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Aplicaciones de derivadas - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2026 por Roberto A.

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Hoy es 6 ya, madre mía, 6 de febrero, no se ve, del 2026, ¿vale? 00:00:00
Entonces, si le puedes dar a surfe y eliges el 1, ¿no? 00:00:09
¿Vale? Venga. 00:00:16
Hola. 00:00:19
Vale, venga. 00:00:22
Vamos a ver, a un lado. 00:00:27
Vale, he estado subiendo bastantes cosas 00:00:28
Hostia, no te he podido ver 00:00:31
Lo tuyo, luego te contesto después 00:00:32
El recreo, ¿vale? 00:00:35
Chavales, cosas importantes 00:00:37
Que estoy subiendo al aula 00:00:39
Y que sería bueno que echarais un vistazo, ¿vale? 00:00:40
Entonces, aquí 00:00:44
En el tema 8 00:00:45
Hemos visto 00:00:47
Continuidad y límites 00:00:49
Continuidad y límites, ¿vale? 00:00:50
Entonces, hay tres teoremas importantes 00:00:53
Que son los de Borsano 00:00:55
el de Darbú, que el de Darbú generaliza 00:00:56
el de Bozano y el de Ballestra 00:00:59
que como está relacionado con máximos 00:01:01
y mínimos, ya 00:01:03
lo veremos más detenidamente 00:01:04
¿vale? pero aquí en 00:01:07
la unidad 8 00:01:08
¿vale? he subido aquí una serie de apuntes 00:01:10
que son ejercicios y demás, echarle un vistazo 00:01:13
por favor, ¿vale? eso ya os lo comenté 00:01:15
entonces, en el tema 00:01:17
9 de derivada, en el tema 9 00:01:19
de derivada, aparte que están aquí las tablas 00:01:21
apuntes y demás, pues también he estado 00:01:23
subiendo, ejercicios de derivada 00:01:25
para que le echéis un vistazo 00:01:27
¿vale? estuvimos viendo 00:01:29
ya la relación entre las derivadas de una función 00:01:31
y su inversa 00:01:33
la derivación logarítmica que era la de 00:01:34
dos 00:01:37
una función elevada a otra 00:01:38
la derivación implícita también 00:01:40
y aquí 00:01:43
hay teoría y aquí ejercicio 00:01:45
echarle un vistazo, y ahora aquí en la aplicación 00:01:47
de las derivadas ¿vale? anoche subí 00:01:49
este documento 00:01:52
de aplicación de las derivadas 00:01:53
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? La aplicación de las derivadas, pues hay nueve puntos principales que nos van a permitir hallar, digamos, utilizar derivadas. 00:01:55
Es la ecuación de la recta tangente a una función en un punto, que creo que ya lo hicimos. 00:02:07
La ecuación de la recta normal, acordaros que la ecuación de la recta normal es igual que la tangente, 00:02:14
lo que pasa es que su pendiente es menos 1 partido la derivada. 00:02:19
Luego, esto sí que creo que no lo hemos hecho, que es la obtención de los puntos en los que la derivada toma cierto valor. 00:02:25
Y luego, uniendo los puntos 1, la recta tangente, y el punto 3, que es la obtención de puntos en los que la derivada toma un cierto valor, se puede hallar, por ejemplo, ejercicios típicos que son hallar la recta tangente de una función que sea paralela a otra, ¿de acuerdo? 00:02:34
El estudio de la monotonía todavía no lo hemos visto, pero es que eso es únicamente el crecimiento de crecimiento, ¿de acuerdo? Que si sabemos realmente qué es lo que significa la derivada de una función, que es la pendiente de la recta tangente por ese punto, nosotros vamos a saber si esa pendiente es positiva, pues significa que la primera derivada es positiva. 00:02:51
Y si la primera derivada es positiva, es que la función crece en ese punto, ¿de acuerdo? 00:03:15
Si la primera derivada es negativa, es que la pendiente de la recta tangente a esa curva en ese punto es negativa 00:03:21
y, por lo tanto, la función decrece, ¿de acuerdo? Esa es la monotonía. 00:03:32
¿Y qué es lo que ocurre cuando la primera derivada es cero? 00:03:36
Pues cuando la primera derivada es cero, es que la pendiente de la recta tangente es cero. 00:03:40
¿Y cuándo la pendiente de la recta tangente es cero? Pues cuando estamos en un máximo o en un mínimo, o bueno, puede ser también un punto de inflexión o que sea una recta horizontal, también puede ser. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que nosotros con las derivadas podemos hallar recta tangente, recta normal, recta tangente que sea paralela a otra dada, la monotonía que es el crecimiento y decrecimiento. 00:03:45
También vamos allá a los puntos singulares, ¿vale? Donde la primera es suya. La primera derivada, pues, se hace donde están los máximos, los mínimos. Vamos a, aunque ahora nos quiero entrar mucho en ese tema, cuando veamos representación de funciones, que yo, por ejemplo, sí que os lo he puesto, me refiero en los apuntes aquí, hay siempre un puntito más, ¿vale? De lo que entra en el examen. 00:04:10
Me refiero a que nosotros ahora con la primera derivada y luego lo vamos a utilizar en la representación de funciones, nosotros vamos a ver que cuando la primera derivada es cero, en la mayoría de los casos, no siempre, puede ser que a veces haya un punto de inflexión, pero vamos a obtener los máximos y los mínimos. 00:04:32
Entonces, luego sí que vamos a tener que decir si esos máximos o esos mínimos son máximos o mínimos relativos o máximos y mínimos absolutos, ¿vale? Entonces, eso hasta que nos demos la otra yo no lo voy a exigir, ¿vale? 00:04:52
Entonces, luego también la regla de L'Hôpital, que ya lo hemos visto. 00:05:06
Hay también unos cuantos de ejercicio ahí con la regla de L'Hôpital. 00:05:09
Y después el estudio de la derivabilidad de una función que ya también nosotros lo hemos visto, ¿vale? 00:05:12
Y luego la optimización de funciones. 00:05:18
La optimización de funciones al final, cuando optimizamos una función, cuando queremos hacerla o máxima o mínima. 00:05:20
Y entonces también se hace con la primera derivada, ¿vale? 00:05:26
Entonces, este, este, aquí tenemos 20 folios, ¿vale? 00:05:29
Entonces, echadle un vistazo, echadle un vistazo, porque es bastante, bastante completo. ¿De acuerdo? ¿Sí? Hay un bollón de ejercicio aquí resuelto junto con teoría. ¿Vale? ¿Sí? 00:05:35
