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Tema 6-Geometria Analitica-4ESO-Editorial Teide-apartados 1 a 3 - Contenido educativo

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Subido el 11 de enero de 2022 por Pablo V.

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Introducción histórica a la Geometría Analítica.
Introducción al concepto de vector.
Operaciones gráficas con vectores.
Operaciones analíticas con vectores.

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Sí, buenos días. Vamos a comenzar hoy la unidad 6, que trata sobre geometría analítica en el plano. 00:00:01
Vamos a utilizar para ello este programa que tenéis aquí delante. 00:00:07
No he decidido no ocultarlo, para que podáis ver también las manipulaciones que hago, 00:00:12
por si acaso alguno de vosotros quiere aprender a utilizar este programa, que se llama Inkscape, de gráficos repertoriales. 00:00:17
Como decía, la unidad 6 se llama geometría analítica en el plano. 00:00:25
Y vamos a comenzar haciendo un breve repaso histórico sobre cómo se llevó a la geometría analítica. 00:00:30
La geometría analítica es la unión, la combinación, el trabajo conjunto de dos disciplinas muy diferentes de la matemática. 00:00:37
Por un lado la geometría y por otro lado el álgebra. 00:00:47
Entonces, el mayor trabajo de geometría que se aportó o el mayor hito en la geometría fueron los elementos de Euclides. Euclides fue un geometra y matemático griego del siglo III a.C. 00:00:51
Aquí tenéis una breve reseña de sus datos. 00:01:06
Él estuvo activo, no hay muchos datos sobre Euclides, sobre su vida, 00:01:11
pero sí que se sabe que estuvo activo y la mayor parte de su vida la pasó allí, en Alejandría, en el Antiguo Egipto. 00:01:16
Y su trabajo más famoso fueron los elementos, que es el libro más importante o el más exitoso en la historia de las matemáticas 00:01:26
y que es todo de geometría, o principalmente de geometría, aunque tiene partes de aritmética también. 00:01:35
Tenéis aquí una de las múltiples traducciones de los elementos euclides, en concreto una al castellano, 00:01:42
del año 1576, con esta portada tan bonita. Está todo en internet, lo podéis recuperar, 00:01:49
esta traducción o muchísimas otras versiones. Y os he hecho algunas capturas de pantalla 00:01:55
para que veáis la importancia que tuvieron los elementos de Euclides y su actualidad, 00:02:00
porque si vosotros lo veis, parece que estáis leyendo un libro actual. 00:02:05
El libro comienza con la definición de los elementos geométricos más importantes, 00:02:15
como puede ser el punto, dice en concreto punto es, cuya parte es ninguna. 00:02:19
Por ejemplo, línea es longitud que no se puede ensanchar. 00:02:25
Como veis aquí las Fs, las Ss las hacían que parecían Fs, ¿no? 00:02:28
Pero se puede entender muy bien. 00:02:34
Línea recta es la que igualmente está entre sus puntos, ¿no? 00:02:35
Y así muchos otros apartados. 00:02:42
Aquí, por ejemplo, tenéis las cosas que a una misma son iguales, también entre sí son iguales. 00:02:44
Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los todos serán iguales. 00:02:51
Cuesta un poco leerlo, pero se entiende bien. 00:02:56
La importancia de los elementos de Euclides fue muy grande porque no solamente fue un compendio de toda la geometría que existía hasta el momento, 00:02:59
aportada por la cultura babilonia, mesopotamia y también todas las aportaciones del Antiguo Egipto, sino por la forma de exponerla. 00:03:07
La exposición se basaba en una serie de postulados, en concreto cinco postulados, que los tenéis aquí a la derecha. 00:03:21
Estos cinco, y a partir de estos cinco postulados se van deduciendo, demostrando todos los demás teoremas. 00:03:30
Los cinco postulados de Euclides se mantuvieron intactos, sin que nadie los cuestionara ni los tumbara, hasta el siglo XIX. 00:03:37
en la cual, precisamente por este último quinto postulado de las rectas paralelas, 00:03:46
se vio que había un hueco y se empezaron a generar las geometrías no euclidianas, como se llaman. 00:03:52
Aquí tenéis el teorema de Pitágoras, representado en este libro de los elementos euclides. 00:03:59
Bien, entonces, eso sería, por un lado, lo que es la geometría. 00:04:07
Y, por otro lado, la evolución del álgebra tuvo un hito muy importante también. 00:04:10
en el siglo VII de nuestra era con Al-Juarismi, siglo VII, siglo VIII y IX, con Al-Juarismi 00:04:15
que le tenéis aquí representado, una representación aproximada, y cuyo libro más importante 00:04:24
fue el Compendio de Cálculo por Reintegración y Comparación, que en árabe se llama Al-Gebra 00:04:30
y Al-Muqabala. La palabra álgebra viene precisamente de esta expresión árabe, al-gabar o álgebra, 00:04:34
No sé muy bien cómo se expresará, pero la palabra viene de aquí. 00:04:43
El álgebra que hacía Al-Khwarizmi era álgebra retórica, no se utilizaban letras en ningún lugar, 00:04:48
por lo tanto, daros cuenta de lo complicado que era para él expresar las instrucciones o los procedimientos para resolver ecuaciones, 00:04:54
porque era todo redactado, todo álgebra retórica. 00:05:04
El álgebra de Al-Juarizmi fue muy importante para la Europa 00:05:07
no solamente por el contenido que transmitió 00:05:13
sino por los tipos de números con los que trabajaba Al-Juarizmi 00:05:15
que eran los números indios y árabes 00:05:19
que eran diferentes a los números romanos que se utilizaban en Europa 00:05:23
y que no se dejaron de utilizar hasta el siglo XII 00:05:28
principalmente por la introducción que hizo Fibonacci 00:05:30
y la defensa que hizo Fibonacci de los números arábicos o indios. 00:05:35
Aquí tenéis algunas imágenes de ese libro, dos páginas de ese libro. 00:05:41
Aquí veis que también se hacían representaciones geométricas de algunas de las ecuaciones, 00:05:48
pero veis que no hay ninguna letra para representar ecuaciones, era todo redactado. 00:05:52
Ahora voy a hacer una breve explicación muy curiosa de cuál es el origen de la X 00:05:58
que tanto usamos en álgebra y que tiene que ver con España, porque uno de los primeros lugares en donde se tradujo el álgebra de Al-Khwarizmi al latín fue en España. 00:06:03
Concretamente, en 1145 se tradujo en Segovia por Roberto de Chester con el título de Liber Algebra y Almukabala. 00:06:17
Y los traductores se encontraban con una dificultad, y es que en los textos de Al-Khwarizmi, que veis aquí a la derecha, se utilizaba para la incógnita la palabra árabe shayán, que significa algo, y cuya inicial es esta letra, la letra árabe shin, que suena como una S líquida. 00:06:26
Y ese sonido no existía, nada parecido en español ni en latín. 00:06:50
Entonces se hizo una aproximación y se representó al español como Shey, y luego se simplificó con su inicial X. 00:06:55
Y también hay gente que dice que viene de la letra griega Kappa o Chi, y que posteriormente se simplificó a la letra X. 00:07:03
Por lo tanto, que sepáis que el origen de la X tiene que ver con los traductores al latín de la obra de Al-Khwarizmi, 00:07:10
y que su incorporación no fue por motivos didácticos, sino por motivos lingüísticos, 00:07:16
porque esta palabra árabe no sabían cómo incorporarla, cómo traducirla, y esto fue una abreviación. 00:07:22
Posteriormente, en el siglo XVI, los matemáticos Robert Record, en el siglo XVI, introdujo el signo igual y el signo más en 1557. 00:07:29
Y ahora vamos a ver, por ejemplo, en uno de sus libros, cómo representó una de las primeras ecuaciones con letras. 00:07:42
Esta ecuación de aquí quiere decir 14x, que le ponían, no sé por qué, dos puntos, uno delante y otro detrás. 00:07:49
