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4MAC - 01 - Números reales - 08 - Logaritmos - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a empezar a explicar la parte nueva del tema que son los logaritmos, ¿vale?
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Nadie se ha asustado de esta palabra tan fea y tan rara que tiene la verdad pinta de cosa muy difícil,
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pero bueno, nosotros espero que nos lo tomemos como una especie de acertijo y que no nos cueste mucho
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pillar el concepto, ¿vale? O al menos pillar la importancia que tiene.
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Mira, un logaritmo chicos no es más que un exponente, ¿vale? Un logaritmo es un exponente, en concreto es el exponente al que yo elevo un numerito que dentro del logaritmo aparece chiquitito aquí abajo que llamamos base, ¿vale?
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Pues un número al que yo elevo una base para obtener otro número que dentro del logaritmo se llama argumento, ¿vale?
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Bueno, la nomenclatura, la forma de escribir un logaritmo es esta, ¿vale?
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Ponemos log, un número chiquitito que es la base del logaritmo y un número pues del mismo tamaño que la etiqueta log, ¿vale?
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Esto se lee logaritmo en base a de b y el logaritmo es como hemos dicho un exponente.
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Es el exponente al que yo elevo la base del logaritmo para obtener el número que hemos puesto aquí en verde que llamamos argumento del logaritmo, ¿vale?
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Exponente al que elevo la base para obtener el argumento.
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Logaritmo en cierta base de un argumento es un exponente, que es al que yo elevo la base para obtener el argumento.
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Bueno, vamos a ver si con estos ejemplos pilláis el concepto.
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Lo primero que nos piden es calcular el logaritmo en base 2 de 32.
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Si yo aplico la fórmula, logaritmo en base 2 de 32 va a ser el número al que yo elevo 2, ¿vale?
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Un número al que yo elevo aquí, o sea, 2 lo elevo a un número y obtengo 32.
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Entonces, si pensamos un poco, 32 es una potencia de 2.
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¿Cuántas veces he tenido que multiplicar 2 por sí mismo para obtener 32?
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Si me hace falta lo factorizo, ¿vale?
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Bueno, este por ser el primero lo factorizaríamos, ¿vale? Pero yo creo que 32 ya ha salido alguna vez en clase y ya os suena de otras veces, ¿de acuerdo? Y ya sabemos que 32 es lo mismo que 2 a la quinta, ¿vale? 2 elevado a 5, ¿de acuerdo?
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Entonces, este logaritmo sería 5, ¿vale? Porque yo he tenido que elevar 2 a 5 para obtener 32, ¿de acuerdo?
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Bueno, creo que con las potencias de 10 vamos a ir más fácil.
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Logaritmo en base 10 de un millón. Bueno, ¿a qué exponente yo tengo que elevar 10 para obtener un millón?
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Pues bueno, ya sabéis que con las potencias de base 10 es tan fácil como contar ceros, ¿vale?
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Ya sabéis que yo en este caso tendré que elevar el 10 a 6, ¿vale?
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Para obtener un millón.
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La base del logaritmo se eleva al propio logaritmo para obtener el argumento.
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El 10 se eleva a 6 para obtener un millón.
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Por tanto, el logaritmo en base 10 de un millón es 6, ¿vale?
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El logaritmo es el exponente.
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Venga, vamos a ver más ejemplos
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En este caso, el logaritmo en base 2 de 2
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¿A qué número yo elevo la base?
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Mirad, la base la verdad es que es una cosa bastante fácil
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Porque la base del logaritmo luego hace las veces de base de la potencia
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¿A qué número yo elevo el 2 para obtener también 2?
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Pues este es muy fácil porque ya sabéis que cualquier número naturalmente está elevado a 1
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Entonces el logaritmo en base 2 de 2 es 1
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Y esto sucede igual para cualquier logaritmo en el que coincida la base y el argumento
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Si a mí me pidieran logaritmo en base 7 de 7 es 1
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¿Por qué? Porque 7 elevado a 1 es 7
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Si me piden el logaritmo en base 325 de 325 es 1
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Porque 325 elevado a 1 es 325
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¿De acuerdo? Yo creo que lo estáis pillando
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Creo, tengo fe, sí, seguro que estoy bien.
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Vale, vamos a ver ahora el logaritmo en base 5 de 1.
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Por ejemplo, pues venga, ¿a qué número tengo que elevar yo el 5 para obtener como resultado 1?
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Venga, pues a poco que penséis, yo creo que os sale que el logaritmo en base 5 de 1 tiene que ser 0.
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¿Por qué? Porque yo el 5, si lo elevo a 0, obtengo 1.
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¿Vale? Y esto sucedería igual para cualquier logaritmo en el que la base sea cualquier número,
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bueno, ahora después veremos que tiene que ser obligatoriamente positivo, y el argumento sea 1.
