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CORRECCION EXAMEN PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES DICIEMBRE 2021 - Contenido educativo

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Subido el 18 de enero de 2022 por Pablo V.

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Hola, buenos días. Vamos a comenzar a resolver el examen sobre proporcionalidad y porcentaje que tuvimos en diciembre de 2021 00:00:00
y que ya os he entregado corregido y que estuvimos corrigiendo ayer en la pizarra día 17 de enero de 2021. 00:00:09
Entonces, el primer ejercicio del examen nos decía, fíjate en la siguiente tabla de los cantantes más famosos y responde a las preguntas. 00:00:20
qué tanto por ciento son mujeres, qué tanto por ciento son de España 00:00:28
y de todos los cantantes que son de Estados Unidos, qué tanto por ciento son de Puerto Rico 00:00:33
el ejercicio nos daba una tabla de 20 cantantes 00:00:37
la primera columna constaban los nombres de los cantantes 00:00:40
en la segunda columna si eran hombres o mujeres 00:00:46
y en la tercera columna el país de procedencia 00:00:48
entonces nos piden, vamos con el apartado A 00:00:51
en el que se nos pide que indiquemos qué tanto por ciento son mujeres. 00:00:55
Para ello, ¿qué es lo que necesitamos? 00:00:59
Saber cuántos cantantes son mujeres y cuántos cantantes hay en total. 00:01:02
Entonces, contamos las mujeres, uno, dos, tres, cuatro, y vemos que hay doce mujeres. 00:01:09
Y en total hay veinte cantantes. 00:01:13
Bien, pues nos construimos una tabla. 00:01:16
Una con las fracciones, mejor dicho, razones, 00:01:18
Una con la expresión decimal y otra con la expresión en tanto por ciento. 00:01:25
¿Por qué? Porque siempre la expresión de una parte con respecto a un todo se puede realizar de tres maneras distintas. 00:01:30
Una como una fracción, otra como un decimal o un tanto por uno, que es lo mismo, y también como un tanto por ciento. 00:01:40
Si nosotros queremos expresar una parte con respecto a un todo 00:01:51
¿Qué es lo que hacemos? 00:01:59
Ponemos en el numerador la parte y en el denominador el todo 00:02:00
En este caso tenemos doce cantantes mujeres de un total de veinte 00:02:04
Bueno, pues yo he expresado como fracción, como razón 00:02:09
Una parte de un todo, doce de veinte 00:02:13
Esa es mi fracción 00:02:17
Como sabéis, las fracciones se pueden simplificar o se pueden amplificar, y todas ellas son fracciones equivalentes. 00:02:18
Entonces, si nosotros hacemos fracciones equivalentes a 12 veinteavos, yo puedo simplificar dividiendo numerador y denominador entre 2. 00:02:28
Entonces tendría 6 décimos, es decir, me da lo mismo de decir que 12 de cada 20 cantantes son mujeres, 00:02:37
o decir que 6 de cada 10 cantantes son mujeres, o decir que 3 de cada 5 son cantantes, son mujeres. 00:02:44
¿Por qué? Porque para pasar de 6 décimos a 3 quintos, lo que hago es dividir entre 2, y así simplifico, 3 quintos. 00:02:51
Otra forma de hacerlo también es dividir directamente, 12 entre 20 da 0,6, y eso es 0,6 dividido entre 1. 00:02:59
esta es una forma de expresarlo muy importante 00:03:06
porque esto es lo que se llama el tanto por 1 00:03:10
es decir, cuando el denominador es 1 00:03:14
el numerador nos indica el tanto por 1 00:03:17
es decir, 0,6 de cada 1 son mujeres 00:03:21
y también podría pasar a partir de aquí 00:03:24
a una expresión en la que el denominador fuera 100 00:03:29
a una fracción en la que el denominador fuera 100 00:03:33
Multiplico numerador y denominador por 100 y por lo tanto paso a 60 de 100. 00:03:35
Es decir, que me da lo mismo decir que 12 de cada 20 son mujeres o decir que 60 de cada 100 son mujeres. 00:03:41
Esta expresión y esta son muy importantes. 00:03:51
Esto se va a llamar el tanto por 1 y este numerador se va a llamar el tanto por 100. 00:03:54
Que los indico a continuación en las siguientes columnas. 00:04:00
Por lo tanto, la expresión decimal o tanto por 1 va a ser 0,6, el numerador, cuando en la fracción o la razón yo tengo un denominador que es 1, ¿vale? Esto se llama tanto por 1 o expresión decimal. 00:04:04
El tanto por ciento se escribe así, 60%, que es el numerador cuando en la fracción tengo en el denominador un 100, ¿vale? 00:04:21
Esta parte la he dejado ya escrita. Ahora vamos a escribir el segundo apartado, ¿vale? 00:04:31
El segundo apartado, ¿qué es lo que nos estaba diciendo? 00:04:37
Nos estaba preguntando qué tanto por ciento de los cantantes son de España, ¿vale? 00:04:40
Pues indico ahí B, ¿vale? Vamos a poner eso así y eso así, ¿vale? Y ahora esto lo voy a cambiar también, que no, a ver, escape, escape, esto lo quiero en azul, perdón, ¿vale? 00:04:45
Entonces ahora ya escribo 00:05:12
¿Qué tanto por ciento son de España? 00:05:14
Pues yo tengo las cantantes 00:05:17
Los cantantes que son de España, que son 3 00:05:18
Porque los he contado 00:05:20
Y el total de cantantes eran 20 00:05:21
Porque lo habíamos visto antes 00:05:23
Pues mi parte es 3 00:05:25
Y mi todo, ¿cuánto va a ser? 00:05:27
¿De acuerdo? 00:05:30
Bien, voy a practicar unas cuantas fracciones 00:05:34
Lo puedo, por expresarlo de alguna manera alternativa 00:05:37
