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Ejercicios de aplicación de derivadas. Teoremas de Rolle y de TVM - Contenido educativo

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Subido el 10 de febrero de 2026 por Roberto A.

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Bueno chavales, buenos días. Hoy vamos a tener un día 10. 10 de febrero, cuyao. 00:00:00
Venga, que hoy va a ser un día redondito. ¿Habéis intentado este ejercicio en casa o en atilla? 00:00:10
Monísima la María, monísima. Esas pestañas, ese volumen. 00:00:17
Chavales, ¿habéis intentado este en casa o en atilla? 00:00:25
Un poco nada, ¿no? Nada. 00:00:29
Eh, venga, vamos a hacer, bueno, os dejo para ustedes que hagáis la continuidad que es fácil, ¿vale? 00:00:33
La continuidad, ¿qué es lo que ocurre aquí? 00:00:40
Vamos a tener que hacer lópita a la arriba, ¿vale? 00:00:42
Y aquí abajo, pues, es un 2, si no me equivoco. 00:00:46
Vale, venga, lo hacemos en un momento, venga. 00:00:51
El a, f de x es continua en x igual a 0. 00:00:52
si el límite de f de x cuando x tiende a 0 es igual a f de 0, ¿vale? 00:01:00
Entonces, f de 0, f de 0 lo sustituyo abajo, entonces 0 por e elevado a 0 más 2, que esto es un 2. 00:01:11
¿Y qué ocurre con el límite de f de x cuando x tiende a 0? 00:01:22
Pues como es una función a trozos, hacemos el límite de f de x cuando x tiende a 0 por la izquierda 00:01:27
y el límite de f de x cuando x tiende a 0 por la derecha. 00:01:35
La izquierda, pues tenemos seno de 2x partido de x, que esto es 0 partido de 0, ¿verdad? 00:01:39
Y que aplicamos a mi amigo Lópida, a buena gente. 00:01:51
Y entonces, si yo aplico al hospital, ¿qué es lo que tengo? 00:01:55
¿Cuál es la derivada del seno? 00:02:02
El coseno. 00:02:05
Es coseno de 2x y no olvidarse, chavales, que luego tengo que derivar 2x. 00:02:06
¿Cuál es la derivada de 2x? 00:02:12
1, 2. 00:02:14
¿Vale? 00:02:15
Y abajo que tengo la derivada de x, que es 1. 00:02:16
Entonces, si yo sustituyo, ¿cuánto es el coseno de 0? 00:02:21
¿Hello? 00:02:25
Coseno de 0 es 1. 00:02:26
1 por 2 entre 1 es 2, ¿vale? 00:02:27
Y si yo hago el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x por e elevado a x más 2, 00:02:31
pues yo al final ¿qué tengo? 0 elevado a 0 más 2, que es igual a 2. 00:02:40
Entonces, ¿qué ocurre? Que existe el límite. 00:02:47
realmente es como el límite de f de x cuando x tiende a 0 por la izquierda 00:02:50
es igual al límite de f de x cuando x tiende a 0 por la derecha 00:02:59
eso implica que existe el límite de f de x cuando x tiende a 0 00:03:05
que además es 2 es igual a f de 0 00:03:12
Por lo tanto, f de x es continua en x igual a cero. 00:03:15
Pero aquí lo que me piden, chavales, es estudiar la continuidad de f en todo r. 00:03:26
¿Vale? 00:03:31
Entonces, yo aquí, ¿qué tengo que explicar además? 00:03:31
que la función seno g de x, que es igual a seno de 2x partido de x, ¿vale? 00:03:34
Es continua en todos los reales menos en el 0, ¿verdad? 00:03:49
Que en el 0 no está definida, pero como no me afecta, 00:03:58
porque esto es estrictamente mayor, más chico, pues no hay ningún problema. 00:04:01
Y luego h de x, que es x por e elevado a x más 2, ¿vale? 00:04:07
Es continua en todo el reajen. 00:04:14
Con eso, ¿yo qué puedo decir, chavales? 00:04:18
Pues que f de x es continua en todos los reajens, ¿vale? 00:04:20
¿De acuerdo, chavales? 00:04:31
Aquí donde yo tendría problemas en el 0, pero como está definida para x menores que 0, 00:04:33
pues no me afecta. 00:04:39
Esta función también es continua, ¿vale? 00:04:40
La función x por e elevado a x. 00:04:43
La función exponencial es tal. 00:04:46
Entonces, realmente aquí lo suyo es la composición. 00:04:49
Aquí lo suyo es poner esto de aquí, ¿vale? 00:04:53
La composición de funciones continuas es una función continua. 00:04:56
vale chavales, esto de aquí 00:05:14
aunque está puesto por aquí, pero lo suyo es que lo pongáis 00:05:20
al final, vale 00:05:22
vale chavales 00:05:23
seno de x, ¿el seno de x es continuo? 00:05:25
sí, ¿verdad? ¿x es una función continua? 00:05:30
sí, al componer funciones 00:05:33
continuas, pues da otra 00:05:34
función continua, aquí tendríamos 00:05:36
el problema de x igual a 0 00:05:38
pero no me afecta, porque es estrictamente 00:05:40
más chico y 00:05:42
Y e elevado a x es continua y x también. 00:05:44
¿Vale? 00:05:47
Oh, yeah. 00:05:48
You're a good person. 00:05:50
Voy. 00:05:52
Lo de allí se me olvidó. 00:05:59
A mí se me olvidó. 00:06:00
Yo creo que tienen que tener una mía. 00:06:06
¿Y ya qué pasa? 00:06:09
¿Con quién has quedado? 00:06:11
¿Ya? 00:06:12
¿Ya? 00:06:15
sí 00:06:16
ha sido un vídeo 00:06:17
he visto un vídeo por la tarde 00:06:19
ah, hay un vídeo 00:06:21
hay un vídeo que subí ayer 00:06:23
que donde están las indeterminaciones 00:06:26
¿te acuerdas que tú me preguntaste 00:06:29
las indeterminaciones? 00:06:30
