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Ejercicios de matrices y determinantes - Contenido educativo

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Subido el 31 de octubre de 2020 por Rafael O.

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Vamos a ver unos ejercicios de matrices y determinantes. 00:00:00
El primer ejercicio nos dice estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro. 00:00:04
Lo primero que vamos a hacer es buscar un menor de orden 2, es decir, que es una matriz 2x2, que sea distinto de 0, cuyo determinante tiene que ser distinto de 0. 00:00:10
Por ejemplo, vamos a elegir el menos 1, 2, 0, 2, que lo tenemos en la segunda. 00:00:21
Y tercera columna y primera y segunda fila, menos uno, dos, cero. 00:00:27
Si hacemos este determinante nos sale menos uno por dos, menos dos, menos cero por dos, cero, es decir, menos dos, es igual a cero. 00:00:34
Eso lo que significa es que el rango de A de la matriz es mayor o igual que dos para todo el valor de A, pues el parámetro A no interfiere. 00:00:47
Tenemos que tener en cuenta que podríamos haber elegido cualquier menor de orden 2 00:00:57
y que para elegirlo no tienen por qué estar juntos, una fila contra la otra. 00:01:03
Podríamos haber elegido, por ejemplo, el menor formado por el 2 menos 1, que está en la segunda columna, 00:01:07
y el 0 menos 3, que está en la cuarta columna. 00:01:15
Eso sí, tiene que ser que los cuatro números estén en dos filas y dos columnas. 00:01:18
Ahora que ya hemos encontrado un menor de orden 2 vamos a buscar menores de orden 3 y vamos a hacerlo ampliando las filas y columnas del menor elegido anteriormente. 00:01:23
Es decir, tenemos, por ejemplo, la columna del menos 1, 2, 0, 2, ampliamos para tener las dos columnas y elegimos una columna más. 00:01:35
En este caso, cogemos la primera columna. 00:01:47
O, la otra opción es, como teníamos la segunda y la tercera columna, coger la segunda y la tercera y coger también la cuarta columna. 00:01:50
Veamos el determinante de arriba. 00:01:57
Si hacemos el determinante, tenemos que 1 por 2 por a menos 1 es 2 por a menos 1. 00:02:01
Haciendo Sarrus, luego ponemos menos 2 más 0, pasamos al negativo, menos 0, menos 2 por menos 1 por 1 que es más 2, menos 1 por a menos 1 por a menos 1. 00:02:06
desarrollamos esto, nos sale que es 2 por a, menos 2, menos 2, más 2, más a al cuadrado, menos 2a, más 1, 00:02:24
es decir, a al cuadrado, menos 1. 00:02:34
Igualamos a 0, para ver cuándo se anula, y obtenemos que a se anula cuando la a es igual a más o menos 1. 00:02:37
Vamos a ver qué pasa cuando hacemos por otro determinante. 00:02:48
resolvemos también por sarros 00:02:51
haciendo el determinante 00:02:53
la primera diagonal 00:02:55
y los dos triangulitos 00:02:56
menos la segunda diagonal 00:02:59
con los triangulitos 00:03:02
nos sale 6 menos 4 00:03:03
6 más 4a menos 2 al cuadrado 00:03:05
menos 4 menos 2a 00:03:07
más 4 menos 2a 00:03:08
que he jugado apropando 00:03:10
nos sale menos 2 al cuadrado 00:03:14
más 4a más 6 00:03:15
que si lo igualamos a 0 00:03:16
obtenemos que las soluciones son 00:03:18
a igual a menos 1 00:03:21
o a igual a 3 00:03:22
nos fijamos en que momento 00:03:24
para que valores de a coincide 00:03:26
en este caso solamente coincide 00:03:28
para a igual a menos 1 00:03:30
eso quiere decir que para cualquier 00:03:32
valor que sea distinto 00:03:35
del menos 1, el rango va a ser 00:03:37
3, porque por ejemplo 00:03:39
si tenemos a igual a 3 00:03:41
esto se nos hace 0 00:03:43
pero en este de arriba 00:03:44
es distinto a 0 00:03:46
por tanto el rango será 3 00:03:48
pasa lo mismo con el más 1 00:03:50
Aquí nos sale cero, pero en el de abajo nos sale distinto de cero. 00:03:52
Y como en los dos nos sale que a es igual a menos uno, pues el rango de a es igual a dos si a es igual a menos uno. 00:03:57
