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Tema 4.- Ecuaciones y Sistemas. 3ª sesión Ec. 2º grado incompletas y problemas 04-02-2025 - Contenido educativo

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Subido el 6 de febrero de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 4 de febrero. 00:00:00
Hoy vamos a ver las ecuaciones de segundo grado incompletas, cómo se pueden resolver, 00:00:07
además de con la fórmula, de otra forma más sencilla y más cortita, 00:00:13
y luego haremos su aplicación a problemas. 00:00:18
Además de eso, vamos a ver unas propiedades de las soluciones 00:00:22
que nos van a servir para poder comprobar si los ejercicios están bien 00:00:26
Entonces, vamos a recordar primero 00:00:30
pues cómo se resolvía la ecuación de segundo grado cuando era completa 00:00:35
y cuando era completa dijimos que teníamos que utilizar 00:00:40
la fórmula de la solución 00:00:44
que era la que nos teníamos que saber bien 00:00:46
porque si no, no se podían resolver 00:00:50
y era esta formulita, menos b más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4c partido de 2a 00:00:55
donde la a es el coeficiente de las x al cuadrado, la b el coeficiente de las x y la c el término independiente 00:01:02
entonces lo primero que tenemos que hacer cuando tenga una ecuación de segundo grado es conseguir escribirla de esta forma 00:01:11
que es lo que llamamos fórmula general. Cuando la tenga escrita de esta forma, saco 00:01:19
sus coeficientes y aplico la fórmula. Bueno, pues como decía, vamos a ver qué ocurre 00:01:25
si resulta que me falta alguno de los términos. Y vamos a ir de menos a más, de más sencillas 00:01:31
a más complicadas, digamos. Tengo una ecuación de segundo grado incompleta, o sea que le 00:01:38
faltan términos donde me falta el término independiente y el término de grado 1. O sea 00:01:46
que eso es lo mismo que decir que el coeficiente b y el coeficiente c son un 0. Si yo quiero 00:01:54
aplicar la fórmula, que ahora vamos a ver en el ejemplo, tendría que coger y sustituir 00:02:06
mi fórmula es a b y es a c por un cero. 00:02:13
Bueno, pues nos lo vamos a ver 00:02:16
las dos formas de resolverlo aquí. 00:02:20
Tengo, como estábamos diciendo, 00:02:29
este caso en el que 00:02:32
el término b, ¿vale? 00:02:34
La b, a ver si me deja escribir, 00:02:40
que no quiere, la b es 0 00:02:42
y la c también es 0 00:02:47
¿vale? aquí lo vemos en el ejemplo 00:02:50
no tengo término independiente ni término de grado 1 00:02:54
pues me dice que tengo dos opciones, si yo tengo que resolver esta ecuación 00:02:58
pues puedo despejar directamente 00:03:03
la x al cuadrado, tengo que resolver esto 00:03:06
entonces resulta que el único número 00:03:11
que al multiplicarle por menos 3 me da 0 00:03:15
es un 0 y el único número que al cuadrado 00:03:19
da 0 pues es el 0, entonces sin hacer nada 00:03:23
sabemos que si estoy en este caso la solución es 0 00:03:27
nos lo decía en la clasificación 00:03:31
esta de ecuaciones incompletas, que estas ecuaciones tienen siempre 00:03:36
solución cero. Si yo os he querido hacer la ecuación 00:03:39
utilizando la fórmula 00:03:43
¿qué va a ocurrir? 00:03:47
Como decíamos, la b y la c 00:03:51
son ceros. Entonces, cuando sustituyamos 00:03:55
tengo cero más menos esa raíz cuadrada 00:03:59
de cero al cuadrado menos cuatro 00:04:03
por la a que en este caso vale menos 3 00:04:07
pero luego por la c que vale 0 00:04:10
y dividido entre 2 por menos 3 00:04:13
¿qué va a ocurrir? 00:04:16
que todo el numerador es un 0 00:04:18
entonces lo divida por lo que lo divida 00:04:20
y el resultado siempre va a ser 0 00:04:22
luego es una pérdida de tiempo 00:04:24
utilizar aquí la ecuación 00:04:28
la fórmula de la ecuación 00:04:31
es más sencillo utilizar la forma simplificada 00:04:33
que me están diciendo. ¿Vale? Entonces, esta sería una de las formas de ecuación 00:04:37
incompleta. Vamos a ver la siguiente, que es aquella en la que quien me falta es el 00:04:44
término de grado 1. ¿Vale? Lo vamos a ver aquí directamente, ya que hemos visto que 00:04:53
en la otra puedo hacer lo mismo. Me falta el término de grado 1, o sea que la b es 00:05:00
0. La a y la c son distintas de 0, pero como no hay término de grado 1, puedo decir que 00:05:05
la b es 0. Si lo hago con la fórmula, pues ni el menos b ni el b al cuadrado tendrían 00:05:11
