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matrices conmutativas - Contenido educativo
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En este ejercicio nos dan una matriz, en este caso 2x2, y nos dice que encontremos todas las matrices B conmutativas con A,
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es decir, que cumplan que A por B es igual a B por A.
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Conmutativo es eso, A por B igual a B por A.
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Como tiene que ser conmutativa, como la matriz A es de 2x2, como la matriz A es 0, 3, menos 2, 1,
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Nuestra matriz B tiene que ser también una matriz de 2 por 2
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Para que poder multiplicar tanto A por B como B por A
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Entonces, como no sabemos cuál es, pues la vamos a llamar como A, B, C y D
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No conocemos ninguno de sus elementos, porque no nos da ninguno
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Entonces vamos a poner eso
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Entonces, lo que vamos a hacer, para saber que son conmutativas
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Vamos a calcular A por B por un lado
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es decir, 0, 3, menos 2, 1, por A, B, C, D, y por otro lado vamos a hacer B por A, es decir, A, B, C, D, por el 0, 3, menos 2, 1.
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Recordamos que para multiplicar matrices se multiplican filas por columnas.
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Es decir, 0 por A más 3 por C.
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Segundo elemento, como es la primera fila con la segunda columna, pues multiplicamos primera fila con segunda columna.
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0 por B más 3 por D.
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Ahora, como tenemos segunda fila, primera columna, pues multiplicamos segunda fila por primera columna.
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menos 2 por A más C y por último la segunda fila por la segunda columna, menos 2 por B más C.
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Es decir, nos ha quedado 3C, 3D, menos 2A más C y menos 2B más C.
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Haciendo lo mismo con la otra matriz, nos queda, primera columna, ya directamente la ponemos,
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menos 2B, 3A más B, menos 2D y 3C más D.
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Bueno, hemos dicho que las dos cosas tienen que coincidir.
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Para que dos matrices sean iguales, tienen que coincidir que coincidan término a término.
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Es decir, ahora tiene que coincidir, pues primer elemento, tenemos por un lado tenemos 3C y por otro lado tenemos menos 2B.
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Ahora, en el segundo, otra ecuación que vamos a sacar, un poquito esto, para tener espacio, tenemos que el 3D es igual a 3A más B.
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Por otro lado tenemos que menos 2A más C es igual a menos 2D y del último decremento, menos 2B más D es igual a 3C más D.
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Una vez que ya tenemos estas cuatro ecuaciones, pues vamos a buscar relaciones en ellas.
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A ver si alguna de ellas se nos va porque son repetidas.
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En este caso, pues si nos fijamos en la última ecuación, como tenemos el más d, lo pasamos al otro lado y se nos va.
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Este más d con este más d se nos va y nos queda menos 2b es igual a 3c, que es exactamente lo que tenemos en la primera ecuación.
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Por tanto, esta ecuación, como es exactamente igual que la primera, la podemos eliminar.
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Entonces, ya de aquí tenemos una... de la primera vamos a sacar una ecuación.
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Vamos a sacar que C es igual a menos 2 partido por 3 por B.
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Ya tenemos aquí una relación de una letra con otra.
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Vale. Vamos a continuar.
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utilizando eso que hemos obtenido, voy a cambiar esta c por el menos 2 partido por 3 partido por b.
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Entonces, esta ecuación de aquí, la tercera, se nos queda menos 2a menos 2 tercios de b igual a menos 2 por d.
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Si despejamos esa d, pasamos el menos 2 dividiendo, menos 2 partido por b, partido por 3 por 2, igual a d, con el menos, perdón, me falta aquí el menos de ahí.
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Entonces, ¿qué nos queda en esta ecuación? Que d es igual a a más b partido por 3.
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Si de la segunda despejamos la D, es decir, nos queda también que D es igual a 3A partido por 3 más B partido por 3, es decir, A más B partido por 3.
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que al ser igual que la que tenemos abajo, la podemos eliminar.
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Y nos hemos quedado solamente con dos ecuaciones.
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Las dos ecuaciones que nos hemos quedado son c es igual a menos 2 tercios partido por b,
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y que d es igual a a más b partido por 3.
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Estas son las relaciones que cumplen todas las matrices que son conmutativas
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Vamos a ver, entonces, como B era A, B, C y D
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Pues vamos a quedarnos solamente con algunas letras
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Y las otras letras las ponemos en función de lo que hemos obtenido de estas
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¿Con qué letras nos vamos a quedar?
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Pues en este caso, como en estas ecuaciones
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Entonces, tenemos que D es igual a A más B, y aquí también aparece la B, pues nos vamos a quedar con la A y con la B.
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Y vamos a poner C como menos 2 tercios partido por B y D como lo que tenemos ahí.
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Por tanto, nuestra solución B es la matriz A, B, como C ponemos menos 2 tercios de B, y como el D ponemos A más B partido por 3.
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Y esta es la solución. ¿Qué significa? Que dependiendo los valores que demos a A y a B, pues vamos a tener una matriz u otra. Tenemos infinitas matrices.
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Hay algunas, por ejemplo, si nosotros damos dentro de esta matriz, nos piden algunos casos particulares, pues nosotros podemos decir, por ejemplo, el ejercicio estaría acabado.
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Estas son todas las matrices, ¿vale? Pero, por ejemplo, podemos decir, vamos a escribirlo en negro, podemos decir, por ejemplo, un caso particular, si A es igual a 1 y B es igual a 0, ¿qué matriz nos queda?
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sustituyendo
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tenemos 1, 0
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como la b vale 0, nos queda 0
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y aquí nos queda 1
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que es igual a la matriz de identidad
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que esa es una que siempre es
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conmutativa
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otra que siempre
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nos tiene que aparecer es si a es
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igual a 0 y b es igual a 0
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que nos quedaría
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en este caso la matriz
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0, 0, 0, 0, la matriz 1
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¿vale?
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Si nos están pidiendo una matriz que sea completamente, una matriz conmutativa que sea distinta de la nula, pues tendríamos que elegir otros valores cualesquiera.
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Da lo mismo los que corregimos. Por ejemplo, podemos elegir A igual a 1 y también B igual a 1.
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Entonces la B nos quedaría 1, 1, menos 2 tercios, 1 más 1 tercio, son 4 tercios.
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Y esta tendríamos otra matriz que es conmutativa.
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Y así es como hacemos los ejercicios de las matrices conmutativas.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Rafael Oliver
- Subido por:
- Rafael O.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 31
- Fecha:
- 22 de septiembre de 2024 - 19:10
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES LAS AMÉRICAS
- Duración:
- 09′ 45″
- Relación de aspecto:
- 2.03:1
- Resolución:
- 3192x1576 píxeles
- Tamaño:
- 64.13 MBytes
