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21-3-BT2 - Contenido educativo

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Subido el 21 de marzo de 2024 por Francisco J. M.

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Os pregunto si tenéis algún inconveniente en que se grabe y se suba la clase de hoy y una vez dicho eso, si nadie dice nada, continuamos y vamos a la clase de hoy. 00:00:00
A ver, vete dos. Esta es repetición de la clase del miércoles 19, no, del martes 19, la mañana. Si no me equivoco, el otro día conseguí hacer todos los ejercicios, tener la clase grabada. No, no terminé, este no lo terminé. Entonces, a lo mejor lo termino, ¿no? Pero, bueno, más o menos lo que os ha sido el esquema de la clase. 00:00:14
Bueno, tenemos tres temas en cheque. El primero es puro de vectores. Con vectores se puede sumar, restar, hacer combinaciones lineales, se puede calcular módulos, se pueden calcular ángulos y a partir de ahí hicimos el segundo tema de simetría que es de rectas y planas sin detenerse en ángulos ni distancias. 00:00:37
Es simplemente calcular la ecuación de las rectas, la ecuación de los planos, calcular su posición relativa y ver cómo, por ejemplo, va a dar una recta y un punto, cómo calcular el plano que lo contiene. 00:01:05
Es el tipo de posibilidades. Es de incidencia, que incidencia serían las posiciones relativas y luego cómo calcular las ecuaciones de una recta y un plano a partir de determinados datos. 00:01:17
El tema que comenzamos la semana anterior y con el que terminamos ya toda la teoría del curso, abarca los dos anteriores, se combinan. 00:01:28
Ahora, la distancia entre dos puntos va a ser el módulo del vector que los une y los ángulos se calculan a partir de los ángulos que se hacían con vectores. Como veis la casuística es bastante grande, tenéis un montón de tutoriales. 00:01:42
Luego, las áreas, vimos cómo se calculaba el área del panoramio que se modelaban los vectores, con un módulo de producto vectorial. Eso es del tema de vectores. Los volúmenes, si tenéis tres vectores linealmente independientes, sabéis que como salen de un plano generan un volumen y ese volumen se calcula con un producto mixto que es el determinante definido cuyas tres líneas son los tres vectores. 00:01:57
Todo eso lo tenéis que saber muy bien. Os subí una especie de formulario a la aula virtual, pero yo os recomiendo que tenéis un resumen propio. Y a veces incluyo algún truco, alguna vez en algún tutorial podéis ver algún truco. 00:02:25
No sé si se me está oyendo. 00:02:41
Sí se me oye. Ah, vale, es que no se escucha el micrófono. Perdonad, es que estoy con estos problemas técnicos un poco estéril porque están fallando algunas cosas últimamente. 00:02:51
Bueno, entonces, dicho esto, el otro día ya vimos, por ejemplo, distancia entre dos planos, que tienen que ser paralelos, ¿no? En muchos de estos ejercicios conviene estudiar la posición relativa a ellos. Por ejemplo, distancia entre un plano y una recta. 00:03:01
Si queréis calcular la distancia entre un plano y una recta, 00:03:18
es fundamental que sepáis cómo están colocados unos respectivos. 00:03:21
Porque si la recta corta el plano, tienen un punto de corte y la distancia es cero. 00:03:25
Porque al que tienen un punto en común, ¿no? 00:03:31
La distancia se define en geometría siempre como el camino más corto entre los elementos. 00:03:33
Pues si tienen un punto en común, la distancia de ese punto a ese punto es cero, ¿sí? 00:03:39
Si la recta está contenida en el plano, la distancia es cero. 00:03:44
Pero si es paralela, yo sé que la distancia de un punto a ese plano es igual que la distancia de otro punto a ese plano y así sucesivamente. 00:03:47
Entonces, primero, la estrategia va a ser estudiar la posición relativa. 00:04:01
Y si el plano y la recta son paralelos, pues calculo la distancia de un punto de la recta al plano. 00:04:07
¿Vale? Entonces, ¿cómo actuamos aquí? Y esto yo creo que el otro día lo repetimos lo suficiente como que más o menos tengáis una idea de ya cómo ir sacando los elementos. 00:04:15
nos tienen que calcular 00:04:32
la distancia de P a R 00:04:40
calcula 00:04:42
la distancia 00:04:46
de P a R 00:04:48
o de R a P 00:04:50
entonces, estrategia 00:04:51
primera parte 00:04:57
estudiamos su posición relativa 00:04:59
R y P 00:05:10
son secantes 00:05:13