entonces a mí me gustaría hacer 00:05:47
un ejercicio de cada, estuvimos ya haciendo 00:05:49
de la recta tangente de la recta normal, ¿verdad? 00:05:51
vale, pues vamos a ir 00:05:54
digamos al punto 00:05:55
al punto 3 00:05:57
¿vale? que es la obtención 00:05:59
de los puntos en los que la derivada 00:06:01
toma un cierto valor, ¿vale? 00:06:03
entonces, ¿esto qué es? 00:06:06
esto al final es más fácil 00:06:09
de lo que pensamos, ¿vale? 00:06:12
entonces dice, encuentra los valores de x 00:06:13
donde la derivada valga 1 00:06:15
¿Vale? 00:06:18
Si nosotros tenemos esto de aquí, f de x, ¿vale? 00:06:19
Pues es tan fácil como encuentro los valores de x donde la primera, donde la derivada de f de x, que es x al cubo menos x al cuadrado, valga 1. 00:06:25
Pues entonces, si yo tengo mi f de x aquí, pues yo hago la primera derivada. 00:06:34
¿Cuánto es la derivada de x al cubo, chavales? 00:06:39
es x cuadrado y la derivada de menos x al cuadrado 00:06:41
menos 2x. ¿De acuerdo? ¿Y qué es lo que me dicen? 00:06:46
Lo que me dicen, y aquí chavales, hacerme por favor una cosa. 00:06:50
Hacerme por favor una cosa. En todos los apuntes está así. 00:06:54
Cuando veamos máximos y mínimos, 00:06:57
se aplica cuando la primera derivada es 0. 00:06:59
La primera derivada es 0. Entonces tenéis la costumbre de hacer la primera derivada 00:07:06
y la igualáis a 0. Entonces, no, por favor. Hacemos la primera derivada, la primera derivada es esto, 00:07:09
y luego f' de x es igual a 0. ¿Y eso qué implica? Bueno, en este caso que es 1, ¿vale? Que es 1. 00:07:16
¿Y esto qué implica? Pues que 3x cuadrado menos 2x es igual a 1. ¿Eso qué significa? 00:07:23
Que tenemos 3x cuadrado menos 2x menos 1 igual a 0. Esto es una ecuación de segundo grado. 00:07:28
Y entonces, pues yo hago esto, menos b más menos b al cuadrado menos, que es más, 12, ¿verdad? Partido de 2 por 3. 00:07:35
Esto es 2 más menos 16 partido de 6. Esto es igual a 2 más menos 4 partido de 6. Esto es un 1. 00:07:47
y esto es un menos 00:07:57
menos un tercio 00:07:59
si no me equivoco, ¿no? 00:08:02
menos un tercio 00:08:04
chavales, ¿cómo se ha comprobado? 00:08:05
¿os acordáis cómo se comprobaba la ecuación del segundo grado? 00:08:07
si yo esto lo multiplico 00:08:10
entre ellos, fijaros, que me da menos un tercio 00:08:11
pero luego lo tengo que multiplicar 00:08:14
por el coeficiente 00:08:16
de la A 00:08:18
¿vale? entonces menos un tercio por 3 00:08:19
menos 1, por lo cual está perfecto 00:08:22
Jesús, hija, y luego si yo sumo 00:08:24
1 y menos 1 tercio me da 2 tercios, le tengo que cambiar el signo, sería menos 2 tercios, menos 2 tercios por 3, menos 2, con lo cual está perfecto, ¿vale? Es una forma de comprobar la ecuación de segundo grado rápido. 00:08:26
Pues entonces, si x es igual a 1, o x es igual a menos un tercio, entonces f' de x vale 1, ¿de acuerdo? 00:08:39
Y esto, si queréis, lo podemos comprobar. Evidentemente, f' de 1, f' de 1, que es 3 por 1 al cuadrado menos 2 por 1, 00:08:54
esto que es 3 menos 2 00:09:03
1, está bien 00:09:05
y f' de un tercio que es 00:09:06
3 por un tercio 00:09:09
al cuadrado menos 2 por un tercio 00:09:11
3 por un tercio 00:09:14
al cuadrado es precisamente un tercio 00:09:15
menos 2 tercios 00:09:18
¿qué es esto más? 00:09:20
es el sumado de un tercio 00:09:21
ah, menos un tercio, vale, gracias 00:09:23
entonces esto es un más 00:09:25
vale, esto ya se me cuadra 00:09:27
y este es el tercio de cerveza 00:09:29
que es 1, ¿vale chavales? 00:09:31
¿Sí o no? Sí. Entonces, una forma de comprobar, una cosa muy fácil, una aplicación de las derivadas. Yo quiero igualar que la primera derivada, pues, valga un valor en concreto. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué ocurre? Ay, perdona, perdona. 00:09:33
Entonces, ¿qué ocurre? 00:09:47
¿Qué ocurre? 00:09:48
Pues que esto me va a servir para un ejercicio 00:09:49
que ya habéis hecho en primero de bachillerato, 00:09:52
que era, por ejemplo, 00:09:55
hallar la recta tangente o la recta normal 00:09:56
que es paralela a una recta dada. 00:09:59
¿Os acordáis de eso más o menos? 00:10:04
La noa noa por la cara que me pone. 00:10:06
¿Has entendido lo que hemos hecho? 00:10:09
Yo aquí lo... 00:10:11
Vale. 00:10:11
Vale, vale, pues para eso. 00:10:12
Yo aquí lo dije. 00:10:14
Entonces, vamos a hallar este ejercicio de aquí, ¿vale? 00:10:14
Este ejercicio de aquí. 00:10:22
¿Qué es lo que me dice este ejercicio? 00:10:24
Dice, hallar la recta tangente a la curva y es igual a 3x cuadrado menos 4x, ¿vale? 00:10:25
Bueno, es una parábola de Cristo en este caso, que sea paralela a la recta esta de aquí. 00:10:32
Es decir, yo tengo una función que es una curva, una parábola, que es 3x cuadrado menos 4x, ¿vale? 00:10:38
Yo lo que quiero es la recta tangente a esta función, pero que sea paralela a la recta, que es 2x menos y más 5 igual a 0. 00:10:43
Esta ecuación de la recta, la recta es la ecuación general, ¿vale? 00:11:10
Entonces nosotros para saber la pendiente la tenemos que poner en su forma explícita. 00:11:15
¿Cómo era la forma explícita? 00:11:22
La que nos enseñaron de toda la vida que es igual, y es igual a mx más n. 00:11:25
¿Cuál es la pendiente en y igual a mx más n, chavales? 00:11:30
La m, ¿vale? 00:11:34
Entonces yo aquí, ¿qué es lo que hago? 00:11:37
Pues yo despejo la y y la y resulta que es 2x más 5, ¿vale? 00:11:38
¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:11:44
Esta y esta son exactamente iguales. 00:11:46
Entonces, ¿qué ocurre? 00:11:49
Pues que si tiene que ser la recta tangente, 00:11:50
que la recta tangente vamos a llamar S de Sevilla y Olé, ¿vale? 00:11:54
Entonces, si S es paralela a R, resulta que tienen la misma pendiente. 00:11:58
Tienen la misma pendiente. 00:12:05
¿Lo veis? 00:12:07
la misma pendiente. 00:12:08
Y en este caso, m es igual a 2. 00:12:12
De aquí, ¿vale? 00:12:16
El coeficiente que acompaña a la x siempre, ¿vale, chavales? 00:12:18