¿Qué se nos ocurre hacer aquí? Pues si yo divido numerador entre denominador, eso me va a dar 0,15. Por lo que es lo mismo, si lo queréis expresar de una forma más clara, 0,15 entre 1. 00:05:41
Es decir, cuando el denominador es 1, el numerador es 0,15. 00:06:01
Y si quiero tener en el denominador 100, ¿qué tengo que hacer? 00:06:08
Multiplicar numerador y denominador de la última expresión por 100. 00:06:11
Entonces ya tengo aquí que esto va a ser el tanto por 1, 0,15, y que 15 va a ser el tanto por ciento. 00:06:16
O sea, la expresión decimal con el tanto por 1 va a ser 0,15. 00:06:23
Y el tanto por ciento va a ser 15% 00:06:29
¿Por qué? Pues porque yo tengo aquí, al igual que antes 00:06:34
Esto lo voy a pintar de rosa por mantener la uniformidad 00:06:40
Y esto lo voy a pintar de rojo 00:06:45
Para que se vea claramente de dónde viene 00:06:52
El tanto por uno es el numerador cuando el denominador es uno 00:06:57
Y el tanto por ciento es el numerador de la fracción equivalente a aquella fracción de la que hemos partido cuando el denominador es 100, ¿vale? 00:07:07
Bien, ahora vamos a calcular el tercer apartado, que era un poquito más complicado. 00:07:18
El tercer apartado, que es lo que nos estaba preguntando, nos estaba diciendo, ¿qué tanto por ciento? 00:07:25
O sea, de todos los cantantes que son de Estados Unidos, ¿qué tanto por ciento son de Puerto Rico? 00:07:30
Para ello, ahora a mí me está cambiando mi todo. Es decir, de todos los cantantes que son de Estados Unidos, ¿qué tanto por ciento son de Puerto Rico? 00:07:36
Entonces, tengo que contar cuántos cantantes son de Estados Unidos. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez. 00:07:47
Cantantes de Estados Unidos, diez. ¿Y cuántos son de Estados Unidos y Puerto Rico? Pues son uno, dos, tres y cuatro, ¿vale? 00:07:55
Pues entonces, ahora mi todo es diferente, ¿vale? ¿Cómo puedo expresar la nueva fracción? ¿Cuál es el todo? Perdón, ¿cuál es la parte? Son cuatro cantantes de un total de diez, es decir, de diez cantantes que son de Estados Unidos, cuatro son de Puerto Rico, ¿vale? 00:08:04
¿Vale? Pues eso, si queremos practicar fracciones equivalentes o queremos hallarlas, bueno, pues esto sería, por ejemplo, dos quintos, es decir, me da lo mismo decir que cuatro de cada diez cantantes de Estados Unidos son de Puerto Rico, que decir que dos de cada cinco cantantes de Estados Unidos son de Puerto Rico, ¿vale? 00:08:26
Y esto, ¿cuánto da? Esto da 0,4, por lo que es lo mismo, si lo quiero expresar de una manera más clara, eso es 0,4 entre 1, es decir, que de cada cantante que es de Estados Unidos, 0,4 son de Puerto Rico. 00:08:45
Eso queda un poco feo, ¿no? Pero si multiplicamos por 100 arriba y abajo nos queda una expresión más lógica, es decir, yo multiplico arriba y abajo por 100 y me queda que de cada 100 cantantes de Estados Unidos, 40 son de Puerto Rico, ¿vale? 00:09:05
¿Cuál es la expresión decimal de esto? 00:09:22
El tanto por 1, 0,4 00:09:24
¿Y el tanto por ciento? 40% 00:09:29
Vamos a hacer como antes, vamos a cambiar los colores 00:09:32
Vamos a poner en rosa el tanto por ciento 00:09:37
Que es este numerador 00:09:40
Y en rojo vamos a poner el numerador cuando el denominador es 1 00:09:42
Que eso es el tanto por uno 00:09:52
¿Vale? 00:09:54
Y así quedaría resuelto el primer ejercicio 00:09:57
¿Vale? 00:10:01
Bien 00:10:03
Pasamos al siguiente 00:10:04
Bien 00:10:05
Ahora tenemos aquí el segundo ejercicio 00:10:18
El segundo problema 00:10:21
Que dice, para hacer los conde reyes 00:10:22
Para ocho personas 00:10:24
Hace falta 00:10:25
330 gramos de harina 00:10:26
60 gramos de leche 00:10:28
Dos huevos 00:10:29
80 gramos de azúcar 00:10:30
30 gramos de miel 00:10:31
110 gramos de mantequilla, 15 gramos de levadura prensada, 3 cucharillas de café de ron, 2 cucharillas de café de agua de azahar, ralladura de medio limón, 5 gramos de sal. 00:10:32
La primera pregunta es, ¿cuánta harina hace falta para hacer un roscón de 15 personas? 00:10:44
Hace el problema por reducción a la unidad, por tabla de magnitudes proporcionales y por regla de 3 tradicional. 00:10:50
Y el segundo apartado nos dice, si hago un roscón con 500 gramos de harina, ¿cuánta mantequilla necesitaré? 00:10:56
Hazlo por el método que prefieras, ¿de acuerdo? 00:11:03
Vale, vamos a empezar nombrando los apartados que en el examen se me olvidó, ¿vale? 00:11:06
No lo hice, entonces este va a ser el apartado A y este el apartado B, ¿vale? 00:11:14
Vamos a cambiar el color, que me gusta más el azul, ¿vale? 00:11:21
Entonces, bien, lo primero, voy a subrayar los datos más importantes para el apartado A 00:11:24
Me dicen cuánta harina, cuánta harina, es decir, de todos estos componentes 00:11:43
Y aquí hay algunos que están más bien para distraerme, yo creo 00:11:48
O para que yo aprenda a filtrar lo importante de lo que no es importante 00:11:51
Entonces, a mí me dan una receta para 8 personas 00:11:56
Y para esas 8 personas me dicen la harina que hace falta 00:12:01
Y ahora me lo piden para 15 personas 00:12:04
Pues yo creo que para el apartado A no me hace falta nada más que lo que yo he subrayado 00:12:07
¿Vale? 00:12:11
Entonces, me dicen que lo realice por 3 métodos distintos 00:12:13
