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Clase 30/11 (Diferencia de infinitos) - Contenido educativo

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Subido el 4 de diciembre de 2020 por Víctor D.

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Vale, chicos, a ver, hoy lo que toca ver es este tipo de indeterminaciones, ¿vale? 00:00:00
¿Qué pasa si al hacer un límite tengo que restar dos infinitos, ¿vale? 00:00:10
Entonces, hay casos que son muy fáciles, ¿vale? 00:00:16
El caso uno, ¿vale? 00:00:19
Es si los infinitos son de distinto orden, ¿vale? 00:00:21
Si son infinitos de distinto orden, por ejemplo, si tengo una exponencial menos una potencia, 00:00:34
si tengo un logaritmo menos una exponencial, 00:00:38
este tipo de cosas no van a superar 00:00:40
ningún problema 00:00:43
porque simplemente veréis que infinito van a 00:00:44
por ejemplo, si yo tengo que calcular este 00:00:46
esto lo tenéis subido, ¿vale? 00:00:48
o sea, si no queréis apuntarlo ahora, esto lo tenéis subido 00:00:54
perdón, no quería poner esto 00:00:56
quería poner 00:01:01
esto 00:01:02
por ejemplo, yo tengo que calcular este límite 00:01:03
¿vale? quiero ver qué pasa ahí cuando las x se me hacen muy grandes 00:01:08
entonces, ¿vale? 00:01:11
esto se hace muy grande 00:01:13
y esto también 00:01:14
Pero una exponencial siempre se come a cualquier potencia, con lo cual aquí al final el infinito de la derecha es el que va a ganar. Es un poquillo la idea, ¿vale? Entonces, si son infinitos de distinto orden es súper fácil, ¿vale? Es comparar, ¿vale? Y ya está. 00:01:15
¿Qué para que son infinitos del mismo orden? 00:01:33
Pues son infinitos del mismo orden, lo que voy a intentar hacer es primero hacer la resta que haya, ¿vale? 00:01:45
Por ejemplo, voy a hacer como ejemplo el, estoy en la página 139, el 4a, ¿vale? 00:01:51
A ver, 2 menos x entre x menos 2, ¿vale? 00:01:59
Primero, porque esto lo estoy poniendo como ejemplo de dos cosas que tienen el mismo orden. 00:02:31
Porque fijaros, aquí la idea es que en la primera fracción tengo un polinomio de grado 3 entre uno de grado 1. 00:02:35
O sea, es como si tuviera algo de grado 2. 00:02:41
Y aquí me pasa lo mismo. 00:02:43
Tengo grado 3 entre grado 1, con lo cual es como que el tamaño del infinito es de grado 2. 00:02:44
¿Vale? 00:02:49
¿Qué pasa? 00:02:50
Que yo ahí, aunque me saldría infinito menos infinito, ¿vale? 00:02:51
Estos son fracciones algebraicas que sabemos operarlas. 00:02:55
Entonces lo que voy a hacer es, esa resta, hacerla sin cierre. 00:02:58
Dime. 00:03:02
3, estos son 3. 00:03:04
Estos son 3x al cubo y 4x al cubo. 00:03:06
De todas maneras, si no lo tenéis, estoy en la página 131, es uno de los de ahí, si lo he copiado bien. 00:03:09
Vale, entonces, vamos a hacer la resta. 00:03:15
¿Cómo haría esta resta? 00:03:17
Si recordamos manejo de... 00:03:19
Esto lo dejo porque de momento no estoy calculando el límite. 00:03:22
¿Cómo haría esa resta? 00:03:26
¿Cómo se restan fracciones? Poniendo un mínimo común múltiplo, en este caso voy a poner justo este por este, ¿vale? Con lo cual arriba, el primer numerador, hoy he puesto un 2 y es un 3, perdón, 3x al cubo más 5, por, aquí le tengo que añadir el x menos 2, ¿vale? 00:03:30
Y al 4x cubo menos x 00:04:06
Le tengo que añadir el x más 2 00:04:11
¿Vale? 00:04:13
Entonces ahora simplemente se operará 00:04:17
¿Vale? 00:04:18
Me voy a tener que ir arriba 00:04:19
¿Vale? 00:04:20
Así que voy a borrar 00:04:24
Esta parte 00:04:24
Aquí 00:04:28
Vale 00:04:31
Sigo 00:04:32
Recuerdo, esto del límite lo tengo que estar arrastrando 00:04:35
Hasta que yo vea que lo voy a calcular 00:04:37
¿Vale? 00:04:39
Entonces, a ver 00:04:41
Voy poniéndolo de corrido 00:04:42
Si alguna cosa no se ve me decís 00:04:43
Esto saldría 3x a la cuarta 00:04:45