Entonces, ¿qué ocurre? 00:12:22
S, ¿cuál es la ecuación de la recta tangente? 00:12:23
¿La recordáis? 00:12:29
¿La recordáis? 00:12:30
Y menos, y, y, a, o... 00:12:30
¿Todo lo he aprendido ahora? 00:12:34
Sí. 00:12:35
Y no va a derivar de... 00:12:36
Perfecto, ¿qué es lo que ocurre ahora? 00:12:38
Normalmente cuando nos decían, hay una ecuación de la recta tangente en x igual a 3, ese a vale 3, 00:12:45
pero yo ahora si os fijáis, yo no sé cuánto vale a, ¿lo veis? 00:12:52
Yo no sé cuánto vale a, yo lo único que quiero es que me halle, 00:12:57
¿os acordáis de esa algebra del otro día? 00:13:00
¿Cuántas rectas tangentes tiene una función? 00:13:03
Infinita, infinita. 00:13:06
Que pase por un punto, una, y ahora lo que me dice es, hay una recta que te puede, aquí lo bueno y lo malo de estos ejercicios, que te pueden salir varias rectas tangentes, ¿vale? Porque yo lo que tengo es una función, que en este caso es una parábola, tengo una recta, bueno, en una parábola te va a salir una, pero si tengo el Batman del otro día o lo que sea, te pueden salir varias rectas, ¿de acuerdo? 00:13:07
Entonces, ¿qué ocurre? 00:13:33
Que yo ahora lo que no sé es el a. 00:13:34
Lo que sí sé, lo que sí sé es que esta f' de a, ¿cuánto va a valer? 00:13:36
¿Lo veis, chavales? 00:13:43
¿Sí o no? 00:13:44
Lo sé porque es paralela a esta. 00:13:45
¿Lo entendéis? 00:13:47
Como es paralela a esta, tienen que tener la misma pendiente y precisamente la pendiente que me lo da la primera derivada. 00:13:49
Entonces, ¿qué creéis que voy a hacer? 00:13:55
Pues voy a derivar mi f de x, lo voy a igualar a 2. 00:13:56
¿Lo veis? ¿Sí o no? ¿Por qué lo igualo a 2? Porque 2 es la pendiente de la recta que va a ser paralela, ¿vale? Como son paralelas, tienen que ser la misma pendiente. 00:14:02
Entonces, la primera derivada es 6x menos 4, ¿verdad? Y entonces lo que hago es f' de x lo igualo a 2. Por lo tanto, 6x menos 4 es igual a 2 y esto es 6x igual a 6x igual a 1. 00:14:14
solo me va a salir una en este caso 00:14:30
si hubiese sido de otro tipo 00:14:33
hubiese salido 2 00:14:35
si hubiese sido 00:14:36
f de x 00:14:38
una función al cubo 00:14:40
pues me hubieran podido salir 2 00:14:42
y aquí a la cuarta me hubieran salido 3 00:14:44
¿vale? así sucesivamente 00:14:46
¿qué ocurre? 00:14:47
pues que yo ya sé 00:14:51
el punto a es este 00:14:52
¿lo veis? 00:14:54
en el punto x igual a menos 1 00:14:56
la primera derivada vale 2 00:14:59
porque yo lo estoy forzando 00:15:01
¿lo entendéis? 00:15:03
entonces si en x igual a menos 00:15:04
x igual a 1, perdona 00:15:06
la primera derivada vale 2 00:15:08
es que la recta tangente 00:15:10
va a ser paralela 00:15:12
a y igual a 2x más 5 00:15:14
¿sí o no? 00:15:16
¿entendéis lo que estoy haciendo o no? 00:15:20
¿sí? 00:15:26
voy a esperarse que me quede sin batería 00:15:28
y volvería y volvería 00:15:29
¿vale? entonces chavales, ¿qué ocurre? 00:15:30
¿Qué es lo que ocurre? 00:15:34
Pues que nada, yo ya tengo mi a, con lo cual yo ya estoy al principio, ¿lo veis? 00:15:39
Yo ya sé que mi a, en este caso, es igual a x que es igual a 1. 00:15:46
Pues nada, ¿cuánto vale f de 1? 00:15:51
f de 1 sustituyo, es 3, donde haya una x pongo un 1, menos 4 por 1, esto es igual a menos 1, ¿verdad? 00:15:54
y bueno, f' de 1 00:16:02
ya lo sabemos que tiene que valer 2 00:16:05
y la a 00:16:06
la a vale 1 00:16:09
con lo cual yo ya sustituyo 00:16:11
y menos f de a, ¿cuánto vale f de a? 00:16:12
menos 1, ¿verdad? 00:16:15
es igual a 2 que multiplica 00:16:17
x menos 1 00:16:19
¿alguien se me ha perdido? 00:16:20
¿lo veis chavales? ¿lo veis? 00:16:30
¿veis como la recta tangente 00:16:33
esta es la recta tangente s 00:16:34
¿vale? tiene 00:16:36
como pendiente 2 00:16:40
¿Veis como es paralela a 2x 00:16:42
más 5? ¿De acuerdo? 00:16:44
¿Lo veis? Entonces siempre muy fácil 00:16:46
¿Vale? Normalmente 00:16:48
la recta tangente en un punto 00:16:50
yo aplico la fórmula y aquí 00:16:51
vaya Dios gloria. La recta normal 00:16:54
a un punto es esta misma pero aquí 00:16:56
en vez de ser f' de a es 00:16:58
menos 1 partido de f' de a 00:17:00
igual. Y ahora lo único que me 00:17:02
dice es la recta tangente en vez 00:17:04
de en un punto que sea paralela a esta 00:17:06
de aquí. Entonces claro, al ser 00:17:08
paralelas, yo lo que tengo que saber es que dos rectas paralelas 00:17:10
tienen la misma pendiente, por lo tanto 00:17:12
lo que hago es hallar la pendiente 00:17:14
de esa recta paralela, que se me la dan 00:17:16
en continua, la tengo que poner en explícita, que es más fácil 00:17:18
para saber el valor que acompaña 00:17:20
la X, ¿de acuerdo? 00:17:22
Y aquí vaya Dios gloria. 00:17:24
¿Circin? 00:17:26
¿Cuándo es la normal? 00:17:27
La recta normal. 00:17:31
¿Vale? ¿Puedo continuar, 00:17:32
Bachale? ¿Circin? Venga. 00:17:34
Este sería, digamos, 00:17:36
el cuarto punto de los nueve 00:17:37
que tiene la utilización 00:17:40
de las 00:17:42
aquí 00:17:43
mira, por ejemplo, aquí fijaros que es una x 00:17:46
a la cuarta, ¿vale? Este no lo voy a hacer 00:17:48
pero lo voy a enseñar. Dice, allá la 00:17:50
recta es tangente, la curva ahí es igual a 00:17:52
x a la cuarta menos 8x cuadro más 12x 00:17:54
que sean paralelas a la recta esta de aquí. 00:17:56
Pues igual, yo la 00:17:59
recta que está en continua la pongo 00:18:00
en forma explícita, sé que la 00:18:02
derivada de la pendiente es 12. 00:18:04
¿Veis aquí que la pendiente es 12? 00:18:06
Vale, pues yo ahora lo que hago es derivo mi función, 00:18:08
derivo mi función, lo igualo a 12. 00:18:12
Porque la primera derivada, que es la pendiente de la resta tangente, 00:18:15
lo igualo a 12 y veis aquí que me sale una ecuación de tercer grado. 00:18:20
Una ecuación de tercer grado, con lo cual tengo tres valores de x. 00:18:26
Tengo precisamente, sacando factor común aquí, 00:18:32
La x igual a 0 y x igual a más menos 2. 00:18:34