Lo primero que tenemos que tener en cuenta es si estamos en un caso de proporcionalidad directa o inversa 00:12:18
Y la respuesta es bastante sencilla, yo creo. Es decir, ¿qué pensáis? ¿A más personas hará falta más salina o menos salina? 00:12:26
Si yo hago una receta para 10 personas, necesitaré más salina que cuando tengo que hacer unos comparados a personas para decir, claro, que la respuesta es que sí, ¿no? 00:12:39
luego estamos en proporcionalidad directa igual para hacer las magnitudes directamente 00:12:50
proporcionales pues también parece claro para que van a ser las personas para las que se redacta la 00:12:54
receta y los gramos de harina bien pues vamos a construir nuestra tabla para tenerlo todo eso 00:13:01
muy claro vamos a construir como siempre las dos magnitudes en una tabla pongo una fila personas 00:13:08
personas 00:13:16
y en la siguiente fila 00:13:19
que pongo gramos 00:13:21
gramos 00:13:23
de harina 00:13:26
vale 00:13:28
y entonces aquí ahora voy a trazar 00:13:32
una recta 00:13:35
control, la voy a hacer larga 00:13:36
vale 00:13:40
perdón 00:13:42
ahí, control 00:13:43
de acuerdo 00:13:46
y ahora aquí voy a trazar 00:13:48
Una columna 00:13:50
Y otra columna 00:13:54
¿Vale? 00:13:56
Entonces, a mí me dan la receta 00:13:58
Para 8 personas 00:14:02
¿Vale? Pues pongo aquí, para 8 personas 00:14:04
¿Cuántos gramos de harina hacen falta para 8 personas? 00:14:09
330 00:14:13
¿Sí? 00:14:13
Y ahora me dicen que para 15 00:14:16
¿Cuántos gramos hará falta? 00:14:18
Pues eso, lo llamo X. Vale. Pues parece que ya lo tengo todo planteado para el primer apartado. Aquí voy a poner A. Vale. Y entonces, como ya tengo la tabla y uno de los métodos que me piden es el de la tabla de magnitudes proporcionales, voy a atacar ese apartado, el primero. 00:14:20
¿Qué propiedad tienen las magnitudes que son directamente proporcionales cuando las tenemos escritas en forma de tabla? 00:14:42
Pues sabemos que cuando tenemos dos magnitudes directamente proporcionales escritas en forma de tabla 00:14:50
El cociente de la primera fila entre la segunda fila se mantiene constante en todas las columnas 00:14:57
Puedo hacer la primera fila entre la segunda o la segunda entre la primera, como yo quiera, pero lo tengo que poner siempre igual, ¿vale? No puedo cambiar el orden. 00:15:09
Vamos a poner, por ejemplo, la primera entre la segunda. Vale, pues yo digo 8 dividido entre 330 es igual a qué? A 15 dividido entre x, ¿vale? Ya he hecho mi planteamiento, ¿de acuerdo? 00:15:18
¿Cómo se resuelve esta ecuación? Pues se resuelve haciendo el producto cruzado o también se dice que el producto de medios es igual al producto de extremos, ¿vale? Producto cruzado o producto de medios igual al producto de extremos, ¿vale? 00:15:34
Pues yo digo, 8X es igual a qué? A 330 por 15, ¿sí? Punto y coma. 00:15:52
Pues ahora despejo la X. 00:16:04
Para ello, ¿qué es lo que tengo que hacer? 00:16:06
Tengo que pasar el 8, que está multiplicando a la X, pasa dividiendo. 00:16:08
Es decir, X es igual a 330 por 15 dividido entre 8. 00:16:13
Y si eso lo opero con la calculadora, ¿qué es lo que obtengo? 00:16:23
que X es igual a 618,75 gramos de harina hacen falta para un roscón de 15 personas. 00:16:28
Ya habría hecho el primer apartado por uno de los métodos que me están pidiendo 00:17:06
¿Cuál es? El de la tabla 00:17:15
Esta es la tabla 00:17:17
De magnitudes directamente proporcionales 00:17:18
Bien 00:17:42
Ahora lo voy a hacer por reducción a la unidad 00:17:42
Porque me lo están pidiendo también 00:17:47
Vamos a subir esto 00:17:49
¿Cómo se haría por reducción a la unidad? 00:17:51
Vale, por reducción a la unidad, ¿qué tenemos que decir? 00:18:08
Si para 8 personas hacen falta 330 gramos, voy a subrayar eso para que lo veáis, 00:18:11
Y ahora decimos, si para 8 personas hacen falta 330 gramos, para una persona, para un roscón de una persona, hará falta, hará falta, ¿cuántos gramos? 00:18:25
¿Cuántos gramos harán falta para una persona? 00:19:05
Muy fácil 00:19:09
330 gramos 00:19:10
Partido por 8 00:19:12
Harán falta 370 gramos 00:19:17
Partido por 8 gramos 00:19:20
De harina 00:19:22
¿Vale? 00:19:27
Bien 00:19:33
En consecuencia 00:19:33
Para 15 personas 00:19:37
Para 15 00:19:44
Personas 00:19:46
Harán falta 00:19:48
¿Cuántos gramos? 00:19:52
Pues lo que se necesita para una persona 00:19:59
Multiplicado por 15 00:20:02
Harán falta 00:20:04
Lo voy a poner aquí con una flecha 00:20:05
15 por 330 00:20:07
Partido por 8 00:20:12
Gramos de harina 00:20:15
¿Veis? 00:20:19
Tenemos lo mismo 00:20:24
330 por 15 dividido entre 8 00:20:25
Aquí tengo 15 por 330 dividido entre 8, es decir, el mismo valor numérico decimal, 618,75 gramos, ¿vale? 00:20:27
¿Lo veis? Vamos a tener la misma expresión aritmética, 330 por 15 dividido entre 8, que nos va a dar la misma expresión decimal, ¿vale? 00:20:45
Y ahora lo vamos a hacer por regla de tres tradicional, ¿vale? Por regla de tres tradicional, ¿vale? ¿Cómo sería por la regla de tres tradicional? 00:20:55
Bien, pues nosotros sabemos, roscón de 8 personas, roscón de 8 personas necesita, ¿cuánto?, 330 gramos de harina. 00:21:18
harina. Bien, pues para 15, para 15 personas, ¿cuánto hará falta? X, ¿vale? Por lo tanto, 00:21:39