recuérdamelo un poquillo, ese vídeo dura 5 minutos 00:06:31
echarle un vistazo, ¿vale? 00:06:34
son cosas que yo creo que ya lo hemos dicho 00:06:36
pero bueno, voy a insistir un poquito más 00:06:38
venga 00:06:40
page more 00:06:42
venga, la resta tangente 00:06:43
¿Vale? Fijaros, la resta tangente en x igual a menos pi. ¿Vale? Pues nada, lo primero, resta tangente. ¿Cuál es la resta tangente? Es y menos f de x sub cero es igual a f prima de x sub cero por x menos x sub cero. 00:06:46
¿Cuánto vale x sub cero, chavales? 00:07:07
Menos pi, ¿vale? 00:07:10
¿Cuánto vale f de x sub cero? 00:07:12
Es decir, f de menos pi. 00:07:16
¿A dónde me voy? 00:07:18
¿Arriba o abajo? 00:07:19
Arriba, muy bien. 00:07:21
Es seno de 2 por menos pi partido de menos pi. 00:07:23
Porque el menos pi está aquí. 00:07:30
Estos son los números negativos. 00:07:31
Esto es desde menos infinito a cero. 00:07:33
y esto es desde cero cerrado a más infinito, ¿vale? 00:07:35
Entonces, chavales, ¿cuánto vale el seno de menos 2pi? 00:07:39
Cero, muy bien, pues esto es un cerámico, ¿vale? 00:07:43
Y ahora, tengo que hacer f' de x sub cero que es igual a f' de menos pi. 00:07:47
Entonces, igual, f' de x, así repasamos. 00:07:55
¿Cuál es la derivada de lo de arriba? 00:07:59
es coseno de 2x 00:08:02
por 2x 00:08:05
bueno, esto lo voy a tener que hacer abajo 00:08:07
no me va a caber 00:08:09
si, si, ahora sale 00:08:11
wow 00:08:13
aquí 00:08:18
venga, lo hago aquí abajo 00:08:21
cuñao 00:08:24
venga 00:08:27
sería, derivada del primero 00:08:28
coseno de 2x 00:08:31
por 2, no, bueno 00:08:32
por 2 00:08:34
coseno de 2x por 2 por el segundo sin derivar que es x 00:08:36
menos seno de 2x por la derivada de x que es 1 00:08:42
partido ¿verdad chavales? por x al cuadrado 00:08:49
y la de abajo que es la derivada del primero que es x por el segundo 00:08:52
más el primero sin derivar por la derivada del segundo que es la misma 00:08:57
¿Vale? Entonces esto es si x es menor que 0 y aquí lo que ya comentamos, aquí se pone si x es mayor que 0, no mayor o igual, ¿vale? 00:09:02
Tendríamos que estudiar la derivabilidad en el 0, ¿vale? 00:09:11
Pero aquí no nos afecta, como me preguntan f' de menos pi, menos pi está aquí, ¿verdad? 00:09:16
Pues nada, a ver si esto se actualiza y sustituyo. 00:09:23
¿Coseno de 2pi? ¿Cuánto vale coseno de 2pi? 00:09:29
1, ¿vale? Esto es coseno de 2 por menos pi, por 2 por menos pi, menos seno de 2 por menos pi, ¿vale? Partido de menos pi al cuadrado. 00:09:32
Entonces, chavales, coseno de menos 2pi, hemos dicho que es 1, ¿verdad? 00:09:58
Y el seno de menos 2pi es 0. 00:10:06
Entonces, ¿qué es lo que me queda? 00:10:08
Me queda menos... 00:10:10
No, me queda, sí, me queda menos... 00:10:13
Sí, me queda menos 2pi por pi al cuadrado, que al final f' de menos pi es menos 2. 00:10:18
partido de pi. Esto es 00:10:27
menos 2 partido de pi. Entonces, si yo ahora sustituyo todo 00:10:31
que me queda 00:10:35
y menos 0 es igual a 00:10:38
menos 2 partido de pi por x menos 00:10:45
menos pi. Entonces me queda 00:10:49
y es igual a menos 2x partido de pi 00:10:53
Esto es un más 00:10:56
Esto es un menos 00:10:59
Menos dos 00:11:00
Circing or nothing 00:11:02
¿Vale? 00:11:09
Porque este pi y este pi 00:11:12
Le decimos hasta luego 00:11:14
¿Vale chavales? 00:11:16
¿Sí? 00:11:18
¿Puedo pasar? 00:11:20
One second 00:11:23
Oh yeah 00:11:23
Llevi el arrufo chica 00:11:28
A la julia 00:11:29
¿Eh? 00:11:30
Este de pau 00:11:32
para mí me encanta 00:11:33
además ese chiste de botellona 00:11:41
vale 00:11:45
estos tres ejercicios 00:11:49
son importantes 00:11:52
y lo voy a hacer rápido 00:11:54
recta tangente a esta curva 00:11:55
esto es un cubo 00:11:58
en el punto de asfixia 00:11:59
estos son los tres tipos de tangente 00:12:02
el recta tangente a esta curva 00:12:03
en el punto de asfixia x igual a cero. 00:12:06
Aquí si os fijáis me están dando el x sub cero que es igual a cero, ¿vale? 00:12:08
Entonces yo siempre tengo que poner la ecuación de la recta tangente, ¿vale? 00:12:12
Y esta no la tenemos que saber. 00:12:18
Aquí ¿qué ocurre? Que x sub cero es igual a cero. 00:12:22
Y luego ¿qué tengo que hallar? Pues tengo que hallar f de x sub cero y f' de x sub cero. 00:12:25
f de x sub cero es lo mismo que f de cero. 00:12:30
¿Y aquí cuánto vale la f de cero, chavales? 00:12:34
Un 2, ¿verdad? 00:12:37
Venga, si eso lo sustituyo aquí, esto es igual a 2. 00:12:38
Y ahora, chavales, ¿cuánto vale f' de x? 00:12:44
f' de x vale 6x menos 1, ¿verdad? 00:12:47
Entonces, ¿cuánto vale f' de x sub 0? 00:12:51
Es decir, f' de 0, pues 6. 00:12:54
Sí, gracias. 00:13:00
Ya para ver si estabais atentos. 00:13:03
Entonces, esto es menos 1, ¿vale? 00:13:05
Ojo como estamos todos, ¿no? 00:13:10
Ay, yo más la vida. 00:13:13
Entonces ya sustituyo y menos 2, ¿verdad? 00:13:15
Es igual a menos 1 por x menos 0. 00:13:19
De donde y es igual a menos x más 2. 00:13:23
Easy, easy. 00:13:30
Oh, yeah. 00:13:34