¿Lo veis? El proceso es el mismo, ¿eh? 00:18:37
El proceso es el mismo. 00:18:40
Tengo restas tangentes a una función que sean paralelas a otras. 00:18:41
Entonces, si es paralela a una resta, lo que tengo que saber primero es cuál es la pendiente de esa resta. 00:18:45
¿De acuerdo? 00:18:50
Derivo mi función. 00:18:51
Derivo mi función porque mi función, cuando la derivo, es la pendiente de la resta tangente. 00:18:53
Y entonces, como la pendiente de la resta tangente tiene que ser paralela a otra, 00:18:58
Pues tienen que tener el mismo valor, ¿entendéis? 00:19:04
¿Sí o no? 00:19:08
En este caso era 12, ¿vale? 00:19:08
Entonces, yo mi primera derivada la igualo a 12, tengo tres valores. 00:19:10
x igual a 0, x igual a más menos 2, ¿de acuerdo? 00:19:15
Y nada, pues lo que hago que es, aplico la fórmula de la recta tangente ya sabiendo los puntos, 00:19:19
porque yo ahora lo que ya he obtenido son los as, 00:19:29
Entonces ya tengo que a es igual a 0, a es igual a más 2 y a es igual a menos 2. 00:19:32
Por lo tanto, a yo f de 0, la m la tengo, sustituyo y me sale que una función es y es igual a 12x. 00:19:37
Ahora me voy al menos 2 y hago exactamente lo mismo. 00:19:44
A yo f de menos 2, la pendiente ya la tengo que es 12 y la a vale menos 2. 00:19:47
Sustituyo y me sale 12x menos 16. 00:19:52
Y ahora me voy a la x igual a 2 y hago lo mismo. 00:19:54
a yo f de 2, la pendiente m ya la tengo porque es 12 y la a vale 2. Sustituyo y, bueno, en 00:19:57
este caso, pues me ha salido la misma, ¿vale? En 2 y en menos 2 resulta que la función 00:20:05
es la misma. Pues nada, tenemos dos rectas que son tangente a mi función y con pendiente 00:20:10
12, por lo tanto, es paralela a la que me dieron inicialmente. 00:20:20
¿No es verdad? Si se salen 5 puntos, serían 5. 00:20:23
5, lo que pasa es que a veces puede ser que sea la misma. 00:20:26
¿De acuerdo? ¿Vale? 00:20:29
¿Sí? 00:20:30
Nada, tú me dices que son estas dos y ya está. 00:20:32
Me han salido 3, pero como 2 son iguales, 00:20:35
pues nada, como sale la misma 2 veces, 00:20:38
pues las restas tangentes a esta función 00:20:40
y paralelas a estas restas son estas dos. 00:20:42
Y aquí vaya diablo. 00:20:44
Vale, echadle un vistazo a este documento 00:20:45
porque está como ustedes, fenomenal. 00:20:47
¿Vale? ¿Sí o no? 00:20:49
Entonces, de restas tangentes es que no hay papel de imagen. 00:20:51
Y entonces el quinto punto, chavales, es el estudio del crecimiento y decrecimiento de una función que esto también lo visteis el año pasado, ¿vale? Entonces, chavales, lo que yo os quiero que veáis, y me voy ahí un momentín, pistolín, chavales, lo que yo os quiero que veáis, ¿vale? 00:20:54
Me voy a ir a la típica función que es x al cuadrado, ¿vale? 00:21:20
Porque yo creo que se ve bastante, bastante bien. 00:21:25
Y entonces ahora, a ver si esto me sale bien, voy a coger un puntito que pertenezca a esa función. 00:21:28
Y yo ahora voy a hacer la recta tangente a esta función que pase por a, ¿vale? 00:21:36
Que es la negra como mi futuro. 00:21:46
Entonces, lo que yo quiero que veáis es una cosa, chavales. 00:21:47
Fijaros, porque esto está relacionado con el crecimiento y decrecimiento de una función. 00:21:51
Todo el mundo ve que en x al cuadrado, que es súper fácil, 00:21:56
siempre que la x sea negativa está decreciendo. 00:22:00
¿Sí? 00:22:04
Y cuando x positiva está creciendo. 00:22:05
Pues entonces, si yo hago la recta tangente a esta función en cualquier punto, 00:22:08
¿qué vemos de la pendiente aquí en los lados positivos? 00:22:14
¿Cómo es la pendiente de esta recta negra? 00:22:17
¿Cómo es? Positivo 00:22:19
¿Lo veis? Positivo 00:22:21
Y fijaros una cosa chavales 00:22:23
Aquí la pendiente 00:22:25
Va de más chiquitita 00:22:27
Aquí es cero, fijaros en el cero 00:22:29
Os demostré de donde venía 00:22:31
En una parábola el vértice 00:22:33
Os acordáis que era 00:22:35
Menos b partido de 2a 00:22:37
Lo único es yo derivo 00:22:38
Mi a cuadrado más bx más 0 00:22:40
Igual a cero y me sale 00:22:43
Que era x igual a menos b partido de 2a 00:22:44
¿Vale? Entonces yo paso aquí 00:22:47
De cero, aquí la pendiente cada vez va siendo mayor, mayor, mayor, mayor, mayor, mayor y llega un momento en el que casi, casi es vertical. Entonces, mientras mayor pendiente, mayor crecimiento. Mientras mayor pendiente, mayor crecimiento. 00:22:49
Pero lo que yo creo que veáis es, esta precisamente de aquí sería la primera derivada. 00:23:06
La pendiente de esa recta es la derivada de la función en un punto. 00:23:11
¿Vale? La derivada de una función en un punto. 00:23:20
Fijaros, no sé si se ve aquí. 00:23:22
No sé si se va a ver bien aquí con esto. 00:23:25
Si yo estoy en el 1, ¿cuánto es la derivada de x cuadrado, chavales? 00:23:28
2x. 00:23:33
Y si la primera derivada es 2x y yo la x la sustituyo por un 1, ¿cuánto me sale? 00:23:34
Y fíjate la tangente. 00:23:41
Y es igual a 2x menos 1. 00:23:43
¿Cuánto vale la pendiente aquí? 00:23:45
Me voy a ir al 4. 00:23:48
Bueno, al 4 tengo que hacerlo esto más chiquitito. 00:23:49
Pasa de mí, ¿no? 00:23:53
Si yo me voy al 4 aquí. 00:23:56
Hostia, al 4 me tengo que ir al 16. 00:23:58
No, ha pasado de mí. 00:24:08
no voy a ser capaz de llegar al 4 00:24:09
al 4, bueno, ahí no es exactamente 00:24:15
pero que quiero que veáis, si la x vale 4, que esto está muy redondeado 00:24:20
no vale realmente 4, me tendría que salir aquí un 16, ¿vale? 00:24:24
porque el cuadrado de 4 es 16 00:24:28
la derivada momentillo de x al cuadrado es 2x 00:24:31
2x, ¿vale? 00:24:35
Si yo la sustituyo, la x 00:24:37
por 4, ¿cuánto me sale? 00:24:39
8, ¿lo veis? 00:24:41
La pendiente de la resta, gente. 00:24:43
Entonces, lo que quiero que veáis es, 00:24:45
si yo hago la primera derivada de esta función, 00:24:47
¿vale? La primera derivada de esta 00:24:49
función, ¿qué es lo que me ocurre? 00:24:51
Que en los x positivos 00:24:53
la pendiente es positiva, 00:24:55
es decir, la primera derivada 00:24:57