X es igual a qué? A 15 por 330, 15 por 330, dividido entre 8, y eso es igual a 618,75 gramos, ¿vale? 00:21:58
¿Veis que tenemos la misma expresión? 15 por 330, dividido entre 8, ¿vale? 00:22:18
Y con eso habíamos hecho el apartado A, ¿vale? Y ahora nos decían, si hago un roscón con 500 gramos de harina, ¿cuánta mantequilla necesitaré? Hazlo por el método que prefieras, ¿vale? 00:22:23
Entonces ahora voy a subrayar con otro color, por ejemplo, el verde 00:22:37
¿Vale? Voy a subrayar con el verde los datos que a mí me hacen falta 00:22:45
Ahora me están diciendo que yo voy a hacer un roscón con 500 gramos de harina 00:22:49
Ahí lo tengo, 500 gramos de harina 00:22:55
¿Y cuánta mantequilla necesitaré? 00:22:57
Pues yo sé que para 330 gramos de harina 00:23:01
Necesito cuánto de mantequilla 00:23:06
110 gramos 00:23:09
Ahí lo tengo 00:23:11
¿Vale? 00:23:12
Pues vamos a apuntar los datos 00:23:14
Vamos a apuntar los datos 00:23:16
Vale 00:23:19
Cambiamos al color azul de nuevo 00:23:21
Hacemos el apartado B 00:23:24
Y le decimos 00:23:25
Para 00:23:27
Roscón 00:23:30
330 00:23:36
30 gramos de harina. Hacen falta 110 gramos de mantequilla. ¿Cuánta mantequilla necesito 00:23:38
para roscón de 500 gramos? ¿Vale? ¿Qué método preferimos aquí? Pues no sé cuál 00:24:14
a aplicar. Vamos a hacer la regla de 3 tradicional. Voy a elegir regla de 3. Es muy fácil, ¿no? 00:24:30
¿Cómo sería? Si para 330 gramos de harina hacen falta 500 gramos, no, perdón, perdón, 00:24:37
Perdón, perdón, perdón, perdón, que no me habéis dicho nada. 00:24:53
110 gramos de mantequilla para 500, nos falta X. 00:24:56
Luego, X es igual a 500 por 110, dividido entre 330. 00:25:13
Y eso si lo hacemos por la calculadora, que nos da 166,66 gramos de mantequilla. 00:25:21
Esa sería la solución al apartado B. 00:25:41
Como siempre debemos comprobar si los resultados que nos dan son más o menos coherentes. 00:25:45
¿Vale? Entonces, vemos que tiene buena pinta, porque si para 330 hacen falta 110, para 500, que no llega al doble de 330, hará falta algo más de 110, pero sin llegar al doble de 110, que sería 220. 00:25:53
Luego sí, más o menos, tiene buena pinta. ¿De acuerdo? 00:26:12
Bien, ¿cómo se haría por la tabla de magnitudes proporcionales? 00:26:17
Bueno, por tabla, ¿cuáles serían las magnitudes proporcionales aquí? 00:26:23
Pues por un lado sería la mantequilla, la harina, harina y la mantequilla. 00:26:31
Es decir, si para 330 gramos de harina hacen falta 110 de mantequilla, para 500, ¿cuánto hará falta? X. 00:26:39
¿Vale? Pues planteamos ahora, ¿y qué es lo que sabemos cuando tenemos una tabla de magnitudes directamente proporcionales? 00:26:58
Pues que el cociente de las columnas en columnas siempre se mantiene constante, es decir, 330 dividido entre 110 es igual a 500 partido por x punto y coma. 00:27:05
Por lo tanto, producto de medios igual a producto de extremos, 330x es igual a 110 por 500 00:27:22
Despejamos la x 00:27:34
¿Cómo se despeja la x? 00:27:37
Pues pasando 330, dividiendo al otro lado 00:27:39
Y nos queda x es igual a 110 por 500 dividido entre 110, ¿veis? Vamos a tener la misma expresión, 500 por 110, es que aquí me he equivocado, perdón, dividido entre 330, porque lo que está pasando dividiendo es el 330. 00:27:43
Como veis, tenemos la misma expresión aritmética 00:28:05
Vemos que nos está dando todo lo mismo 00:28:09
Luego lo tenemos, bien, 166,66 gramos 00:28:11
De mantequilla 00:28:17
¿Vale? 00:28:18
¿Cómo sería este problema? 00:28:20
Por el último método que nos queda 00:28:23
Que es la reducción a la unidad 00:28:24
Vale, pues por reducción a la unidad 00:28:26
Hay que... 00:28:30
Este es el método en el que más se redacta, yo creo 00:28:41
Es menos procedimental, sino más de razonamiento. 00:28:44
Y se dice, si 330 gramos de harina necesitan 110 gramos de mantequilla, 00:28:48
Cada gramo, cada gramo, es decir, voy a decirlo mejor de otra manera, un gramo, un gramo de harina necesita cuánto, necesita cuánta mantequilla. 00:29:20
Por 110 gramos de harina, o sea, de mantequilla, dividido entre 330 de mantequilla. 00:29:49
Por lo tanto, por lo tanto, 500 gramos de harina necesitarán 500 por 110 dividido entre 330, 330, eso es, por lo mismo que teníamos antes. 00:30:03
¿Veis? Llevamos a la misma expresión aritmética y por lo tanto el valor numérico que vamos a obtener es el mismo, 166,66 gramos de mantequilla, ¿de acuerdo? 00:30:46
Por lo tanto, hemos hecho este segundo apartado por los tres métodos, aunque solamente nos pedían dos, ¿vale? 00:31:09
Bien, vamos a por el siguiente ejercicio. 00:31:18
Bien, el tercer problema del examen decía, cuatro trabajadores tardan diez horas en limpiar un edificio. 00:31:24
¿Cuánto tardarían cinco trabajadores en limpiar el mismo edificio? 00:31:33
Lo primero que tenemos que tener claro aquí es el tipo de proporcionalidad que existe. 00:31:37
Es decir, existe alguna proporcionalidad, existe una proporcionalidad directa o inversa, ¿vale? 00:31:43
Bien, entonces volvemos a leer. 00:31:53
Tenemos por un lado el número de trabajadores y por otro lado las horas que se tardan en limpiar un edificio, ¿vale? 00:31:56
Hay que limpiar un edificio, el trabajo es uno determinado y cuantos más trabajadores se dediquen a esa tarea, se tardará más o se tardará menos. 00:32:02