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Por ejemplo, logaritmo en base 2000 de 1 es 0, porque 2000 elevado a 0 es 1, ¿vale?
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Esto parece un trabalenguas o parece una especie de acertijo, pero yo de verdad que espero que lo estéis pillando.
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Bien, vamos ahora con el siguiente, vamos a bajar por aquí un poquillo, que ya nos quedan solo dos
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Bien, me piden ahora logaritmo en base 2 de un medio
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¿A qué número yo tendré que elevar 2, que es la base, a qué número lo elevo para obtener un medio?
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Venga, este es un poquito más difícil, ¿vale?
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Porque me ponen aquí un medio, bueno, vale, es que un medio yo creo que desde hace unos años lo sabéis reescribir de otra manera
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¿Vale? Porque ya sabéis que cuando tengo números inversos, esto sale de que aquí en algún momento ha habido un exponente negativo.
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O sea, si yo tengo aquí 1 dividido de 2, es lo mismo que darle la vuelta y tener escrito 2 elevado a menos 1.
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¿Vale? Entonces, si lo reescribís de esta manera, pues ya se ve bien fácil que el exponente es menos 1.
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¿Vale? Cuando yo cojo el 2 y lo elevo a menos 1, esto se escribe como un medio, ¿vale?
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Entonces logaritmo en base 2 de un medio es menos 1, repito, porque 2 elevado a menos 1 es un medio.
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Venga, vamos con el último ejemplo en el que me piden a qué número tengo que elevar 3 para que me dé raíz de 3.
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Bueno, escribo 3 elevado a algo, ¿vale? que va a ser el logaritmo y después de esto tengo que obtener raíz de 3.
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Bueno, aquí esto nos puede parecer difícil, pero si reflejamos un poco la memoria y volvemos a 15 días atrás,
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cuando vimos que un radical se podía reescribir como una potencia de exponente fraccionario,
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aprendíamos que si tengo raíz cuadrada de 3, aquí es como si tuviera un 2 y aquí es como si tuviera un 1,
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Y puedo escribir raíz cuadrada de 3 como 3 elevado a 1 medio, por tanto, el logaritmo, ¿vale? Pues una vez que reescribimos eso, aquí ya coincide y el logaritmo en base 3 de raíz de 3 es 1 medio, porque si yo tomo el 3, a ver, cojo 3 y lo elevo a 1 medio, ya sabéis que esto se transforma en raíz de 3, que sería el argumento que me pedían, ¿vale?
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Bueno, igual que este ejemplo haremos muchos en clase, ¿de acuerdo?
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Pues nos pondrán aquí argumentos más o menos dificilillos y tendremos que encontrar los logaritmos
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También aprenderemos a hacerlo con la calculadora
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Bueno, nos vamos a encontrar otros ejercicios en los que nos piden averiguar la base de un logaritmo
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Antes de verlos tenéis que saber que la base de un logaritmo en principio no puede ser cualquier número real, ¿vale?
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Sino que tenemos restricciones
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Estas restricciones nos dicen que la base siempre tiene que ser un número estrictamente positivo y distinto de 1, ¿vale?
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No existen los logaritmos en base 1 porque es que ya sabéis que 1 elevado a lo que sea siempre me da 1,
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entonces entraríamos ahí en un bucle raro, ¿de acuerdo?
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Vamos a ver unos cuantos ejemplos.
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Para hacer estos ejemplos lo que vamos a tener es que usar un poquito dotes adivinatorias o como mucho apoyarnos en la factorización, ¿vale?
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Bueno, en este caso, si me piden el logaritmo en base a indeterminada de 125 y me dicen que es 3, tengo que encontrar el número al cual yo cuando lo elevo a 3 obtengo 125, ¿vale?
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Bueno, en este caso, si nos hace falta, podemos intentar factorizar el 125, a ver qué pasa, y, pues, chicos, enseguida nos damos cuenta de que 125 es lo mismo que 5 al cubo, qué suerte que el exponente coincide con el que me decían que era el logaritmo, entonces, esto es perfecto, ¿vale?, tan perfecto como que el número que busco, la base que busco, es 5, porque yo, cuando el 5 lo elevo a 3, obtengo 125.
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Cuando 5 lo elevo a 3 obtengo 125
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Vamos a hacer otro, venga, nos piden ahora logaritmo en base a de 64
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Y me dicen que es 6, vale, venga pues nada
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Voy a intentar factorizar el 64 a ver qué pasa
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Yo creo que esta factorización, algunos ya
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Las potencias de 2 yo creo que nos las
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Si no nos las sabemos es bastante recomendable, vale
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Entonces a poquito que factorizo el 64 me doy cuenta
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de que 64 no es más que 2 a la sexta, ¿vale?