vale mayor que 0, 00:24:58
por lo tanto, ¿qué significa si la primera 00:25:00
derivada es mayor que 0? Que la función 00:25:02
es creciente. Y aquí 00:25:04
¿qué ocurre en los x negativos? ¿Cómo es 00:25:06
la pendiente de esta recta? 00:25:08
Negativa, ¿verdad? 00:25:11
Pues entonces la primera derivada que vale 00:25:12
cero, ¿verdad? Vale 00:25:14
negativa, significa 00:25:16
que la función es decreciente. 00:25:18
¿Vale? ¿Fácil eso? 00:25:21
Sí, ¿no? 00:25:23
Entonces, otra aplicación de las derivadas 00:25:27
evidentemente es 00:25:29
el crecimiento o 00:25:31
decrecimiento de 00:25:33
la función, ¿vale? Precisamente para, aquí dice, estudiar la monotonía, crecimiento y decrecimiento 00:25:35
de esta función. ¿Cómo se haría, chavales? Pues yo derivo la primera derivada, que en este caso 00:25:44
sería 3x cuadrado menos 6x, ¿lo veis? Y lo igualo a cero. Entonces, ¿qué ocurre? Pues que yo al 00:25:50
igualarlo a cero, al tener una ecuación de segundo grado, me van a salir dos valores, que en este 00:25:57
caso son 0 y 2. ¿Lo veis? ¿Sí o no? Yo hago mi resta real y ¿qué me va a interesar de hacer de 00:26:02
aquí? Pues precisamente voy a ver cuáles son los tramos positivos y los tramos negativos. ¿Lo veis? 00:26:10
Entonces, ¿qué ocurre? Yo en cualquier valor, fijaros que esto qué es. Básicamente esta primera 00:26:18
derivada, ¿qué es? Una parábola. La parábola, chavales, sabemos que va de positivo a negativo 00:26:26
positivo si son los cuernos para arriba o de negativo a positivo a negativo si son los cuernos 00:26:33
para abajo. Aquí los cuernos son para arriba, ¿de acuerdo? ¿Y qué vemos? ¿Qué vemos aquí? Pues lo 00:26:38
que vemos aquí es que en el intervalo 0, 2 es negativo, por lo tanto, decrece mi función. ¿Lo 00:26:43
¿Lo veis? 00:26:49
En el, desde menos infinito a cero, 00:26:51
la función es positiva 00:26:54
y como la primera derivada es positiva, 00:26:56
mi función crece. 00:26:59
¿De acuerdo? 00:27:01
Pero, ¿pero qué es lo que es? 00:27:02
¿Es un intervalo? 00:27:03
¿Cómo es un intervalo? 00:27:04
Sí, lo sustituye la derivada. 00:27:05
Efectivamente, lo sustituye la derivada. 00:27:08
¿Vale? 00:27:11
Entonces, si yo lo sustituyo la derivada, 00:27:11
veis que f' de 1, 00:27:13
f' de 1 sale de menos 3, es negativo. 00:27:15
Pues entonces, bueno, aquí, 00:27:17
Lo suyo es que yo haga aquí f' de menos 1 y f' de 3, por ejemplo, ¿vale? 00:27:18
Pero también puedes explicar que como la primera derivada es una parábola, 00:27:24
en cada raíz, o es una polinómica, en cada raíz cambia el signo. 00:27:28
Y entonces tú haces uno de ellos y ya lo teníamos, ¿vale? 00:27:34
Como las inequaciones, no sé si os acordáis. 00:27:37
Entonces lo que es importante saber es que si la primera derivada es positiva, mi función crece. 00:27:40
Y si la primera derivada es negativa, mi función decrece. Entonces, ¿qué ocurre? Que mi función crece en el intervalo desde menos infinito a 0, ¿verdad? Decrece en el intervalo 0, 2 y vuelve a crecer en el intervalo 2 más infinito. 00:27:45
mi función, si recordáis 00:28:00
esta función es una función polinómica 00:28:02
¿qué punto tienen las funciones 00:28:05
polinómicas? que son siempre 00:28:07
continuas, su dominio es todo R 00:28:09
y además que son siempre derivables 00:28:11
y esto es muy importante también de cara 00:28:13
al teorema de Rolle y el teorema del valor medio 00:28:15
que no es complicado 00:28:17
¿vale? 00:28:17
no, se pone siempre 00:28:22
porque además estamos viendo en crecimiento 00:28:23
¿qué ocurre en el 0 y en el 2? 00:28:25
que la primera derivada es un 0 00:28:26
Ahí ni crece ni decrece. Entonces, aquí, ¿qué es lo que podemos decir, chavales? Que si yo estoy creciendo y ahora decrezco, ¿por dónde he pasado? Por un máximo. Si yo decrezco y ahora crezco, ¿por dónde he pasado? Por un mínimo. 00:28:28
Entonces, cuando yo sé los crecimientos y decrecimientos, sí puedo decir que es un máximo o un mínimo. ¿Vale? Un máximo o un mínimo. ¿Qué es lo importante aquí, chavales? Que cuando haya, en este caso, porque mi función es polinómica y su dominio es todo verde. 00:28:45
Pero si yo tengo que estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, si hay algún valor que no pertenece al dominio, también lo tengo que poner aquí en esta recta. ¿De acuerdo? Y entonces tengo más intervalos. Y ahí nos podemos encontrar que podemos tener dos intervalos pegados que los dos crezcan o los dos decrezcan. 00:29:02
¿Lo veis? Aquí siempre uno va a crecer y otro va a decrecer, pero porque la primera derivada es una parábola de Cristo, ¿vale? Pero sin embargo, cuando yo tengo asíntotas, asíntotas verticales, que ahí en ese punto no va a pertenecer al dominio, me puedo encontrar que a la izquierda y a la derecha de esa asíntota vertical, la función, las dos crezcan o las dos decrezcan, ¿vale? 00:29:22
Entonces, muy importante siempre, si hay una función que no pertenece al dominio, ponerlo, ¿vale? 00:29:50
Que es lo que explico aquí. 00:29:57
Si hay algún valor, además lo pongo esto en una mejita en grande, ¿vale? 00:29:59
Entonces, ¿qué es lo que ocurre, chavales? 00:30:02
Pues que eso lo tengo que tener yo siempre en cuenta. 00:30:05
Aquí yo os estoy dibujando, más que nada, para que os hagáis una idea del boceto de la función, ¿vale? 00:30:09
Esto es un boceto que esto no hay que hacerlo ahora, eso ya lo haremos cuando representemos, ¿vale? 00:30:15
Y es sobre todo también para deciros una cosilla, que yo como aquí sé que crece y luego decrece, aquí hay un máximo, aquí cuando decrece y luego crece hay un mínimo, ¿vale? Lo que yo tengo que saber es si esos máximos y mínimos son relativos. 00:30:20
Yo ahora en esta parte de aquí lo hablaré con Javier, pero en principio yo creo que con que me digáis máximo y mínimo es suficiente. Pero como esto para la evau sí que tenemos que saber ya en representación de funciones si esos máximos o mínimos son relativos o absolutos. 00:30:35