Porque ya hemos probado que a eso es un determinante menor de orden dos que es distinto de cero. 00:04:05
Pues esto sería estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro a. 00:04:13
Pasemos al siguiente ejercicio. 00:04:19
El siguiente ejercicio es una ecuación matricial. 00:04:20
Nos dan estos elementos y tenemos que ir resolviendo. 00:04:25
Resolver una ecuación matricial significa encontrar los valores de la matriz X. 00:04:29
Estamos hablando que una X es una matriz. 00:04:35
En este caso, dos bordes. 00:04:39
Pues tenemos que despejar la X. 00:04:42
Para despejar la X, lo primero que vamos a hacer es calcular el cuadrado de la matriz que tenemos. 00:04:44
Calculamos el cuadrado, es decir, 3 menos 2, 1 menos 1 por la misma matriz, que es igual a primera fila por primera columna, 3 por 3 más menos 2 por 1, 00:04:49
Primera fila por la segunda columna, 3 por menos 2 más menos 2 por menos 1. 00:05:05
Segunda fila por primera columna, 1 por 3 más menos 1 por 1. 00:05:11
Y segunda fila por segunda columna, 1 por menos 2 más menos 1 por menos 1. 00:05:18
Hacemos las cuentas y nos queda que 3, 1, menos 2, menos 1 al cuadrado es 7, menos 4, 2, menos 1. 00:05:24
sustituimos en la ecuación 00:05:31
y vamos a despejar la x 00:05:34
y lo que tiene los términos 00:05:36
como en una ecuación de primer grado 00:05:37
los términos que tienen x a un lado 00:05:39
lo que no tiene x a otro 00:05:40
pasamos la matriz de 7 menos 4 00:05:42
2 menos 1 al otro lado 00:05:45
como estaba sumando 00:05:46
pasa restando 00:05:47
hacemos la cuenta 00:05:49
una resta 00:05:51
4 menos 7 son menos 3 00:05:52
menos 1 menos menos 4 son más 3 00:05:54
menos 3 menos 2 son menos 5 00:05:56
y menos 2 menos menos 1 son menos 1 00:05:58
y ahora tenemos que despejar la x teniendo en cuenta que no podemos dividir matrices sino que tenemos que multiplicar por la inversa 00:06:01
y que hay que tener en cuenta que el producto de la matriz no es conmutativo. 00:06:10
Es decir, que si nosotros tenemos a por x igual a b tenemos que multiplicar por a menos 1 por la izquierda 00:06:14
y si tenemos x por a igual a b tenemos que multiplicar por a menos 1 por la derecha. 00:06:23
Entonces, en este caso, vamos a calcular primero cuánto vale la inversa de la matriz que multiplica la x. 00:06:29
Para ello, pues la fórmula es el adjunto de la matriz traspuesta, partido por su determinante. 00:06:37
La traspuesta del adjunto de ellas es 0, menos 2, menos 1, menos 1, y el determinante nos sale menos 2. 00:06:46
entonces midiéndolo sale 0 entre menos 2, 0, menos 2 entre menos 2, 1, menos 1 entre menos 2, 1 medio, igual 00:06:54
luego por tanto x es igual a la inversa, recordamos como estábamos a la izquierda 00:07:03
la matriz la tenemos a la izquierda, tenemos que ponerlo, la inversa la tenemos que poner a la izquierda de la matriz B 00:07:11
y ahora una vez que ya tenemos eso, sustituimos la inversa por su valor y hacemos la multiplicación 00:07:17
Y obtenemos que nos sale menos 5, menos 1, menos 4, menos 1. 00:07:24
Entonces el valor de X es esta. 00:07:29
El siguiente ejercicio es un ejercicio típico de Evang. 00:07:32
Es de los más importantes. 00:07:41
Nos dan una matriz y nos dicen que calculemos para qué valores reales A la matriz tiene inversa. 00:07:43
y después nos pide también que lo calculemos si es posible para un valor determinado, en este caso para A igual a 2. 00:07:51
Pero primero, para saber si tiene matriz inversa, tenemos que ver que su determinante sea distinto de 5. 00:07:59
El determinante, aplicamos Sarrus y por Sarrus nos sale que es menos 2A más 0 menos 2 más A por A menos 2 menos 3 menos 0 igual a, 00:08:07
Bueno, desarrollamos esto, menos 2a menos 2, más a al cuadrado menos 2a menos 3, es decir, al cuadrado menos 4a menos 5. 00:08:17
Igualamos eso a 0 y obtenemos dos soluciones, a igual a 5 o a igual a menos 1. 00:08:26
¿Qué significa eso? Pues que la matriz tiene inversa si a es distinto de 5 y si a es distinto de menos 1. 00:08:33
