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Ecuación logarítmica - Contenido educativo
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Teoría y resolución de una ecuación logarítmica (Matemáticas 4ºESO)
Buenas a todos. En este vídeo vamos a aprender a resolver ecuaciones logarítmicas.
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Lo primero de todo es saber qué es una ecuación logarítmica.
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Una ecuación logarítmica es aquella ecuación en la que la incógnita aparece dentro de algún logaritmo,
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es decir, en el argumento de algún logaritmo.
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Puede aparecer dentro de un solo logaritmo, de dos, de tres, etc.
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Con que aparezca dentro de uno es una ecuación logarítmica. Para resolverlas seguiremos los siguientes pasos. Son pasos muy sencillos, solamente tres pasitos.
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El primer paso, que es el paso más importante, es comprimir a ambos lados en un único logaritmo hasta dejar la ecuación como el logaritmo de una cosa igual al logaritmo de otra cosa.
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¿Y cómo hacemos eso? Pues usando las propiedades del logaritmo. Las propiedades del logaritmo son básicamente estas tres que ven aquí en verde, que dice que la suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto, la resta de dos logaritmos es el logaritmo de la división, y si tenemos un logaritmo multiplicado por un número, este número lo podemos subir al exponente dejándolo como el logaritmo de a elevado a n.
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Por ejemplo, aplicando la primera propiedad podríamos tener que el logaritmo de 2 más el logaritmo de 3 es el logaritmo de 6, como bien sabemos, de 2 por 3.
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Aplicando la segunda propiedad, el logaritmo de 8 menos el logaritmo de 2 sería el logaritmo de 8 entre 2, que es 4.
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Y aplicando la tercera propiedad, por ejemplo, pues 3 multiplicado por el logaritmo de 2 sería el logaritmo de 2 al cubo, de 8.
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Bien, entonces tenemos que usar estas tres propiedades para comprimir en un único logaritmo, tanto a la izquierda como a la derecha en la ecuación logarítmica.
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Una vez que tengamos esto, pasamos al paso 2. Podemos suprimir los logaritmos y resolver la ecuación que queda.
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Generalmente nos va a quedar una ecuación polinómica, puede que una ecuación de segundo grado, de primer grado, de tercer grado, que sabemos resolver perfectamente.
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Y el paso 3 es comprobar las soluciones. Porque hay muchas veces que en una ecuación logarítmica se adhieren soluciones que son falsas al seguir estos pasos. Por lo tanto, hay que comprobar las soluciones.
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Comprobar las soluciones, en este caso basta con ver que no salen logaritmos de números negativos ni de cero.
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Ya sabemos que los logaritmos de números negativos no existen y el logaritmo de cero tampoco existe.
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Entonces basta con coger la x que te ha quedado e irte a la ecuación original y comprobar que no salen logaritmos de números negativos ni logaritmo de cero.
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Aquí a la derecha hay una nota muy importante
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Que dice que si nos encontramos un número suelto, así un 1 por ejemplo
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Hay que transformarlo en logaritmo
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Para poder comprimir, para poder aplicar el primer paso
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Entonces, como lo habitual es tener un logaritmo decimal
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El 1 lo vamos a sustituir por el logaritmo de 10
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Porque el 1 es logaritmo de 10
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El 2, logaritmo de 100
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El 3 sería logaritmo de 1000, etc.
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4 es logaritmo de 10.000, el 5 de 100.000, el 6 de 1.000.000, etc.
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En el caso de que estuviéramos en un logaritmo que no fuera decimal,
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la ecuación logarítmica tuviera logaritmos que no fueran decimales,
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por ejemplo, logaritmos en otra base, en base A,
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pues el 1 lo tendríamos que sustituir por el logaritmo base A de A,
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el 2 por el logaritmo base A de A cuadrado, el 3 por el logaritmo base A de A al cubo, etc.
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Por ejemplo, si estuviéramos en base 5 y nos encontramos un 2,
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Pues el 2 lo tendríamos que sustituir por el logaritmo base 5 de 5 al cuadrado, que es 25.
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Bueno, con todo esto ya tenemos las herramientas teóricas y ahora vamos a ver un ejemplo, que es como realmente aprendemos bien las cosas.
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Tenemos aquí una ecuación logarítmica. 2 multiplicado por el logaritmo de x más 5 igual a 1 más el logaritmo de 3x menos 5.
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El primer paso es esencial, hacerlo bien, tenemos que comprimir a ambos lados en un único logaritmo, es decir, esto que tenemos aquí a la izquierda, en la ecuación logarítmica, el miembro de la izquierda de la ecuación, es 2 por logaritmo de x más 5, y esto lo tenemos que dejar como un único logaritmo.
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Pues aplicando la tercera propiedad, que aquí está en verde, subimos el numerito que está delante, el 2, al exponente, y nos quedará logaritmo de x más 5 al cuadrado.
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De esta forma ya hemos dejado el miembro de la izquierda como un único logaritmo.
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Vamos a ver que nos encontramos a la derecha. A la derecha tenemos 1 más el logaritmo de 3x menos 5.
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Bueno, aquí tenemos un 1 suelto que hay que transformarlo en logaritmo. Entonces, tal como dice esta nota, el 1 lo vamos a sustituir por el logaritmo de 10.