Aquí está el signo más, 14x más 15 igual a 71, ¿vale? 00:07:56
Es decir, Robert Record introdujo el signo igual y el signo más y la x, 00:08:02
ya se conocía desde el siglo XII por una abreviatura, una abreviación de la palabra griega shayán. 00:08:08
Y luego tenemos a François Viette, o Vieta en español, como se suele decir, 00:08:17
que fue uno de los grandes precursores del álgebra, el que más aportó a la notación que utilizamos actualmente, 00:08:24
porque hasta entonces en las disputas que se celebraron entre Cardano, Tartaglia 00:08:31
no se utilizaban prácticamente letras sino que se seguían resolviendo las ecuaciones de manera retórica 00:08:38
y se hablaba de la cosa y todos los cálculos y las explicaciones se realizaban de manera retórica 00:08:45
aquí tenéis unas capturas de uno de sus libros Inartem Analog Analyticem Isagoge 00:08:54
donde podéis ver el empleo de las ecuaciones de las letras 00:08:59
para representar cantidades 00:09:04
y posteriormente el signo por 00:09:06
que también fue una aportación inglesa 00:09:09
de William Outred 00:09:11
el signo de la multiplicación es del siglo de este matemático inglés 00:09:15
que vivió entre 1574 y 1660 00:09:22
y ahora ya vamos a las aportaciones más importantes 00:09:25
a la geometría analítica, es decir, el casamiento, la unión de la álgebra y la geometría, 00:09:29
la realizaron estos tres matemáticos, dos franceses y uno holandés, René Descartes, 00:09:34
que nació en 1596 y murió en 1650, que era matemático y filósofo, 00:09:40
y él sí publicó sus aportaciones o sus descubrimientos, 00:09:47
y Pierre de Fermat, que también era un gran matemático, pero que no publicó sus aportaciones. 00:09:51
Y Fermat y Descartes fueron los que propusieron el empleo de las coordenadas, que luego llevaron el nombre de coordenadas cartesianas, en honor a René Descartes. 00:09:59
Pero hay que tener en cuenta que René Descartes y Pierre de Fermat solamente se referían a un eje de coordenadas. 00:10:12
El que utilizó o que propuso y defendió el empleo de dos ejes perpendiculares fue este inglés, Franz von Schulte, y aquí tenéis una representación de Rembrandt, nada más y nada menos. 00:10:18
una vez hecha esa introducción podemos ir ya a lo que es nuestro tema 6 00:10:29
aquí tenéis el libro de Teide que es el que nosotros estamos utilizando 00:10:36
el que vosotros tenéis y en el cual yo he ocultado algunas partes 00:10:41
que considero menos importantes para que no nos distraigamos 00:10:45
entonces en este vídeo para que no sea muy extenso 00:10:48
vamos a cubrir solamente los tres primeros apartados del tema 00:10:51
En concreto vamos a hacer una introducción a lo que son los vectores, luego vamos a ver cómo se operan con vectores libres, con el método gráfico y posteriormente cómo se operan vectores con el método analítico. 00:10:58
En primer lugar, ¿qué es un vector? Un vector es un segmento orientado, es decir, en Euclides y en geometría se sabe muy bien lo que es un segmento, que es una parte de una recta. 00:11:11
Aquí tendríamos un segmento con el concepto tradicional, una parte de la recta que tiene una longitud. 00:11:26
En geometría analítica se dice que un vector fijo es un segmento orientado, es decir, es un segmento pero con más información. 00:11:35
Es un segmento cuyos dos puntos no son iguales. 00:11:45
Aquí los puntos inicial y final de un segmento tienen un nombre. 00:11:49
El primero, el origen, se llama origen y el final se llama extremo, ¿vale? 00:11:56
Y se representa el vector por la letra del origen y por la letra del extremo y encima se le pone una pequeña flecha. 00:12:01
¿Cuáles son los componentes de un vector? 00:12:11
Un vector se compone, se forma o tiene un módulo, que es la longitud del segmento AB, que sería esta longitud, ¿vale? 00:12:14
O esta, es decir, como hemos dicho que un vector es un segmento, si aquí no le pinto ni el origen ni el extremo ni la orientación, 00:12:20
la longitud de este segmento sería el módulo, ¿vale? La longitud de esta flecha sería el módulo. 00:12:28
Luego tenemos una dirección. La dirección es la recta que soporta ese vector, ¿vale? 00:12:33
Es decir, la dirección en el lenguaje habitual, nosotros hablamos en el lenguaje coloquial de dirección para referirnos a lo que en matemáticas llamamos sentido. 00:12:40
Cuando nosotros decimos que ha habido un accidente en la carretera Madrid-Barcelona en dirección Barcelona, en matemáticas diríamos en sentido Barcelona o en sentido Madrid, si nos queremos referir al sentido contrario. 00:12:55
La dirección en matemáticas, en geometría analítica, es la recta sobre la cual se encuentra el vector. 00:13:11
Y una dirección no tiene un sentido concreto, tiene dos sentidos. 00:13:20
La dirección es esto, es la recta en la cual se encuentra ese vector. 00:13:25
Y lo que normalmente nos referimos a ello como dirección en el lenguaje coloquial es en matemáticas, en geometría analítica, el sentido. 00:13:31
El sentido es la orientación del vector. 00:13:39
Por lo tanto, el sentido es el que va de A a B, del origen al extremo, del inicio al fin. 00:13:41
Luego, si el vector fijo tiene su origen en el origen de coordenadas, hablábamos de un vector de posición y definimos las coordenadas de estos vectores como las coordenadas de su extremo, que lo determinan por completo. 00:13:54
Es decir, yo podría tener un vector aquí, pintado, por ejemplo, yo podría tener un vector aquí, y ese no sería un vector de posición. 00:14:04
Vector de posición solamente si yo el punto, el origen, lo tengo en el origen de coordenadas, como el que tenemos aquí representado. 00:14:22
Aquí tenemos el punto A43, que lo sabéis representar en coordenadas cartesianas 00:14:30
Que por cierto, voy a recordar cómo se llamaban cada uno de los orígenes, cada uno de los ejes de las coordenadas 00:14:35
Como sabéis, este eje de aquí es el eje de abscisas 00:14:42
Me ha quedado esto mal, abscisas, ahora lo cambiaré 00:14:54
¿Vale? Vamos a quitarle el relleno, que no queremos relleno, ¿vale? 00:14:59
Abscisas, y estas son las ordenadas. 00:15:06
Or-den-adas. 00:15:10
¿Vale? Estas son las ordenadas. 00:15:12
Bien, entonces aquí tenemos el punto A43, 00:15:14
y el vector de posición OA es el vector que va desde el origen de coordenadas hasta este punto. 00:15:18
¿Vale? Parece lo mismo, pero bueno, no es exactamente lo mismo. 00:15:25
Nos iremos acostumbrando conforme lo vayamos usando. 00:15:28
Por otro lado, se dice que dos vectores fijos son equipolentes y tienen el mismo módulo, dirección y sentido. 00:15:32
Existen, por tanto, dado un vector fijo AB, infinitos vectores equipolentes AE. 00:15:38
Es decir, si yo tengo este vector de aquí, el vector AB, y yo este vector, no es el vector sino defino cualquier vector que tenga ese módulo, esa dirección y ese sentido, lo puedo aplicar en muchos sitios y todos estos vectores serían equipolentes a este vector. 00:15:45
Y el conjunto de todos ellos se llama vector libre V. 00:16:06
Un vector libre es un vector que se puede aplicar o que se puede considerar aplicado en cualquier punto. 00:16:11
Y lo contrario es un vector fijo que está aplicado en un punto cualquiera. 00:16:18
Y cada uno de estos vectores son representantes del vector libre V. 00:16:23
Bien, estos ejercicios no los considero muy interesantes, entonces los vamos a saltar. 00:16:30
Vamos a empezar ya directamente con las operaciones con vectores libres, el método gráfico. 00:16:35
Y aquí vamos a aprender cómo se suman y cómo se restan vectores de manera gráfica, 00:16:40