Pues vamos ya, ya tenemos la primera parte. Vamos a la segunda. 00:08:46
¿Qué pasa si A vale 2? Vamos a calcular con una inversa. 00:08:49
Entonces, la matriz A, si A vale 2, sustituyendo, se nos convierte en esta matriz. 00:08:54
Leyéndolo por filas, 1, 0, menos 1, 2, 2, 3, 0, 1, menos 2. 00:08:59
La inversa, recordamos, es el adjunto de la traspuesta partido del determinante. 00:09:07
Calculemos el determinante. 00:09:14
Como ya habíamos obtenido que el determinante de la matriz A es al cuadrado menos 4A menos 5, sustituimos A por 2. 00:09:15
2 al cuadrado menos 4 por 2, menos 5, es decir, menos 1. 00:09:22
Calculamos la matriz adjunta. 00:09:28
Para calcular la matriz adjunta recordamos, si es el primer elemento, lo que tenemos que hacer es el determinante del menor que nos queda al tachar la primera fila con la primera columna. 00:09:29
En este caso, 2 por menos 2, es decir, menos 4, menos 3 por 1, menos 3, es decir, menos 4, menos 3, menos 7. 00:09:41
Recordamos que para calcular el siguiente elemento hay que poner un negativo. 00:09:51
Entonces, si reconocemos el 0, tachamos la primera fila a la segunda columna y nos queda 2 por menos 2, menos 4. 00:09:56
El valor del determinante es menos 4, pero como es el segundo elemento, tenemos que ponerlo menos menos 4, es decir, más 4. 00:10:02
Y así vamos procediendo con todo. Calculando los determinantes, están echando la fila y la columna correspondiente al número que queremos. 00:10:10
Sustituimos en la fórmula y nos queda menos 7, 4, 2, menos la matriz adjunta y tenemos que hacer su traspuesta. 00:10:20
Para hacer la traspuesta, pues es cambiar las filas por las columnas. 00:10:28
Y al dividir entre el determinante que es menos 9, nos queda que la matriz inversa es 7 novenos menos 1 noveno, 2 novenos, menos 4 novenos, 2 novenos, 5 novenos, menos 2 novenos, 1 noveno, menos 2 novenos. 00:10:31
Y ya está resuelto el ejercicio. Solamente tiene inversa si la A es distinto de menos 1 y menos 5, perdón, y 5 a la vez, y la inversa para la A igual a 2 es lo que tenemos. 00:10:49
Otro ejercicio es que nos dan una matriz y nos piden calcular la potencia enésima de esa matriz. 00:11:03
¿Qué vamos a hacer? Pues vamos a calcular cuánto es B al cuadrado, B al cubo, así sucesivamente hasta que encontremos un patrón o la matriz sin unidad. 00:11:15
Vamos a ello, pues hacemos b al cuadrado, pues es la matriz b por la matriz b, que hacemos la cuenta y en este caso nos queda 4, 4, menos 4, 4, 4, menos 4, 4, 4, menos 4 00:11:24
Simplemente al hacer la matriz cuadrada es muy difícil darse cuenta del patrón, entonces vamos a hacer b al cubo 00:11:37
B al cubo es B al cuadrado por B. 00:11:45
Multiplicamos y en este caso tenemos 8, 8 menos 8 en cada una de las filas. 00:11:49
Ahora ya podemos empezar pensando. 00:11:55
Entonces tenemos que se va produciendo que la primera, para B igual a 1 nos quedan 2, 00:11:58
todos son 12, para B igual a 2 son, para N igual a 2 todos son 4, 00:12:03
para N igual a 2 todos son 3, es lo mismo que poner 2 elevado a 1, 2 elevado a 2, 2 elevado a 3, 00:12:09
por lo que nos hace pensar que puede ser 2 elevado a n. 00:12:14
Entonces la matriz B elevado a n, pues la vamos a escribir como 2 elevado a n, 2 elevado a n, menos 2 elevado a n. 00:12:20
Y así en cada una de las filas. 00:12:29
¿Qué pasa si no vemos el patrón con B al cubo? 00:12:34
Pues lo que vamos a hacer es seguir con B elevado a 4, elevado a 4, B elevado a 5, 00:12:37
hasta que nosotros nos demos cuenta de cuál puede ser el patrón. 00:12:41
En este caso, el ejercicio nos da dos matrices, la matriz A y la matriz B, y nos dice que el determinante de B es B-3. 00:12:44
Nos va a calcular la matriz C, que está formada por letra. 00:12:55
Lo que tenemos que conseguir es poner la matriz C en función de la matriz B, que es de la que nos dan los datos. 00:12:58