Se tardará menos, lógicamente. Es decir, a más trabajadores, menos horas se necesitarán para limpiarlo. Bueno, se necesitarán las mismas horas, pero se terminará antes. 00:32:13
Entonces, las magnitudes inversamente proporcionales, ¿cuáles van a ser? Van a ser, por un lado, el número de trabajadores y, por otro lado, el tiempo en el que se termina el trabajo. 00:32:26
bien, esas son las dos magnitudes 00:33:06
trabajo 00:33:12
vale 00:33:13
vamos a desplazar esto un poquito 00:33:15
hacia la derecha 00:33:19
vale 00:33:20
bien, de acuerdo 00:33:21
entonces, vamos a rellenar 00:33:26
nuestros datos 00:33:28
vamos a rellenar aquí 00:33:29
la tabla, número de trabajadores 00:33:32
tiempo 00:33:34
en el que se termina el trabajo 00:33:34
y nos dicen que si trabajan 00:33:37
Cuatro trabajadores se terminan el trabajo en diez horas 00:33:40
Diez horas 00:33:46
¿Vale? 00:33:48
Y entonces nos dicen, ¿cuánto tardarían cinco trabajadores? 00:33:50
Luego el tiempo en el que tardarían cinco trabajadores va a ser X 00:33:56
La proporcionalidad es inversa 00:34:01
¿Vale? 00:34:17
Inversa 00:34:18
¿Por qué? A más trabajadores, antes se termina el trabajo, menos se tarda. 00:34:19
¿Qué pasaba cuando teníamos dos magnitudes inversamente proporcionales? 00:34:25
Que en cada par de datos, es decir, en cada columna de datos, el producto se mantiene constante. 00:34:31
La proporcionalidad es inversa. 00:34:40
Por lo tanto, por lo tanto, por lo tanto, el producto, el producto de las dos magnitudes se mantiene constante, ¿vale? 00:34:42
Y voy a subrayar aquí dos palabras, dos palabras. 00:35:22
Cuando es inversa, es el producto, ¿vale? 00:35:25
¿Qué pasaba cuando teníamos una proporcionalidad directa? 00:35:32
Lo que se mantiene es el cociente, ¿vale? 00:35:36
El cociente se mantiene constante, cuando es inversa es el producto. 00:35:39
Por lo tanto, en nuestro caso será 4 por 10, tiene que ser igual a 5 por X, y de aquí se despeja X. 00:35:42
Entonces, X es igual a, ¿cómo se despeja la X? El 5 pasa al otro miembro, dividiendo, 5 es igual a 4 por 10, dividido entre 5, por lo que es lo mismo, 4 por 10, 40 entre 5, eso es, ¿8 qué? 00:35:55
Ocho trabajadores. Perdón, perdón, perdón. Ocho horas. Ocho horas para terminar el trabajo con cinco trabajadores. Bien. Ocho horas, cinco trabajadores. 00:36:18
Este ejercicio lo hemos resuelto con la tabla de magnitudes inversamente proporcionales 00:36:56
¿Cómo se hubiera resuelto con una regla de 3 tradicional? 00:37:05
Pues se hubiera resuelto así 00:37:10
Regla de 3 00:37:12
Regla de 3 00:37:13
Habríamos dicho 00:37:18
Si, 4 trabajadores 00:37:20
Cuatro trabajadores tardan diez horas, cinco tardarán X. 00:37:25
Y como la proporcionalidad es inversa, en vez de multiplicar en cruz, como hacíamos en la regla de tres directamente proporcional, 00:37:43
proporcional, hacemos la multiplicación 00:37:52
en horizontal, es decir 00:37:55
4 por 10 00:37:56
es igual a 5 00:37:58
por X 00:38:00
y llegamos al mismo resultado 00:38:02
que X es igual a 00:38:04
4 por 10 00:38:06
dividido entre 5 00:38:08
y eso es igual a 8 00:38:10
horas, ¿vale? 00:38:12
¿de acuerdo? 00:38:15
bien 00:38:16
¿y cómo hubiera sido 00:38:17
por reducción a la unidad? 00:38:19
Por reducción a la unidad. Vamos a ver. Reducción a la unidad. ¿Vale? Pues hubiéramos dicho, si cuatro trabajadores, si cuatro trabajadores tardan diez horas, 00:38:21
Un trabajador, ¿cuánto habría tardado? 00:38:56
Un trabajador hubiera tardado, ¿cuánto? 00:39:02
Hubiera tardado cuatro veces 00:39:16
Cuatro veces 00:39:18
Cuatro por diez 00:39:19
Igual a cuarenta horas 00:39:21
¿Vale? 00:39:25
Eso es lo que hubiera tardado un trabajador en realizar toda la tarea 00:39:29
¿Vale? 00:39:33
Por lo tanto 00:39:34
Por lo tanto 00:39:35
5 trabajadores, 5 trabajadores tardarán, ¿cuánto? La quinta parte, la quinta parte, es decir, 4 por 10 dividido entre 5, que es lo mismo que hemos estado viendo en los apartados anteriores, 8 horas. 00:39:38
¿De acuerdo? 00:40:13
Por los tres procedimientos llegamos al mismo resultado 00:40:16
¿Vale? 00:40:20
Vamos con el siguiente ejercicio 00:40:21
El siguiente ejercicio es el problema número 4 00:40:23
Y dice, un abuelo quiere repartir 450 euros entre sus tres nietos de 4, 12 y 16 años 00:40:27
De manera directamente proporcional a los años de cada uno de ellos 00:40:36
¿Vale? 00:40:40
Sin embargo, la abuela cree que es mejor hacer el reparto de manera inversamente proporcional, pues ella cree que los pequeños necesitan más cosas que los mayores. ¿Cuánto recibiría cada uno de ellos según el reparto del abuelo? ¿Cuánto recibiría cada uno de ellos según el criterio de la abuela? Vale. 00:40:41
Pero entonces, vamos primero a repartir según el criterio del abuelo, ¿vale? 00:40:57
El abuelo dice que el reparto se debe hacer de manera directamente proporcional a los años, ¿vale? 00:41:03
Entonces, ponemos a abuelo, abuelo. 00:41:14
Esto es un reparto directamente proporcional, ¿vale? 00:41:19
¿Cómo se hace un reparto directamente proporcional? 00:41:32
Aquí el ejemplo más famoso, o sea, el más conocido, es el ejemplo que yo os puse del premio que se reparte entre los mejores goleadores de la liga, ¿no? 00:41:38