y cómo se multiplican por números que llamaremos escalares. 00:16:46
Bien, entonces, suma de vectores y coordenadas de un vector libre. 00:16:50
¿Cómo se pueden sumar dos vectores libres u y v? 00:16:54
Para ello, como son vectores libres, nosotros los podemos mover de cualquier manera, ¿no? 00:16:57
Es decir, los puedo desplazar. Y vamos a coger dos representantes de cada uno de ellos, de forma que se coloquen consecutivamente con el origen del segundo en el extremo del primero. 00:17:03
Y el vector suma será aquel que tiene como origen el origen de u y como extremo el extremo de v. ¿Vale? 00:17:18
¿Esto qué quiere decir? Aquí lo tengo representado. Yo aquí tengo el vector libre u y el vector libre v y me piden que lo sume. Por lo que hago es coger este vector v, me lo llevo aquí, ¿vale? Aquí lo tengo representado, que he puesto el origen de uno de ellos en el extremo de otro de ellos. 00:17:25
el vector v, me lo he llevado aquí 00:17:44
¿vale? 00:17:46
y la suma de u más v 00:17:48
será el vector que va 00:17:51
del origen de u 00:17:52
al extremo de v 00:17:55
voy a hacer otro ejemplo 00:17:56
¿vale? 00:17:58
voy a hacer la mano alzada 00:18:00
vamos a sumar, por ejemplo, el vector a 00:18:02
yo aquí lo tengo 00:18:05
el vector a 00:18:07
y el vector 00:18:09
que va a ir así, hacia abajo. Un momento, lo voy a dibujar de un solo trazo para que me sea más fácil, ¿vale? 00:18:13
Este es el vector B y este es el vector A, ¿de acuerdo? 00:18:22
¿Cómo se sumarían estos vectores? Yo tengo que sumar A más B, ¿no? 00:18:26
Bien, pues yo me cojo B y me lo llevo, me llevo el origen de B en el extremo de B. 00:18:31
Y entonces el vector suma sería este de aquí, voy a ponerlo en rojo para que se vea más fácil, más bonito, ¿vale? El vector suma sería ese, ese sería a más b, a más b, y se representa así, ¿vale? 00:18:40
Bien, esa es una de las maneras de sumar vectores, pero otra manera de sumar vectores de manera gráfica es mediante la regla del paralelogramo, que consiste en hacer algo muy parecido, pero en vez de llevarnos el vector v al extremo del vector u, nos lo llevamos al origen y construimos un paralelogramo, ¿vale? 00:19:02
Entonces, siguiendo con nuestro ejemplo, ¿cómo hubiera sido esto? Yo me lo voy a copiar aquí, o lo voy a deshacer, mejor dicho, yo esto lo voy a deshacer, tengo que coger un poquito más de práctica. 00:19:25
Entonces, aquí el vector B, en vez de llevármelo al extremo, me lo voy a llevar al origen y aquí voy a formar un paralelogramo. ¿Cómo se forma el paralelogramo? Así, de esta manera. 00:19:45
Ahora copio este vector ahí y copio este vector aquí, control V, ¿vale? 00:20:04
Y ahora, uniendo este origen, la diagonal de ese paralelogramo va a ser la suma. 00:20:10
A, control Z, que me he equivocado, ¿vale? 00:20:23
Este sería A más B. 00:20:27
Es decir, hay dos maneras de hacerlo. 00:20:31
construir un paralelogramo 00:20:34
o construir un trenecito, una cadena de vectores 00:20:36
aquí tendríamos A más B 00:20:41
aquí no es necesario llevarse el vector exactamente 00:20:43
sino que basta llevarse el vector primero 00:20:49
dejar el vector primero y el vector segundo 00:20:53
y esto serían líneas discontinuas 00:20:56
y así haríamos el paralelogramo 00:20:58
¿Vale? Bien, aquí nos están pidiendo, por ejemplo, que realicemos la suma de los vectores de manera gráfica, de estos dos vectores. 00:21:00
¿Cómo se sumarían u más v? Voy a tapar la solución para que luego veáis que, o sea, para que la podáis ver, para que veáis que nos va a dar aproximadamente lo mismo. 00:21:12
Nos están pidiendo que sumemos el vector u más el vector v. 00:21:23
Lo voy a hacer a mano alzada aproximadamente. 00:21:29
Sería así. 00:21:32
Este sería mi vector. 00:21:33
Vamos a cambiar el color del trazo y el relleno. 00:21:36
Este sería mi vector u. 00:21:42
Y este sería mi vector v que lo vamos a sumar de las dos maneras. 00:21:45
Vamos a ver. 00:21:50
Primero haciendo una cadena de vectores, una sucesión de vectores, lo estoy dibujando aproximadamente paralelo. Este sería mi vector v, ¿vale? Entonces ahora por lo tanto ya tengo hecho la cadena o el trenecito, como lo queráis llamar, este sería u más v, u más v, ¿de acuerdo? 00:21:51
Y si lo hiciéramos por el paralelogramo, por la regla del paralelogramo, en vez de juntar origen con extremo, junto orígenes, es decir, este vector me lo llevo aquí, ¿vale? 00:22:15
Y ahora hago el paralelogramo, es decir, aproximadamente sería eso, y este sería u más v, ¿vale? 00:22:30
Si esto es v, esto sería u más v, ¿vale? 00:22:44
Vamos a ver ahora cómo lo hace él, si la solución es la misma. 00:22:51
En primer lugar colocamos los vectores libres, uno a continuación de otro, y después sumaremos. 00:22:57
Él lo ha hecho por el método de la cadena de vectores, por este método. 00:23:01
Y nosotros lo hemos hecho de las dos maneras, por la cadena de vectores y por la ley del parallelogram. 00:23:06
Es decir, puedo juntar orígenes o puedo hacer cadena. 00:23:12
Origen de uno en el extremo del anterior, ¿vale? 00:23:16
Pero veis que el resultado es el mismo. 00:23:20
Resta de vectores. ¿Cómo se haría la resta de dos vectores? 00:23:22
Pues lo primero que hacemos es recordar la resta que hacíamos en aritmética 00:23:26
Es decir, siempre podemos considerar que la resta de dos elementos es la suma de uno más el opuesto de otro 00:23:33
Entonces, si yo tengo un vector v, ¿cuál va a ser su opuesto? 00:23:40
El opuesto es un vector que tiene el mismo módulo, la misma dirección 00:23:44
Porque recordad que la recta que soporta un vector es la dirección, pero el sentido opuesto 00:23:48
Entonces, si esto es v, esto es menos v, que es muy lógico. Y restar dos vectores u y v equivale a sumar al primero el opuesto del segundo. 00:23:54
u menos v es u más menos v, es decir, el opuesto del segundo, de la misma forma que se explicó anteriormente. 00:24:02
Entonces, aquí tenemos u y v. ¿Cómo podemos restarlo? Pues hago u y v, lo invierto, lo estoy pasando a menos v. 00:24:10
Esta flecha que está aquí está apareciendo ahora aquí. Y ahora sumo estos dos vectores y los suma por el método de la cadena. Pone aquí u, donde termina u, comienza menos v y esta va a ser la resta. Este vector de aquí va a ser u menos v. 00:24:20
Pero, de todos modos, hay una forma más directa y es saber que cuando tú tienes un vector y quieres hacer la resta, el vector siempre es el final menos el inicial. 00:24:43
Bien, perdón, continuamos con nuestra resta de vectores. Hemos visto que se pueden restar vectores sumando a un vector su opuesto. 00:25:02
Pero hay una forma más simplificada de restar vectores de manera gráfica y la voy a explicar aquí a continuación. 00:25:19
Si yo tengo el vector A y el vector C y yo hago el vector que va de A a B, es decir, del extremo de A al extremo de C y le llamo a ese vector B, yo puedo decir que C, que el vector C, es la suma de A más B, porque están haciendo una cadena, ¿no? Están seguidos. 00:25:27
Es decir, el origen de B parte del extremo de A. Por lo tanto, C sería A más B. 00:25:49
Y de aquí, si despejo B, el vector A pasaría restando y puedo decir que B es C menos A. 00:25:58
Es decir, B es C menos A. 00:26:07
Por lo tanto, siempre que tengamos un vector que va de la punta de un vector a la punta de otro vector, 00:26:11
sabemos que ese vector es la resta de dos vectores, de esos dos vectores, pero ¿cuál es el que va sumando, cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo? 00:26:17
Bien, pues siempre es el final menos el inicial, el extremo menos el origen, es decir, B es el final, C menos A, final menos inicial. 00:26:28