Para ello, ponemos el determinante de C y vamos a aplicar las propiedades de los determinantes. 00:13:06
Una de las propiedades nos dice que cuando en una fila o en una columna hay una suma o una resta, 00:13:12
lo podemos separar en dos determinantes. 00:13:17
En este caso tenemos en la primera columna una serie de restas, 00:13:19
pues podemos separarlo en un determinante donde ponemos en la primera columna el primer sumando 00:13:22
y las otras dos columnas como están, menos el segundo sumando y las dos columnas como están. 00:13:29
Una vez que ya tenemos esto, nos fijamos en el segundo sumando y vemos que ya tenemos dos columnas que son iguales. 00:13:38
B, E, H es igual a B, E, H, entonces esto sabemos que el determinante es 0. 00:13:46
Por tanto, nos queda simplemente la primera, el primer determinante. 00:13:52
Ahora vamos a aplicar una propiedad que, si nos fijamos en la segunda columna, todos están multiplicados por 2. 00:13:57
entonces lo que nos dice esta propiedad es que podemos sacar el 2 fuera del determinante. 00:14:04
Por último, es nuestro determinante y nos fijamos en la matriz que nos da desde el origen 00:14:13
y vemos que la diferencia entre uno y otro es que la segunda y la tercera columna están cambiadas. 00:14:18
Por eso aplicamos la última propiedad que tenemos, 00:14:27
que es que si intercambiamos dos filas o columnas, cambia el signo del determinante. 00:14:30
Por tanto, se nos convierte en menos y ya nos queda el determinante de la matriz B. 00:14:34
Por tanto, nos queda menos 2 por menos 3, 6. 00:14:41
Es decir, que el determinante de la matriz C vale 6. 00:14:44
En el segundo apartado nos dicen que D es un producto de matrices A por B por A menos 1. 00:14:50
Nos piden calcular el determinante de D elevado a 4. 00:14:56
si hacemos la multiplicación 00:14:59
calculamos la inversa, hacemos la multiplicación 00:15:01
y luego elevamos el 4, es muy largo 00:15:04
entonces lo que vamos a hacer es aplicar las propiedades 00:15:06
de los determinantes 00:15:08
cuando tenemos 00:15:09
el determinante de una potencia 00:15:10
por las propiedades de los determinantes 00:15:13
multiplicando los determinantes 00:15:15
el determinante de un producto es el producto 00:15:17
de los determinantes 00:15:20
pues conseguimos sacar la potencia 00:15:21
entonces 00:15:23
vamos a calcular simplemente el determinante de E 00:15:26
entonces tenemos D igual a 00:15:29
un producto y como hemos dicho 00:15:32
el producto es el producto de los determinantes 00:15:34
por lo tanto 00:15:37
los podemos separar 00:15:38
ahora nos damos cuenta que tenemos 00:15:39
en uno de ellos tenemos el determinante de A 00:15:42
de la inversa de A 00:15:44
entonces eso, el determinante de la inversa de A 00:15:46
es 1 partido por el determinante de A 00:15:49
al sustituirlo 00:15:51
nos queda esto 00:15:53
sabemos que los determinantes son números 00:15:53
entonces como son números 00:15:56
son computativos y los podemos cambiar de orden. 00:15:58
Y entonces A partido de A, el determinante de A partido del determinante de A es 1. 00:16:01
Con lo cual nos queda B, el determinante de B. 00:16:06
Y como el determinante de B en el enunciado nos dice que es menos 3, 00:16:09
pues tenemos que el determinante de D es igual al determinante de B igual a menos 3. 00:16:12
Pero nosotros queremos el determinante de D elevado a 4. 00:16:16
Entonces simplemente elevamos el determinante de A a 4, 00:16:21
nos queda menos 3 elevado a 4, 81. 00:16:24
Y por tanto, nuestro determinante de D elevado a 4 es 81. 00:16:26
Idioma/s:
es
Autor/es:
Rafael Oliver Fernández
Subido por:
Rafael O.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
121
Fecha:
31 de octubre de 2020 - 20:47
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS AMÉRICAS
Duración:
16′ 35″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
97.14 MBytes

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