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Genial, porque coincide con el logaritmo, o sea, el logaritmo era 6,
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que coincide con el exponente que buscaba, ¿vale?
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Entonces, acabo de descubrir que 64 es lo mismo que 2 a la sexta, ¿vale?
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Por tanto, la base que yo buscaba es 2, ¿de acuerdo?
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Continuamos, mira, ahora nos ponen el mismo ejercicio,
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solo que nos dicen que el logaritmo es 3, ¿vale?
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¿Qué número cuando yo lo elevo a 3 obtengo 64?
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Aquí va a haber que pensar un poquillo más, ¿vale?
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Bueno, por lo que va a haber que pensar no es ni más ni menos que, bueno, intentar, como ya sabemos que 64 es 2 a la sexta,
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¿podríamos hacer aquí tres grupos de alguna manera y obtener una base?
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Yo creo que a poquillo que penséis os dais cuenta de que 64 también se puede escribir como 4 por 4 por 4,
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Es decir, 4 al cubo. Como el logaritmo era 3, ¿vale? La base que va con este exponente tiene que ser el 4, ¿vale?
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Por tanto, la base que yo he buscado aquí es 4, ¿de acuerdo?
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Y por último nos piden ahora una base a la que elevar, o sea, un número que cuando yo elevo a 4 obtengo 1 partido de 16.
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Bueno, esto va a ser aquí más difícil
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Vamos, bueno, no va a ser más difícil, a ver
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Un poquito, pero vamos, que yo creo que tampoco, bueno
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A ver, vosotros sabéis que cuando yo tengo un número elevado a un exponente negativo
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Puedo reescribir esto de aquí de esta manera
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1 partido de a elevado a 4, ¿verdad?
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Y de esta manera ya he conseguido reescribir una fracción
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De forma que puedo identificar más fácil aquí los denominadores
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La verdad que el acertijo se me simplifica un poco.
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¿Qué número cuando yo lo elevo a 4 obtengo 16?
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Bueno, este no vamos a factorizar ni nada porque yo creo que tiene que estar ya bastante claro que la base va a ser 2, ¿vale?
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¿Por qué? Porque cuando yo, si yo cojo el 2 y lo elevo a menos 4, ¿vale?
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Realmente lo que tendría que ser 1 partido de 2 elevado a 4, que es 1 partido de 16, que era el argumento que yo buscaba.
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Por tanto, aquí la base, estos.
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Venga, y vamos muy deprisa, muy deprisa a estudiar alguna restricción y alguna norma sobre el argumento de los logaritmos.
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Mira, chicos, el argumento de un logaritmo siempre, siempre, siempre tiene que ser un número mayor o igual que 0.
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O sea, si os pongo un logaritmo en el que el argumento sea negativo, os estoy trolleando, ¿vale?
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Porque eso no se puede calcular, ¿vale?
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No existen los logaritmos de números negativos, ¿vale?
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Si, bueno, ya os contaré un poquillo más en profundidad por qué, ¿de acuerdo?
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Entonces, chicos, resolver este tipo, o sea, cuando a mí me pongan una incógnita en el lugar del argumento es ultra fácil,
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porque es que simplemente con aplicar la definición de logaritmo voy a descubrir quién es el argumento.
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El logaritmo en base 3 de b es 3 cuando yo tomo el 3, lo elevo a 3 y entonces obtengo b.
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¿Quién va a ser b? Pues 3 elevado a 3, 3 por 3 por 3, que es 27.
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¿Vale? Así de fácil. ¿De acuerdo?
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Vamos con el siguiente que sería logaritmo en base 1 quinto de 2.
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El logaritmo en base de un quinto de b tiene que ser 2, es decir, cuando yo la base la elevo al logaritmo obtengo el argumento.
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¿Qué obtengo cuando elevo un quinto a 2? Pues bueno, ya sabéis que lo que obtengo es 1 elevado a 2 entre 5 elevado a 2, es decir, 1 partido de 25.
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Por tanto, aquí el argumento será 1 partido de 25.
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El logaritmo en base a un quinto de 1 partido de 25 es 2 porque un quinto elevado a 2 es 1 partido de 25
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Venga y por último me piden logaritmo en base a 8 de b tiene que ser un medio
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Es decir yo 8 lo elevo un medio para obtener b
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Pues quien será b pues 8 elevado a un medio que simplemente lo reescribimos
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Porque ya sabéis que cuando me encuentro una potencia exponente fraccionario
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¿Vale? Pues simplemente lo puedo escribir como radical
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¿De acuerdo? Entonces, aquí ya, pues nada, muy fácil
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El logaritmo en base 8 de raíz cuadrada de 8 es 1 medio
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Porque 8 elevado a 1 medio es raíz de 8
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¿Vale?
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- Subido por:
- Beatriz N.
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- Fecha:
- 8 de octubre de 2020 - 19:39
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