siempre que haya un vector entre las dos puntas de dos vectores de las puntas de 00:26:42
dos vectores ese vector va a ser la resta de los dos vectores y siempre es 00:26:47
el final es decir en este caso c menos a y si nos 00:26:53
liamos pues planteamos la ecuación en positivo y vamos a ver quién está 00:26:59
sumando y quién es el vector c que será la suma de a más b y lo pasamos hacia el 00:27:05
otro lado y vemos si B es C menos A o A menos C. Pero siempre recordemos que es final menos 00:27:10
inicial. Y ahora aquí viene lo mismo que yo os he dicho, pero comentado de otra manera 00:27:19
y es muy importante. Lo que pasa es que el libro lo expresa de una manera un poco complicada. 00:27:24
Dice, la suma y la resta de vectores libres nos permite obtener las coordenadas de un 00:27:30
vector libre cualquiera. Dice, observa que según el gráfico, en el cual tenemos los 00:27:34
ejes de coordenadas y tenemos un punto A, el origen de coordenadas, y otro punto B. 00:27:39
Y trazamos el vector que va de A a B. El origen es A, el extremo es B. Y dice, observa que 00:27:46
según el gráfico se verifica que OA, el vector que parte de O y va hasta A, más el 00:27:54
vector AB, es igual a OB. Eso lo sabemos por la regla de la suma de vectores. Esto hace 00:28:01
una cadena de vectores, un trenecito, y este vector, el vector que va del origen al punto B, es la suma de OA más AB, por tanto, hace lo que yo os he hecho antes, 00:28:09
por lo tanto, AB es OB menos OA, que pasa restando, es decir, AB es OB menos OA, es decir, las coordenadas de un vector libre, ¿vale? 00:28:22
Él está diciendo que aquí AB es un vector libre, se obtienen restando, y ahora aquí está mal expresado en el libro, se obtienen restando a las coordenadas del extremo, es decir, a las coordenadas de B, se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen de uno cualquiera de sus representantes. 00:28:36
Es decir, de manera simplificada, las coordenadas de un vector libre son siempre el final, el punto final, menos el inicial, o el extremo menos el origen. 00:29:06
En nuestro caso, si las coordenadas de A son A1, B1 y las de B son A2, B2, las coordenadas del vector AB serán las del final menos las del inicial, es decir, la abscisa final A2 menos la abscisa inicial que es A1, A2 menos A1. 00:29:18
Y las ordenadas de AB, es decir, la segunda coordenada de AB será la ordenada final B2 menos la ordenada inicial B1, ¿vale? 00:29:42
Bien, y ahora vamos a ver cómo se calcula el módulo de un vector libre y se representa con estas barras verticales. 00:29:54
¿Os acordáis? Son las mismas barras que utilizábamos para representar el valor absoluto de un número entero o de un número real, ¿vale? 00:30:03
El módulo de un vector libre U se denota con estas dos barras verticales y es la longitud de su segmento. 00:30:10
Cuando conocemos las coordenadas del vector U, del vector libre AB, su módulo es la raíz cuadrada de A cuadrado más B cuadrado. 00:30:19
Es decir, la raíz cuadrada de la primera coordenada al cuadrado más la segunda coordenada al cuadrado. 00:30:28
¿Y por qué eso es así? Pues por el teorema de Pitágoras, sencillamente. Si nosotros tenemos un vector AB, que va desde el punto A hasta el punto B, y aquí tenemos que la diferencia de ordenadas de AB es 3, o menos 3 en valor absoluto, y 2 en horizontal, en abscisas, el módulo de AB va a ser la hipotenusa de este triángulo rectángulo. 00:30:38
¿Vale? Esa es la razón y esto lo tenéis que aprender muy bien 00:31:04
Esto que he recuadrado, que es cómo se calculan las coordenadas de un vector libre 00:31:08
Que es siempre final menos inicial 00:31:13
Y el módulo de un vector a partir de sus coordenadas 00:31:15
Las tenéis que aprender muy bien 00:31:19
¿Vale? Bien 00:31:20
Ahora vamos a explicar qué es una magnitud escalar 00:31:21
Hemos empezado definiendo los vectores como un segmento orientado 00:31:25
¿Por qué se utilizan los vectores? Pues porque son muy importantes en física, porque muchas magnitudes no basta con conocer el número que las representa, no quedan definidas totalmente con un número, con una cantidad numérica, sino que se tiene que decir, se tiene que indicar una dirección y un sentido. 00:31:31
Como por ejemplo, un desplazamiento. Si yo estoy en el plano cartesiano y digo me voy a desplazar 20 kilómetros. ¿Eso nos dice algo? No. Nos dice que nuestro punto final, si hemos ido en línea recta, estará en el extremo de una circunferencia de radio 20 kilómetros. 00:31:52
Pero si queremos saber el punto exacto, tendremos que dar una dirección y un sentido, ¿vale? Lo mismo pasa con el viento. El viento no me vale decir que un viento tiene 10 metros por segundo o 5 metros por segundo de velocidad. 00:32:14
Ahora, tendré que decir si está soplando del norte al sur, o 15 grados este, o 15 grados noroeste, etc. Hace falta una dirección y un sentido. Pues lo contrario de las magnitudes vectoriales son las magnitudes escalares. 00:32:29
Las magnitudes de escalares son las que quedan definidas de manera completa con un número. Por ejemplo, la masa de un cuerpo. Si yo digo que mi masa es 80 kilos, no tengo que decir en qué dirección o en qué sentido. 00:32:46
O, por ejemplo, ¿qué otra magnitud puede ser escalar? La temperatura. Yo digo que hace hoy una temperatura de 10 grados y no tengo que decir ni dirección ni sentido. Por lo tanto, magnitudes vectoriales, magnitudes escalares. Vectores, escalares. Vectores por un lado y escalares por otro. 00:33:04
Los escalares que son, son números, son los números a los que estamos acostumbrados. 00:33:27
Y existe una aparición de vectores, que es la multiplicación por escalares, ¿vale? 00:33:32
Y es lo que vamos a explicar ahora. 00:33:39
El resultado de multiplicar un vector libre u por un número real no nulo, lambda, 00:33:41
lambda es la letra griega lambda, este símbolo que yo os he puesto aquí, 00:33:46
es la letra griega lambda, que es el equivalente a nuestra L. 00:33:50
Nuestra L viene de la lambda griega. 00:33:53
Es un vector lambda u 00:33:56
Es decir, yo tengo un vector libre u 00:33:58
Y lo multiplico por el vector lambda 00:34:00
Y voy a tener otro vector 00:34:01
Que se va a llamar lambda u 00:34:03
La flechita solamente afecta al u 00:34:06
No afecta a la lambda 00:34:09
Es decir, no se pone encima 00:34:10
Y ese vector va a tener la misma dirección 00:34:12
¿Vale? 00:34:14
El módulo de lambda u 00:34:15
Que yo lo pongo así 00:34:18
O sea, que se escribe así 00:34:19
Con estas dos barras verticales 00:34:20
Va a ser el valor absoluto de lambda 00:34:22
porque lambda puede ser, como es un número real, puede ser positivo o negativo, ¿vale? 00:34:24
Es decir, el módulo de lambda u va a ser el valor absoluto de lambda por el módulo de u. 00:34:31
Y el sentido va a ser el mismo que u si lambda es positivo y de sentido contrario si lambda es negativo, ¿vale? 00:34:37
Entonces, aquí tengo u y si lo multiplico por el escalar 2, por el número 2, 00:34:47
Voy a tener un vector que va a tener la misma dirección, es decir, esta recta y esta recta van a ser paralelas, la dirección de u y la dirección de 2u van a ser paralelas, va a ser la misma dirección, el módulo va a ser el doble y el sentido va a ser el mismo. 00:34:53
¿Por qué? Porque 2 es un número positivo. 00:35:09
Sin embargo, el vector menos 3u va a tener la misma dirección, pero el sentido contrario. 00:35:13
El sentido va a ser hacia abajo y hacia la izquierda, mientras que el sentido de u es hacia arriba y hacia la derecha. 00:35:24
Y el módulo de menos 3u va a ser 3 veces el de u. 00:35:31