¿Cómo lo puedo saber? En esta función es fácil, porque si yo hago los límites en el más menos infinito, uno me da menos infinito y más infinito. Por lo tanto, esos máximos y mínimos tienen que ser relativos. ¿De acuerdo? ¿Vale? 00:30:50
normalmente cuando yo hago la primera derivada 00:31:04
siempre pienso que esos máximos y mínimos son relativos 00:31:08
pero puede ocurrir que se convierta uno de los relativos 00:31:11
en absoluto 00:31:14
por ejemplo si yo tengo la parábola 00:31:17
de x al cuadrado 00:31:20
si yo hago la primera derivada que es 2x 00:31:23
es igual a 0, x es 0, en el 0 yo tendré un máximo 00:31:25
o un mínimo, sabemos que es un mínimo, pero es que ese mínimo 00:31:29
resulta que es un mínimo absoluto 00:31:32
porque no hay ningún valor por debajo 00:31:34
de él, ¿vale? 00:31:36
¿Lo veis? Entonces yo aquí os he representado 00:31:38
un poco para que sepamos realmente 00:31:40
aquí y después cuando me 00:31:42
digáis el máximo y el mínimo 00:31:44
no solo me digáis la x 00:31:45
¿eh? Me tenéis que decir también 00:31:48
su ordenada y su ordenada 00:31:50
se hace sustituyendo 00:31:52
la x en la f 00:31:54
no en la f' ¿vale? 00:31:56
Porque la f' va a ser 0 00:31:58
¿lo veis? 00:32:00
En este caso, en x igual a cero igual a dos, si yo me voy y sustituyo en mi función el cero, me sale un cuatro. 00:32:05
Y si sustituyo en mi función un dos, me sale un cero. 00:32:14
¿Vale? Entonces, yo tengo un máximo, en este caso relativo, en el cero cuatro y un mínimo relativo en el dos cero. 00:32:17
¿Vale? ¿Sí? ¿Más o menos? 00:32:23
Entonces, chavales, si por ejemplo me dicen esta de aquí, esta de aquí, monotonía, crecimiento... 00:32:27
Crecimiento. Que sepáis que siempre que te diga 00:32:31
estudia la monotonía, es crecimiento 00:32:33
de crecimiento. 00:32:36
Si te miras 00:32:37
las dos crecientes 00:32:38
y las tres crecientes. 00:32:41
Seguramente es que haya una sin total. 00:32:44
Vale. En las dos crecientes 00:32:45
no hay nomás una monotonía. 00:32:48
Es que depende también cómo sea la función. 00:32:51
Es que puede ser, si te dan una función a trozo, 00:32:53
ahí es distinto. 00:32:57
Si te dan una sola función, 00:32:58
por ejemplo, como esta de aquí, racionales, 00:33:00
Las racionales normalmente suelen tener una asíntota. 00:33:01
Suelen tener, suelen tener, no siempre. 00:33:05
En este caso, si te fijas, ¿cuál es el dominio de esta función? 00:33:08
¿Cuál es el dominio de esta función x menos 2 partido de x menos 1? 00:33:12
Todos los r menos n menos 1. 00:33:16
En el menos 1 vamos a tener una asíntota sí o sí. 00:33:18
¿De acuerdo? 00:33:20
Entonces, ¿qué ocurre? 00:33:22
Pues nada, como siempre hago la primera derivada. 00:33:23
La primera derivada de una división. 00:33:25
¿Cuál es la derivada de una división? 00:33:27
la derivada del primero por el segundo sin derivar menos el primero sin derivar por la 00:33:28
derivada del segundo partido por el cuadrado del segundo. Yo hago todo esto y me queda 00:33:34
esto de aquí. Y lo igualo a cero. ¿Qué me doy cuenta aquí? 3 partido de x menos 00:33:40
1, x más 1 al cuadrado es igual a cero. 3 igual a cero nunca va a ser cero. Aquí en 00:33:46
este caso no tendríamos nunca ni un máximo ni un mínimo. Pero ¿qué es lo que ocurre? 00:33:51
Es que a mí lo que me interesa al estudiar el crecimiento de crecimiento, 00:33:57
la monotonía de esta función, 00:34:00
a mí lo que me interesa saber es el signo de mi primera derivada. 00:34:02
Lo igualo a cero porque ahí es más fácil, 00:34:06
pero cuando yo lo igualo a cero no obtengo nada, 00:34:08
tengo que ver el signo de la primera derivada. 00:34:11
¿Qué me doy cuenta en este caso? 00:34:14
Que si yo tengo una división, 00:34:16
aquí aplico la regla de signos, ¿verdad? 00:34:18
Más entre más es más, más entre menos es menos, menos entre más... 00:34:21
El 3 siempre es positivo, ¿verdad? 00:34:25
Que es justo un número al cuadrado como es siempre un número al cuadrado. 00:34:27
Positivo. Entonces, ¿positivo entre positivo? 00:34:32
Positivo. ¿Vale? 00:34:35
Entonces, ¿qué ocurre? ¿Qué observamos de esta función? 00:34:36
Que esta función siempre es creciente. 00:34:40
¿Vale? Esta función siempre es creciente. 00:34:43
¿Por qué? Porque su primera derivada siempre es positiva. 00:34:46
Y aunque yo tenga una asíntota, resulta que, fijaros, 00:34:50
esta función más o menos 00:34:56
representáis así, ¿de acuerdo? 00:34:58
yo tengo precisamente 00:35:01
asíntotas horizontales 00:35:02
aquí, que es 00:35:05
en el 1, luego tengo 00:35:06
una asíntota vertical en el 1 00:35:08
pero sin embargo siempre mi función 00:35:10
va creciendo, ¿vale chavales? 00:35:12
esto no hay que hacerlo 00:35:15
ahora, lo único que yo os quiero 00:35:16
que veáis que todo esto de 00:35:18
aplicación de las derivadas luego lo vamos a 00:35:20
utilizar en la 00:35:22
representación de funciones, ¿vale? 00:35:24
Pero si os fijáis, esto siempre 00:35:26
es creciente, ¿lo veis? Y esto de aquí 00:35:28
también, ¿cómo es? Creciente 00:35:30
siempre. ¿Lo veis, chavales? 00:35:32
Y porque si yo hago la primera 00:35:34
derivada de mi función, 00:35:36
siempre la primera derivada es 00:35:38
positiva. 00:35:40
¿Lo veis? 00:35:42
El otro son los 00:35:43
puntos singulares de una función. 00:35:48
Son puntos de tangente horizontal. 00:35:50
Los puntos singulares son los 00:35:52
máximos, los mínimos y puntos de inflexión, que a veces nos puede pasar que sea máximos 00:35:54
o mínimos o puntos de inflexión. Entonces, chavales, al final, ¿qué ocurre? Recordamos 00:36:01
siempre que la derivada es la pendiente de la recta tangente a una función, ¿vale? 00:36:07
Entonces, si la tangente es horizontal, ¿cuánto una tangente, una recta horizontal qué pendiente 00:36:12
tiene? 0, ¿vale? Entonces son aquellos en los que la primera derivada es 0, ¿de acuerdo? Entonces son 00:36:18
los máximos y mínimos y otros puntos llamados de inflexión, ¿vale? Los máximos y mínimos se pueden 00:36:27