valor, sería un 0, solo dependería de la raíz cuadrada del menos 4ac. Pero es muy 00:05:18
largo de hacer eso. Es más sencillo tratarla como una ecuación de primer grado, en la 00:05:24
Que digo, bueno, para hallar el valor de la x lo único que tengo que hacer es despejarla. 00:05:29
¿Vale? 00:05:35
¿Cómo despejo esta x de aquí? 00:05:37
Lo primero que hago, el 9 que está restando lo llevo al otro lado sumando. 00:05:39
Siguiente, el 16 que está multiplicando lo paso dividiendo. 00:05:45
Y por último, para deshacerme del cuadrado de la x, hago la operación contraria, que es la raíz. 00:05:48
entonces el resultado que yo quiero es la raíz cuadrada de 9 dieciséisavos 00:05:56
eso las puedo hacer por separado, raíz del numerador por un lado y raíz del denominador por el otro 00:06:01
y lo que sí que me tengo que hacer es acordarme de que las raíces cuadradas tienen siempre dos soluciones 00:06:06
una positiva y otra negativa, entonces la raíz cuadrada de 9 me daría más menos 3 00:06:12
la raíz cuadrada de 16 me da más menos 4, pues cuáles son entonces las soluciones que yo quiero 00:06:17
si cojo las soluciones positivas 3 cuartos 00:06:23
si cojo las negativas menos 3 cuartos 00:06:27
¿vale? entonces solamente es darse cuenta de ese detalle 00:06:31
que no me tengo que olvidar de las dos signos 00:06:35
en los resultados de la raíz, otro ejemplo 00:06:39
tengo x al cuadrado más 25, también me falta 00:06:42
el término de grado 1, luego la b es 0 00:06:47
también puedo despejar directamente las x 00:06:51
pero aquí cuando intento despejar las x, ¿qué me ocurre? 00:06:54
que el 25 que estaba sumando pasa restando 00:06:58
y si pensamos un poco, antes de ponerme a hacer cuentas aquí a lo loco 00:07:01
y si intento buscar un número que al cuadrado me dé menos 25 00:07:07
pues resulta que es imposible 00:07:14
porque 5 por 5 es 25 00:07:15
menos 5 por menos 5 también es más 25 00:07:18
O sea que nunca el cuadrado de un número puede tener resultado negativo, acordado de las propiedades de las potencias. 00:07:21
Cualquier potencia par de cualquier número me daba siempre resultado positivo. 00:07:29
Entonces, ¿qué ocurre? Que si yo hago como antes, quitar el cuadrado cambiándole por su operación inversa, que es la raíz, 00:07:34
cuando llegue a ser la raíz cuadrada de menos 25 no puedo, porque no es un número real. 00:07:43
Entonces, ¿qué ocurre en este caso? Que la ecuación no tiene solución, ¿vale? 00:07:49
Y por último vamos a ver cuando sea el término independiente el que sea cero. 00:07:55
Tengo una ecuación de segundo grado en la que no hay término independiente, o sea que la c es cero. 00:08:00
¿Cómo vamos a resolver esta ecuación? Pues lo que vamos a hacer es factorizar, 00:08:09
como hacíamos en los números compuestos 00:08:14
nada más que aquí el factor que va a ser común 00:08:18
en los dos sumandos que tenemos es la x 00:08:21
está repetida dentro del x cuadrado y está repetida en el 5x 00:08:25
¿qué hago? pues aplicar la propiedad distributiva 00:08:29
pero al revés, del final hacia el principio 00:08:33
si yo quito una x del x al cuadrado, ¿qué me queda? 00:08:36
otra x, si quito una x del menos 5x que me queda 00:08:41
el menos 5, o sea que esa x que he podido quitar de los dos términos 00:08:45
de esta ecuación la saco como factor 00:08:50
común, o sea sale multiplicando a este binomio 00:08:53
que pongo entre paréntesis, si tengo dudas de si 00:08:57
la he factorizado bien pues solo tengo que hacer la multiplicación y ver 00:09:01
que vuelvo a la ecuación original, si multiplico tengo x por x 00:09:05
X al cuadrado, X por menos 5, menos 5X. O sea que es la misma ecuación, nada más que puesta como producto de dos términos de grado 1. 00:09:09
¿Qué ocurre en estas ecuaciones? Que ahora, si yo pienso en este producto y en su resultado, que tiene que ser un 0, 00:09:20
la única forma de que el producto de los números dé 0 es que alguno de esos dos números sea un 0. 00:09:28
Pues esas son mis dos opciones 00:09:35
La primera opción, que sea la x esta que está multiplicando fuera del paréntesis, la que es 0 00:09:38
Pues ya tengo una solución, x igual a 0 00:09:43
Que, os había puesto antes, que en este tipo de ecuaciones siempre una de las soluciones es 0 00:09:47
Segunda opción, que quien se haga 0 sea el x menos 5 00:09:53