Este vector de aquí es el triple en módulo que el de u. Y un medio de u también podemos multiplicar por un vector, por un escalar que sea menor que 1, menor que la unidad. 00:35:36
Este vector de aquí tiene un módulo que es la mitad que u. También se puede aprovechar las posibilidades de este programa que yo tengo aquí y puedo dibujar una flecha. 00:35:51
no sé si la tenía dibujada 00:36:05
yo creía que sí, bueno, no la tengo dibujada 00:36:07
entonces si a esto le doy 00:36:10
lo termino 00:36:11
en flecha 00:36:14
le vamos a poner esa flecha ahí 00:36:15
pues puedo jugar 00:36:17
con esta herramienta 00:36:18
yo lo puedo escalar tirando de este tirador 00:36:22
para mantener la proporción 00:36:24
un momento, si le doy a control 00:36:25
voy a mantener 00:36:28
la orientación, yo aquí 00:36:30
lo estoy escalando y si me voy 00:36:32
hacia atrás, pues lo estoy haciendo 00:36:34
más pequeño 00:36:36
o sea, más pequeño 00:36:37
esto sería 00:36:39
multiplicar por un lambda negativo 00:36:50
¿vale? 00:36:52
eso es multiplicar por un escalar 00:37:00
bien, entonces 00:37:01
ahora, vamos a ver, siguiente 00:37:03
apartado 00:37:05
ahora, realiza la siguiente 00:37:06
suma de vectores de forma gráfica, este es 00:37:13
muy fácil, ¿vale? se podrían 00:37:15
sumar 00:37:17
haciendo una cadena, ahora no 00:37:18
tenemos dos vectores, tenemos tres, pero da igual, sumar vectores es muy fácil, restar 00:37:21
a lo mejor es un poquito más complicado, pero sumar es simplemente ir haciendo una 00:37:29
cadena y además se da la propiedad conmutativa, es decir, que yo no tengo por qué hacerlo 00:37:33
en un orden determinado, ¿vale? Entonces vamos a sumar, por ejemplo, de manera aproximada, 00:37:41
Esto sería u, que va hacia arriba, es casi vertical, este sería el vector u, y ahora aquí le voy a poner a continuación el vector v, que es aproximadamente así, más o menos, esto es v, ¿vale? 00:37:46
Y donde termina v, yo le pondría ahora w, y más o menos, no sé si estará preparado, pero es más o menos, parece que volvemos al origen. 00:38:01
Vamos a hacerlo de otra manera. Vamos a cambiar el orden. Vamos a empezar por W. W sería aproximadamente así. ¿Vale? W. ¿Y ahora qué le sumamos? U. Vale. Pues subimos hacia arriba. Subimos U. ¿Vale? 00:38:11
Y por último V. Es un vector que es aproximadamente así. O sea que parece que llegamos al origen. ¿Vale? Estos tres vectores parece que están preparados para que lleguemos al origen. 00:38:27
Dibuja dos vectores que tengan igual módulo, igual dirección, pero distinto sentido 00:38:41
Sería el opuesto, esto sería por ejemplo el vector u 00:38:46
Este sería el ejercicio 3 00:38:49
Dos vectores que tengan igual módulo, igual dirección, pero distinto sentido 00:38:53
Que tengan igual dirección no quiere decir que estén exactamente sobre la misma recta 00:38:58
Sino que las rectas sean paralelas 00:39:02
Y esto sería el vector menos u 00:39:04
Serían vectores opuestos 00:39:08
Y opera de forma gráfica con los vectores u y v, haciendo todo esto. 00:39:10
Bueno, pues, ¿cómo se haría? 00:39:15
Vamos a ver, lo voy a hacer de manera un poco aproximada. 00:39:19
El vector 3, 2, 1, 2, 3, y esto sería aproximadamente el vector 3, 2, ¿vale? 00:39:24
Este sería el vector u y el vector v que sería menos 1, menos 1, menos 1, menos 2, menos 3. 00:39:32
O sea, estaría aproximadamente ahí. 00:39:42
Este sería el vector v. 00:39:45
Bien, entonces, ¿cómo sería el vector u más 2v? 00:39:52
u más 2v. 00:39:58
Pues 2v sería aproximadamente así. 00:40:00
lo he dibujado bastante mal 00:40:03
vale, pues entonces 00:40:08
esto ahora, yo como puedo hacer 00:40:15
esto tan chulo, pues control copy 00:40:17
y con, no 00:40:19
me lo voy a llevar directamente así 00:40:21
esto sería 2v 00:40:23
esto sería 00:40:27
esto sería el vector 2v 00:40:31
lo veis 00:40:34
vale 00:40:35
u es 3, 2 00:40:37
3, 2 00:40:39
y v es menos 1 00:40:40
menos 3 y me dicen 00:40:42
u más 2v 00:40:44
por lo primero calculo 2v 00:40:46
como habéis visto 00:40:48
2v sería aproximadamente 00:40:49
esto 00:40:52
muy chapucero, lo estoy haciendo muy rápido 00:40:52
pero vosotros luego en casa lo hacéis bien 00:40:56
esto sería 2v 00:40:58
u más 2v, entonces ahora 00:40:59
voy a pintar el resultado 00:41:01
y lo vamos a poner en rojo 00:41:03
el resultado sería 00:41:07
este vector de aquí 00:41:09
esta es la suma, porque he hecho 00:41:10
mi cadena 00:41:14
u más 2v 00:41:16
sería ese, vale 00:41:18
esto sería u más 2v 00:41:19
ese sería el vector rojo 00:41:23
vale, bien 00:41:29
y ahora me están diciendo 00:41:31
vale, una vez que lo hayáis visto 00:41:32
vamos a deshacer y vamos a hacer 00:41:36
menos v más 2u 00:41:39
menos v, vale 00:41:41
pues 00:41:44
control copy 00:41:46
control v 00:41:49
y lo pongo en el origen más o menos 00:41:50
y aprovechando esta 00:41:52
posibilidad que yo tengo 00:41:54
me siento muy feo 00:41:56
me siento muy feo porque lo debería hacer 00:42:02
con líneas rectas pero 00:42:08
bueno 00:42:10
vamos a hacerlo bien 00:42:12
voy a borrar 00:42:13
incluso este vector de aquí 00:42:16
y lo vamos a hacer mejor 00:42:18
un poco mejor 00:42:20
Vamos a hacerlo con líneas rectas 00:42:22
Esto iría de aquí 00:42:24
Ahí 00:42:25
Y le vamos a poner el extremo 00:42:28
El extremo a este vector 00:42:31
De aquí 00:42:33
Ese sería, ¿vale? 00:42:34
Ese sería el vector V 00:42:36
Y me están diciendo ahora 00:42:37
Que tengo que hacer menos V partido por 2 00:42:39
¿Vale? 00:42:43
Pues lo selecciono 00:42:44
Piso la tecla control 00:42:46
Y me la llevo aproximadamente 00:42:48
sería aproximadamente por ahí 00:42:50
menos v partido por 2 00:42:54
eso sería menos v partido por 2 00:42:56
y 2u sería 00:42:58
eso multiplicado por 2 00:43:00
lo voy a hacer bien 00:43:12
estoy haciendo una correría 00:43:21
lo voy a hacer bien para el vídeo 00:43:23
y lo hago bien 00:43:26
bien, pues ya tenemos aquí dibujada 00:43:27
nuestro ejercicio 00:43:34
con vectores y una rejilla cartesiana bien hecha. 00:43:35
Entonces, nos estaba pidiendo el ejercicio que hiciéramos menos uv medios más 2u. 00:43:41
Vale, pues entonces vamos a empezar con u, que lo vamos a multiplicar por 2. 00:43:48
Con esta posibilidad que yo tengo aquí de estirar manteniendo la inclinación, 00:43:54
voy a multiplicarlo por 2, entonces esto me va a llegar aquí, hasta el punto 6. 00:43:58
Lo dejo ahí, y esto va a ser mi vector 2u, ¿vale? 00:44:05
Esto va a ser, lo voy a escribir aquí. 00:44:11
A ver, este sería el vector 2u. 00:44:14
Lo he cogido, este sería el vector 2u, ¿vale? 00:44:18
Esto lo cambio a color rojo, ¿vale? 00:44:24
Ese sería 2u. 00:44:27
Y menos v medios sería, haciendo el mismo procedimiento, de una manera aproximada, ¿vale? 00:44:29
No, ahí pasaría aproximadamente a ser, si tenía la cisa era menos un medio, pues va a pasar a ser medio punto positivo. 00:44:37
Y si tenía tres negativos, va a pasar a ser menos v medios, va a ser aproximadamente uno y medio positivo, ¿vale? 00:44:56
Luego eso va a ser menos v medios. 00:45:04
Y luego la suma, ¿cómo se hará? 00:45:07
Pues tendré que poner esto en la otra punta, aquí, en la punta, el otro vector. 00:45:08
¿Y cuál va a ser la solución? 00:45:21
Pues la solución va a ser esta de aquí a aquí. 00:45:23
Y eso le vamos a dar el color rosa para que se resalte. 00:45:31
Y le vamos a poner una flecha en la punta para que se vea bien. 00:45:35
Esa sería nuestra solución. En concreto, esa sería, menos v medios, vamos a ponerlo en rosa, menos v medios, más 2u. ¿Vale? Ese sería el procedimiento. 00:45:39