se cortan, entonces la distancia de r a pi es cero. Si r y pi no se cortan, tomo un punto de r y la distancia de r a pi es la distancia del punto p a pi. 00:05:15
Esa es la estrategia, lo que estaba en el dibujo que se corta. Me podéis decir, bueno, y si no se cortan puede ser paralelo o estar contenido uno en otro, ¿no? Pero si la distancia del punto al plano es cero y no se cortan, yo sé que tiene que estar contenida la recta en el plano, ¿no? 00:05:54
entonces, con saber si son secantes o no 00:06:12
me voy a detener 00:06:16
lo otro se puede deducir 00:06:17
del cálculo que haga posteriormente 00:06:20
entonces, yo para 00:06:21
para R 00:06:23
necesito un vector 00:06:25
como es posible que necesite un punto 00:06:27
lo voy a hacer al mismo tiempo 00:06:30
entonces, si esto está 00:06:31
escalonado, como veis está 00:06:34
escalonado, esto lo resuelvo 00:06:36
consejo 00:06:39
Como la Z es más fácil de despejar que la Y, la Z es igual a 2Y menos 4. 00:06:41
Acordaos cómo se resuelve un sistema escalonado por el módulo. 00:06:52
Se resuelve abajo, se sustituye arriba y me queda X menos Y más 2Z que será 4Y. 00:06:56
menos dieciséis igual a cero. No me suena esto del otro día, pero bueno. Entonces, conclusión. Bueno, de aquí me sale 00:07:14
x menos tres y menos dieciséis igual a cero. Perdón, menos no más. Voy a ver las cuentas. Si están bien. Z es dos y menos cuatro. 00:07:23
Es que no es 16. Es 8, ¿no? ¿Lo veis o no lo veis? Es 2 por z y 2z es 4y y 2 por 4, 8. Vale. Estoy sustituyendo aquí. 00:07:40
Bueno, entonces, ¿qué me queda? Que x es igual a 8 menos 3y. 00:08:04
Que z es igual a menos 4 más 2y. 00:08:11
Y la y no puedo despejarla, es un sistema indeterminado, tiene infinitas soluciones, por eso es una recta, tiene infinitos puntos. 00:08:17
Entonces, un punto de la recta es el 8, 0, menos 4. 00:08:26
Y un vector director, pues será el menos 3, 1, 2. 00:08:30
Entonces, esto deberíais tenerlo en el resumen. 00:08:42
Aquí me detengo un momento. 00:08:46
A ver, si yo tengo una recta y un plano, para que sean paralelas, 00:08:52
el vector perpendicular del plano tiene que ser perpendicular al vector director de la 00:09:01
recta. ¿Lo veis? Si yo tengo esta recta paralela a este plano, el vector perpendicular del 00:09:07
plano tiene que ser perpendicular a esta recta, ¿no? O sea, R y pi paralelos, si solo 00:09:17
por favor 00:09:27
solo si 00:09:29
es perpendicular 00:09:30
¿sí? 00:09:33
¿no más? 00:09:36
entonces 00:09:37
necesito calcular 00:09:38
en el plano pi 00:09:41
un vector 00:09:43
perpendicular ¿no? 00:09:46
¿cuál es un vector perpendicular a este plano? 00:09:50
el 1 00:09:54
a mí me gusta poner flechitas encima de los vectores 00:09:55
para diferenciar 00:10:02
Entonces, voy a ver qué pasa con esto. 00:10:03
¿Cuántos dos vectores son perpendiculares? 00:10:08
Cuando su producto escalar es cero. 00:10:11
Es decir, el producto escalar de n con u es cero. 00:10:17
Porque el ángulo cuyo coseno es cero es de 90 grados. 00:10:24
Bueno, entonces, tengo que hacer u, menos 3, 1, 2, producto escalar, 1, 1, 1. 00:10:28
Y esto sale menos 3, más 1, más 2, que es 0. 00:10:39
Como veis aquí hay muchos conceptos que tenéis que recordar. 00:10:46
Concepto de posición relativa, de recta y plana. 00:10:51
Para que una recta y un plano sean paralelos, tomo el vector perpendicular del plano y si ese vector es perpendicular con el de la recta, el producto escalar es cero. 00:10:56
Tenéis que recordar que la perpendicularidad se da cuando el producto escalar es cero. 00:11:09
Tenéis que saber, en dar a una recta, calcular un punto y un vector director. 00:11:14
Y de aquí, un punto y un vector perpendicular, también se... Vamos, que sepáis calcular todo esto. 00:11:19
Entonces, la primera parte ya está hecha. Y ya os digo, esta primera parte es la más difícil. Porque la segunda, ya sé que como pi y r son paralelos, la distancia del plano a la recta es igual a la distancia del punto P al plano pi. 00:11:25
y aquí viene otro concepto 00:11:53
¿cómo se calcula la distancia de un punto a un plano? 00:11:56
pues es muy parecido a como se calculaba la distancia en punto a una recta 00:12:01
si os acordáis del curso pasado 00:12:04
y si no os acordáis, os acordáis que se ponen los coeficientes al cuadrado arriba 00:12:06
1 al cuadrado más 1 al cuadrado más 1 al cuadrado 00:12:10
este es el módulo del vector perpendicular 00:12:14