calcular con el crecimiento y decrecimiento como hemos visto antes, es decir, yo puedo decir va 00:36:31
creciendo y luego decrece, hay un máximo, está decreciendo y luego crece, hay un máximo, un mínimo, 00:36:36
perdón, o otra forma de hacerlo es la siguiente, yo hago la primera derivada, igualo la primera 00:36:41
derivada cero y sostienen esos puntos singulares. Luego hago la segunda derivada, ¿vale? La segunda 00:36:48
derivada que es la derivada de la derivada, ¿de acuerdo? Y entonces, fijaros porque esto es al 00:36:55
revés, ¿eh? Esto los disléxicos, tened cuidado, ¿eh? Si yo, si yo, venga, Carla, te queremos. Entonces, 00:37:01
Si yo hallo la primera, Jesús, hallo la primera derivada, la igualo a 0 y ahora hago la segunda derivada, pero en esa segunda derivada igualo, perdona, en esa segunda derivada no igualo nada, en esa segunda derivada sustituyo la x por los valores que me han hecho la primera derivada a 0, ¿vale? 00:37:10
Ahora vamos a ver un ejemplito. 00:37:35
Que me sale menor que cero es un máximo. 00:37:36
Que me sale mayor que cero es un mínimo. 00:37:39
Que me sale cero, estamos jodidos y en principio es un punto de inflexión, ¿vale? 00:37:42
Es que depende, a veces es punto de inflexión, a veces no, ¿vale? 00:37:46
Vamos a hacer un ejemplito. 00:37:50
No, ahora también, ¿vale? 00:37:51
Máximo y mínimo, sí, además esto también me vale para la optimización de funciones. 00:37:59
Es que depende de lo que tengas, Quillo. 00:38:04
Depende de lo que tengas. 00:38:08
¿Vale? 00:38:10
Por ejemplo, aquí esta función. 00:38:10
Esta función es polinómica de grado 3. 00:38:12
¿Vale? 00:38:14
A ver, si sabes el crecimiento del crecimiento, 00:38:15
vas a saber los máximos y los mínimos. 00:38:17
Pero que a veces la primera derivada es tan fácil, 00:38:19
que la segunda derivada es tan fácil, 00:38:21
que tú vas a saber ahí por un máximo, un mínimo. 00:38:23
Que a veces la segunda derivada te queda un número. 00:38:25
Entonces, chavales, yo hago la primera derivada. 00:38:30
6x cuadrado menos 6x menos 12. 00:38:32
Y eso lo igualo a cero. La primera derivada la igualo a cero. Si la primera derivada la igualo a cero, ¿qué estoy hallando? Estoy hallando la pendiente de la recta tangente. Y si la pendiente de la recta tangente es cero, ¿cómo es esa pendiente? 00:38:35
¿Cómo es esa recta? 00:38:51
Muy bien, horizontal, la pendiente es 0 00:38:54
Pero esa recta es horizontal 00:38:56
Si es horizontal, tiene toda la pinta de que sea un máximo 00:38:58
O un mínimo, o un punto de inflexión 00:39:01
¿Vale? 00:39:03
Entonces, chavales, yo igualo la primera derivada a 0 00:39:04
Y obtengo dos valores 00:39:07
El 2 y el menos 1 00:39:09
¿De acuerdo? El 2 y el menos 1 00:39:11
Yo, evidentemente, si hallo 00:39:13
El crecimiento y decrecimiento 00:39:15
Voy a saber si en el 2 hay un máximo o un mínimo 00:39:18
o en el menos 1 hay un máximo o un mínimo. 00:39:21
Pero una forma también más rápida de saberlo 00:39:23
es, yo hago la segunda derivada, 00:39:26
es decir, hago la derivada de la primera. 00:39:28
Fijaros, la primera es 6x cuadrado menos 6x menos 12. 00:39:31
Si yo lo vuelvo a derivar, ¿qué me queda? 00:39:35
12x menos 6, ¿lo veis? 00:39:37
Y ahora ahí en la segunda derivada 00:39:39
sustituyo la x por estos valores que me han anulado la primera, 00:39:42
por el 2 y por el menos 1, ¿lo veis? 00:39:47
Y entonces, ¿qué me ocurre en el 2? Que yo lo sustituyo y me sale positiva. Pues entonces, en el 2 hay un mínimo, ¿de acuerdo? En el 2 hay un mínimo. 00:39:49
Si yo ahora en la segunda derivada sustituyo por menos 1, me sale menor que 0. Pues entonces, ¿qué hay en el menos 1? Un máximo. Esto es al revés, ¿vale, chavales? 00:40:02
¿lo veis? ¿lo veis complicado? 00:40:12
natillas, ¿no? 00:40:16
natillas 00:40:18
de hecho, fijaros, una cosilla, chavales 00:40:19
si en el menos uno 00:40:21
hay un máximo 00:40:23
si en el menos uno hay un máximo 00:40:24
desde menos infinito a menos uno 00:40:26
la función, ¿qué hace? ¿crece o decrece? 00:40:29
crece 00:40:32
y a la derecha 00:40:32
decrece 00:40:35
y ahora 00:40:38
a la izquierda del 2, si hay un mínimo 00:40:39
O sea, la izquierda, ¿qué hace? Decrecer. Y a la derecha, crece. ¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:40:41
Y ahora, cuando se pasa de crecimiento a decrecimiento, ¿puede pasar algo? ¿Sí? ¿Qué puede pasar? 00:40:49
Un punto raro. 00:40:58
¿Un punto raro? ¿Tú qué quieres raro? 00:41:00
Singular. 00:41:02
No, tú sí quieres singular. Efectivamente, si pasas de crecimiento, muy bien, eso sí, ahí te doy la razón. 00:41:02
Si pasas de decreciente a decreciente, un máximo es un tal. 00:41:07
Luego lo que vamos a ver, la segunda derivada es la concavidad, la convexidad, que ahí os voy a dar más que un truco. Os tengo que decir varias cosillas. Vale, chavales, para ver si son máximos o mínimos relativos, yo tendría que hacer más cosas, poner los límites en más infinito o en menos infinito, más cosas para saber si esos máximos son relativos o absolutos. 00:41:11
¿Vale? Entonces, aquí hay varios ejercicios. Por favor, echarle un vistazo. ¿De acuerdo? Porque es que es siempre lo mismo. Entonces, la concavidad y convexidad. Esto también me interesa mucho. Más que nada, porque dependiendo de qué libros miréis, porque fijaros, yo que soy ya más antiguo que la Tana, ¿vale? A mí me explicaron esto y nunca se me olvidó. Por una cosita que os voy a decir. Lo que pasa es que yo para ustedes no os recomiendo que veáis esto. 00:41:37
Pero digo por si consultáis algunos libros y demás. 00:42:05
Los más antiguos, los más antiguos, yo ya que soy más viejo que mamá Ina, 00:42:09
a mí me enseñaron una cosa que me da súper fácil de recordar. 00:42:13
La concavidad y convexidad de una función me lo da la segunda derivada, ¿vale? 00:42:16
Entonces, si la segunda derivada era mayor que cero, 00:42:21
lo veis, es como los cuernos hacia arriba. 00:42:25