Menos 6x al cubo 00:04:47
Más 5x 00:04:52
Menos 10 00:04:56
Y ahora tendría 00:04:59
Menos, voy a poner entre paréntesis para que no nos liemos luego 00:05:02
Me sale 4x a la cuarta 00:05:05
Sí, porque sería este 4x 00:05:07
Ay, perdón, claro, he dicho 4 y he puesto 3, gracias 00:05:14
Este, más 8x al cubo 00:05:17
Menos x al cuadrado 00:05:24
Menos 2x 00:05:29
Y esto de momento lo voy a dejar así 00:05:33
Pues si veo que me hace 00:05:40
Ya veré luego si me hace falta desarrollarlo o no 00:05:41
Que eso sería muy fácil luego de operar 00:05:43
¿Vale? 00:05:45
¿Algún término de los de arriba no se ve? 00:05:48
¿De dónde sale? 00:05:50
El de 8x 00:05:51
15, arriba 00:05:52
El de 8x, no, 8x al cubo 00:05:54
Que es del 4x al cubo por el 2 00:05:57
¿Vale? 00:05:58
Vale, entonces yo ahora opero arriba 00:06:01
Simplemente teniendo cuidado con los signos 00:06:02
¿Vale? 00:06:04
Entonces, en x a la cuarta, fijaros, tengo 3 menos 4 00:06:05
Con lo cual tengo, en el límite que no se me olvide 00:06:09
Tengo menos x a la cuarta 00:06:12
Luego en x al cubo tengo menos 6 menos 8 00:06:18
Con lo cual tendría menos 14 00:06:26
Ahora tendría, en x al cuadrado tengo solo el x al cuadrado de aquí 00:06:28
Que tiene un menos y tiene otro menos delante del paréntesis 00:06:34
Con lo cual aquí sale un más x al cuadrado 00:06:37
En X tengo 00:06:39
Menos 00:06:43
Menos 2X 00:06:44
¿Vale? 00:06:45
Eso es un menos 00:06:45
Entonces sale 7X 00:06:46
¿Vale? 00:06:48
Y luego tengo el menos 10 00:06:51
Esto lo que me sale arriba 00:06:53
Y abajo 00:06:54
Bueno, para que se vea mejor 00:06:58
Aunque yo no quise ver de todas maneras 00:06:59
Le pongo directamente lo que vale 00:07:01
Que es esto 00:07:02
¿Vale? 00:07:03
Suma por diferencia 00:07:03
Diferencia de cuadras 00:07:04
Y ahora tengo que hacer este límite 00:07:05
¿Qué pasa? 00:07:08
Que este límite es mucho más fácil 00:07:09
Porque fijaros 00:07:11
tengo arriba un polinomio de grado 4 00:07:12
dividido entre un polinomio de grado 2 00:07:15
con lo cual 00:07:17
el de grado 4 se va a comer al de abajo 00:07:17
es decir, ese límite va a ser infinito o menos infinito 00:07:20
pregunta 00:07:24
va a ser más o menos 00:07:24
menos, ¿eso lo ve todo el mundo? 00:07:28
vale 00:07:31
primero, ¿se ve que esto va a ser infinito? 00:07:31
vale 00:07:34
esto va a ser infinito porque en números grandes 00:07:34
este polinomio, el polinomio de grado 4 00:07:37
va a tener valores muchísimo más grandes 00:07:39
que los de aquí. Entonces al final 00:07:42
esto se va a acabar disparando. 00:07:44
¿Vale? 00:07:46
Que tengo que decidir si se dispara 00:07:47
por arriba o se dispara 00:07:50
hacia abajo. ¿Vale? 00:07:52
Pero lo que hago es mirar los signos. Esto 00:07:54
en números muy grandes 00:07:56
cuando las X son muy grandes al final acaba teniendo 00:07:57
números negativos por culpa de este menos de aquí. 00:08:00
¿Vale? 00:08:03
Y este toma valores positivos si la X es muy 00:08:03
grande. Con lo cual es infinito 00:08:06
y tiene que ser negativo. 00:08:08
¿Vale? 00:08:12
¿Está claro? Los de casa, si tenéis que pararme o lo que sea, también podéis preguntar, ¿eh? 00:08:14
¿Está claro este? 00:08:19
O sea, esto sería en el caso de que yo tenga dos infinitos del mismo orden y pueda hacer la resta. 00:08:22
¿Vale? Que el caso más habitual, el caso más normal es este, que sean dos fracciones al 0 de la i. 00:08:27
¿Qué pasa? Que ahora voy a hacer otro ejemplo en el que tengo dos infinitos del mismo orden restados, 00:08:34
pero va a haber algo que me va a impedir hacer la resta. 00:08:39
¿Vale? 00:08:42
Y como eso, por ejemplo, voy a hacer... 00:08:52
A ver, pues el D, el E o el F, voy a hacer el D, por ejemplo, ¿vale? 00:08:54
Tiene el mismo ejercicio, pero ahora está en el apartado D. 00:09:06