Bueno, yo estaba on fire, ¿eh? 00:13:36
Le tienes que poner más la camisa blanca. 00:13:38
¿Qué pasa? 00:13:40
¿Sí? ¿Ya lo he visto? 00:13:42
Está lo único que se te arrugue, ¿eh, niño? 00:13:48
¿Vamos? 00:13:53
¿Fácil? 00:13:56
¿Sí? 00:13:57
Este, de luego, es el tipo más fácil, ¿vale? 00:13:58
Me dan el X sub cero. 00:14:01
Tengo que aplicar, sustituir únicamente esta fórmula. 00:14:02
Me la tengo que saber como el comé. 00:14:05
Si no me sé esto, malagueña. 00:14:07
¿Vale, chavales? 00:14:09
Fácil. 00:14:10
Entonces, chavales. 00:14:12
En el b, en el 2, esto es el 1 y esto es el 2. 00:14:13
En el 2, si te das cuenta, a mí no me dan x sub 0. 00:14:20
Aquí a mí lo que me dicen que f de x es x por el logaritmo neperiano de x 00:14:23
y lo que me dice que la recta tangente es paralela a y es igual a 2x. 00:14:28
Entonces, chavales, cuando me dicen que es paralela a una función, yo tengo que ver la forma explícita. 00:14:39
Recordamos esta expresión de aquí, ¿no? Que nos la enseñaron en primero de la ESO y, bueno, incluso en primaria. 00:14:46
Entonces, la pendiente, chavales, es la m, la que acompaña a la x, ¿de acuerdo? 00:14:53
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que aquí sé que m es igual a 2, ¿vale? 00:15:00
¿Qué significa eso, chavales? Precisamente la primera derivada, ¿qué es? ¿Qué es la primera derivada? 00:15:07
F' de x sub cero es la pendiente de la recta tangente a f de x en x igual a x sub cero. 00:15:15
Por lo tanto, ¿qué es lo que yo sé? Que f' de x sub cero ¿a cuánto tiene que ser igual? 00:15:38
Guau. A 2. A 2, ¿eh? ¿Vale? Y entonces con esta igualdad, ¿yo qué creéis que voy a obtener? La x sub 0. ¿Vale? Entonces, ¿cuánto vale f' de x, chavales? Es la derivada de un producto. 00:15:45
Por lo tanto, es la derivada de x, que es 1, por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar, por la derivada del logaritmo neperiano de x, que es 1 partido de x. 00:16:03
Es decir, esto es logaritmo neperiano de x más 1. 00:16:17
¿Vale? 00:16:21
¿Sí o no? 00:16:22
Entonces, ¿cuánto vale f' de x sub 0? 00:16:23
Pues es logaritmo neperiano de x sub 0 más 1 igual a cuánto? 00:16:26
Bueno, ¿y ahora yo qué hago? 00:16:33
Perdonad, f' de x sub cero es igual a 2, ¿verdad? 00:16:35
Jesús, como está, muy bien. 00:16:39
Logaritmo neperiano de x sub cero más 1 es igual a 2. 00:16:42
Por lo tanto, logaritmo neperiano de x sub cero es igual a 1. 00:16:47
¿Cómo hago yo esta ecuación? 00:16:51
¿Cómo despejo yo la x sub cero? 00:16:54
¿Qué tengo que hacer? 00:17:05
¿Cuál es la inversa del logaritmo neperiano? 00:17:07
La e. 00:17:09
¿Vale? 00:17:10
Entonces, ¿qué ocurre? 00:17:12
Si no, yo aplico definición. 00:17:13
Voy a pasar un momentillo al otro lado. 00:17:16
¿Puedo? 00:17:18
Sí. 00:17:19
Te voy a hacer una cosilla, ¿vale? 00:17:39
Lo tenéis aquí copiado igual. 00:17:42
¿Os parece? 00:17:44
Mejor que así. 00:17:45
Entonces, chavales, si yo tengo logaritmo neperiano de x sub 0 igual a 1, 00:17:47
no sé si os acordáis la definición de logaritmo, ¿vale? 00:17:53
¿Qué era? Si yo tenía, chavales, logaritmo en base a de b es igual a c, 00:17:57
no sé si os acordáis, esto a, digamos que se va aquí, es decir, a elevado a c es igual a b. 00:18:02
¿De esto os acordáis? 00:18:10
Pues entonces, ¿cuál es la base de un logaritmo neperiano? 00:18:12
El e. Pues entonces, ¿esto qué es? 00:18:15
Aquí esto sería como logaritmo en base e de x sub 0 igual a 1, 00:18:18
Por lo tanto, esto que implica a que e elevado a 1 es x sub 0. 00:18:22
¿Eso qué significa? Que x sub 0 es el número e. 00:18:27
Otra opción de aquí es, si igual que yo puedo aplicar logaritmo neperiano en ambos lados, 00:18:32
yo puedo hacer aquí que esto es e por el logaritmo neperiano de x sub 0 es igual a e elevado a 1. 00:18:38
¿Sí o no? 00:18:47
Yo lo cojo, si yo tengo dos cosas que son iguales, 00:18:48
Si yo cojo cualquier exponente aquí, cualquier base aquí, 00:18:51
si los exponentes son iguales y las bases son iguales, 00:18:56
no estoy alterando nada. 00:18:59
¿Y qué ocurre con esto? 00:19:01
Que esto, ¿alguien me sabe decir cuánto es elevado 00:19:02
al logaritmo neperiano de x sub 0? 00:19:06
x sub 0, porque es inversa. 00:19:09
¿Vale? 00:19:13
Son dos formas de llegar al mismo sitio. 00:19:13
¿Vale? 00:19:16
Entonces, fijaros, yo lo que he hecho en este tipo de ejercicio, 00:19:17
yo no sé el x sub cero, lo que me dicen que la recta tangente es paralela a 2x, 00:19:20
entonces yo lo que hago es derivo mi función, le hallo el valor de la función en x sub cero que no lo sé 00:19:26
y lo igualo a la pendiente de la recta que es paralela, en este caso es 2. 00:19:33
Ahora, ¿qué ocurre? Como yo ya sé mi x sub cero, actúo como en el ejemplo 1, ¿vale? 00:19:39
Entonces, chavales, x sub cero es e. ¿Cuánto vale f de x sub cero que es f de e? Que mueve montaña. O el hierro. Es e por el logaritmo neperiano de e, que es igual a e por uno, que es igual a e. 00:19:46