Entonces, para ver cuando x menos 5 se hace 0 00:09:58
Lo que hago es resolver esta ecuación que me queda de primer grado 00:10:02
que en este caso es muy facilito porque lo único que tengo que desplazar es la x, y este menos 5 que está restando pasa sumando. 00:10:05
Entonces, he llegado ya a las soluciones que estaba buscando. 00:10:12
Primera solución, x igual a 0. Segunda solución, x igual a 5. 00:10:17
Cualquiera de estas dos opciones va a hacer que el producto sea un 0, entonces la ecuación original también se hará 0. 00:10:23
si comprobásemos, diríamos 0 al cuadrado, 0 00:10:32
menos 5 por 0, 0, 0 menos 0, 0, sí, pues la solución 00:10:36
correcta, si pongo el 5 como solución, 5 al cuadrado, 25 00:10:40
y ahora menos 5 por 5, también 25 00:10:44
o sea que 25 menos 25, 0, luego esas dos 00:10:48
son las únicas soluciones que tiene mi ecuación de segundo grado 00:10:52
¿vale? bueno 00:10:56
Bien, antes de hacer algún ejercicio con esto, os voy a comentar otra cosa, que es las propiedades que tienen las soluciones de las ecuaciones de segundo grado y que nos son muy útiles para poder comprobar las soluciones. 00:10:59
y esas propiedades pues salen de la fórmula 00:11:15
no os voy a poner la demostración 00:11:19
tampoco os he puesto las propiedades en la teoría 00:11:21
porque no sabía si decirlo o no 00:11:24
pero bueno, en los grupos de presencial parece que les ha gustado 00:11:25
el tenerlas para poder comprobar más rápido 00:11:29
pues las cuento, son muy rápidas de hacer y de recordar 00:11:31
y si no me acordase de ellas no pasa nada 00:11:36
porque sustituyendo las soluciones en la ecuación 00:11:39
pues también puedo comprobar si el resultado está correcto o no. 00:11:42
Pero bueno, vamos a escribirlas aquí. 00:11:46
Propiedades de las soluciones en ecuaciones de segundo grado. 00:11:50
Bueno, pues la primera propiedad es que si yo multiplico las dos soluciones de la ecuación de segundo grado, 00:12:08
me tiene que salir lo mismo que si yo divido el término independiente 00:12:15
entre el coeficiente de las x al cuadrado 00:12:23
y si en lugar de multiplicar lo que hago es sumar 00:12:29
pues lo que me tiene que salir ahora es el término de grado 1 00:12:32
el coeficiente del término de grado 1 cambiado de signo 00:12:41
también dividido por el coeficiente de las x al cuadrado 00:12:44
pues esto me vale para hacer una compradación muy rápida 00:12:49
de las soluciones de la ecuación 00:12:53
vamos a buscar un ejemplo para aplicar 00:12:56
de estos ejercicios que ya tenemos por aquí hechos 00:12:59
pendiente de hacer 00:13:02
pues por ejemplo este de aquí mismo 00:13:04
no que sea completa 00:13:09
x al cuadrado más 1 00:13:12
tengo x cuadrado más 1 00:13:14
igual a 00:13:32
2 más 3x partido de 2 00:13:34
2 más 3x partido de 2 00:13:41
y así recordamos 00:13:45
cómo resolver una ecuación 00:13:47
cuando había denominadores 00:13:49
pues si os acordáis 00:13:52
en las ecuaciones de primer grado 00:13:54
y aquí era el mismo proceso 00:13:57
lo primero que hacíamos era quitar los denominadores 00:13:58
para quitar este denominador, lo que hago es el denominador común 00:14:02
que me llevaría a que tengo que multiplicar 00:14:05
ese 2 por el x cuadrado más 1 00:14:10
2 más 3x, entonces cuando teníamos los denominadores iguales 00:14:13
los podíamos quitar y quedarnos con los numeradores 00:14:21
me deshago ahora del paréntesis 00:14:24
Me quedaría 2x al cuadrado más 2 igual a 2 más 3x. 00:14:28
Ahora lo que tengo que hacer es pasar todos los términos al primer miembro para escribirlo en forma general. 00:14:35
En el lado derecho quiero un 0 y en el lado izquierdo todos los demás. 00:14:47
Lo pongo ordenado para luego poder ver bien qué son los coeficientes. 00:14:51
O sea que el 3x pasa restando y ahora tengo más 2 y menos 2 que se van a ir, van a desaparecer. 00:14:55
Entonces, fijaos, me ha quedado una ecuación de segundo grado incompleta del tipo en el que el término independiente es 0. 00:15:07
Vamos a ver las dos formas de resolverla. 00:15:23
primero, la forma reducida 00:15:24
en la que decíamos que lo que hacíamos era sacar 00:15:31
factor común, saco factor común a las x 00:15:41
entonces tengo que a ese 2x al cuadrado 00:15:45
si le quito una x me queda un 2x 00:15:51
y al menos 3x, si le quito la x me queda solo el 3 00:15:53
perdón, me queda solo el 3 00:15:58