Entonces, si se tiene que repartir un millón de euros entre los tres mejores goleadores, ¿no? 00:41:51
Y cada uno había marcado un número de goles determinado 00:41:58
¿Qué se hacía? 00:42:01
Se sumaban todos los goles 00:42:02
Y se repartía el premio total 00:42:04
Entre el número de goles 00:42:08
Y así sabíamos cuántos euros correspondían 00:42:10
A cada gol marcado 00:42:12
¿Vale? 00:42:14
Bien, pues esto es parecido 00:42:15
Tenemos que repartir 450 euros 00:42:17
Entre 3 nietos 00:42:19
De 4, 12 y 16 años 00:42:21
Pues hacemos lo mismo 00:42:23
Sumamos todos los años 00:42:25
Dividimos el dinero que hay que repartir entre el número total de años 00:42:27
Y así sabemos cuántos euros va a recibir o se va a pagar por cada año cumplido 00:42:31
O sea, por cada año que tiene cada nieto, ¿vale? 00:42:38
Entonces, vamos a sumar los años totales 00:42:41
Años totales, vamos a calcularlo 00:42:44
¿Años totales? Es 4 más 12 más 16. ¿Eso cuánto es? 32 años. 00:42:49
Ah, años en total, ¿vale? En total, ¿de acuerdo? Por lo tanto, por lo tanto, por cada año se reciben, por cada año se recibirá, ¿se recibirá cuánto? 00:43:04
Se recibirá 450 euros dividido entre 32, ¿vale? 00:43:35
Y en consecuencia, al nieto de 4 años, ahí, años, le corresponderá, le corresponden, voy a bajar esto un poquito, 00:43:45
vale 00:44:13
al nieto de 4 años 00:44:34
le corresponden 00:44:36
que es un poco complicado 00:44:38
escribir con esto a veces 00:44:40
le corresponden, ¿cuánto? 00:44:41
450 euros 00:44:43
entre 32 00:44:46
y por 4 00:44:48
vale 00:44:52
bien 00:44:53
y eso es igual 00:44:55
si yo no me he equivocado 00:44:58
Eso es igual, ¿a qué cantidad? A 56,25 euros, ¿vale? 00:45:01
Y al nieto de 12 años le corresponden 450 entre 32 por 12. 00:45:16
Que eso va a ser el triple de lo anterior, es decir, 168,75 euros. 00:45:35
Y al de 16 años, ¿cuánto le va a corresponder? 00:45:52
Pues cuatro veces, cuatro por cuatro, dieciséis 00:45:56
Cuatro veces, cincuenta y seis como veinticinco 00:46:01
Y eso es cuatrocientos cincuenta entre treinta y dos por dieciséis 00:46:06
Por lo que es lo mismo, doscientos veinticinco euros 00:46:13
Doscientos veinticinco euros, ¿vale? 00:46:17
Y aquí podemos hacer la comprobación 00:46:21
Bueno, podemos sumar estas tres cantidades y nos tiene que dar cuatrocientos cincuenta. 00:46:23
Si yo sumo esto con esto, el coma veinticinco con el coma setenta y cinco me va a dar uno, ¿vale? 00:46:29
Seis y ocho, catorce, y una quince, y me llevo una. 00:46:36
Cinco y seis, once, y una que me llevaba doce. 00:46:41
me llevo una, 225 si no me equivoco, más 225, esto es 450 en total 00:46:46
luego está comprobado y es correcto 00:46:55
otra manera de hacerlo hubiera sido hacer una regla de 3 para cada uno de ellos 00:46:58
otra manera, vamos a poner otra manera 00:47:03
otra manera 00:47:05
coma, por reglas 00:47:08
por reglas 00:47:12
De 3 00:47:20
¿Cómo sería eso? 00:47:24
Sería, si a 32 años 00:47:26
Es decir, al total de años 00:47:29
Le corresponde 450 euros 00:47:32
A 4 años 00:47:35
A 4 años 00:47:39
Le corresponde X 00:47:41
¿Cuánto es la X para el niño de 4 años? 00:47:44
Pues es 450 00:47:47
50 por 4 dividido entre 32, que es lo mismo que hemos sacado antes, 56,25, y así sucesivamente. 00:47:50
Para las de 12 años, pues diríamos, como es directamente proporcional, podríamos haber visto que 12 es el triple de 4 y multiplicar esto por 3. 00:48:06
Pero bueno, vamos a hacer las otras reglas de 3. 00:48:17
Si a 32 años le corresponden 450 euros, al de 12 años, ¿cuánto le va a corresponder? 00:48:19
X, por lo que es lo mismo, X es igual a 450 por 12 partido por 32. 00:48:31
Y esto es igual a la cantidad que habíamos dicho antes, 168,75 euros 00:48:44
Aquí no he puesto la cantidad, ¿vale? 00:48:53
Y por último, si para 32 años corresponden 450 euros 00:48:56
Si le corresponden 450 euros a 332 años, para 16 años corresponderán X euros. 00:49:04
Y X es igual a 450 por 16 partido por 32. 00:49:23
Y esto es igual a 225 euros, que es la misma cantidad. 00:49:34
Luego tenemos, en todos los casos, el mismo resultado. 00:49:42
Ahora vamos con la abuela. 00:49:46
¿La abuela qué nos está proponiendo? 00:49:48
La abuela está proponiendo un reparto inversamente proporcional a los años. 00:49:50
¿Cómo se hacía eso? 00:49:56
Pues entonces se hacía hacer un reparto inversamente proporcional a unas cantidades 00:49:56
Es lo mismo que hacer un reparto directamente proporcional a los inversos de los años 00:50:03
Es decir, aquí tenemos, vamos a hacer una pequeña tabla 00:50:09
Nieto, o si no mejor vamos a hacer edad del nieto 00:50:13
Edad, y aquí vamos a poner inverso 00:50:24
Inverso 00:50:33
La edad 00:50:38
¿Vale? 00:50:40
Entonces, si tenemos un nieto de 4 años 00:50:43
¿Cuál va a ser el inverso de su edad? 00:50:46
Un cuarto 00:50:50
Un cuarto 00:50:51
Si tenemos un nieto de 12 años 00:50:52
¿Cuál va a ser el inverso de su edad? 00:50:54
Un doceavo 00:50:56
Y si tenemos un nieto de 16 años 00:50:57
¿Cuál va a ser el inverso de su edad? 00:51:00
Un dieciséisago 00:51:02
¿Vale? 00:51:03
Bien, pues igual que antes sumábamos todo aquí en el total, sumábamos todo, pues con los inversos vamos a hacer lo mismo. 00:51:05
Antes la suma de esto era 32, y ahora la suma de todos estos inversos va a ser un cuarto más un doceavo más un dieciseisavo. 00:51:18