¿Vale? O sea, f de x sub 0 es e, ¿vale? 00:20:10
¿Y f' de x sub 0 me hace falta hacerlo? 00:20:14
¿Cuánto vale? 2. 00:20:18
Pero, ya que estamos y lo tengo, lo compruebo, que sería un detalle, ¿verdad? 00:20:20
f' de x, hemos dicho que era logaritmo neperiano de x más 1, ¿verdad? 00:20:26
f' de x sub 0 es igual a f' de e. 00:20:32
Esto no haría falta, ¿vale? Pero es para que comprobéis de que realmente está bien. 00:20:37
Logaritmo de dE, ¿cuánto es? 1 más 1, 2. 00:20:43
Ya lo sabíamos, es que lo hemos forzado nosotros. 00:20:48
Nosotros hemos forzado precisamente igualar esto de aquí, que es logaritmo neperiano de x, más 1, lo hemos igualado a 2. 00:20:52
y de esa igualdad hemos obtenido que la x sub cero es c. 00:21:02
Por lo tanto, si yo hago la primera derivada y lo sustituyo por m, 00:21:07
tiene que dar 2, si no, nos hemos equivocado, ¿vale? 00:21:11
Es una forma de comprobar que lo habéis hecho bien. 00:21:13
Entonces, ¿qué me queda ya, chavales? 00:21:16
Sustituir, ¿verdad? 00:21:18
Sustituir. 00:21:20
Y menos f de x sub cero es f' de x sub cero por x menos x sub cero. 00:21:21
¿Habría tenido que comprobar? 00:21:28
obligatorio no, pero yo te lo aconsejo 00:21:29
¿vale? entonces 00:21:33
y menos e 00:21:34
es igual a 2 00:21:36
por x menos e ¿verdad? 00:21:38
entonces 00:21:42
y a que es igual a 2x 00:21:42
menos e 00:21:44
¿cómo veis este tipo de ejercicio? 00:21:45
¿vale? 00:21:49
¿y si dice? 00:21:53
¿si? 00:21:55
cuando me digáis pasamos al tercero 00:21:57
Tengo esto de aquí, ¿verdad? 00:21:59
Entonces puedo aplicar dos cosas 00:22:12
Una 00:22:14
Lo que pasa es que hay que saber dos cosillas 00:22:14
Una es la definición 00:22:17
¿Vale? Por eso te he puesto aquí 00:22:19
Cuando yo tengo el logaritmo en base a de b 00:22:21
Que es igual a c 00:22:23
Eso significa que la base 00:22:24
Del logaritmo 00:22:27
La base del logaritmo se convierte en una potencia de base a que está elevada a la solución y es igual al argumento del logaritmo. 00:22:28
Yo aquí siempre, muchas veces de esto no me acuerdo, pero tú sabes cuánto es el logaritmo en base 2 de 8. 00:22:39
En base 2 de 8 es 3. 00:22:46
Logaritmo en base 2 de 8 es 3 00:22:53
¿Por qué? Porque 2 al cubo es igual a 8 00:23:01
¿Cuál es el logaritmo en base 10 de 1000? 00:23:06
¿Y el logaritmo en base 4 de 64? 00:23:12
4 al cubo es 64 00:23:27
¿Vale? Entonces precisamente aplicando esta lógica 00:23:34
¿Qué ocurre? Que elevado a 1 es igual a x sub 0 00:23:39
¿Vale? Otra forma es 00:23:42
elevar, como yo tengo dos cosas que son iguales, lo convierto en potencia 00:23:46
¿Verdad? Si yo tengo dos cosas que son iguales y yo lo convierto en potencia 00:23:51
en este caso, cojo la base e porque es la inversa del logaritmo 00:23:55
neperiano, entonces ¿Qué ocurre? Yo tengo aquí dos potencias 00:23:59
donde la base yo he forzado 00:24:03
que sea la misma, que es el número e 00:24:05
como yo sé 00:24:07
que precisamente los exponentes son 00:24:09
iguales, pues entonces esta potencia de aquí 00:24:11
es igual a esta potencia de aquí 00:24:14
y aquí lo único que tenemos que saber 00:24:15
es que e elevado al logaritmo 00:24:17
neperiano de x sub cero 00:24:19
¿cuál es, chavales? 00:24:21
el seno del arco seno 00:24:24
de x, ¿cuánto vale el seno 00:24:25
del arco seno de x? 00:24:27
¿cuánto vale el arco 00:24:30
tangente de tangente de x? 00:24:31
¿Cuánto vale el coseno del arcoseno de x? 00:24:35
¿Vale? 00:24:40
Son inversas. 00:24:41
Entonces, ¿cuánto vale elevado al logaritmo neperiano de x sub 0? 00:24:41
x sub 0. 00:24:45
¿Vale? 00:24:46
Y elevado a 1, pues, entonces son dos formas de llegar al mismo lado. 00:24:47
¿Vale? 00:24:52
Pero esta es por definición de logaritmo. 00:24:53
¿Vale? 00:24:56
Esto de aquí es la definición de logaritmo. 00:24:56
¿Vale? 00:24:59
¿Sí? 00:25:03
¿Firthing? 00:25:05
¿Firthing o nothing? 00:25:08
la tercera 00:25:10
¿vale? 00:25:23
nuestra Carla 00:25:24
bueno 00:25:24
Carla va por ti 00:25:26
si escucha la clase 00:25:27
te queremos 00:25:28
entonces chavales 00:25:29
aquí lo que me dicen 00:25:30
digamos 00:25:31
la tercera 00:25:32
es un poquito 00:25:32
más puñetera 00:25:33
¿vale? 00:25:35
que tampoco 00:25:35
que tampoco es 00:25:35
que tampoco 00:25:37
es mucho 00:25:39
¿vale? 00:25:40
lo único que quiero 00:25:40
que veáis 00:25:41
Esto era un cubo, ¿vale? Son las tres posibilidades que nos van a pedir y hemos ido de la más sencilla, luego la intermedia y esta, digamos, que es un poquito más complicada. 00:25:42
Entonces, lo que me dicen son las rectas tangentes a esta función, pero que pasan por el origen de coordenadas, ¿vale? 00:25:52
Esto es la recta tangente a una función que pasa por un punto exterior. 00:25:58
Que allí intentamos hacer uno, pero es que justo el punto que cogí no tenía tangente. 00:26:11
Entonces, recta tangente a una función que pasa por un punto exterior. 00:26:19