y aquí tengo que poner el punto 00:12:17
que es el 8, 0, menos 4, sustituido en la ecuación del plano. 00:12:21
O sea, 8 más 0, menos 4, menos 2. 00:12:29
Esto sale 2, valor absoluto de 2 es 2, partido por raíz de 3. 00:12:35
Y como es una distancia, pongo unidades de longitud. 00:12:42
Es muy importante. 00:12:47
Este ejercicio lo he querido hacer un poco más despacio porque es muy importante que vayáis poniendo en un resumen todos los trocitos estos, todos los fragmentos que os estoy diciendo. 00:12:49
si no os acordáis 00:13:03
que ecuación de punto amplano 00:13:05
que no os acordáis 00:13:07
de condición de perpendicular 00:13:09
todo eso lo vais apuntando 00:13:10
y que lo tengáis en algún sitio todo junto 00:13:12
como una hoja resumen 00:13:15
porque si no 00:13:16
nos hacéis un lío 00:13:19
entonces, por una parte 00:13:20
está la estrategia 00:13:23
y por otra cosa es que ya tenéis que 00:13:24
tener bastante más cabas 00:13:26
bueno, haciendo 00:13:29
un pequeño inciso 00:13:31
la próxima clase van a ser ejercicios 00:13:32
de repaso que ya os he subido 00:13:34
creo que casi todos son 00:13:36
de bau 00:13:38
son más completos 00:13:39
y la última clase 00:13:41
será como de repaso de todo el curso 00:13:45
para enseñaros cómo va a ser el examen final 00:13:46
esas son las dos clases que quiero 00:13:48
bueno, pues dicho 00:13:50
esto es que hice eso 00:13:52
ahora 00:13:54
vamos a calcular la distancia entre 00:13:56
distancia entre 00:13:58
vueltas 00:14:01
Pueden ser paralelas, se pueden cortar, pueden ser coincidentes o cruzarse. 00:14:02
Si dos rectas son coincidentes, su distancia es cero porque es la misma recta. 00:14:08
¿Qué pasa si dos rectas se cortan? 00:14:14
Que su distancia también es cero porque tienen un control común. 00:14:18
Entonces, como hemos hecho antes con los planos, para calcular distancia entre rectas, 00:14:22
Primero voy a ver la posición relativa. Si se corta, no son coincidentes. Automáticamente la distancia es cero. No hay que hacer ningún cálculo. 00:14:27
Si se cruzan, lo veremos luego. Y ahora, si son paralelas, ¿qué se hace? Pues creo que está claro que si yo tengo dos rectas que son paralelas, da igual el punto que coja en ese, 00:14:38
que va a ser la distancia entre las dos rectas la misma que la distancia entre ese punto y esa recta. 00:14:49
Cogéis el punto que cojáis, sale lo mismo. 00:14:55
Bueno, pues una vez vista la estrategia, 00:14:58
una vez vista la estrategia, pues vamos a ver este ejemplo. 00:15:02
Vamos a ver, aquí de nuevo, y lo bueno de estas clases, de estos ejercicios, 00:15:11
es que ya debéis ir pillando aquí la idea. 00:15:16
A ver, yo en esta recta sé que un punto es el 0, 0, 0. 00:15:19
Y un vector director es el 1, 3, menos 1. 00:15:27
¿Sí? 00:15:35
Acordaos, los términos independientes que aquí van en todos 0 nos dan el punto. 00:15:37
Y los coeficientes del parámetro nos dan el vector director. 00:15:42
En esta recta, un punto que voy a llamar Q es el 2, 0, 1. 00:15:46
¿Os acordáis que estos se cambian de signo? 00:16:00
Y un vector director, en vez de 1 lo voy a llamar V, es el 1, 3, menos. 00:16:02
¿Sí? Con estos datos, como u y v son proporcionales, en este caso son iguales, porque 1 partido por 1 es igual a 3 partido por 3 igual a menos 1 partido por menos 1. 00:16:08
¿no? Entonces 00:16:41
R y S 00:16:43
tienen la misma dirección 00:16:46
¿por qué digo que tienen 00:16:51
la misma dirección y no que son paralelas? 00:16:57
porque pueden ser coincidentes 00:17:00
¿no? 00:17:01
pero me da igual 00:17:03
porque si yo cojo un punto de P 00:17:04
y me sale que la distancia S es 0 00:17:06
¿no? podría decir 00:17:09
automáticamente que son coincidentes 00:17:11
y si no me sale distinto de 0 00:17:12
son paralelas 00:17:14
Yo, de todas, todas, sé que la distancia de r y a s es la misma que la distancia de r de p a s. 00:17:15
Bueno, vale, de p a s. 00:17:31
Fijaos que aquí he cambiado las cosas. 00:17:36
O sea, este sería Q y este sería P, ¿no? O sea, es que lo he hecho a rayas. O sea, siempre es distancia de un punto de una a la otra, ¿sí? Lo hacéis como queráis. 00:17:38
Bueno, ¿cómo se calcula la distancia de un punto a una recta? 00:17:54
Pues esto es otra cosa que tenéis que tener automática. 00:17:58
Si yo quiero calcular la distancia de un punto a una recta, 00:18:02