Me dicen raíz de X cuadrado más X menos raíz de X cuadrado más 1, ¿vale? 00:09:12
Entonces, primero, la misma idea de antes. 00:09:29
Esto es como si tuviera grado 1, porque hay la raíz cuadrada de algo de grado 2, 00:09:31
Y este igual, también tiene el grado 1. ¿Cuál es el problema? Que esa resta no la puedo hacer. 00:09:36
¿Tenemos primero claro todos que esa resta no la puedo hacer? 00:09:41
O sea, no hay una manera que yo tenga para restar los radicales. Es decir, si yo tengo que hacer esta cuenta, 00:09:48
no tengo una manera de hacerla más que tirar de calculador y aproximar un poco, ¿no? 00:09:54
Vale, entonces, voy a hacer una cosa que ya hacíamos en radicales cuando nos molestaban las raíces, ¿vale? 00:10:01
Que es lo siguiente, como ahí tengo una resta, voy a multiplicar con la misma expresión pero con una suma. 00:10:10
Pero claro, si yo este número lo multiplico por este, tengo que volver a dividir para que el número siga valiendo lo mismo. 00:10:17
¿Vale? Vale, primero. Sí, son todo X, creo que aquí se me ha quedado un poco alfa, pero es una X. Lo de abajo es... ¡Ah! Esto es una X, cierto. ¿Vale? 00:10:38
Entonces fijaros, ¿qué es lo que es eso? Yo tenía una resta, pues lo que hago es multiplicar y dividir por la suma. ¿Vale? Eso se suele llamar en matemática la expresión conjugada, convertir restas en sumas y arreglos. 00:11:04
¿por qué hago esto? 00:11:15
porque ya la operación de arriba es muy fácil 00:11:18
¿cómo puedo hacer la operación de arriba de forma sencilla? 00:11:20
y voy borrando arriba 00:11:24
a ver si recordamos de radicales 00:11:25
de cuando trabajabais radicales 00:11:27
el año pasado o en cuarto 00:11:28
fijaros, ¿qué pasa si yo multiplico 00:11:29
una resta 00:11:39
por los mismos números pero sumados? 00:11:40
es una identidad notable 00:11:44
es la diferencia de cuadrados 00:11:45
¿qué me va a permitir hacer eso? 00:11:46
que esas raíces van a desaparecer arriba 00:11:47
¿vale? las de abajo no 00:11:50
pero como las de abajo están sumadas no me van a molestar 00:11:51
el límite, pero arriba me las voy a quitar 00:11:53
sería pues 00:11:56
diferencia de cuadrados, pues esto al cuadrado 00:12:02
es quitar la raíz 00:12:04
menos la otra 00:12:05
voy a poner paréntesis por si acaso 00:12:09
hay dios 00:12:12
¿vale? sería 00:12:14
esto menos esto y abajo 00:12:16
queda 00:12:18
x cuadrado 00:12:20
más x 00:12:23
más la raíz 00:12:24
de x cuadrado 00:12:27
¿vale? 00:12:28
vale, lo de arriba, ahora sí puedo operar 00:12:32
lo de arriba, además queda una cosa muy sencilla 00:12:34
x, que sale 00:12:36
x menos 1, y ahora voy a utilizar 00:12:43
una cosa, que creo que la dije 00:12:47
el otro día, si no que me he corrijado 00:12:49
de casa, creo que lo comenté, pues esto sí lo suelo decir 00:12:51
porque para radicales ayuda mucho, que es 00:12:53
cuando la x va infinita 00:12:54
cuando la x toma valores muy grandes 00:12:56
en una expresión polinómica 00:12:58
para ver el límite 00:13:00
me basta con quedarme con las partes 00:13:03
de mayor grado, es decir 00:13:05
en el límite 00:13:06
esta raíz se va a comportar igual que esta 00:13:08
o sea, esta x no va a afectar 00:13:11
al valor del límite 00:13:15
¿vale? siempre que me esté yendo 00:13:16
al infinito, si esto fuera un numerito, eso sería mentira 00:13:19
¿vale? y en el otro puedo 00:13:21
hacer lo mismo 00:13:23
porque estoy en el límite, por eso es tan importante 00:13:23
que el límite lo arrastremos hasta que lo calculemos 00:13:27
¿eh? 00:13:29
pero igual, en el límite 00:13:31
cuando un número es muy grande 00:13:32
me da igual elevarlo al cuadrado 00:13:35
que elevarlo al cuadrado y sumarle 1 00:13:36
a nivel de decir si es muy grande o pequeño 00:13:38
¿vale? 00:13:40
entonces fijaros, ¿qué me permite hacer eso? 00:13:42
quitar esa rama 00:13:45
tendría x menos 1 00:13:46