Lo primero sería un detalle comprobar, primero comprobamos 00:26:24
que se trata de un punto exterior, que efectivamente se trata de un punto exterior. 00:26:29
Se trata de un punto exterior. 00:26:41
¿Y eso cómo lo compruebo, chavales? 00:26:47
¿Cuál es mi punto exterior? P, 0, 0. 00:26:49
Entonces yo me pregunto, ¿P que es 0, 0 pertenece a f de x? 00:26:52
¿Cómo lo compruebo? Pues si yo hallo f de 0, chavales. 00:27:00
Sí, orgánico esto. Entonces, f de 0, yo sustituyo la x por 0, si me da el resultado un 0, ¿eso qué significa? Si yo cuando hallo f de 0 me da 0, ¿qué significa? Que sí pertenece. 00:27:04
Pero si me da cualquier cosa distinta de 0, ¿vale? 00:27:23
O si yo tuviera aquí 0, 3, ¿vale? 00:27:27
Si yo tuviera 0, 3, pues yo sustituyo, ¿de acuerdo? 00:27:29
Sustituyo el 0. 00:27:33
¿Que me da algo distinto de 3? 00:27:35
Pues no pertenece. 00:27:37
¿Que me da 3? 00:27:38
Pues no es un punto exterior, sino que es tal. 00:27:39
¿Qué ocurre con f de 0? 00:27:42
Pues sería 3 por 0 al cuadrado menos 5 por 0 más 12. 00:27:43
Esto es 12, ¿vale? 00:27:48
Por lo tanto, P0, 0 no pertenece a f de x. Es un punto exterior. 00:27:50
¿Sé el x sub 0, chavales? No lo sé. No sé. 00:28:03
Pero yo lo que sí sé es la ecuación de mi recta tangente, ¿verdad? 00:28:07
Recta tangente. 00:28:11
Y menos f de x sub 0 es igual a f' de x sub 0 por x menos x sub 0. 00:28:15
¿Vale? 00:28:24
Y aquí lo que no sé de nuevo es el x sub cero. ¿Vale? Pero ¿qué ocurre? Que yo sé que f de x, ¿cuánto vale? f de x sub cero, ¿cuánto valdría f de x sub cero? ¿Ya vale? Pues 3 por x sub cero al cuadrado menos 5 por x sub cero más 12, ¿verdad? 00:28:24
es cuando yo os he contado 00:28:44
lo de una máquina que le metes pepe 00:28:47
pues si, ¿cuánto vale 00:28:49
f de pepe? pues 3 por pepe 00:28:51
al cuadrado, menos 5 pepe 00:28:53
más 12 00:28:55
y f' de x, ¿cuánto vale? 00:28:56
es 6x sub 0 00:28:59
bueno, f de x sub 0 00:29:01
menos 5, ¿vale? lo he derivado 00:29:04
ya, ¿vale? y lo sustituyo 00:29:07
¿hasta ahí bien? 00:29:09
¿sí o no? 00:29:12
entonces, ahora, ¿qué ocurre? 00:29:12
pues que yo tengo que esto sería 00:29:15
y menos, fijaros 00:29:16
3x sub 0 al cuadrado 00:29:18
menos 5x sub 0 00:29:21
más 12, ¿vale? 00:29:23
¿sí? 00:29:29
me preguntáis, ¿tenéis el parámetro de x sub 0? 00:29:30
¿no puedo sustituir 00:29:33
el 0,0 directamente en la y y en la x? 00:29:34
¿y si me empajara x sub 0? 00:29:36
¿cómo? ¿aquí la x y la y 00:29:40
luego el 0,0? sí, sí, pero primero tenemos 00:29:42
que tener la ecuación 00:29:44
así que sí, ese es el método 00:29:46
¿vale? 00:29:48
f' esto es 00:29:50
6x sub 0 menos 5 00:29:52
por x menos x sub 0 00:29:54
¿vale? 00:29:56
entonces mi punto 00:29:57
es x y 00:30:00
es el punto 0 0 ¿verdad? 00:30:02
pues entonces yo lo que tengo que hacer es 00:30:04
esta y 00:30:06
la sustituyo por un 0 00:30:07
esta x de aquí 00:30:10
la sustituyo por un 0, ¿vale? 00:30:12
Si mi punto hubiese sido 00:30:15
el punto 2, 3, 00:30:16
pues yo sustituyo la x por 2 00:30:19
y la y por 3. Pero como es 00:30:21
0, 0, lo sustituyo ahí. 00:30:23
¿Lo veis, chavales? 00:30:25
¿Veis lo que he hecho o no? 00:30:27
Entonces, si esto es 0, 0, 00:30:28
¿qué es lo que me queda? 00:30:31
Me queda que menos 3x 00:30:32
sub 0 al cuadrado 00:30:34
más 5x sub 0 00:30:36
menos 12, ¿verdad? 00:30:38
Como esto es un 0, 00:30:40
Esto sería menos 6x sub cero al cuadrado más 5x sub cero. 00:30:42
¿Veis lo que he hecho o no? 00:30:51
Esto lo he sustituido por cero. 00:30:54
Esto lo he sustituido por cero. 00:30:57
¿Sí o no? 00:30:59
Y me queda esto de aquí. 00:31:00
¿Y esto de aquí qué he hecho, vale? 00:31:02
Una ecuación de segundo grado, ¿vale? 00:31:04
Entonces esto me queda 3x sub cero al cuadrado. 00:31:06
Fijaros, se me van los x sub 0, el 5 se me va con el 5, y esto es menos 12 igual a 0. 00:31:11
¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? 00:31:21
Esto que es 3x sub 0 al cuadrado es igual a 12, x sub 0 al cuadrado es igual a 4. 00:31:23
Entonces, ¿cuánto vale x sub 0? 00:31:31
Más o menos la raíz de 4, que es igual a más o menos 2. 00:31:34
¿vale? 00:31:38
por eso me dice aquí las rectas tangentes 00:31:40
porque voy a obtener 00:31:42
dos rectas tangentes 00:31:44
¿vale chavales? 00:31:46
circling o nothing 00:31:50
entonces fijaros la que tengo que liar 00:31:51
para encontrar los x sub 0 que no me 00:31:53
han dado, porque en el ejercicio 00:31:55
1 me daban el x sub 0 00:31:57
en el ejercicio 2 no me daban el 00:31:59
x sub 0 pero me daban el f prima 00:32:01
de x sub 0 porque era paralela 00:32:03
a la recta igual a 2x, ¿vale? 00:32:07
Y luego, aquí lo que me dice es que sean las rectas tangentes a esta curva, 00:32:11
pero que pasan por el origen de coordenada. 00:32:17
El origen de coordenada es el 0, 0. 00:32:19
Pero me pueden decir también que pase por el punto, yo que sé, 8, 4, ¿vale? 00:32:21
Que aquí lo que haría el 8, 4, aquí pongo un 8 y aquí en la x pongo un 4, ¿vale? 00:32:25