¿Y eso cuánto da? Pues hay que sumarlo. Y lo primero que hay que hacer es encontrar el mínimo común múltiplo. El mínimo común múltiplo de 4, 12, 16 es 48. 48 entre 4 es 12, por 1 es 12. 48 entre 12 es 4, por 1 es 4. 00:51:34
Más 48 entre 16 00:51:53
A 3 por 1, 3 00:51:56
Y esto es igual a 00:51:58
12 más 4 00:52:00
16 más 3 00:52:02
19, 48 00:52:03
Que no se puede simplificar 00:52:06
Porque 19 es primo 00:52:07
¿Vale? 00:52:09
Bien, de acuerdo 00:52:11
¿Vale? 00:52:16
Pues entonces ya sabemos que 00:52:17
Tenemos que hacer un reparto 00:52:19
De manera directamente proporcional 00:52:20
a estas tres cantidades, sabiendo que el total es 19 cuarenta y ocho agos. Lo hacemos igual que antes, ¿vale? 00:52:23
Decimos, lo podemos hacer por reglas de tres o calculando cuánto le corresponde a la unidad, ¿vale? 00:52:33
Es decir, si a 19,48 le corresponden 450 euros, a la unidad le corresponden 450 entre 19,48. 00:52:41
y esto es igual 00:53:23
aquí voy a poner euros 00:53:26
450 euros 00:53:29
dividido entre 19,48 00:53:31
y esto es igual a 00:53:32
450 00:53:34
por 00:53:35
dividido entre 00:53:39
19 euros 00:53:42
¿vale? 00:53:44
¿si? y ahora lo que hacemos es 00:53:46
ir multiplicando 00:53:49
porque esto es lo que le corresponde 00:53:50
A la unidad. Luego, al nieto de cuatro años, la abuela le daría, ¿cuánto? Un cuarto, y ponemos un cuarto y no cuatro, porque estamos repartiendo de manera inversamente proporcional. 00:53:52
Luego, el reparto es directamente proporcional al inverso de la edad 00:54:23
Luego, un cuarto por lo que le correspondería a la unidad 00:54:28
¿Qué es lo que le correspondería a la unidad? 00:54:33
Esto de aquí 00:54:35
Un cuarto por 450 por 48 00:54:36
Dividido entre 19 00:54:42
¿Y eso cuánto da? 00:54:45
Pues podemos simplificar un poco 00:54:49
48 entre 4 es a 12 00:54:50
Si queremos 00:54:54
450 00:54:55
Por 12 00:54:56
Dividido entre 19 00:54:59
Y eso es igual a 00:55:02
Lo tengo por aquí apuntado 00:55:04
284 00:55:06
Coma 00:55:09
14 euros 00:55:10
Como veis 00:55:13
Esta va a ser la mayor cantidad de todas 00:55:14
Porque 00:55:18
el de menor edad, que es 4 años, si se hacen los inversos, pasa a ser la mayor cantidad, 00:55:19
es decir, un cuarto es mayor que un doceavo, y un doceavo es mayor que un dieciséisavos, 00:55:27
se invierte en las tornas, ¿vale? Entonces, el niño de 4 años recibe, según la abuela, 00:55:34
284,14 euros, ¿vale? Pero según el abuelo, hubiera recibido, el de 4 años, ¿os acordáis?, 00:55:39
56,25, o sea que cambia mucho el reparto según el abuelo y según la abuela. 00:55:48
El niño de 4 años, según la abuela, sería el que más recibiría, ¿vale? 00:55:56
¿Cuánto recibiría el de 12 años según la abuela? 00:56:00
Pues lo hacemos al nieto de 12 años, la abuela le daría, ¿le daría cuánto? Pues un doceavo por lo que le correspondería a la unidad. 00:56:07
Un doceavo por esta cantidad que hemos calculado aquí antes 00:56:38
Por 450 por 48 00:56:42
Dividido entre 19 00:56:48
Y eso es igual 00:56:52
48 entre 12 es 4 00:56:54
450 por 4 00:56:57
Dividido entre 19 00:57:01
Y esto da, si no me he equivocado, 94,73 euros, ¿vale? 00:57:04
Y ahora es de 16 años. 00:57:18
Y al nieto de 16 años, la abuela le daría, ¿cuánto? 00:57:21
Un dieciséisavo, porque está repartiendo de manera inversamente proporcional a su edad 00:57:41
Por lo que daría a la unidad, que esto es siempre constante en todos los casos 00:57:47
Cuatrocientos cincuenta 00:57:52
Cuatrocientos cincuenta por cuarenta y ocho 00:57:54
Dividido entre diecinueve 00:58:01
Podemos simplificar esto un poquito porque cuarenta y ocho entre dieciséis es tres 00:58:04
Es decir, 450, perdón, perdón, 450 por 3 dividido entre 19, ¿vale? 00:58:09
Y esto es 71,052 euros, ¿vale? 00:58:23
Y si sumamos estas tres cantidades, nos tiene que dar 400, 450 euros, ¿vale? Pues ya estaría, ya lo tendríamos, ¿sí? Bien, nada más, vamos a hacer el último ejercicio, ¿vale? 00:58:36
Bien, el último ejercicio dice lo siguiente. La camiseta del Real Madrid de fútbol cuesta 70 euros sin IVA. ¿Cuánto costará la camiseta con el IVA del 21%? 00:59:10
Entonces, para separar cada apartado, vamos a llamar a esto A 00:59:22
Y a esto de aquí B 00:59:30
Que si me hacen un descuento del 15%, ¿cuánto tendré que pagar? 00:59:33
Y por último, nos preguntan 00:59:38
Mi amiga Fátima se ha comprado la camiseta del Atlético y ha pagado 50€ solamente 00:59:40
Porque estaba rebajada un 20% 00:59:45
¿Cuánto hubiera tenido que pagar si no hubiera tenido descuento? 00:59:47
Entonces empezamos por el primer lugar 00:59:50
Camiseta 00:59:53
Camiseta 00:59:58
50, no, 70 euros sin IVA 01:00:00
Ponemos 70 euros sin IVA 01:00:07
¿Vale? 01:00:14
Y ahora me dicen 01:00:17
¿Cuánto cuesta? 01:00:18
¿Cuánto cuesta con IVA? 01:00:25
con el IVA del 21% 01:00:27
Pues este tenemos dos maneras de hacerlo 01:00:36
Primero, calcular el IVA y sumárselo 01:00:40
o bien, trabajar con los índices de variación 01:00:44
Vamos a calcular primero el IVA 01:00:49
La primera forma 01:00:51
El IVA será 70 euros por 21 partido por 100, o si lo queremos hacer directamente, porque sabemos trabajar bien con los tantos por 1, 70 euros por 0,21. 01:00:54