y hemos dicho que en este tipo de ecuaciones 00:16:05
siempre una de las soluciones va a ser 0 00:16:08
¿de dónde saldrá esa solución 0? 00:16:13
puede pensar que ahora este producto de dos números 00:16:16
tiene dos opciones, que o bien la x sea 0 00:16:19
o bien todo esto sea 0, cuando es la x la que es 0 00:16:23
pues hemos terminado, esa sería mi primera solución 00:16:27
y la otra opción es 00:16:31
que sea esto quien es 0 00:16:36
el 2x menos 3 00:16:39
para resolver cuando eso se hace 0 lo que tengo que resolver es la ecuación de primer grado 00:16:42
que la resolvíamos despejando la x 00:16:48
que me queda que la x es 3 medios 00:16:52
pues esa sería mi segunda solución 00:16:55
¿vale? vamos a ver que si lo hiciésemos sin la fórmula 00:16:58
también, perdón, con la fórmula también lo podríamos resolver 00:17:03
igual, con la fórmula, que teníamos que x es igual a 00:17:07
menos b, más menos la raíz cuadrada 00:17:18
de b al cuadrado, menos 4ac, partido de 2a 00:17:21
pues, si partimos desde aquí 00:17:26
desde esta forma general de la ecuación, que es la que queríamos resolver, vemos que la A vale 2, la B vale menos 3 y la C, como habíamos dicho antes, vale 0. 00:17:30
si sustituyo en mi fórmula 00:17:50
tengo menos b, pues menos por menos me va a dar un más 00:17:54
pues más 3, b al cuadrado me va a dar 9 00:17:59
y ahora menos 4 por la a y por la c 00:18:03
que es 0, dividido entre dos veces la a 00:18:07
pues que me ha quedado 00:18:11
3 más menos la raíz cuadrada de 9 00:18:13
puesto que este producto de 4 por 2 y por 0 va a dar 0 00:18:18
y todo dividido entre 4 00:18:23
hacemos la raíz que me queda más o menos 3 00:18:29
y dividido entre 4, pues primera solución 00:18:33
saldría de coger la suma 00:18:37
3 más 3 entre 4 00:18:40
6 cuartos, que si lo simplificamos dividiendo entre 2 00:18:44
me queda el 3 medios que teníamos, el que hemos puesto antes 00:18:50
como segunda solución, da igual en el orden que las hagamos 00:18:54
y la otra opción es 3 menos 3 partido de 4 00:18:57
pues 0 partido de 4, 0 00:19:02
luego he llegado a las mismas soluciones 00:19:05
que me salieron antes cuando la hice como incompleta, pero 00:19:09
por un camino mucho más largo, vamos a comprobar las soluciones 00:19:13
utilizando las propiedades 00:19:18
de comprobación. Hemos dicho 00:19:24
que x1 por x2 me tendría que dar 00:19:31
lo mismo que c partido de a. ¿Quién es x1? 00:19:36
Pues me da igual de dónde la cojamos. En la segunda que la estamos viendo 00:19:40
tres medios. ¿Quién era x2? El cero. 00:19:44
¿Quién es la c? Cero. 00:19:49
¿quién es la A? 2, pues es verdad 00:19:51
que este 0 es igual a este 0, sí 00:19:55
luego esta primera propiedad se cumpliría 00:19:59
vamos a ver que se cumple también la segunda propiedad 00:20:02
hemos dicho que la suma de las dos soluciones 00:20:06
me tiene que dar lo mismo que menos B partido de A 00:20:12
suma de las dos soluciones, pues 3 medios que era la primera solución 00:20:16
más el cero de la segunda, me tiene que dar lo mismo que menos b 00:20:20
y como b era menos tres, pues menos menos tres 00:20:25
partido de a, que era dos 00:20:30
pues me queda tres medios, es verdad que 00:20:32
tres medios más cero es lo mismo que tres medios 00:20:36
si, pues entonces se cumplen las dos condiciones 00:20:40
y por tanto la solución es correcta 00:20:44
Pues esto nos valdría para hacerlo en cualquiera de las ecuaciones. 00:20:49
Os vuelvo a recordar que no me acuerdo de cómo es la formulita esta de la comprobación. 00:20:54
Pues lo hago sustituyendo, que valdría igual. 00:21:00
Vamos a verlo. 00:21:04
Si nosotros nos vamos a la ecuación original y digo, a ver, 0 al cuadrado, 1. 00:21:05
Perdón, 0, perdón. 00:21:15
Más 1, 1. 00:21:17
Y ahora 2 más 3 por 0, 0. 2 más 0, 2. Dividido entre 2, 1. Me saldría en los dos la misma solución. Si cojo la otra, 3 medios al cuadrado me da 9 cuartos. 9 cuartos más 1 sería 13 cuartos. Voy al otro lado. 00:21:18
2 más 3 por ese 3 medios 00:21:36
me daría 9 medios, 9 medios más 2 00:21:41
sería 13 cuartos, cuando lo divida entre 2 00:21:44
me sale la misma solución que aquí, ¿vale? o sea que 00:21:49
como queráis comprobar, bien sustituyendo 00:21:52
bien usando estas dos propiedades 00:21:56
mucho más rápido usar las propiedades que sustituyendo 00:22:00
