A, más 3, perdón, menos 24, menos 5A cuadrado. 00:01:56

Y esto es igual a menos 5 cuadrado menos 2A más 24 00:02:21

Y eso es igual a 0, si, solo si 00:02:35

Bueno, aquí tenéis un menos aquí 00:02:38

En esas ecuaciones es mejor cambiar el signo y poner A cuadrado más 2A menos 24 00:02:40

Y así ahorráis tiempo y errores 00:02:47

Que es muy fácil cometer errores con esto 00:02:50

Que no estéis acostumbrados a hacer determinantes con un menos aquí 00:02:51

Y esto es igual a 0 00:02:54

Bueno, y eso se ha puesto ahí 00:02:56

Eso ocurre si, solo si 00:02:58

A es igual a 00:03:01

Menos 2 más menos raíz cuadrada de 00:03:04

4 más 480 00:03:07

Dividido entre 10 00:03:10

Parece un 40, es un 10 00:03:12

Igual a menos 2 más menos raíz cuadrada de 484 00:03:14

Partido por 10 00:03:19

2 menos 2 más menos 22 00:03:20

Partido por 10 00:03:24

Y esto por una parte es menos 24 entre 10, y esto es menos 12 quintos, y por otra parte es 20 partido por 10, que es 2. 00:03:25

Aquí hay dos métodos. Bueno, si queréis luego hago el otro método parámetro-parámetro, pero voy a hacer... 00:03:39

Bueno, tomamos ahora la otra submatriz que contiene estas submatrices por 2, lo podemos escribir. 00:03:45

tomamos la otra submatriz 00:03:54

3 por 3 00:03:59

que contiene 3 menos 1 a 1 y 5 00:04:02

bueno, esto comprende que es una matriz 00:04:08

y lo ponemos 00:04:11

tendríamos 3 menos 1 00:04:12

1, 5, a, 2 00:04:17

a menos 1, a más 1, 2 00:04:20

Y eso sería 30 menos a por a más 1 más 2 por a menos 1 más 2 menos 5a por a menos 1 menos 6 por a más 1. 00:04:24

Y eso es igual a 30 menos a al cuadrado menos a más 2a menos 2 más 2 menos 5a al cuadrado más 5a menos 6a menos 6. 00:04:49

Y eso es igual, ponemos el menor, fijaos, el igual aquí. 00:05:05

Si quiere decir fuera de la matriz. 00:05:09

Y eso es igual a, pues, menos 6a al cuadrado más 24, esto es igual a 0, sí, sólo sí, 6a al cuadrado es igual a 24, sí, sólo sí, a al cuadrado es igual a 24 partido por 6, que es 4, sí, sólo sí, a es igual a más menos la raíz cuadrada de 4, que es más menos 2. 00:05:10

bueno, pues ya tenemos los casos 00:05:38

vamos a ver ya 00:05:41

no me cae aquí por el parámetro 00:05:43

a ver, casos 00:05:45

si A es distinto de 2 00:05:47

y A 00:05:50

es distinto de 00:05:53

menos 12 quintos 00:05:55

entonces el rango de A 00:05:56

es igual al rango de A ampliada 00:05:59

que es 3 00:06:01

que es igual al número de incógnitas 00:06:03

entonces tenemos 00:06:04

un sistema 00:06:07

compatible de terminado. Ahora, si a es igual a 2, pues ya hemos visto que este determinante de aquí es 0, 00:06:09

y también este es 0 porque una de las soluciones es 2. Entonces tendríamos el rango de a es el rango de a ampliada, 00:06:27

que es igual a 2, y esto es menor que 3, que es el número de incógnitas, ¿no? 00:06:37

menor que el número de incógnitas 00:06:42

por lo tanto 00:06:46

sistema 00:06:49

compatible 00:06:51

indeterminado 00:06:53

por último 00:06:56

si A es igual 00:07:00

al otro caso 00:07:03

menos 12 quintos 00:07:05

¿qué tenemos? 00:07:07

pues como 00:07:09

menos 12 quintos no es 00:07:10

solución de esta ecuación 00:07:13

tendremos que el rango de A 00:07:14

es igual 00:07:16

a 2 menor que el rango de ampliada 00:07:18

que es igual a 3, por tanto 00:07:24

sistema incompatible, y ya habíamos terminado 00:07:27

pregunta, ¿y qué ocurriría con la solución de aquí de que a es igual a 00:07:34

menos 2? pues no pasaría nada, porque el rango de ampliada 00:07:38

seguiría siendo 3, ya que esta ampliada tiene estos 00:07:42

dos determinantes, pues que a solo tiene este, lo que tenemos que ver 00:07:46

es que ocurre cuando este de aquí es cero o distinto de cero en los casos en que éste es cero pero 00:07:50

cuando éste de aquí ya es distinto de cero lo que nos dé un dato determinante no importa con lo cual 00:07:57

este menos dos no va a afectar nada bueno muy importante cuando pongáis roadshed en la evau 00:08:04

no olvidéis de poner esto recuadrado para que se vea claro quiero decir este es el resumen va a 00:08:11

sobre todo lo que van a mirar. Tiene una pila de exámenes muy amplia y haciendo esto pues va a ser 00:08:20

mucho más rápido todo para ellos y mejor para vosotros. Voy a poner término inicial aunque no es 00:08:26

necesario, sistema compatible indeterminado y sistema incompatible. Mejor ponerlo con letras 00:08:32

que es más elegante. O sea con letra entero que es más elegante. Bueno, este método lo recomiendo 00:08:37

a gente que tenga una especial facilidad con el cálculo de términos con parámetros. 00:08:47