Vale, siguiente ejercicio, o siguiente apartado, operaciones con vectores, método analítico, ¿qué quiere decir método analítico? Pues que vamos a utilizar sumas y restas de las componentes de cada uno de los vectores, vamos a utilizar álgebra más que escuadra y cartabón y rectas paralelas, lo vamos a hacer todo con álgebra. 00:45:59
¿Vale? Entonces, ¿cuáles son las operaciones con vectores que hemos visto en el apartado anterior por el método gráfico? 00:46:27
La suma y la resta de vectores 00:46:34
Y por otro lado, la multiplicación por escalares 00:46:37
¿Vale? Pues entonces, en el primer lugar tenemos la suma de vectores 00:46:39
Para ello tenemos que expresar cada vector con sus coordenadas cartesianas 00:46:42
Por ejemplo, si yo tengo el vector a sub 1, b sub 1 00:46:47
Y le quiero sumar o restar otro vector que tendrá coordenadas a sub 2, b sub 2 00:46:51
El resultado va a ser otro vector con unos paréntesis separados con una coma, en la cual la primera componente, la componente de las abscisas, va a ser la suma o la resta de las primeras componentes. 00:46:57
A sub 1, A sub 2, será A sub 1 más menos A sub 2, y la segunda componente será la suma o la resta, según lo que indique este signo, de las segundas componentes. 00:47:12
Es decir, B sub 1, B sub 2. Luego veremos un ejemplo. 00:47:25
¿Cómo se hará la multiplicación por escalares? 00:47:28
Escalares, recordad, se representan normalmente con la letra griega lambda, y la lambda representa un número. 00:47:30
¿vale? y aquí tengo mi vector 00:47:38
lambda que multiplica al vector a su 1 00:47:40
b su 1 será lambda a su 1 00:47:42
coma lambda b su 1 00:47:43
¿vale? bien 00:47:46
entonces, si yo ahora mismo 00:47:47
me piden aquí este ejercicio 00:47:49
que yo haga, voy a tapar las soluciones 00:47:51
¿vale? 00:47:53
las soluciones 00:47:56
y esto es lo que yo había hecho 00:47:57
a ver 00:48:01
¿cómo estaba hecho esto? 00:48:05
vale 00:48:09
Esto lo había hecho y lo he tenido que repetir porque no había grabado el vídeo 00:48:09
No le había dado a grabar 00:48:14
Vale, entonces me están diciendo aquí que yo tengo el vector u, 2, 5 00:48:16
Y el vector v, menos 1, menos 3 00:48:19
Y el vector w, 4, menos 7 00:48:21
Y me dicen que haga estas operaciones 00:48:24
La primera operación es u menos w, más w 00:48:27
O sea, u menos v, más w 00:48:33
Entonces, yo aquí lo que hago es escribir las componentes de cada uno de los vectores. El vector u es 2, 5. Pues lo pongo aquí. Menos, menos. Y ahora v. ¿Cuál es v? Menos 1, menos 3. Lo pongo. Y w más 4, menos 7. 00:48:35
Pues esto va a ser igual a un vector, escribo unos paréntesis y pongo una coma. 00:48:54
¿Cuál va a ser la primera componente? Pues la suma o la resta de las primeras componentes. 00:48:59
Para que quede más claro, voy a hacer esto. Voy a poner en color, para que se vea mejor, cuáles son las primeras componentes. 00:49:05
Y eso lo vamos a poner, por ejemplo, de color rosa. 00:49:18
¿Vale? De color rosa 00:49:21
Hay algo aquí que se me ha quedado por marcar 00:49:23
¿Vale? 00:49:28
Que esto no es fácil 00:49:30
¿Vale? 00:49:31
Rosa 00:49:35
¿Vale? 00:49:35
Entonces, es decir, la primera componente del vector resultado 00:49:37
Es la suma o la resta de las primeras componentes 00:49:41
2 menos menos 1 que pasa a más 1 00:49:46
y 4, ¿vale? Por lo tanto, yo voy a tener 2 más 1, 3 más 4, 7. Este va a ser la primera componente, lo voy a poner también en rosa. 00:49:49
Bien, la segunda componente del vector resultado lo voy a dejar todo en azul y será 5, que es la segunda componente, menos menos 3, que pasa a ser más 3, 00:50:02
Y más menos 7, que es menos 7 00:50:11
5 y 3, 8, menos 7, 1 00:50:14
Ese es el resultado, ¿vale? 00:50:16
El vector 7, 1 00:50:18
Que vemos que coincide 00:50:20
Con lo que da el libro 00:50:22
7, 1, lo tenemos ahí 00:50:25
Siguiente ejercicio, un poco más complicado 00:50:27
Y que además me he equivocado antes haciéndolo en directo 00:50:29
Y no lo he corregido 00:50:32
Vamos a ver ahora dónde estaría el error 00:50:34
Me dicen 3W 00:50:35
Pues pongo 3 veces 4 menos 7 00:50:37
Eso está correcto. Menos 5, y ahora abro corchetes y pongo u, que es 2, 5, menos 2, que multiplica a v, que es menos 1, menos 3. 00:50:41
Cierro paréntesis, cierro corchete. Y esto ahora es una escala que multiplica a un vector 3, que multiplica a 4, menos 7, va a ser 3 por 4, 12, coma, 3 por menos 7 es menos 21. 00:50:52
Cierro paréntesis. Y ahora, menos 5 que multiplica a, y aquí voy a hacer lo primero, multiplicar este escalar por este vector, ¿vale? 00:51:09
Menos 2 por menos 1 es menos 2, y 2 por menos 3 es menos 6, ¿vale? 00:51:21
Bien, y ahora el siguiente paso, dejo el 12, menos 21, lo dejo igual, y el menos 5 lo voy a dejar igual, y voy a operar este vector que está dentro de los corchetes. 00:51:29
Primera componente, 2 menos menos 2, va a ser 2 más 2, y la segunda componente va a ser 5 menos menos 6, que pasa a 5 más 6, ¿vale? Es decir, esto va a ser 12, menos 21, este signo lo voy a quitar de aquí porque si no va a parecer que está duplicado, menos 5, que multiplica a 2 más 2, 4, y 5 más 6, 11, ¿vale? 00:51:43
Es decir, 12, menos 21, menos 5 por 4, 20, y 5 por 11, aquí está el error de antes, este era mi error, control Z, todo esto lo voy a borrar, todo esto lo borro, porque está equivocado desde ahí, ¿vale? 00:52:10
Y entonces vamos a seguir 00:52:40
Y esto es menos 20 00:52:42
Y ahora seguimos por aquí 00:52:45
Con 00:52:47
Vamos a seleccionar el color azul 00:52:47
A ver 00:52:51
Porque no me lo coge 00:52:56
Vale, ya tengo el color azul 00:52:59
Y esto es menos 5 por 4, 20 00:53:01
Y 5 por 11 00:53:02
50 y 5 00:53:06
50 y 5 00:53:08
Vale 00:53:13
Quito el relleno 00:53:17
Que me está molestando 00:53:19
Y esto va a ser igual a 12 menos 20, menos 21, menos 55. 00:53:20
Y esto aquí es igual a 12 menos 20 es menos 8, y menos 51 menos 55 es menos 76. 00:53:34
Vamos a ver si le da lo mismo al libro 00:53:46
Y lo hemos hecho bien, menos 8 menos 76 00:53:53
Luego sería correcto 00:53:56
Bien, vamos a hacer el siguiente ejercicio resuelto 00:53:59
Tengo la solución tapada 00:54:02
Nos dice, dado el vector AB de coordenadas 3, menos 2 00:54:04
Con A15 encuentra el punto B 00:54:10
Bien, vamos a venirnos un poquito hacia la izquierda. Nos dicen que el vector AB es 3 menos 2 y A es 1,5. Que encontremos el punto B. Entonces, es muy importante recordar lo que hemos dicho antes. Muy, muy importante. 00:54:13
Cuando yo tengo el punto AB, el vector AB, que es un vector libre y yo conozco el origen, me están pidiendo el extremo. 00:54:30
Y eso sabemos siempre que es lo que decíamos antes. 00:54:41
Si yo aquí tengo un vector, no voy a dibujar las coordenadas, no tienen por qué ser las mismas. 00:54:50
Este es mi punto A, y este es mi punto B, este es el vector OA, y este es el vector OB, este es el vector OA, ¿vale? 00:54:56
El vector AB siempre es el final menos el inicial, OB menos OA, eso es igual a AB. 00:55:18
Y si alguien tiene dudas, pues que vea este triángulo compuesto así. 00:55:41
Está claro que OB es la suma de OA más AB. Pues lo escribimos. OB es igual a OA más AB. ¿Sí? Y aquí tenemos que despejar AB. 00:55:46
A, B es igual a OB menos OA, ¿lo veis? Es decir, siempre el final menos el origen, el inicial, las coordenadas del punto final menos las coordenadas del punto inicial, ¿vale? 00:56:06
Entonces, yo aquí sé, lo voy a escribir, sustituyo 3, menos 2 es igual a OB, que es lo que yo no sé, lo desconozco, OB, perdón, perdón, perdón, esto es OB, menos OA, que sí que lo conozco, que es el punto, que son las coordenadas del punto 1, 5, ¿vale? 00:56:32