sobre todo cuando me salen soluciones con fracciones, pero eso 00:22:05
un poco pues a gusto del consumidor, mientras comprobéis 00:22:09
las soluciones para saber que tenéis bien el ejercicio 00:22:13
a mí me vale, ¿de acuerdo? y a vosotros pues os lo dejo más tranquilo 00:22:16
que sabéis si lo habéis hecho bien o mal. Bueno, pues visto 00:22:21
esto nos vamos a ir a aplicar 00:22:25
a algún problema estas ecuaciones de segundo grado 00:22:28
y la idea es hacer lo mismo 00:22:32
que en las ecuaciones de primer grado, o sea, son los mismos 00:22:36
pasos, acordaos que decíamos, primer paso 00:22:41
tengo que coger y poner nombre a los datos desconocidos 00:22:44
para eso me fijo en por quién me están 00:22:48
preguntando, por el elemento que me pregunten normalmente 00:22:53
es el que puedo tomar como X, es el término desconocido 00:22:56
pues a partir de ahí voy tirando el hilo de los demás 00:23:00
segundo paso, una vez que hemos puesto nombre a todo lo desconocido 00:23:04
planteamos la ecuación con esos nombres 00:23:09
y las condiciones que me diga el problema 00:23:12
tercer paso, resolvíamos la ecuación, en este caso de segundo grado nos saldrá 00:23:14
bien con la fórmula si es completa, bien con estos 00:23:21
pasos abreviados si es incompleta, como queráis 00:23:24
y por último pues vamos a ver que esas soluciones cumplen la ecuación 00:23:28
pero tenemos que dar una vuelta más de tuerca 00:23:35
viendo que además de cumplirse la ecuación 00:23:38
se cumplen todas las condiciones que me decían en el problema 00:23:41
y aquí por último rematando 00:23:45
pues ver que es verdad que las dos soluciones que me van a salir en muchos casos 00:23:48
en esta ecuación de segundo grado 00:23:53
cumplen todas las condiciones del problema 00:23:54
va a haber más de una ocasión, ahora veremos algún ejemplo 00:23:57
en el que por ejemplo me hablan de edades 00:24:00
que ya nos ha pasado alguna vez y al hacer la ecuación 00:24:03
de segundo grado me va a salir una solución negativa 00:24:06
pues lógicamente esa solución negativa 00:24:09
si me están hablando de edades no me va a valer 00:24:13
porque yo no puedo tener una edad negativa 00:24:14
o resulta que cuando haga 00:24:17
la comprobación de las condiciones 00:24:22
pues me salgo de las requisitos que me dicen 00:24:24
pues os pongo otro ejemplo 00:24:29
me están pidiendo que haya dos números naturales 00:24:31
que cumplen tales condiciones 00:24:35
y resulta que al hacer la ecuación de segundo grado 00:24:37
me sale una solución negativa 00:24:40
también la tengo que descartar porque no sería un número natural 00:24:42
entonces muy importante que ese sexto paso 00:24:46
que poníamos en los pasitos de las ecuaciones 00:24:49
de reducción de problemas 00:24:52
le hagáis, que es volver a releer todo el problema 00:24:53
y ver que se cumplen todas y cada una de las condiciones 00:24:58
que me decían en el problema con esos números que me he encontrado 00:25:01
como solución. ¿Vale? Bueno, vamos a por 00:25:05
problemas que es como mejor se aprende practicando. 00:25:09
A ver, nos vamos a llevar estos dos enunciados. Venga, vamos a por el ejercicio 00:25:23
15 el primero. Me dicen el ejercicio 15 00:25:44
nos dice en el ejercicio 15 que 00:25:50
si añadimos a 24 00:25:59
5 veces un cierto número, el resultado es igual 00:26:03
al cuadrado de dicho número. Y me preguntan 00:26:08
¿cuál es ese número? Pues acordaos que os he dicho que 00:26:12
con la pregunta que me hagan es en lo que me fijo 00:26:15
para empezar a poner nombres, y aquí me dicen que busque un número 00:26:19
que no conozco, entonces el número buscado 00:26:23
le voy a llamar x, y empiezo 00:26:26
ahora a mirar las condiciones, o sea, ya he puesto el nombre a lo desconocido 00:26:34
vuelvo a releer el problema, y digo, ¿qué le tengo que hacer a ese x? 00:26:37
pues me dice que a 24 00:26:42
le añada 5 veces ese número, pues hago lo que me dice 00:26:45
aquí sí que es aún más literal que en las ecuaciones de primera rara 00:26:49
al 24 le añado 5 veces esa x 00:26:53
y cuando haga esa suma me dice que el resultado 00:27:00
tiene que ser igual al cuadrado de ese número que buscaba 00:27:04
pues hemos escrito literalmente esto que me estaban diciendo 00:27:09
tengo una ecuación de segundo grado 00:27:14
pero está desordenada, vamos a ordenarla 00:27:18
para ver si hago fórmula, si la hago como incompleta 00:27:22