Es más fácil confundirse cuando tenéis que hacer dos determinantes con parámetros que uno solo. 00:08:53

Hay uno que hay que hacer a la fuerza, pero solo si tenéis una gran habilidad con esto, recomiendo hacer el método así. 00:08:59

Si no, pues el método dando valores, que es más seguro. 00:09:06

Aunque, todo hay que decirlo algo más largo. 00:09:11

Bueno, voy a cerrar ese método aunque ya está en otro vídeo. 00:09:15

Bueno, en este caso, el otro método sería lo de ampliadas, pues si A es distinto de 2 y A es distinto de menos 12 quintos, entonces sistema compatible determinado. 00:09:17

Pues, perdón, el rango de A es igual al rango de ampliada igual a 3, igual al número de incógnitas. 00:09:36

Si a es igual a 2, ¿qué ocurre entonces? Pues podéis sustituir, 2, 3, menos 1, 4, 1, 5, tenéis que a ampliada es igual a esto, 3, 2, 2, 1, 3, 2. 00:09:45

Entonces, pues, calculáis el rango de Eta Madrid 00:10:06

2, 3, 1, 4, 1, 3 00:10:11

3, 2, 2 00:10:15

Que son estas tres columnas 00:10:19

Os da 0 00:10:21

Y tenéis que entonces que el rango de A es igual al rango de A ampliada 00:10:22

Que es igual a 2 00:10:25

Menor que 3, que es igual al número de incógnitas 00:10:27

Entonces, sistema compatible 00:10:29

indeterminado 00:10:34

y luego ya por último voy a seguir por acá 00:10:37

si A es igual a 00:10:40

menos 12 quintos 00:10:43

pues ya sustituís 00:10:45

A ampliada es igual a 00:10:46

menos 12 quintos 00:10:49

3 menos 1 00:10:51

menos 12 quintos menos 1 00:10:53

que es 00:10:55

menos 00:10:56

17 quintos 00:10:59

4, 1 00:11:01

5 menos 7 quintos 00:11:03

3 menos 12 quintos 00:11:07

2 y 2 00:11:10

igualmente que antes haréis el determinante 00:11:11

de la matriz 00:11:13

menos 12 quintos 00:11:15

3 menos 1, 4, 1 00:11:16

5 00:11:19

3 menos 12 quintos 00:11:21

y 2 00:11:23

perdón, me he despistado 00:11:25

la última columna 00:11:26

que para eso podéis coger la calculadora y ponerlo todo directamente ahí 00:11:27

pero bueno 00:11:34

la menos siete quintos y dos y os daría menos ocho sesenta y cuatro partido por veinticinco 00:11:35

que es menos diez con cincuenta y seis y esto es distinto de cero entonces tendríamos que 00:11:44

el rango de A es igual a dos menor que el rango de A ampliada que es igual a tres por 00:11:49

tanto sistema incompatible después de todo lo que es todo va a quedar mucho mejor y perdéis 00:11:55

solamente tres minutos. Si volvéis a copiar aquí en un recuadro, bueno y si tenéis espacio, un esquema 00:12:04

que ponga si A es distinto de 2 y A es distinto de menos 12 quintos, entonces el rango de A igual al 00:12:11

rango de ampliada igual a 3, igual al número de incógnitas, por lo tanto sistema compatible 00:12:23

determinado. Bueno, sin abreviatura, todo seguido. Lo mismo, si a es distinto de, perdón, si a es igual a 2, bueno, si es el que mal hacéis, mejor. 00:12:31

Rango de a igual a rango de ampliada igual a 2 menor que el número de incógnitas. Entonces, sistema es todo entero, sistema compatible indeterminado, 00:12:44

todo entero, y si A es igual a menos 12 quintos, entonces el rango de A es menor que el rango de A ampliada, 00:12:57

bueno, estos dos, estos tres, sistema incompatible. 00:13:07

Si hacéis este pequeño recuadro, que yo he hecho muy rápidamente, entonces al final mejor, 00:13:12

porque queda todo mucho más claro, el corrector va directamente a ese recuadro, lo lee, ve que está bien 00:13:17

y seguramente ya os ponga bien directamente en todo. 00:13:21

Y eso que ganáis. 00:13:25

Gracias. 00:13:27