tengo que hacer el producto escalar del vector PQ con el vector de S, que es V, 00:18:07
dividido entre el módulo de V. 00:18:19
Os recuerdo por qué, por si a alguien no le gusta memorizar. 00:18:23
Esta es la distancia del punto a la recta, ¿verdad? 00:18:34
¿Sí? Bueno, en realidad esto es Q y esto es P, pero no pasa nada. 00:18:39
Sabéis que el área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial. 00:18:44
¿Os acordáis de eso? Aquí hay un montón de conceptos que tenéis que ir combinando. 00:18:51
El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial. 00:18:55
¿Sí? Si yo lo divido entre la base, que es v, el módulo de v, ¿no? Me sale la altura, ¿no? 00:18:59
Bueno, pues yo me acuerdo de estas cosas y si no me cuesta, me cuesta entenderlas. 00:19:07
Entonces, voy a poner aquí igual a, y estas cuentas las voy a hacer aquí arriba. 00:19:13
A ver, el vector PQ tiene como coordenadas las de Q menos las de P. 00:19:19
O sea, 2 menos 0, 0 menos 0, 1 menos 0. 00:19:28
O sea que es el vector 2, 0, 1. 00:19:35
Ahora, si hago el producto vectorial del vector PQ, que es 2, 0, 1, 00:19:41
Y aquí pongo el vector u, que es el v, bueno, es el mismo, en este caso era el mismo, ¿sí? Calculo el producto vertical, me sale j más 6k menos 0 menos 3i menos 3i más 2j, ¿no? 00:19:52
O sea, que este es el vector, menos 3i, 1 más 2, 3i y 6k. 00:20:15
Bueno, pues sabéis que el módulo de un vector es la raíz cuadrada de, 00:20:27
el teorema de Pitágoras en tres dimensiones, 00:20:32
primera componente al cuadrado, segunda componente al cuadrado, 00:20:35
tercera componente al cuadrado. 00:20:39
Y abajo, el módulo de v. 00:20:41
V es este vector de aquí 00:20:43
y si módulo, pues de la misma forma 00:20:46
por el teorema de Pitágoras 00:20:49
1 al cuadrado más 3 al cuadrado 00:20:51
más menos 1 al cuadrado 00:20:53
en el numerador sale 36 más 18, 54 00:20:55
en el denominador queda raíz de 11 00:21:00
y esto por dejarlo bonito 00:21:05
pues se deja en un mismo radical 00:21:07
y estos son unidades de longitud 00:21:09
Como veis, son bastantes conceptos que, a ver, lo de sacar punto y vector o punto vector normal, todas esas cosas, pues como se repiten tantos, ya os las sabéis. 00:21:14
Otras, pues supongo que tendréis que seguir viendo algún tutorial y que siempre me quedan. 00:21:27
Y no siempre echarle un ojito a la teoría, pues la ley siempre me tiene, ¿no? Para tenerla en la cabeza. 00:21:32
Yo creo que es la mejor forma de estudiar matemáticas cuando tenéis bastantes conceptos, ¿no? 00:21:40
Bueno, del siguiente ejercicio, que si no me equivoco ya es el último de distancias, no voy a hacer el dibujo porque me va a quedar fatal. Creo que aquí debería verse mejor de lo que voy a dibujar yo. 00:21:45
Si tengo dos rectas que se cruzan, veis que esta pasa por aquí y la otra pasa como por debajo, no se tocan, no son paralelas. Aquí se dice que las rectas se cruzan. 00:22:01
¿Sí? Si yo tengo un punto de esta recta, que lo ha llamado A, y un punto que llama B, ¿sí? Con este vector, con este vector y este, trazando paralelas, veis que se crea un paralelepípedo, ¿sí? 00:22:15
Si yo tengo esta dirección, esta dirección, esta dirección, y me pongo a trazar paralelas, por ejemplo, esta con esta, ya me queda un paralelogramo aquí. Este con este, un paralelogramo aquí, ¿no? Y así sucesivamente, ¿sí? 00:22:33
Entonces, ¿por qué es tan importante esto? Bueno, sabéis que el volumen del paralelepípedo, calculáis el determinante y ya está. Si sale negativo, lo ponéis en positivo y ya está. Valor absoluto. 00:22:45
¿Sí? ¿Cuál es el área, cuál es el volumen de un paralelépipedo? El área de la base multiplicado por la altura, ¿no? Pues si el volumen es el área de la base por la altura, yo divido el volumen entre el área de la base, me tiene que salir la altura. ¿Y qué es la altura? La distancia. 00:22:59
Yo os lo explico así porque hay veces que no os acordáis y razonándolo lo podéis ver. 00:23:21
A ver, hay otras formas de hacerlo, efectivamente. 00:23:29
A ver, distancia entre dos rectas que se cruzan se puede hacer con los pies de las perpendiculares. 00:23:41
Que ese es el último ejercicio que le decía hacerlo. 00:23:47
Hay varios métodos, a lo mejor tú has visto este. 00:23:49
Si solo te piden la distancia, este es el método más fácil. 00:23:52