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El 1 es el logaritmo en base de 10. Y una vez que está sustituido por el logaritmo de 10, vemos que aquí tenemos una suma de logaritmos.
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Tendríamos el logaritmo de 10 más el logaritmo de 3x-5. Aplicando la primera propiedad, la que dice que la suma de logaritmos es el logaritmo del producto, quedaría el logaritmo de la multiplicación de 10 por 3x-5.
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Por lo tanto, hemos llegado a esta situación. Tenemos a la izquierda el logaritmo de x más 5 al cuadrado y a la derecha el logaritmo de 10 multiplicado por 3x-5.
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Ya hemos conseguido nuestro primer objetivo, que era dejar la ecuación como una igualdad de dos logaritmos. Por lo tanto, ahora podemos suprimir los logaritmos y resolver la ecuación que queda.
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Al suprimir los logaritmos, es decir, al igualar sus argumentos, queda que x más 5 al cuadrado es igual a 10 por 3x menos 5.
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Y esto es una ecuación de segundo grado.
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Lo que pasa es que hay que hacer muy bien este producto notable, porque lo que tenemos a la izquierda, x más 5 al cuadrado, es un producto notable.
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Ya sabemos que hay que elevar el cuadro al primero, también se eleva el cuadro al segundo, pero hay que hacer el doble del primero por el segundo, que muchas veces se nos olvida.
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Entonces, haciéndolo correctamente, nos queda el cuadrado de x, x cuadrado, el doble del primero por el segundo sería 10x, y el cuadrado de 5, 25.
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Si multiplicamos en el otro lado 10 por el paréntesis, por 3x menos 5, nos queda 30x menos 50.
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Ahora, para ordenar esta ecuación de segundo grado, vamos a pasar el 30x que está aquí sumando, lo vamos a pasar restando al otro lado, y el menos 50 lo vamos a pasar sumando.
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De esta forma, nos queda ya la ecuación ordenada de segundo grado.
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que es x cuadrado menos 20x, porque teníamos aquí 10 y pasamos menos 30, o sea, 10 menos 30 menos 20, más 75 igual a 0, puesto que teníamos 25 y el 50 que pasa sumando más 75.
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Todo el mundo sabe resolver esta ecuación de segundo grado, como es una ecuación de segundo grado completa, aplicamos la fórmula, que es menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 por a por c partido por 2a.
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Aplicándolo con estos términos, con a igual a 1, b igual a menos 20 y c igual a 75, tenemos que nos queda 20 más menos la raíz de b menos 20 al cuadrado, que es 400, menos 4 por 1 por 75, que es menos 300, partido por 2a, que es 2 por 1, 2.
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Dentro de la raíz, el radicando, tenemos aquí 400 menos 300, que es 100
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Y la raíz de 100 es 10
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Por lo tanto nos queda 20 más menos 10 partido por 2
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Flecha hacia arriba, flecha hacia abajo, dos soluciones
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Una con el más y la otra con el menos
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Con el más, 20 más 10, 30 entre 2, 15
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Y con el menos, 20 menos 10, 10 entre 2, 5
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Bueno, con esto habríamos acabado el paso 2
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El que teníamos aquí que decía que había que suprimir los logaritmos y resolver la ecuación que queda. Pero hay que hacer el paso 3, no se nos puede olvidar, que es comprobar las soluciones.
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Porque muchas veces las soluciones que obtenemos en una ecuación logarítmica son falsas. Entonces lo que tenemos que ver es si al sustituir la x por 15 y al sustituir la x por 5, en la ecuación original sale algún logaritmo de un número negativo o sale algún logaritmo de 0.
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En ese caso habría que tachar la solución y decir que es falsa. Si cogemos el 15 y sustituimos aquí en la ecuación original, basta con sustituir dentro de los logaritmos y aquí nos encontramos logaritmo de 15 más 5 que es 20. Eso no hay ningún problema, es un número positivo.
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Y aquí nos quedaría logaritmo de 3 por 15, 45, menos 5, 40. Otro logaritmo de un número positivo, así que no hay ningún problema. La solución x igual a 15 es una solución correcta y la marcamos con un tic.
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Cogemos el 5. Vamos a ver qué pasa. Aquí quedaría logaritmo de 10, sin problemas. Y aquí quedaría logaritmo de 3 por 5, 15, menos 5, 10 también, así que también sin problemas. Por lo tanto, también el 5 es una solución correcta.
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Con lo cual, esta ecuación logarítmica tiene dos soluciones, que son x igual a 15 y x igual a 5, y ambas son soluciones correctas.
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Bueno, pues esto ha sido todo
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Solamente hemos visto un ejemplo
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Espero que haya servido
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La idea es practicar, practicar y practicar
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¿Vale? Cuantos más ejemplos hagáis mejor
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Esto simplemente es un ejemplo
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Y bueno, seguimos en el siguiente vídeo
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Pues viendo más
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Chao
00:10:04
- Subido por:
- Rubén H.
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- Fecha:
- 16 de diciembre de 2020 - 22:08
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES JOAQUIN RODRIGO
- Duración:
- 10′ 06″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
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