Y eso es igual a 14,7 euros de IVA. 01:01:17
Por lo tanto, el precio final será 70 más 14,7, que es igual a 84,7 euros. 01:01:27
eso es 87 euros y se dice IVA incluido, es así como se suele hablar, IVA incluido 01:01:58
¿de acuerdo? vale, ¿de qué otra manera podríamos haberlo hecho? 01:02:09
podríamos haber dicho, otra manera, otro método 01:02:20
El precio final, precio con IVA, precio con IVA es igual a qué? A precio sin IVA más el precio sin IVA por el 0,21. 01:02:28
Y esto, si nosotros sacamos factor común al precio sin IVA, que lo tenemos aquí dos veces, ¿qué podemos decir? Que esto es igual a precio sin IVA por 1 más 0,21. 01:03:05
O lo que es lo mismo es igual al precio sin IVA, sin IVA, por 1,21. 01:03:32
Y esto es a lo que se llama el índice de variación. 01:03:48
Eso es el índice, índice de variación. 01:03:53
Por lo tanto, las personas que sepan trabajar con índices de variación y calcularlos, podrán calcular los precios finales de un solo golpe, ¿vale? 01:04:03
Es decir, el precio final es igual a 70 por 1,21, ¿vale? 01:04:16
En vez de hacer una suma, como antes, calcular el IVA por aquí y luego sumárselo al precio inicial, lo hacemos con una multiplicación de golpe, que es el precio sin IVA por el índice de variación. 01:04:42
Y esto es igual a 84,7 euros. Es lo mismo, pero calculándolo con el índice de variación, que es un método más directo. 01:04:56
Y ahora me dicen, si me hacen un descuento del 15%, ¿cuánto tendré que pagar? 01:05:07
¿Vale? 01:05:14
Pues me dicen, B, descuento del 15%. 01:05:15
Y me preguntan, ¿cuánto tendré que pagar? 01:05:27
¿Vale? 01:05:33
Pues esto cómo se calcula. 01:05:34
Hay dos maneras de hacerlo, igual que antes. 01:05:37
Calcular cuánto es el descuento en euros y restárselo al precio con IVA que íbamos a pagar antes, ¿vale? 01:05:39
Entonces, esa sería la primera forma de hacerlo. 01:05:51
Calculamos el descuento, ¿vale? 01:05:57
El primer método. 01:06:00
Primer método. 01:06:02
El descuento y lo aplicamos sobre lo que vamos a tener que pagar con IVA, ¿vale? 01:06:12
Primer método. Descuento es igual a 84,7 euros por el 15%, que es 15 entre 100. 01:06:17
Y esto es igual a 84,7 por 0,15. 01:06:41
Y esto aquí es igual, vamos a calcularlo, esto es igual a 12,705 euros. 01:06:50
Por lo tanto, el precio con el descuento quitado será precio descontado o rebajado, vamos a llamarlo rebajado, y voy a poner entre paréntesis, IVA incluido es igual a 84,7 menos 12,705. 01:07:10
Y eso es igual a 71,995 euros. Es decir, redondeando, estos son 72 euros. 01:07:53
¿Por qué digo 72 euros? Porque ninguna tienda va a cobrar con milésimas de euro, sino que aproximará a las centésimas. 01:08:19
Y esta es redondeando 72 euros, ¿vale? 01:08:30
Bien, el segundo método, ¿cuál es? 01:08:36
Pues decir, segundo método, el método directo, segundo método. 01:08:39
Si me rebajan, si me rebajan un 15%, ¿qué tanto por ciento voy a pagar de la camiseta? 01:08:45
Si me rebajan un 15%, voy a pagar un 85% de la camiseta, es decir, 84,7 euros por 85 partido por 100. 01:09:08
O lo que es lo mismo, 84,7 por 0,85. 01:09:50
Y vamos a comprobar que esa cantidad es la misma que la anterior. 01:10:00
es decir, 84,7 por 0,85 es igual, efectivamente, a 71,995 euros, es decir, aproximadamente igual a 72 euros, ¿vale? 01:10:03
De acuerdo 01:10:26
Y por último, me están diciendo 01:10:28
Mi amiga Fátima se ha comprado la camiseta del Atlético de Madrid 01:10:31
Y ha pagado 50 euros 01:10:36
50 euros solamente porque estaba rebajada un 20% 01:10:37
¿Cuánto hubiera tenido que pagar si no hubiera tenido descuento? 01:10:42
Vale 01:10:47
Pues me dicen que Fátima ha pagado 01:10:47
Fátima 01:10:50
Ha pagado 01:10:53
50 euros 01:10:58
Estando rebajada un 20% 01:11:04
Para resolver este problema vamos a aplicar el mismo método que acabamos de utilizar en el apartado anterior 01:11:19
El segundo método de todos ellos 01:11:27
Es decir, si Fátima ha pagado por la camiseta 50€ estando rebajada un 20% 01:11:30
Ella ha pagado un 80% de la camiseta 01:11:36
Es decir, Fátima ha pagado el 80% del precio original, por lo tanto, precio original por 80 partido de 100, por lo que es lo mismo, precio original. 01:11:41
Por 0,8 es igual a 50 euros. 01:12:44
Eso quiere decir que el precio original es igual a 50 dividido entre 0,8. 01:12:52
Y esto es igual a, 50 dividido entre 0,8 es igual a 62,5 euros. 01:13:13
62,5 euros. 01:13:21
¿Cómo podríamos haber hecho este problema por una regla de 3? 01:13:25
Podríamos haber dicho lo siguiente, si el 80% es 50 euros, el 100% será X, por lo tanto X es igual a qué? 01:13:30
A 100 por 50 01:13:59
Dividido entre 80 01:14:04
Que nos da el mismo resultado 01:14:08
62,5 euros 01:14:11
Pues eso es todo chicos 01:14:15
Espero que os haya gustado 01:14:17
Y que hayáis aprendido mucho 01:14:19
¿De acuerdo? 01:14:22
Venga, un saludo hasta ahora 01:14:24
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Autor/es:
Pablo Valbuena
Subido por:
Pablo V.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
17
Fecha:
18 de enero de 2022 - 19:22
Visibilidad:
Público
Centro:
CP INF-PRI-SEC ADOLFO SUÁREZ
Duración:
1h′ 14′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
233.26 MBytes

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