Pero si te piden los pies de las perpendiculares, entonces el método que dices tú es mejor. Ya lo has visto en el contexto, ¿verdad? Pues se te ha ocurrido, pues es muy buen nivel. Bueno, entonces, vamos al grano que es, ¿no? Vamos a un ejercicio concreto, seguimos. 00:23:56
Como veis hay cosas que se repiten y cosas que no. Las posiciones relativas os deberían estar empezando a salir por las orejas. Y vamos, si habéis visto todos los ejercicios que hemos hecho. 00:24:17
Porque yo de aquí sé que un punto Q es el 0, menos 2, 1. Y un vector director es, ¿aquí qué hay? Claro, dividir entre 1 es más o menos, ¿vale? 1, menos 1, 2. 00:24:29
Y aquí, de nuevo, sistema que está escalonado. Si no está escalonado, lo escalonáis. De aquí sacáis, lo más fácil de despejar es la x, ¿no? x es igual a menos 1 más 2z. 00:24:53
Si sustituís aquí, os queda menos 1 más 2z más i menos z igual a 1. 00:25:09
¿No? Esto lo voy a poner en un cuadrito para que se me entiende. 00:25:25
Y de aquí me sale que z más i igual a 2, ¿no? 00:25:29
Bueno, entonces, ¿qué me interesa sacar aquí? 00:25:40
¿La Z o la Y? 00:25:43
Pues yo diría que la Y. 00:25:48
Porque si yo saco la Y, la Z actúa como parámetro. 00:25:50
Lo ideal es que esté la misma letra aquí que aquí. 00:25:56
¿Vale? 00:25:59
Estas cosas, estos detalles, pues eso. 00:26:00
Nos equivocamos ahora para hacerlo mejor más adelante. 00:26:02
O sea, que me sale que x es igual a menos 1 más 2z y es igual a 2 menos z y z puede tomar cualquier valor. 00:26:06
De tal forma que aquí tengo el punto P, menos 1, 2, 0 y el vector U, que es el 2 menos 1, U. 00:26:21
Entonces, como hemos hecho antes, ya tengo esto y esto. 00:26:32
Primera parte. 00:26:43
Primera parte. 00:26:54
U y V no son proporcionales. 00:26:57
O si queréis, el rango es 1. 00:27:05
¿Por qué? 00:27:10
Porque 2 partido por 1 es distinto de menos 1 partido por menos 1 y además esto es distinto de, a ver, 2, 1, menos 1, menos 1 y 1, 2. 00:27:10
Si no son proporcionales quiere decir que o se cortan o se cruzan. 00:27:27
Y ahora vais a ver una cosa muy bonita, que es la siguiente. 00:27:41
Si se cortan, el rango de la matriz que forman u, v y el vector p, q es 2. 00:27:44
¿Por qué? Porque son tres vectores que están en el mismo plano. 00:28:00
Para que dos rectas se corten, tienen que estar todos los hemonitos en el mismo plano. 00:28:05
En cambio, si se cruzan, el rango de u, v y pq tiene que ser 3. 00:28:09
Y sabéis que el rango puede ser 3 solamente cuando este determinante que forman es distinto de 0. 00:28:18
Entonces me voy aquí, porque me falta calcular el vector pq. 00:28:25
Y el vector PQ es 0, menos, menos 1, menos 2, menos 2. Calculo este determinante y me sale... A ver, el vector U es 2, menos 1, 1. V es 1, menos 1, 2. Y el PQ es 1, menos 4. 00:28:31
Pues esto me sale menos 2, menos 2, menos 4, más 1, más 16, más 1. 00:29:01
O sea que saldría, a ver, 16, 18, sale 10, creo. 00:29:15
menos 2 00:29:20
menos 2, menos 4 00:29:24
más 1 00:29:27
más 16, más 1 00:29:28
bueno, distinto de 0 00:29:30
si es distinto de 0, pues puedo decir que 00:29:32
se cruzan 00:29:35
y ahora fijaos 00:29:36
ese número que es 00:29:42
el volumen del parámetro 00:29:44
porque he cogido los dos rectores 00:29:46
y es totalmente 00:29:49
lógico, para que 3 rectas 00:29:50
se corten, tienen que formar 00:29:53
un parámetro íntegro. Si esto 00:29:55
sale cero, no sale parámetro íntegro 00:29:56
porque no sale 00:29:59
tornado de un plano. Entonces, que veáis 00:30:00
que todo, todo, todo está conectado. 00:30:03
¿Sí? Bueno, pues entonces 00:30:05
la distancia 00:30:07
entre R 00:30:08
y S es el 00:30:10
producto mixto que hemos dicho, 00:30:12
¿no? Que es el determinante 00:30:15
que forman UV 00:30:17
y PQ 00:30:18
en valor absoluto 00:30:20
partido por el área de la base. 00:30:24
Y el área de la base era el producto vectorial de u con v. 00:30:28
Bueno, pues esto lo he calculado aquí. 00:30:33
Esto vale 10. 00:30:39
Y ahora voy a hacer el producto vectorial de u con v. 00:30:41
El producto vectorial de u con v es 00:30:46
ijk2-1,1,1-1,2. 00:30:48
Igual a menos 2i más jota menos 2k más k más i más 4jota. 00:31:02
3 menos 2, a ver, 1 más 4, 5, estas cuentas no me sonan nada. 00:31:17
Y menos 2 más 1 menos 1. 00:31:24
A ver, entonces, de aquí me voy aquí y esto es la raíz de 3 al cuadrado más 5 al cuadrado más o menos 1 al cuadrado. 00:31:27
O sea que sale 10 partido por 25, 34, 35. Esto no suena. 00:31:44
Voy a mirar el resultado un momento, que creo que estaba puesto. 00:31:54