Por lo tanto, OB es igual a 3, menos 3, y el punto 1, el vector 1, menos 5, que está restando, pasa sumando, más 1,5. 00:57:00
¿Y eso a qué va a ser igual? Eso va a ser igual a 3 más 1, menos 3, más 5. 00:57:18
o lo que es lo mismo 00:57:28
el punto 00:57:29
4, 2 00:57:32
¿vale? 00:57:34
vamos a ver si lo tenemos bien 00:57:36
ese ejercicio 00:57:38
4, 3 00:57:39
que me he confundido yo 00:57:46
es el punto 00:57:51
es que esto es un 2 00:57:54
me he copiado mal el enunciado 00:57:57
es el punto 3 menos 2 00:58:00
3 menos 2 00:58:02
¿Vale? 00:58:06
Por lo tanto, eso es 00:58:08
Esto es un 2 00:58:10
Esto es un 2 00:58:12
Y esto es un 2 00:58:22
Esto es un 2 00:58:30
Y esto entonces sería un 3 00:58:34
Suprimir F6 00:58:40
¿Vale? 00:58:45
Recopiamos la denuncia. ¿De acuerdo? Bien. ¿Cómo sería el siguiente ejercicio? Dado el vector AB, que es 3 menos 2, con B menos 4, 3, encuentra el punto A. Ahora es distinto. Nos dan las coordenadas del extremo y nos piden las del origen. 00:58:46
Vale, bueno, pues vamos a sustituir hasta aquí. 00:59:09
Todo eso nos vale, ¿de acuerdo? 00:59:15
Todo eso nos vale, lo que hemos puesto ahí. 00:59:18
Y nosotros sabemos que AB siempre es el final menos el inicial. 00:59:21
Las coordenadas del punto final menos el inicial. 00:59:26
Vale, pues escribimos AB, que es 3, 2. 00:59:29
3, 2. 00:59:34
Es igual a qué? 00:59:36
3, menos 2 00:59:38
3, menos 2 00:59:41
es las coordenadas del punto final 00:59:43
que las conozco 00:59:45
menos 4, 3 00:59:47
menos las coordenadas del punto inicial 00:59:48
que lo escribimos como OA 00:59:52
¿vale? 00:59:55
entonces, ahora OA 00:59:57
lo paso, que está restando 00:59:58
en este miembro, lo paso 01:00:00
a la izquierda sumando 01:00:02
y me va a quedar OA 01:00:04
Es igual, y este vector que está a la izquierda sumando pasa restando, es menos 4,3 menos 3, menos 2. 01:00:06
Y eso va a ser igual a un vector, ¿cuál va a ser la primera componente? 01:00:20
Menos 4, menos 3. 01:00:27
La segunda componente va a ser 3, menos menos 2, que pasa a 3 más 2. 01:00:29
Y esto es igual a menos 7,5, ¿vale? Vamos a ver si lo tenemos bien, menos 7,5, correcto, ¿vale? Ahora nos dice, calcula la distancia entre los puntos A, 3, 5 y B, menos 1,4, ¿vale? 01:00:35
Pues entonces, para calcular la distancia sabemos que si nosotros tenemos un punto A y un punto B, la distancia que hay entre AB es el módulo del vector AB, o si queréis, en este caso daría lo mismo, hacer el módulo del vector BA, lo que más rabia nos dé. 01:00:58
Entonces, vamos a calcular el vector AB. ¿Cuál es el vector AB? Pues las coordenadas del punto B, que serían menos 1, 4, siempre final menos inicial, final, porque es el punto B, menos el inicial, que es 3, 5. 01:01:30
¿Y eso cuánto daría? Un vector, dibujo primero la estructura, los paréntesis y la coma, y ahora pongo menos 1 menos 3, y ahora 4 menos 5, y eso es menos 1 menos 3 es menos 4, y ahora 4 menos 5 es 1. 01:01:53
Bien, ese es el vector AB. ¿Cómo calculo el módulo del vector AB? Hemos dicho que el módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la primera componente al cuadrado más la segunda componente al cuadrado. 01:02:13
¿Y eso cómo lo haríamos? La raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado más 1 al cuadrado, es decir, sería igual a la raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado es 16 más 1, es decir, la raíz cuadrada de 17. 01:02:33
Eso se dejaría así. Vamos a ver si lo tenemos bien, o yo me he equivocado. Raíz cuadrada de 17. Aquí vamos a utilizar la anotación del libro, que también es correcta, es interesante. Esto es la distancia, y se pone así, a, b. 01:02:53
de acuerdo otro ejercicio obtén el punto medio del segmento 27 y b45 para esto hay 01:03:21
que pensar un poquito nos están diciendo que tenemos si nosotros tenemos unos ejes 01:03:32
de coordenadas y tenemos dos puntos el punto a y el punto b que hallamos el punto medio que 01:03:39
se nos puede ocurrir aquí? Este lo vamos a llamar el punto P. No lo he dibujado muy 01:03:48
bien. Vamos a ponerlo más bien ahí. Este sería el punto P. ¿Cuáles serían las coordenadas 01:03:52
del punto P? ¿Qué es lo que podemos hacer? Os dejo pensar un poco. ¿Cómo se podría 01:03:59
hacer? Recordamos las cosas que sabemos hacer. Sabemos sumar y restar vectores por el método 01:04:10
gráfico y por el método analítico. Estamos en el apartado analítico. Vamos a utilizar 01:04:16
en el método analítico o algebraico, es decir, sabemos sumar y restar vectores y sabemos 01:04:21
multiplicar por escalares, escalares mayores y menores que 1. 01:04:26
Dicho eso, ¿cuál sería la solución? 01:04:35
Nosotros aquí sabemos que este sería el vector OA, porque este es el origen de coordenadas, 01:04:37
y este sería el vector OB, esto sería OB, y esto sería el vector OA. 01:04:43
¿Vale? Bien. Entonces, está claro que a mí me están pidiendo el vector OP. ¿Vale? Lo voy a poner aquí en rosa. Este es el vector que a mí me están pidiendo. 01:04:53
Ups, el vector OP sería, que mal, no quiero hacerlo con la otra herramienta 01:05:08
Este es el vector que a mí me están pidiendo, el vector OP 01:05:26
¿Cómo se podría calcular el vector OP? 01:05:34
Pues sería el vector OA más el vector AB partido por 2 01:05:39
¿No? Vale, pues lo vamos a escribir 01:05:44
Vamos a escribirlo 01:05:48
Es decir, OP es igual al vector OA más un medio del vector AB. 01:05:50
El vector A lo conocemos porque conocemos el punto A. 01:06:10
El vector B lo conocemos, por lo tanto conocemos AB. 01:06:14
Pues ya lo tenemos todo. 01:06:19
Es decir, vamos a calcular en primer lugar el vector AB. AB es siempre final menos inicial, es decir, coordenadas del punto B menos las coordenadas del punto inicial, del origen extremo menos origen, ¿vale? 01:06:20
Y esto es igual a, dibujo primero la estructura, que a mí me gusta más, 4 menos 2, 4 menos 2, y ahora es 5 menos 7, 5 menos 7. 01:06:38
¿Y esto cuánto es? Esto es igual a 2, menos 2. Ese es AB. AB es eso. 01:06:50
¿Cuánto será un medio de AB? 01:07:00
Lo hacemos, muy fácil 01:07:03
Un medio de AB es igual a un medio que multiplica a 2, menos 2 01:07:05
Es decir, que eso es igual a 1, menos 1 01:07:15
Ya conocemos un medio de AB y conocemos OA 01:07:20
Por lo tanto, OP es igual, lo vuelvo a escribir, OA más un medio de AB. 01:07:26
Y es la que es igual a, o a, o a son las coordenadas del punto A, que es 2,7, y un medio de AB es 1, menos 1. 01:07:42
Y esto es igual a, dibujo la estructura, y ahora relleno, 2 más 1, 3, y 2 menos 1, 6. 01:07:58
Este sería el punto que a mí me están pidiendo. 01:08:08
Vamos a ver si lo tenemos bien. 3, 6. Lo tenemos bien. ¿Vale? Ha hecho un dibujo similar, lo único que el punto medio lo ha llamado M a B y yo lo he llamado P. Se verifica que, por lo demás, está igual. ¿Vale? Bien. 01:08:12
Y aquí nos pone una observación que es importante. Es decir, que para calcular el punto medio de un vector hay dos técnicas. Utilizar la técnica vectorial con la que hemos resuelto nosotros el ejercicio anterior o darnos cuenta también de lo siguiente. 01:08:36
lo voy a dibujar aquí de una manera un poquito aproximada 01:08:57
es decir, si yo me dibujo 01:09:01
mi sistema de coordenadas 01:09:04
aquí dibujo el punto A 01:09:09
y aquí dibujo el punto B 01:09:10
es muy intuitivo 01:09:13
se puede comprobar de manera muy intuitiva 01:09:15
este sería el vector AB 01:09:19
vamos a escribirlo así 01:09:21
Ahora os cuento lo siguiente, si yo aquí proyecto en vertical el punto, estas son las arcisas, las ordenadas, yo proyecto el punto A sobre el eje de las X, sobre el eje de las arcisas, y proyecto el punto B sobre el eje de las arcisas. 01:09:25