¿Sí o no? 00:32:31
Entonces, chavales, ¿qué vamos a hacer? 00:32:34
¿Me tenéis...? ¿Puedo pasar? 00:32:36
No. Ahora lo que vamos 00:32:38
a pasar es hacer... 00:32:42
¿Os acordáis del ejercicio 1? 00:32:44
De estos 3, es hacer lo mismo 00:32:46
del ejercicio 1, sabiendo que 00:32:47
x sub 0 vale 2 y que x sub 0 00:32:50
vale menos. No hay más cosas. 00:32:51
¿Quieres fin? 00:32:54
¿Quieres fin? 00:33:01
Chavales, os lo dejo para ustedes 00:33:13
y avanzamos. 00:33:15
¿Sí? Venga, os lo dejo para ustedes. 00:33:16
¿Vale? 00:33:19
esto no está acabado, hay que hacerlo ahora 00:33:19
¿vale? hay que hacer 00:33:22
f de x 00:33:23
¿me lo distais? es 3x al cuadrado 00:33:25
menos 5x más 12 00:33:28
¿vale? pues hallar la recta tangente 00:33:30
para x igual a menos 2 00:33:33
y para x igual a 2 00:33:34
¿vale? el x sub 0 00:33:36
dime 00:33:38
lo acabamos de hallar 00:33:40
son estos dos 00:33:44
y lo cero es 00:33:45
Tú tienes esta función. ¿Cuántas rectas tangentes tiene esta función? Infinitas. ¿Y cuáles son las que pasan por el 0,0? Tan solo hay dos, que todavía no las hemos hallado. 00:33:48
¿Vale? Entonces yo ahora sí sé el x sub 0 00:34:01
¿Vale? Esto es f de x sub 0 00:34:06
igual a f prima de x sub 0 por x menos x sub 0 00:34:14
y aquí igual y menos f de x sub 0 es igual a f prima 00:34:17
de x sub 0 x menos x sub 0. Entonces ¿qué tengo que hallar? 00:34:21
Tengo que hallar x sub 0 es igual a menos 2, pues tengo que hallar 00:34:26
f de x sub 0 es decir a f de menos 2 00:34:29
y tengo que hallar f' de x sub cero, que es f' de menos 2. 00:34:33
Sustituyo y ya lo tengo. 00:34:39
Y aquí igual yo tengo que x sub cero es 2, f de x sub cero es f de 2 00:34:41
y f' de x sub cero es igual a f' de 2. 00:34:46
Y me va a dar otra recta. 00:34:50
Y además os va a tener que dar recta si pasa por el origen de coordenadas, 00:34:53
como es la n. 00:34:58
¿Vale? Os va a tener que salir una recta del tipo y es igual a mx y aquí y es igual a mx. ¿Vale? La n va de 0 porque pasa por el 0, 0. ¿Vale? Esta recta de aquí y esta recta de aquí tiene que pasar por el punto 0, 0. ¿De acuerdo? ¿Vale, chavales? Hacedlo y si tenéis alguna duda me preguntáis mañana. ¿Vale? Es que este me interesa mucho. 00:34:59
Este de aquí es el ejercicio 71 de la página 300, ¿vale? 00:35:25
Lo que me dicen es, circula A y B para que esta función, que está definida a x menos 3 si x es menor que 4 y menos x cuadrado más 10x menos b si x es mayor o igual que 4, cumple las hipótesis del teorema del valor medio, ¿vale? 00:35:31
Entonces, ¿qué me decía a mí la hipótesis del teorema del valor medio, chavales? ¿Alguien lo sabe? Efectivamente, que f de x es continua en un intervalo, en este caso en 2,6, ¿vale? Y derivable en el intervalo abierto en 2,6. ¿Vale, chavales? ¿Lo veis o no? ¿Sí? 00:35:48
Y esas son las hipótesis primero. Después, ¿qué es lo que me decía el teorema de valor medio? Que si x continúa en 2, 6 y derivable en 2, 6, eso implica que existe un valor c que pertenece a este intervalo 2, 6 al que f' de c es igual a f de 6 menos f de 2 es igual a 6 menos 2. 00:36:24
Eso es lo que me dice el teorema del valor medio. 00:36:51
El teorema del valor medio lo que me indica es que si yo tengo una función que es continua y derivable, 00:36:53
Pues existe un punto cuya pendiente de la recta tangente es igual a precisamente la pendiente que va de unir los puntos 2 f de 2 y 6 f de 6. 00:37:05
Es lo que me dice. El teorema de Rolle precisamente es un caso específico donde f de 6 y f de 2 tiene que valer lo mismo. 00:37:23
Entonces, si f de 6 es lo mismo que f de 2, ¿qué ocurre? 00:37:34
¿Cuánto sale el numerador? 00:37:38
Cero. 00:37:40
Y entonces, ¿qué me quiere decir? 00:37:41
Que existe un punto en el intervalo 2, 6, donde la primera derivada es cero. 00:37:43
Tiene una tangencia horizontal. 00:37:47
Y eso se puede traducir en un posible máximo o mínimo. 00:37:49
¿Vale? A menos que sea la función todo. 00:37:54
Entonces, ¿qué tengo que estudiar? 00:37:56
La continuidad. 00:37:57
Entonces, ¿qué ocurre? 00:37:58
En el tramo menos infinito es 4, yo tengo la función g de x que es igual a x menos 3, que es polinómica y es continua en todo r. 00:37:59
en el tramo 4 más infinito tengo h de x que es igual a menos x cuadrado más 10x menos b 00:38:18
que es polinómica y es una cosa que voy a añadir aquí 00:38:32
la polinómica es un puntazo porque es continua y derivable en todo r 00:38:43
es continua y derivable en todo r 00:38:52
Por lo tanto, ¿dónde vamos a estudiar la continuidad y la derivabilidad? 00:39:01
Por lo tanto, estudiamos la continuidad y derivabilidad en x igual a 4. 00:39:07
¿Vale, chavales? ¿Hasta ahí todo bien? ¿Sí? 00:39:29
¿Entonces, vale? ¿Sí o no? 00:39:34
Pues venga. 00:39:37
Entonces, continuidad en x igual a 4. 00:39:45
Y esto lo ponemos siempre. 00:39:53
f de x es continua en x igual a 4, sí y solo sí. 00:39:55