No, es 11. Vale. Bueno, vamos a revisar un momento las cuentas. 2 menos 1, 1. 1 menos 1, 2. Ah, es que aquí es un menos. Menos. Y aquí sale menos. Aquí sale 1. 00:31:57
¿Cuánto tenía que salir? 00:32:16
Ah, vale 00:32:22
A ver, menos 2i 00:32:23
más j 00:32:26
menos 2k 00:32:28
más k, más i, más 4j 00:32:29
menos 2i 00:32:33
más i es menos 1 00:32:34
menos 1i 00:32:36
4 más 1 00:32:37
y menos 2 más 1 es 1 00:32:41
¿Cuánto salía? 00:32:44
Raíz de 11 00:32:46
a ver, esto debería ser un 3 00:32:47
claro 00:32:50
aquí es menos 4 00:33:00
bueno, me diréis 00:33:03
¿por qué sé que es un 3? 00:33:09
porque sé que tiene que salir una raíz de 11 00:33:10
y aquí tiene que salir 3 al cuadrado 00:33:12
entonces es 1 menos 4 00:33:15
que es menos 3 00:33:18
menos 1 al cuadrado más 00:33:19
por eso he puesto los resultados 00:33:34
porque aquí si se nos va una cosa 00:33:35
luego al revisar las cuentas os hacéis un diálogo 00:33:38
Y sale raíz de 11 unidades de longitud. 00:33:40
Entonces, a ver, nos quedan 15 minutos todavía. Vamos a ver cómo especificamos esto. 00:33:56
Para poderos dejaros en un espectro lo mejor posible. 00:34:07
Bueno, a ver. Bueno, como veis ya hemos visto todos los tipos de distancia entre puntos rectos y planos, ¿no? Es un repertorio bastante amplio, tenéis un montón de tutoriales, que es lo que os recomiendo que hagáis, ¿no? 00:34:12
del siguiente, a ver, dice 00:34:24
calcula el área del triángulo que los vértices son los puntos de intersección 00:34:28
de este plano con los ejes de forma. Este, como lo hice el otro día 00:34:32
como lo hice el otro día 00:34:37
os lo voy a dejar, como lo hice el otro día 00:34:39
os voy a dejar las ideas y para que veáis cuál es la estrategia 00:34:52
pensar la estrategia y la hacer, ¿vale? A ver 00:34:57
si yo tengo los tres ejes 00:35:00
de coordenadas 00:35:03
los tres ejes de coordenadas son 00:35:04
¿cómo los pinto yo? 00:35:06
porque hubo un día que me dijo alguien 00:35:09
pero los ejes no son otros 00:35:11
a ver, este para mí 00:35:13
es el eje OX 00:35:15
alguien los puede cambiar de orientación 00:35:16
este es el eje OX 00:35:18
para mí 00:35:21
este es el eje OY 00:35:23
y este es el eje OZ 00:35:25
si os fijáis 00:35:30
Este es el punto 1, 0, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 4, 0, 0. La ecuación del eje OX es que la X puede tomar cualquier valor y la Y y la Z valen 0. 00:35:33
Este es el eje OI. Lo que oscila es la Y. Lo que va cambiando es la Y. Pensad en dos coordenadas. 00:35:48
¿Sí? La X vale 0 y la Z vale 0. Y en el eje OZ, la X vale 0 y la Y vale 0. Lo único que va variando es la tercera convergencia, ¿no? 00:35:56
Entonces, yo tengo un plano que corta en un triángulo, que si tomo los tres puntos de corte, son aquí en el triángulo. 00:36:18
Este es el triángulo que vamos a llamar ABC. 00:36:37
Y nos pide que calculemos el área de ese triángulo. 00:36:40
Entonces, en la estrategia deberíais saber que ese área es, pues por ejemplo, si tengo 00:36:46
el vector AB y tengo el vector AC, yo sé que forman un paralelogramo, ¿no? 00:37:00
¿Y cuál es el área del triángulo? La mitad, ¿no? Es el área del triángulo, es el área del paralelogramo, paralelogramo partido por dos. 00:37:09
¿Por qué busco un paralelogramo? Porque sé que el área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial, ¿no? 00:37:29
Bueno, voy a ponerlo por orden alfabético, A, B, por A, C, ¿no? Entonces, ¿cuál va a ser mi estrategia? 00:37:41
1. Calculo A, B y C. 00:37:51
Esto parece muy difícil y no lo es. 00:37:58
¿Por qué? Porque si yo pongo aquí el plano y calculo la intersección de este plano con este eje, ya sé que la Y y la Z van a ser. 00:38:03
me queda 2x menos 6 igual a 0 00:38:18
con lo cual x es igual a 3 00:38:23
o sea que este es el punto 3, 0, 0 00:38:25
si yo me planto aquí la ecuación del mismo plano 00:38:30
y quiero hacer la intersección con el eje y 00:38:35
pues me sale que y menos 6 es igual a 0 00:38:38
Con lo cual, este punto me sale el 0, 6, 0. 00:38:43
Y por último, si en este plano, pues si aquí añado 2x más 3y más, perdón, más y más 3z menos 6 igual a 0, 00:38:50
me queda que 3z es igual a 6, con lo cual este es el punto 0, 0, 2. 00:39:10
¿Sí? Entonces, los ejes son muy sencillos. Entonces, he calculado eso. Y ahora, os voy a dejar, porque lo tengo terminado el otro día, ¿no? Esto lo termináis vosotros y así os puedo explicar el ejercicio que quería terminarlo. 00:39:17