lo que corresponda, pero primero colocar los términos 00:27:27
me traigo el x al cuadrado al lado izquierdo 00:27:29
detrás del x al cuadrado pongo el 5x 00:27:33
y detrás de todo el 24, y eso me quedaría 00:27:38
igualado a 0, puesto que en el miembro de la derecha 00:27:42
en el segundo miembro no ha quedado nada. ¿Qué tipo de ecuación 00:27:46
es la que me has leído? Pues una ecuación de segundo grado completa. 00:27:50
Si es ecuación de segundo grado completa, no tengo más remedio 00:27:54
que usar la fórmula. Y para poder usar la fórmula 00:27:58
lo que tengo que hacer primeramente es ver 00:28:04
quiénes son los coeficientes a, b y c 00:28:10
para poder 00:28:14
para poder hacer las cuentas. 00:28:16
Pues vemos aquí que la a vale menos 1. 00:28:26
Cuando no hay nada, el coeficiente es un 1. 00:28:32
Como tengo un menos, la ante de las x al cuadrado va a ser menos 1. 00:28:34
Los signos siempre son de números, no son de las letras, no son de las variables. 00:28:39
¿Cuáles? La b será 5 y la c será 24. Pues me vengo a mi fórmula y sustituyo. 00:28:43
Menos b, pues menos 5, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado. ¿Cuánto es 5 al cuadrado? 25. 00:28:54
menos 4 por el menos 1 00:29:04
que valía la A y por el 24 que vale la C 00:29:09
y todo ello dividido 00:29:13
entre 2 por menos 1 que valía la A 00:29:16
¿vale? seguimos por aquí para que se vea mejor 00:29:20
la X que estamos buscando es menos 5 00:29:22
más menos la raíz cuadrada de 25 00:29:27
y ahora menos 4 por menos 1 más 4 00:29:32
y por 24, lo primero, el signo positivo 00:29:35
y ahora 4 por 4 es 16, 4 por 2 es 8 y 1 es 9 00:29:40
partido de 2 por menos 1 menos 2 00:29:44
me queda menos 5 más menos 00:29:48
la raíz cuadrada, 25 más 96 00:29:52
pues va a ser 90 y 20 00:29:56
110, 6 y 5, 11, pues 121, dividido entre menos 2. 00:30:00
¿Cuánto es la raíz cuadrada de 121? 00:30:09
Pues hay una serie de numeritos que nos van a aparecer muchísimas veces, 00:30:12
y uno de ellos es este, el 121, que tiene como raíz cuadrada el menos 11. 00:30:20
Pues ya tenemos nuestras soluciones. 00:30:27
Primera solución, cojo la operación con la suma, menos 5 más 11 entre menos 2, me está quedando 6 entre menos 2, menos 3. 00:30:29
segunda solución 00:30:42
menos 5 menos 11 00:30:45
hay leches 00:30:48
menos 5 menos 11 00:30:49
entre menos 2 00:30:54
me queda menos 16 entre menos 2 00:30:56
8 positivo 00:31:01
entonces en principio 00:31:02
cualquiera de estas dos soluciones vale 00:31:05
entonces me voy al principio y digo vamos a ver 00:31:08
si me vale una sola, me valen las dos, tengo que comprobar 00:31:12
que cumplen las condiciones que me decía el ejercicio 00:31:16
digo, si añadimos a 24, 5 veces el alto número, el resultado 00:31:19
es igual que el cuadrado de hecho número 00:31:24
supongamos que quiero hacer la comprobación 00:31:26
perdón, que no me deja escribir 00:31:32
si apuro mucho, vamos a ver que valen los dos 00:31:38
y lo vamos a comprobar de las dos formas posibles 00:31:45
cuando coge x1 que era el menos 3 00:31:47
pues me dice, si al 24 00:31:54
le sumo 5 veces el menos 3 00:31:58
el resultado que nos daba era el cuadrado 00:32:03
de ese mismo número, de ese menos 3 00:32:07
pues vamos a verlo, 24, ahora 5 por menos 3 00:32:10
es menos 15 y el cuadrado de menos 3 es 9 00:32:15
24 menos 15 es 9, sí 00:32:19
vamos a ver que para x2 también se cumpliría 00:32:22
la misma historia, si al 24 00:32:27
le sumo 5 veces, en este caso ahora el 8 00:32:30
me tiene que dar lo mismo que el cuadrado de 8 00:32:35
pues vamos a verlo, 24 más 00:32:39
40 me da 64 00:32:43
que es el cuadrado de 8, pues sí, luego 00:32:48
haciendo la comprobación de las condiciones del 00:32:51
problema, hemos visto que las dos soluciones valen 00:32:56
no había ninguna restricción, si hubiese habido alguna restricción 00:33:00
como que quiero que ese número sea un número natural, pues tendríamos que 00:33:04
haber descartado al menos 3, pero como no hay ninguna restricción más 00:33:08
pues ya está, se cumplen las condiciones 00:33:11
se cumplen las propiedades que me han dicho sobre ese número 00:33:15
pues todo correcto, las dos soluciones 00:33:21
que habíamos encontrado son igual 00:33:24
de válidas, vale, entonces 00:33:29
esta es la idea, que planteé la ecuación 00:33:32