y abajo tendría x más x 00:13:52
con lo cual tendría 00:13:54
y ahora ya esto 00:13:56
sí que se calcula en el límite 00:14:03
tengo dos polinomios del mismo grado 00:14:04
entonces, ¿cómo se calcula ese límite? 00:14:07
dividiendo los coeficientes principales 00:14:10
¿recordamos lo que son los coeficientes principales 00:14:12
de un polinomio? 00:14:14
los coeficientes que están con la x con mayor potencia 00:14:17
¿vale? que en este caso, ¿quiénes son? 00:14:20
1 y 2 00:14:23
y ya estaría el límite calculado 00:14:25
¿vale? 00:14:33
¿y cuando has quitado el resto de las cosas 00:14:33
que hay en la raíz, no podrías retirar menos? 00:14:36
¿cómo? 00:14:38
la raíz has quitado 00:14:41
¿no podrías retirar menos? 00:14:42
sí, sí, fíjate que me saldría lo mismo 00:14:43
lo mismo que he hecho en las raíces 00:14:46
lo puedo hacer aquí arriba 00:14:54
es decir, en el infinito 00:14:55
x menos 1 y x 00:14:57
básicamente hace lo mismo 00:14:59
entonces puedo quitarlo para hacer el límite 00:15:00
¿vale? 00:15:02
entonces, esa función que teníamos rara 00:15:07
cuando la x se va haciendo muy grande 00:15:09
se va acercando a este valor 00:15:11
¿vale? 00:15:12
esto era básicamente lo de, ¿vale? 00:15:17
Ahora os propongo algunos para que vayáis trasteando ahora, ¿vale? 00:15:18
Pero la idea es esa. 00:15:22
Cuando yo tengo que restar infinitos, puede pasar. 00:15:23
O que las funciones sean lo suficientemente distintas para poder compararlas. 00:15:27
Y decir, pues, si gana el primero, sale más infinito, 00:15:30
y si gana el que está restando, sale menos infinito. 00:15:33
Si no son lo suficientemente distintas, es decir, 00:15:37
si tienen órdenes del infinito distintos, 00:15:40
si puedo hacer la resta, la hago, 00:15:43
y convierto esa indeterminación 00:15:45
en algo con un cociente, que es más sencillo 00:15:49
o si mi problema 00:15:51
es que tengo raíces por ahí 00:15:53
utilizo el truco 00:15:54
de multiplicar y dividir 00:15:55
por la expresión conjugada 00:16:00
como estos son restas, esto siempre va a ser 00:16:02
multiplicar y dividir por una suma 00:16:04
¿vale? y acordarme que en el infinito 00:16:06
una suma se comporta 00:16:09
siempre igual que el término 00:16:11
de mayor o menor 00:16:12
¿vale? 00:16:13
fijaros que aquí 00:16:15
con la resta 00:16:17
no podría haber hecho este truco 00:16:20
fijaros que si lo hubiera hecho 00:16:22
con la resta 00:16:24
aquí me habría salido 0 00:16:26
porque me habría salido x menos x 00:16:27
¿vale? 00:16:30
este truco solo lo puedo hacer si voy teniendo las cosas sumadas 00:16:31
¿ok? 00:16:34
vale 00:16:38
pues yo os diría 00:16:39
que para practicar esto 00:16:41
que vayáis trasteando 00:16:43
los que faltan del 4 00:16:45
en el orden que queráis 00:16:46
¿vale? trasteando, que si os sale me vais preguntando 00:16:48
si queréis hago alguno más aquí yo 00:16:51
¿vale? pero son como los tipos 00:16:53
de géneros que hay aquí, trasteando si queréis 00:16:55
y voy a revisar un momento y hablarlo de Marcos 00:16:57
mientras lo miráis 00:16:59
¿vale? ¿los de casa está claro? 00:17:00
y no que sí 00:17:08
y sí 00:17:09
vale, vale, vale, gracias 00:17:10
vale, por eso chicos, trastear con lo que queda 00:17:11
del ejercicio 4 00:17:15
y preguntarme lo que haga falta 00:17:15
¿vale? y si queréis ahora, si da tiempo 00:17:18
Puedo hacer alguno más de eso, ¿vale? 00:17:20
Vale, lo que sí voy a hacer antes... 00:17:27
Que si no se me va a olvidar... 00:17:30
Sí, pero voy a... 00:17:36
Subido por:
Víctor D.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
79
Fecha:
4 de diciembre de 2020 - 14:19
Visibilidad:
Público
Centro:
IES GRANDE COVIAN
Duración:
17′ 38″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
1024x768 píxeles
Tamaño:
281.34 MBytes

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