¿no? 00:39:36
¿qué tenéis que hacer? 00:39:40
calcular a B 00:39:42
calcular a C 00:39:42
¿no? y hacer este 00:39:45
calco, creo que salía 00:39:48
36 y luego al dividirlo 00:39:54
salía 18, me parece 00:39:56
no sé si os acordáis 00:39:58
porque sé que hay gente que estuvo 00:39:59
aquí, que estuvo el otro día 00:40:02
en clase 00:40:04
estuvisteis conectados por lo menos 00:40:04
vaya, ¿y ahora qué hago con esto? 00:40:07
Bueno, entonces nos vamos al otro ejercicio y en este ejercicio, como quiero hacer el último, 00:40:10
que creo que son ejercicios ya bastante especializados, 00:40:51
quiero hacer alguno un poco menos antes de las canciones 00:40:56
en este ejercicio 00:40:59
a ver, tenemos de nuevo 00:41:01
el mismo plano 00:41:03
tengo los puntos que me han salido 00:41:05
antes, si no me equivoco 00:41:10
era 00:41:12
¿es el mismo plano? 00:41:12
no, no es el mismo 00:41:22
se parece mucho pero no es 00:41:22
bueno, os digo los puntos de corte cuáles son 00:41:24
porque si la 00:41:27
I y la Z valen 0 00:41:29
me queda que este es el punto 00:41:30
6, 0, 0 00:41:31
Si la X y la Z valen cero, me queda aquí el cero tras cero. 00:41:33
Este es el A, este es el B y este es el C. 00:41:43
Pues si la X y la Y valen cero, aquí me sale el cero cero. 00:41:47
Entonces, primera cosa. 00:41:54
¿Veis el plano y veis los ejes de ordenadas? 00:41:57
¿Veis el tetraedro que forma? 00:42:01
Tetraedro significa cuatro caras. 00:42:03
Un tetraedro es una pirámide triangular. 00:42:05
estas dos caras que se ven aquí, esta es el suelo 00:42:08
y luego tiene una cara oblicua que es la del triángulo que nos había salido 00:42:12
bueno, esto tenéis que saber 00:42:16
que para calcular volúmenes, solo sabéis calcular 00:42:20
el volumen de un paralelepiped 00:42:24
entonces, no es la mitad 00:42:26
por eso, o sea, si tienen el volumen del paralelepiped, ya lo tendrían 00:42:34
Porque sabéis que es el producto mixto de AB, perdón, perdón, perdón, perdón, que aquí hay cuatro puntos, del vector OA, el vector OB y el vector OC. 00:42:38
¿No? Hacéis el valor absoluto de lo que sabéis. 00:42:56
pero ahora tenéis que pensar a ver no sé si sabéis que si tenéis un prisma no sé si sabéis si tenéis 00:42:58
una tienda de campaña por ejemplo la he puesto de tiempo pero esto es una tienda de campaña 00:43:11
sabéis que con esto se pueden hacer tres pirámides iguales bueno pues esto es lo 00:43:19
que el área de una pirámide el área de una pirámide es la tercera parte del volumen del 00:43:28
prisma que lo contiene os suena que el área del volumen del cono es la tercera parte de la del 00:43:41
Bueno, pues se hace una analogía, ¿sí? Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que el volumen del prisma es la mitad del volumen del paradigma. ¿Entendéis por qué? Porque si yo tengo este prisma, necesito rellenarlo por aquí, ¿no? 00:43:51
Bueno, pues entonces, la cuenta que tenéis que hacer es que el volumen del tetraedro, que es la pirámide, es la sexta parte, porque es la tercera parte de la mitad, del volumen del parámetro. 00:44:15
Esto se da en presencial y en todas partes porque esto se suele colocar. 00:44:36
y es un poquito que recordéis 00:44:42
una cuestión de geometría 00:44:46
que se da en segundo o en tercero de eso 00:44:49
y luego se da ya por olvidados 00:44:52
y bueno, la cuenta la tenéis hecha en la clase anterior 00:44:54
y me quedan nueve minutos 00:44:58
porque quiero explicar este que pone ejercicios más complicados 00:45:01
aunque siempre es bueno 00:45:04
que veáis otra persona que explique este ejercicio 00:45:07
a lo mejor lo hace de tal forma 00:45:09
¿Sí? Bueno, antes de que me quede sin tiempo, que sepáis que aquí este es el repertorio de casi todos los ejercicios que hay. El repertorio es bastante amplio. A ver, si sabéis hacer todos estos ejercicios, domináis el tiempo. 00:45:10
Y otra cosa, cuando aprendéis el primero, os cuesta. Cuando aprendéis el segundo, os cuesta un poquito. Cuando aprendéis el tercero, entonces ya veréis que esto requiere su práctica. 00:45:30
Que sepáis que GMT es toda la tercera evaluación. Al final creo que en eso estamos bastante bien. 00:45:45
Bueno, entonces, este es un ejercicio tipo y quiero que veáis, este es más complicado, pero quiero que veáis que necesitáis un poquito de estrategia. 00:45:57