Y entonces a mí me enseñaron que eran cóncavas. 00:42:28
¿Por qué? Porque dice, tú imagínate que esto es una copita 00:42:30
y le echas tú tu cava ahí 00:42:32
y te los tomas, entonces tú ahí 00:42:34
echas el cava, no se derrama 00:42:36
¿vale? no se te derrama y entonces 00:42:38
es con cava, y luego 00:42:41
la otra que es un poquillo más así, dice 00:42:42
si es para abajo, es con beso 00:42:44
porque tú tienes la función así 00:42:46
y le puedes dar un besito 00:42:48
y demás, y lo otro es lo de acá 00:42:49
él da una shumina, pero fíjate, eso no se 00:42:52
nos olvidó a ninguno, sobre todo del cava 00:42:54
¿vale? lo del beso ya, pues depende 00:42:56
pero a mí lo del cava no se me olvidó 00:42:58
¿Qué es lo que ocurre? Que ahora los más modernitos dicen, esta de aquí arriba es cóncava, esta de aquí abajo es conversa, con lo cual hay un xoxo montado porque no hay criterio, ¿vale? En los libros más antiguos lo vais a encontrar así, con el cóncava como a mí me gusta, y en los libros más modernitos van a decir lo contrario. 00:43:00
nosotros que vamos a hacer de cara 00:43:21
a la evau, nosotros vamos 00:43:24
a decir únicamente 00:43:26
esto que está aquí, vale 00:43:27
ahí me lo he puesto aquí 00:43:29
ah vale 00:43:32
entonces nosotros lo que vamos a decir es 00:43:34
con cavidad positiva 00:43:36
hacia arriba, si sale mayor que 0 00:43:38
con cavidad positiva hacia arriba 00:43:40
si sale menor que 0 con cavidad 00:43:41
negativa hacia abajo y ahí ya 00:43:44
no va a haber 00:43:46
problema, yo creo que 00:43:47
claro, también depende de quien corrija, 00:43:49
pero yo creo que en este sentido, 00:43:52
a menos que sea un hijo de la gran China 00:43:55
el que lo corrige, 00:43:56
no te lo va a poner mal 00:43:58
si vas a poner como antiguamente. 00:44:02
Entonces, yo para evitar suspicacia, 00:44:05
¿vale? 00:44:08
¿Qué es positiva? 00:44:08
Pues concavidad positiva y hacia arriba. 00:44:10
¿Qué es negativa? 00:44:12
Concavidad negativa y hacia abajo. 00:44:13
¿Vale? 00:44:16
¿Sí? 00:44:16
Y ahí ya no entramos si es convesa o concava. 00:44:17
¿Os parece mejor eso? 00:44:19
Porque así nos vamos a marear a perdiz. 00:44:21
Pues nada, igual, esto es muy fácil. 00:44:26
A ver, ¿y qué es la concavidad o la convesidad, chavales? 00:44:29
O mejor, ¿qué son los puntos de inflexión? 00:44:33
La concavidad o la convesidad es, ojo, 00:44:35
la concavidad o la convesidad, ya os digo, 00:44:40
es la forma de la función y cuando pasa de cóncava a convesa 00:44:42
es un punto de inflexión. 00:44:47
Por lo tanto, los puntos de inflexión normalmente la segunda derivada vale cero, ¿vale? 00:44:48
Entonces, en este ejemplillo fijaros una cosilla, chavales. 00:44:56
Derivo por primera vez, derivo por segunda y la segunda la igualo a cero. 00:44:59
Me sale menos uno. 00:45:04
Veo el signo, ¿vale? 00:45:06
Hago mi recta real, ¿vale? 00:45:08
Tengo desde menos infinito a menos uno y desde menos uno a más infinito. 00:45:10
Fijaros que esto es una recta. 00:45:13
La segunda derivada es una recta. 00:45:16
al ser una función polinómica 00:45:17
cada vez que hay una raíz, la raíz 00:45:20
que te hace el polinomio cero 00:45:22
va a cambiar de signo 00:45:24
entonces yo me cojo aquí el cerápio 00:45:25
y bueno, si quiere me cojo el menos 2 00:45:27
para que lo comprobéis, si es que el 0 00:45:30
me sale 6, que es positivo 00:45:31
en el menos 2 me sale 00:45:33
menos 6, que es 00:45:36
negativo, entonces yo que digo 00:45:38
desde menos 1 a más infinito 00:45:39
la concavidad es positiva 00:45:41
hacia arriba y desde menos infinito 00:45:44
a menos 1, la concavidad es 00:45:46
negativa hacia abajo. Y en el menos 1 00:45:48
pues hay un punto de inflexión. 00:45:50
¿Vale? 00:45:53
Y no, tan solo una cosa, 00:45:53
por favor, echarle un vistazo a esto 00:45:56
porque lo siguiente es, regla 00:45:57
de L'Hôpital, que hay más ejercicios 00:46:00
de los que he subido de regla de L'Hôpital 00:46:02
que me gustaría que le echarais un vistazo 00:46:03
que ahí aparecen los senos que a ti te 00:46:06
gustan, ¿vale? 00:46:08
Y luego, chavales, 00:46:09
otra cosa 00:46:12
es la optimización 00:46:14
que intentaremos verlo el lunes 00:46:15
y luego el lunes 00:46:19
este es muy fácil, de verdad 00:46:20
hay varias cosillas aquí 00:46:23
y luego he subido también 00:46:25
en la aplicación de derivada 00:46:27
y necesito, a ver, yo no expongo deberes 00:46:29
pero necesito que para el lunes 00:46:33
la hayáis echado un vistazo 00:46:35
es, te dije 00:46:36
el teorema de rol 00:46:38
y el teorema del valor medio 00:46:40
no es complicado, eh 00:46:42
Pero los ejercicios son muy importantes de cara al examen. ¿Por qué? Porque el teorema de rol y el teorema del valor medio me tienen dos hipótesis previas, que es que la función tenga que ser continua en un intervalo cerrado y derivable en un intervalo abierto. 00:46:44
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? ¿Cómo te puedo preguntar yo continuidad y derivabilidad en un ejercicio muy completo? Es, tengo esta función, échale un vistazo porque hay varios ejercicios hechos, esta función cumple la hipótesis del valor medio, pues entonces tú tienes que ver que esa función es continua y derivable, con lo cual ya estoy matando, en este caso, tres pájaros de un tiro. 00:47:00
Y luego, ¿cuáles son los puntos que cumplen esas hipótesis? 00:47:23
Y lo único es decir una cosilla. 00:47:27
Igual que el de Darbo, ¿cómo se llama? 00:47:29
Generaliza el de Borsano, que tiene premio. 00:47:34
El del valor medio generaliza el de Rol. 00:47:37
¿Vale? 00:47:40
Venga, gracias. 00:47:41
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Idioma/s:
es
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
4
Fecha:
8 de febrero de 2026 - 22:29
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
16′ 41″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
117.77 MBytes

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