Esto sería A sub 1 y esto sería A sub 2. 01:09:47
Y aquí, proyecto en vertical, sobre el eje de las ordenadas tendríamos la ordenada del punto A. 01:09:53
Y aquí tendríamos B sub 2. Eso sería B sub 2. 01:10:04
¿Vale? Entonces, es muy fácil ver, o muy intuitivo ver, que el punto medio, M, lo vamos a llamar M de AB, va a caer en el punto medio de A1 y A2. 01:10:13
Y en vertical, lo mismo. Es decir, esto va a ser, ¿cómo lo llamamos a esto? Esto va a ser a1 más a2 partido de 2, y esto va a ser, y este punto de aquí va a ser b1, 01:10:39
Más B sub 2 partido de 2. 01:11:15
Es decir, que la ordenada, la abscisa del punto medio va a ser el punto medio de las proyecciones. 01:11:19
Si yo tengo aquí A sub 1 y aquí tengo A sub 2, el punto medio, es decir, la abscisa del punto medio va a ser el punto medio de las proyecciones. 01:11:27
es decir, el punto medio de las ascisas del inicio y del final, y lo mismo con las ordenadas, 01:11:39
es decir, la ordenada del punto medio va a ser el valor medio de la ordenada de A y de la ordenada de B, ¿vale? 01:11:48
Entonces, aquí lo tenéis, el punto medio de un segmento de extremos A1, B1, tiene por coordenadas 01:11:57
M de A a B, A sub 1 más A sub 2 partido por 2, B sub 1 más B sub 2 partido por B sub 2. 01:12:04
Y te da un ejemplo. 01:12:11
¿Vale? 01:12:13
Bien, entonces, no sé si se hace algún ejercicio más. 01:12:16
Estos ejercicios ya los haremos en otro momento, porque creo que el vídeo se está agarrando. 01:12:26
Sí, sí, sí, se está agarrando. 01:12:33
Vale. 01:12:36
Bien, como continuación al último ejercicio que hicimos el último día, 01:12:37
Vamos a hacer el ejercicio 8, del que viene en la página 177, este de aquí. 01:12:46
Dice, encuentra un punto que diste 3 unidades del punto A, 1, 3, y que además esté sobre la dirección del vector libre U, menos 4, 3. 01:12:55
Vale. 01:13:06
Lo he hecho aquí a mano. 01:13:08
Entonces, en primer lugar representamos el eje, nuestro sistema de coordenadas 01:13:09
Con el eje de abscisas, con el eje de ordenadas, con el eje x y con el eje y 01:13:16
Dibujamos el vector libre menos 4, 3, ¿vale? 01:13:21
Que estaría menos 4 hacia la izquierda y 3 hacia arriba 01:13:26
Y luego dibujo u menos 4, 3 01:13:30
Y ahora dibujamos el punto A que está en 1, 3 01:13:33
1 hacia la derecha, que son las x positivas 01:13:37
y 3 hacia arriba, que son las ordenadas positivas 01:13:41
y nos dicen que encontremos un punto 01:13:43
que diste 3 unidades 01:13:46
y que esté en esta dirección 01:13:49
de este vector libre 01:13:51
entonces, eso quiere decir 01:13:53
que el punto que a nosotros nos digan 01:13:56
estará en esa dirección 01:14:01
en la dirección que yo estoy ampliando ahí 01:14:03
¿Vale? Esa dirección será esta, y puede ser en el sentido contrario. 01:14:05
Es decir, nosotros vamos a tener, no un punto, dos. 01:14:13
Vamos a encontrar los dos puntos que distan del punto A, tres unidades, 01:14:17
porque puede haber uno hacia la derecha, y puede haber otro hacia la izquierda y hacia arriba. 01:14:22
¿Vale? Entonces, por eso he dibujado yo dos vectores rojos, 01:14:29
uno en un sentido y otro en otro sentido 01:14:33
y ambos en la dirección que marca el vector libre U 01:14:37
y ahora expreso mi vector AB 01:14:43
AB, he puesto aquí B 01:14:47
pero también puede estar en el otro sitio 01:14:50
un momento que lo voy a... 01:14:55
es decir, esto de aquí también va a ser B 01:14:58
ahí va a haber otro B 01:15:04
¿de acuerdo? 01:15:09
va a haber un B hacia abajo y a la derecha 01:15:11
y un B hacia arriba y hacia la izquierda 01:15:13
y entonces yo ahora digo 01:15:15
mi vector AB 01:15:16
el desplazamiento que voy a tener que hacer 01:15:18
desde A hacia B 01:15:21
va a ser igual a 01:15:23
lambda U 01:15:25
lambda es un escalar por el vector U 01:15:26
entonces lambda yo no sé cuánto va a valer 01:15:29
pero U sí que lo conozco 01:15:31
entonces ahora hago un escalar 01:15:33
lambda por un vector. Como hemos visto, cuando multiplicamos un escalar por un vector, pues 01:15:35
tenemos que multiplicar el escalar por las dos componentes del vector. Entonces, lambda 01:15:42
por menos 4, 3 es el vector, menos 4 lambda, 3 lambda. Y ahora impongo la condición a 01:15:48
este vector. ¿Qué condición? Pues que su módulo tiene que ser 3, porque la distancia 01:15:56
Entre A y B va a ser 3. ¿Cómo se calcula el módulo de un vector? Se calcula como la raíz cuadrada de cada componente al cuadrado, es decir, menos 4 lambda al cuadrado más 3 lambda al cuadrado. 01:16:02
Y eso da 16 lambda cuadrado, tener en cuenta que este signo menos va a desaparecer, porque menos por menos es más. 01:16:18
Entonces voy a tener 16 lambda cuadrado más lambda cuadrado, y eso es 25 lambda cuadrado. 01:16:27
Es decir, 5 lambda con el más menos, porque esta raíz cuadrada va a tener dos valores positivos. 01:16:33
Bueno, en realidad va a tener 1, pero yo tengo que considerar... 01:16:47
Sí, esto lo he puesto mal. Un momento que lo voy a corregir. 01:16:52
Esto lo voy a corregir. 01:16:56
AB es 5 lambda, es decir, el módulo de AB es 5 lambda. 01:16:59
Y como yo sé que lambda, 5 lambda, tiene que ser 3, 01:17:05
Pues entonces planteo la ecuación y digo que lambda es igual a tres quintos, pero también me vale lambda igual a menos tres quintos, ¿vale? 01:17:11
Porque lambda positivo sería este, es decir, si yo este vector de aquí, u, lo multiplico por un vector positivo, menor que la unidad, yo tendría este punto de aquí. 01:17:24
Pero si multiplico u por menos lambda tendría este otro b, ¿vale? Entonces las dos soluciones son lambda igual a tres quintos y lambda igual a menos tres quintos, que los voy a poner aquí abajo. 01:17:38
Entonces, el vector B1 es OA, ¿vale? Las coordenadas del punto A, menos 3 quintos de lambda, que sería este. 01:17:58
Este de aquí sería B1, porque estamos cogiendo el lambda negativo. 01:18:11
Y este de aquí sería B2, con el lambda positivo, ¿vale? 01:18:16
Entonces, aquí tengo B1 es OA menos 3 quintos de lambda. 01:18:21
Es decir, ¿cuáles son las coordenadas de OA? Es el punto, el vector OA coincide con las coordenadas del punto 1,3. 01:18:26
Entonces sería el vector 1,3 menos 3 quintos del vector U, que es menos 4,3. 01:18:38
¿Vale? Entonces esto sería el vector 1, 3 menos 01:18:44
Y ahora multiplico 3 quintos por menos 4 y tendría menos 12 quintos 01:18:49
Y multiplico 3 quintos por 3 y tendría 9 quintos 01:18:58
¿Vale? Y ahora hago el vector 1, 3 menos este vector de aquí 01:19:03
Y tendría 1 menos menos 12 quintos sería 1 más 12 quintos 01:19:08
Y 3 menos 9 quintos sería, pues eso, 3 menos 9 quintos. 01:19:13
Y si lo opero todo eso, tendría 27 quintos, 6 quintos, si no me he equivocado. 01:19:18
Y el punto B2, este de aquí, que sería OA más lambda por U, ¿vale? 01:19:26
OA más 3 quintos de U, con lambda positivo. 01:19:37
Entonces, esto sería 1, 3 más 3 quintos por el vector de posición. 01:19:40
Y si opero, y si yo no me he equivocado, llegaríamos a esta solución. 01:19:47
¿Vale? 01:19:52
¿De acuerdo? 01:19:53
Pues este sería el ejercicio 8 que me ha parecido muy interesante. 01:19:55
¿Vale? 01:20:03
Pues nada más. 01:20:04
Paramos. 01:20:06
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Pablo Valbuena
Subido por:
Pablo V.
Licencia:
Todos los derechos reservados
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Fecha:
11 de enero de 2022 - 19:23
Visibilidad:
Público
Centro:
CP INF-PRI-SEC ADOLFO SUÁREZ
Duración:
1h′ 20′ 07″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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