El límite de f de x cuando x tiende a 4, ¿a qué tiene que ser igual, chavales? 00:40:04
A f de 4. 00:40:11
A f de 4, ¿vale, André? No te cites porque los laterales van a hacer que si los laterales son iguales, entonces existe el límite de f de x cuando x tiende a 4. 00:40:14
Pero para que sea continua en 4, la condición es esta. ¿Qué ocurre? Que justo en 4 está definida a trozos. 00:40:27
Entonces, fíjate, yo a la hora de hallar el límite de f de x, cuando x tiende a 4, al encontrarme que está definida a trozos, 00:40:34
tengo que hacer los laterales, si no, no hace falta hacer los laterales, ¿vale? 00:40:43
x tiende a 4 por la izquierda. Entonces, 4 por la izquierda, ¿qué cojo? Arriba, abajo. 00:40:48
Arriba, ¿verdad? Límite de ax menos 3 cuando x tiende a 4 por la izquierda. 00:40:55
¿Esto qué es? 4a menos 3. ¿Vale todo el mundo? Y ahora el límite de f de x cuando x tiende a 4 por la derecha, que cojo ya la de abajo, ¿verdad? Menos x cuadrado más 10x menos b. Fijaros cómo lo pongo esto. La palabra límites tiene que estar en todas las igualdades. 00:41:02
Pongo f de x, luego sustituyo la parte que era aquí, sustituyo. 00:41:26
Menos, escúchame una cosa. 00:41:30
¿Qué cosa? 00:41:32
Este cuadrado solamente afecta a la x, no afecta al menos. 00:41:33
Por lo tanto, menos, y utiliza por favor los paréntesis que son vuestros amigos, ¿vale? 00:41:37
Menos 4 al cuadrado más 10 por 4 menos b. 00:41:42
¿Y eso qué es? 00:41:47
Menos 16 más 40 menos b. 00:41:48
Y esto, si no me equivoco, es 24 menos b. 00:41:51
¿Vale, chavales? Entonces, Andrés, ¿cuánto vale para que exista el límite? ¿Existe el límite de f de x cuando x tiende a 4? Sí, solo sí, el límite ahora sí, ¿eh? 00:41:56
El límite de f de x de a 4 por la izquierda es igual al límite de f de x cuando x tiende a 4 por la derecha. 00:42:15
¿Eso qué implica? 00:42:24
Que 4a menos 3, ¿a qué tiene que ser igual, chavales? 00:42:26
A 24 menos b. 00:42:31
¿Vale? Por lo tanto, 4a más b es igual a 27. 00:42:33
Esta es la primera condición. 00:42:40
¿Cómo lo veis, Gerson? 00:42:44
Bien. 00:42:45
¿Verdad? 00:42:46
Dime. 00:42:49
Y ahora una cosita. 00:42:50
Un momento, impistolín. 00:42:51
F de 4. 00:42:52
F de 4 lo tengo que sustituir abajo, ¿verdad? 00:42:53
Y es 24 menos B, ¿verdad? 00:42:56
También. 00:42:59
¿Vale? 00:43:00
Entonces, ¿qué ocurre? 00:43:01
Pues nada. 00:43:02
Que no añade ninguna condición porque tiene que ser igual. 00:43:03
¿Vale? 00:43:07
¿Lo entendéis eso o no? 00:43:09
¿Puedo pasar a la siguiente? 00:43:12
El sueño, ¿eh? 00:43:15
Una mejita. 00:43:17
¿Puedo pasar a la siguiente, chavales? 00:43:18
Igualo los dos límites laterales. 00:43:34
¿Vale? 00:43:37
¿Puedo pasar? 00:43:40
Entonces, aquí ¿qué tenemos que poner? 00:43:43
f de x 00:43:46
es continua 00:43:51
en el intervalo 2, 6 00:43:53
si, solo si 00:43:57
4a más b 00:44:01
es igual a 27, ¿verdad? 00:44:09
si, solo si, 4a 00:44:18
más b 00:44:20
es 27, entonces ahora 00:44:22
chavales, en otro color verde 00:44:24
esperanza, derivabilidad 00:44:26
derivabilidad 00:44:27
en x 00:44:30
es igual a 4. Y aquí me tenéis que ayudar si lo tenéis apuntado. f' de x, chavales. 00:44:34
¿Cuánto valía f de x si x es menor que 4? ¿Cuánto valía? a x menos 3. Entonces, 00:44:39
a. ¿Vale? Si x es menor que 4. Y la otra era menos x cuadrado, ¿no? Más 10x menos 00:44:46
Al final esta es la derivada, ¿vale? 00:44:57
Si x es mayor que 4. 00:45:00
Aquí fijaros que no pongo los iguales en las derivadas, ¿vale? 00:45:03
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:45:07
¿Qué ocurre? 00:45:09
f de x es derivable en x igual a 4, sí, solo sí. 00:45:11
f' de 4 por la izquierda, y se expresa así, es igual a f' de 4 por la derecha. 00:45:22
¿Cuánto vale f' de 4 por la izquierda, chavales? 00:45:31
¿Y cuánto vale f' de 4 por la derecha? 00:45:46
2, ¿no? No puede ser. 00:45:53
¿Ah, sí? Entonces, para que sea derivable, ¿qué ocurre? Pues que A tiene que valer 2, ¿vale? Me he quedado sin batería, bulería, bulería. 00:45:55
¿Entendéis lo que estoy haciendo, verdad? Es que para que se pueda aplicar el teorema de Rolle, hay dos premisas, dos hipótesis que se llaman, ¿vale? 00:46:08
Que son las x, perdona, tiene que ser derivable en ese intervalo, perdona, es continua y derivable, ¿vale? Entonces, f' de 4 por la izquierda, ¿vale? Es igual a a, ¿verdad? 00:46:19
y f' de 4 por la derecha es 8, menos 8, ah, verdad, gracias, menos 2 por 4 más 10 es igual a 2, ¿vale? 00:46:35
Entonces, ¿qué ocurre? Que a es igual a 2, ¿lo veis, chavales? 00:46:54
¿Sí? Entonces, f de x es derivable en 2, 6 y aquí muy importante, tenéis que poner los corchetes, los paréntesis en vez de los corchetes porque lo derivable es abierto, ¿vale? 00:46:59
Si a es igual a 2. 00:47:18
Entonces, ¿qué condiciones tengo, chavales? 00:47:20
Tengo, por un lado, 4a más b igual a 27 para que sea continua, 00:47:22
y que a es igual a 2 para que sea derivable. 00:47:28