utilizando las condiciones, donde lo primero 00:33:37
que hago es poner nombre a aquello que desconozco para 00:33:41
con ese nombre que he puesto poder tirar para escribir 00:33:45
las condiciones que me dice el problema. Resuelvo la ecuación 00:33:48
con fórmula, sin fórmula, como quiera y corresponda 00:33:53
y cuando la he resuelto vuelvo a releer el problema 00:33:57
y veo si las opciones que me han salido 00:34:00
cumplen o no cumplen todas las condiciones que me decía el problema 00:34:04
que cumplen todas las condiciones, pues me voy tan contento 00:34:08
porque sé que el ejercicio está bien resuelto, que no cumplen las condiciones 00:34:12
pues tendré que ver si es porque había alguna restricción 00:34:16
que me elimina alguna de las soluciones o 00:34:20
si es que me he equivocado al hacer las operaciones o he puesto alguna condición 00:34:24
mal escrita en lenguaje algebraico, ¿vale? 00:34:28
Bueno, vamos a ver otro más para terminar, este de que el producto 00:34:32
de los números consecutivos es 272. 00:34:36
Ya hicimos alguno de estos en las ecuaciones 00:34:41
de primer grado. La única historia que tengo que hacer es aquí 00:34:44
que si son números consecutivos sin más, pues vamos a lo que llamo x y al otro 00:34:48
x más 1. O sea que aquí solo tendría que hacer x por x más 1 00:34:52
igual a 272 y resolver. Facilito. 00:34:56
Vamos a ver mejor el 17 00:35:00
que es un tipo de problema que en ecuaciones de segundo grado se va 00:35:04
a repetir mucho, que es los problemas geométricos 00:35:07
cuando tengo que calcular un área 00:35:12
y en ese área voy a tener que multiplicar los lados y al multiplicar los lados 00:35:15
me sale la ecuación de segundo grado, ¿vale? pues vamos mejor 00:35:19
a este segundo, voy a borrar por aquí 00:35:23
ay, ¿por qué no me deja? no quiero eso, voy a sacar ahí la nota esa 00:35:28
que no me la deja quitar 00:35:56
bueno, pues vamos a por ese ejercicio 17 00:35:58
y como pasaba en las ecuaciones de primer grado 00:36:06
en los problemas que sean geométricos me va a ayudar mucho 00:36:13
el hacer el dibujo para que me ordene 00:36:17
los datos, entonces me dice que tengo 00:36:20
un rectángulo, un poco mal dibujado pero ahí está 00:36:25
y ahora, que uno de los lados del rectángulo es 3 centímetros 00:36:33
es más largo que el otro. Y no sé cuánto mide el otro. Pues hago lo de antes, poner 00:36:38
nombres. Aquí como parece que el más largo es el ancho y el alto es más corto, pues 00:36:45
digo, al alto le llamo X y al largo o ancho le llamo X más esos tres centímetros que 00:36:50
me dice que tiene más largo que el otro. Y ahora me dice que el área de ese rectángulo 00:36:59
es 28 centímetros cuadrados. Bueno, pues eso es lo que voy a utilizar. 00:37:05
Y aquí han sido generosos y me dicen que recuerde 00:37:10
que el área de un rectángulo es multiplicar los lados. Pues eso es lo que voy a hacer. 00:37:13
Digo, el alto multiplicado 00:37:18
por el ancho me tiene que dar 00:37:21
los 28 centímetros al cuadrado que nos estaba dando como datos. 00:37:25
Pues ya está. Pues de esto va a haber un montón 00:37:30
ejercicios de estos geométricos en estas ecuaciones de segundo grado 00:37:33
me van a intentar liar con las medidas 00:37:37
de los lados, por eso os digo que es muy útil el que lo 00:37:41
dibuje para que yo escriba bien como llamo a cada lado y así 00:37:45
luego no me pierda, ¿vale? parece muy tonto, esto es muy 00:37:49
tonto, pero luego no os hay que no son tan tontos, entonces dibujadlo y que os 00:37:53
quede muy clarito como se llama cada cosa para que luego al final 00:37:57
pueda dar bien las soluciones de cada uno de los lados 00:38:01
bueno, hacemos la multiplicación y me queda 00:38:05
x al cuadrado más 3x 00:38:09
igual a 28, junto 00:38:12
todos los términos en el primer miembro para tener esa fórmula general 00:38:17
de la ecuación de segundo grado y así poder aplicar 00:38:21
la fórmula, sabiendo que aquí en este caso 00:38:25
el coeficiente a va a ser 1, el b va a ser 3 00:38:29
y el c va a ser 28, o sea, coeficiente de las x cuadrado 00:38:33
de las x y término independiente, perdón, menos 28 00:38:38
estoy comiendo el signo, cuidadito con eso que si no la liamos 00:38:41
aplico la fórmula, puesto que la ecuación es completa y no tengo 00:38:45
otra forma de hacerlo, y tendría menos b 00:38:49