Si a mí me dan dos rectas y me piden el apartado A que compruebe que las rectas se cruzan, yo, en mi opinión, esto es asequible. Esto, o lo sabéis o no lo sabéis. O sea, si no lo sabéis, por supuesto, olvidadlo. 00:46:07
¿Sí? Luego dice, determina la ecuación de la perpendicular común. Esto es lo más difícil. 00:46:22
Esto es lo nuevo para ahora. Y calcula la distancia entre ambas. Esto debería ser fácil también. 00:46:29
Es lo que hemos dado antes. ¿Por qué? Porque le tenéis en vuestra hoja que suma. 00:46:35
¿Sí? Entonces, comprueba que se cruzan. Pues, inmediatamente. A ver, ¿qué punto tengo aquí? 00:46:40
el 4, 1 00:46:46
y vector 00:46:51
2 menos 1, 3. Esto 00:46:53
rapidito, ¿sí? 00:46:57
Ostras, me he echado encima de esto. 00:47:00
Aquí tengo el punto, el punto Q 00:47:03
1 menos 2, 8 y el vector 00:47:06
director 1 00:47:09
menos 2, 2, ¿no? Bueno, pues os voy a decir 00:47:12
o sea, ¿estos sabéis hacerlo? 00:47:15
esto sabéis 00:47:17
y aquí os voy a dar la estrategia 00:47:20
a ver, y esto 00:47:23
el dibujo es difícil de hacer 00:47:25
el dibujo es difícil de hacer 00:47:27
sobre todo en el painting, cuando lo hago en pizarra 00:47:29
pues no me sale tan mal 00:47:31
yo tengo una recta que pasa por debajo de la otra 00:47:32
y quiero calcular 00:47:35
la ecuación de la perpendicular común 00:47:37
¿sí? bueno pues 00:47:39
este apartado B 00:47:41
¿sí? la recta que 00:47:42
busco 00:47:45
La recta que busco es la intersección de dos planos. El primero, el plano que contiene a R y al vector perpendicular, voy a ponerlo así mejor, y al vector perpendicular común a U y V. 00:47:45
¿Qué vector es ese? Si tengo dos vectores, os acordáis que el vector perpendicular común es el producto vectorial. O sea, que esto es producto vectorial, perpendicular común. El segundo plano es el plano que contiene a ese y a este vector perpendicular. 00:48:32
¿No? Entonces, yo lo que tengo que hacer es calcular la ecuación del plano pi, el primer plano pi, luego del plano pi prima, y sabéis que una recta es intersección de dos planos. 00:48:59
Si yo doy dos ecuaciones, sale una recta de la cual podéis sacar las paramétricas, ¿no? 00:49:14
Bueno, pues entonces, ¿cómo sacáis este plano? 00:49:19
Con el punto P, con el vector U y con el vector U por V. 00:49:25
¿Cómo sacáis el otro plano? 00:49:35
Con el punto Q, con el vector V y con el vector U por V. 00:49:37
Ahora mismo empiezo con los dos sociales. 00:49:43
Bueno, es que como me he retrasado un poquito, pues por lo menos contaros un poquito esto por encima. 00:49:46
A ver, yo tengo esta recta con este punto y este vector, ¿no? 00:49:51
Por ejemplo así, ¿sí? 00:49:57
Si yo cojo este plano, ¿sí? 00:49:58
Este vector es el vector u por v, ¿sí? 00:50:03
Y si yo cojo este plano, ¿sí? Pensad en el dibujo en casa, ¿sí? Cociendo este vector u por v, ¿veis que estos dos planos se cortan en una recta y esa recta es perpendicular a los dos? Se ve con dificultad, ¿no? 00:50:10
Sí 00:50:28
Esta es la perpendicular común 00:50:30
¿Sí? 00:50:33
¿Sí? Buenas 00:50:35
Entonces, no tengo más tiempo 00:50:36
Disculpad, lo que habéis hecho 00:50:38
completo en el tutorial 00:50:40
¿No? 00:50:42
Y lo que voy a hacer el próximo día van a ser 00:50:44
ejercicios de este tipo, más complicados 00:50:46
que podéis ir viendo 00:50:49
Yo recomiendo 00:50:50
que coger los tutoriales 00:50:52
que cojáis los tutoriales 00:50:55
y que vayáis 00:50:59
y que vayáis 00:51:01
haciendo todo el repertorio 00:51:02
y eso 00:51:05
que vayáis haciendo vuestro 00:51:07
resumen, vuestro hoja resumen 00:51:09
y que siempre la tengáis al lado 00:51:11
e insisto 00:51:13
si os cuesta 00:51:14
al principio, que sepáis que os cuesta 00:51:17
pero haciendo otros 00:51:19
se avanza 00:51:21
muchísimo con respecto 00:51:23
a la anterior, ¿vale? Bueno, recordad 00:51:25
que hoy es un turno individual. 00:51:27
Espero 00:51:31
que tengáis vacaciones, que las 00:51:31
disfrutéis, porque podéis aprovechar 00:51:33
el tiempo y 00:51:35
voy a detener 00:51:37
la grabación. 00:51:39
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Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
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Fecha:
21 de marzo de 2024 - 22:29
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IES LOPE DE VEGA
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