Esto que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, ¿verdad? 00:47:31
Entonces, la b, ¿a qué es igual? A 27 menos 4a. 00:47:35
Como a es igual a 2, ¿cuánto vale b? 00:47:39
27 menos 4 por 2 00:47:43
19, ¿no? 00:47:46
¿Lo veis, chavales? 00:47:50
¿Sí? 00:47:52
¿Paula, dices? 00:47:52
¿Eres feliz? 00:47:54
Entonces, f de x es continua 00:47:55
en 2, 6. 00:48:00
Fijaros que en continua pongo los corchetes. 00:48:03
Y derivable en 2, 6. 00:48:06
Aquí pongo paréntesis. 00:48:11
Y si a es igual a 2, b es igual a 19. 00:48:13
Estas son mis hipótesis. 00:48:18
Hipótesis del teorema del valor medio. 00:48:22
Es que si no es continuo y derivable, no puedo aplicar el teorema del valor medio. 00:48:27
¿Vale? 00:48:33
Y entonces, ahora, ¿qué es lo que me piden si no me equivoco? 00:48:34
Que haya los puntos que cumplen esa hipótesis, ¿no? 00:48:37
¿Sí? 00:48:40
Entonces, ¿puedo pasar, chavales? 00:48:41
¿Tenéis copiado esto? 00:48:44
¿Tenéis copiado la función original? 00:48:45
Habría que poner la hipótesis del número. 00:48:47
Escribir la hipótesis. 00:48:50
Yo te lo pregunto. 00:48:53
Cumple las hipótesis del teorema de valor medio en este intervalo. 00:48:59
Calcula A y B, ¿vale? 00:49:02
¿Dónde cumple la hipótesis? 00:49:04
Esto lo tenéis copiado, ¿verdad? 00:49:07
Es que me interesa mucho, ¿vale? 00:49:08
Entonces, fijaros. 00:49:10
¿Cómo era mi f de x? 00:49:12
f de x 00:49:14
ax menos 3 00:49:16
si x es menor que 4 00:49:20
y menos x cuadrado 00:49:22
más 10x 00:49:24
menos b 00:49:26
menos b 00:49:28
si x es mayor que 4 00:49:30
y aquí que dijimos que a es igual a 2 00:49:32
y que b es igual a 19 00:49:34
entonces mi función 00:49:35
dejadme que termine esto 00:49:37
2x menos 3 00:49:39
si x es menor que 4 00:49:41
y menos x cuadrado más 10x menos 19, perdón, menos 19 si x es mayor o igual que 4. 00:49:43
Entonces, ¿qué me dice el teorema de valor medio? 00:49:55
Que existe un c que pertenece al intervalo 2, 6 donde f' de c es igual a f de, en este caso sería f de 6 00:49:57
menos f de 2 partido de 6 menos 2, ¿vale? 00:50:12
Entonces, ¿cuánto vale f de 6? 00:50:19
f de 6 lo sustituyo aquí abajo, ¿verdad? 00:50:21
Es menos 6 al cuadrado más 10 por 6 menos 19, ¿verdad? 00:50:24
¿Estáis de acuerdo conmigo o no? 00:50:32
Y esto que es 00:50:33
Menos 36 00:50:35
Más 60 00:50:37
Menos 19 00:50:39
Por lo cual trae 5 00:50:42
Positivo o negativo 00:50:44
El ejercicio está hecho a dredes 00:50:45
El F de 2 lo sustituyo 00:50:50
Hacia arriba, ¿vale? 00:50:55
Entonces 00:50:57
2 por 2 00:50:58
Menos 3, 1 00:50:59
¿Vale, chavales? 00:51:01
¿Sí o no? 00:51:03
Si yo ahora sustituyo todo esto aquí, f' de c, ¿a qué tiene que ser igual? A 5y menos 1 partido 6 menos 2, es decir, 4 partido de 4 que es 1. 00:51:03
¿He acabado? No. 00:51:19
Tengo que hallar precisamente los c. 00:51:21
Entonces, ¿cuánto vale f' de x? 00:51:24
¿Cuánto vale f' de x? 00:51:30
Arriba valía 2, ¿verdad? 00:51:32
Y abajo, ¿qué era? 00:51:35
Menos 2x más 10. 00:51:36
¿Estamos de acuerdo o no? 00:51:38
Esto es si x es menor que 4 y esto es si x es mayor que 4. 00:51:40
Entonces, chavales, en el tramo este, 00:51:46
2 es distinto 00:51:49
de 1, ¿verdad? No va a haber 00:51:52
ningún c que pertenezca 00:51:53
a 2, 4, ¿verdad? 00:51:56
No existe 00:52:01
c que pertenece 00:52:02
a 2, 4, ¿vale? 00:52:04
Tal que f' 00:52:06
de c sea igual a 1 00:52:08
porque hay todos los puntos, su derivada, ¿cuánto 00:52:10
vale, Martín? 00:52:12
En este intervalo 00:52:21
lo de menos 2 a 4, ¿cuánto vale 00:52:24
la derivada? 00:52:26
Esto es la derivada. 00:52:31
¡A ti! ¡Estás 00:52:34
ido! ¡Qué tío más falso, 00:52:35
guillo! Y entonces, ¿qué hago 00:52:38
en el otro? Pues lo que hago es 00:52:39
que menos 2x más 10, 00:52:41
¿a qué creéis que lo tengo que igualar, chavales? 00:52:44
A 1. 00:52:45
Entonces, ¿qué ocurre? Que yo tengo aquí 00:52:47
que 2x es igual a 9, 00:52:49
x es igual a 9 00:52:52
medios, ¿vale? Que es 4, 00:52:53
premio, ¿vale? Precisamente sí que está definido en su intervalo, ¿lo veis? Porque 00:52:56
x es mayor que 4, ¿vale? Pues entonces, ¿qué ocurre? Que existe un c que es igual a 4,5 00:53:02
que pertenece al 2,6, al que f' de 9 medios es igual a cuánto? A 1, ¿vale? Que ese 1 00:53:11
es precisamente 00:53:27
f de 6 00:53:28
menos f de 2 00:53:31
6 menos 00:53:33
este ejercicio 00:53:34
hombre 00:53:37
este ejercicio 00:53:43
me pone, vamos, bruto, bruto 00:53:44
¿vale? 00:53:47
¿vale? 00:53:49
¿me hago el coquillo? 00:53:52
very important 00:53:59
Muy importante 00:54:00
Ejercicio 00:54:02
Vale chavales 00:54:04
Seguimos en otro video 00:54:09
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Idioma/s:
es
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
3
Fecha:
10 de febrero de 2026 - 13:08
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
54′ 12″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
113.96 MBytes

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