pues menos 3, más menos la raíz cuadrada 00:38:52
de ese 3 al cuadrado que va a ser 9 y ahora menos 4 00:38:57
por la a que valía 1 y por la c que vale 00:39:02
menos 28 que lo pongo entre paréntesis 00:39:06
recordad para que no se me olvide el signo y dividido entre 2 00:39:09
por la a que es 1, vamos a hacer las cuentas 00:39:13
menos 3 más menos la raíz cuadrada 00:39:16
de 9 y ahora menos por menos me da un más 00:39:21
y 4 por 28, pues 4 por 8, 32, llevo 3 00:39:24
4 por 2, 8 y 2, 11 00:39:29
y 3, 11, perdón, 2 por 1, 2 00:39:32
me ha quedado menos 3 más menos la raíz cuadrada 00:39:36
fijaos otra vez, del 121 de antes, entre 2 00:39:41
pues x es igual a menos 3 00:39:45
más menos 11, dijimos que era la raíz cuadrada del 121 00:39:49
entre 2. Primera solución, menos 3 más 11 entre 2, que sería 8 entre 2, pues 4. Segunda solución, menos 3 menos 11 entre 2, 00:39:53
que sería menos 14 entre 2 00:40:13
menos 7, pero ¿quién dijimos que eran 00:40:17
este 4 y este menos 7? las longitudes de un rectángulo 00:40:21
digo, ¡ay! pero es que 00:40:25
¿cómo voy a tener un rectángulo de menos 7 centímetros? eso no es 00:40:29
posible, yo no puedo tener distancias 00:40:33
negativas, entonces lo que digo aquí es que esta solución 00:40:37
que nos ha salido aquí segunda, no vale 00:40:41
porque yo no puedo tener un lado de menos 7 centímetros 00:40:45
solo me va a valer la otra 00:40:52
entonces la solución que buscamos 00:40:55
es que mi rectángulo 00:40:59
es de 4 centímetros de alto 00:41:04
y 7 de largo 00:41:08
donde si comprobamos 00:41:12
su área es 4 por 7 00:41:15
el 28 00:41:18
que queríamos 00:41:22
si yo compruebo con el menos 7 00:41:24
me queda menos 7 por menos 4 00:41:28
menos 28 y lo que es como ecuación 00:41:30
como condiciones de esta multiplicación 00:41:34
me sirve pero dentro de mi problema 00:41:37
no me sirve porque está hablando de longitudes 00:41:39
y una longitud no puede ser negativa 00:41:42
entonces mucho cuidado con los ejercicios 00:41:44
tiene que tener sentido todo 00:41:49
las condiciones que me dicen 00:41:51
tiene que tener sentido el contexto del problema 00:41:53
todo tiene que cuadrar, si no, no me vale 00:41:58
y eso es a lo que me refería cuando decía en ese sexto paso 00:42:01
que comprobaseis que la solución que hayáis elegido 00:42:04
o soluciones cumplía todos los requisitos del problema, incluido en este caso el que 00:42:08
no me dicen directamente, pero que es de lógica, que no puedo tener esa distancia 00:42:16
negativa. ¿Vale? Bueno, pues esto es lo que tenéis que hacer en estos problemas. Así 00:42:22
que ponemos con ellos, preguntadme las dudas que tengáis, tenemos también que dar una 00:42:31
vueltecilla ahí a esas ecuaciones de segundo grado incompletas 00:42:38
con fórmula sin fórmula, os aconsejo que intentéis hacerlo 00:42:41
sin fórmula y os quedéis un poco con la idea porque es mucho más rápido 00:42:45
cuando es incompleta hacerlo sin fórmula que con ella 00:42:50
ahorro mucho tiempo y además 00:42:53
ahorro posibles fallos de signos y tal y cual, entonces 00:42:57
ahora que yo quiero ir a 00:43:01
a tiro fijo, a decir, no, las quiero hacer todas como completas 00:43:04
pues bueno, a dominar bien la fórmula, a no confundirse 00:43:08
con qué término es el que es cero, porque si no la hemos liado 00:43:13
¿vale? bueno, lo vamos a dejar aquí 00:43:16
el próximo día ya nos meteremos con sistemas de ecuaciones 00:43:20
para si alguien ya lo ha visto, con ese método de reducción 00:43:24
sustitución e igualación, el método gráfico lo dejaremos 00:43:28
para cuando veamos funciones, que es la forma, digamos, gráfica de resolver los sistemas, 00:43:32
que es dibujando las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones que están en el sistema 00:43:39
y viendo en qué punto se cortan. 00:43:44
Nosotros vamos a ver los métodos analíticos, que son eso, reducción, sustitución e igualación. 00:43:47
Y como siempre, pues terminaremos aplicando esos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones 00:43:55
a problemas. Bueno, pues 00:44:02
aquí lo dejamos. Que tengáis 00:44:06
buena tarde y buen fin de semana. 00:44:08
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Angel Luis Sanchez Sanchez
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6 de febrero de 2025 - 10:55
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