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Límites de una función en un punto. Continuidad. - Contenido educativo

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Subido el 23 de abril de 2026 por Roberto A.

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Venga, grabamos la clase, ¿vale, chavales? 00:00:00
Hoy es 23, ¿algún Jorge? 00:00:03
Anda, Jorge está de... 00:00:05
con biología, ¿no? 00:00:07
Venga, coge a Susanto. 00:00:09
Vámonos. 00:00:11
Entonces, chavales, ahora lo que vamos a ver es realmente 00:00:12
el comportamiento de una función en un punto, 00:00:15
es los límites y la continuidad, ¿vale? 00:00:20
Pues yo creo que, espérate, 00:00:24
no sé si están aquí los límites laterales o están aquí 00:00:25
a ver un segundo, vamos a ver 00:00:30
vale, es menos infinito, de acuerdo 00:00:33
y ahora vamos aquí, entonces chavales 00:00:37
esto es súper importante, vale 00:00:40
esto es muy importante 00:00:43
entonces, ¿qué ocurre? 00:00:46
nosotros vamos a estudiar el límite, vale 00:00:48
de f de x ahora mismo en un punto A 00:00:51
¿Vale? En un punto cualquiera. Yo os di las definiciones y demás. Entonces, ¿qué es lo que tenemos que saber de aquí? Que puede existir el límite de f de x en un punto a, ¿vale? Ahora ya no estamos en el infinito y en el menos infinito, pero puede que no exista ese f de a. 00:00:54
Y esto es muy importante porque a la gente le lleva a la confusión, ¿vale? Es decir, puede existir el límite de f de x cuando x tiende a, pero no existir f de a, ¿de acuerdo? 00:01:16
Entonces, lo que yo creo que veáis que no es complicado, es decir, si yo tengo, por ejemplo, f de x igual a, yo que sé, x cuadrado menos 5x más 6, ¿vale? 00:01:28
Partido de 2x menos 1, ¿cuánto sería el límite de f de x cuando x tiende, yo que sé, a 10, por ejemplo? 00:01:40
¿Qué creéis que tengo que hacer siempre que yo voy a hallar un límite? 00:01:51
¿Qué tengo que hacer siempre? 00:01:55
Lo primero, sustituir, ¿vale? 00:01:56
Entonces yo lo que hago es sustituir. 00:01:59
¿Y qué hago? 00:02:01
Donde haya una x, yo pongo un 10, ¿vale? 00:02:02
Entonces, yo aquí sustituyo, ¿de acuerdo? 00:02:06
¿Y qué ocurre? 00:02:11
Que yo no sé si esta función está definida en el... 00:02:12
Vamos, el dominio de esta función, ¿cuál sería? 00:02:16
Aunque no tenga nada que ver ahora mismo con esto, 00:02:19
pero ¿cuál sería el dominio de f de x? 00:02:21
¿Alguien me lo sabría decir? 00:02:24
Efectivamente, son todos los reales menos el 1 medio. 00:02:28
¿Y por qué? 00:02:31
Porque 2x menos 1 es igual a 0. 00:02:32
yo no sé, dividí entre 0, 2x es igual a 1, x es igual a 1 medio. 00:02:35
¿De acuerdo, chavales? 00:02:41
Por lo tanto, el dominio son todos los reales menos el 1 medio. 00:02:42
Quiero que veáis ustedes una cosilla que nos puede ocurrir, 00:02:48
que nos puede ocurrir, ¿vale? 00:02:51
Que exista el límite de esta función en 1 medio, ¿vale? 00:02:53
Puede existir, pero no estar definida la función ahí. 00:02:59
Y eso es súper importante, ¿vale? 00:03:03
Es decir, puede existir el límite de la función ahí, pero puede que no exista la función en un medio, ¿vale? 00:03:05
En este caso yo he calculado el límite cuando voy a 10 y ahí lo único que tengo que hacer es sustituir. 00:03:13
Esto es 100 menos 50 más 6 y esto es 19, ¿verdad? 00:03:19
¿Esto qué es? Esto es 56 diecinueveavos, ¿vale, chavales? 00:03:25
Y así se calcula el límite de una función cuando tiende a un punto, ¿vale? 00:03:30
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:03:37
Que lo primero que tengo que hacer siempre es sustituir, ¿de acuerdo? 00:03:39
Sustituir. 00:03:42
Luego, ¿qué es lo que ocurre? 00:03:44
Que nosotros cuando hallamos los límites, cuando hallamos los límites de f de x, 00:03:45
cuando x tiende a un punto, pues también vamos a tener una serie de indeterminaciones, ¿vale? 00:03:51
Yo puedo tener 0 partido de 0, ¿vale? Que ahora vamos a ver cómo se resuelve. O también puedo tener un k partido de 0 y esto es muy importante, ¿vale? Este desde luego lo vamos a tener en cuenta, pero este de aquí es muy importante, ¿vale, chavales? 00:04:00
Entonces, ¿qué es lo que quiero que veáis? Pues que precisamente esto de aquí nos va a incidir las discontinuidades o continuidades porque está todo muy relacionado, ¿vale? 00:04:16
Entonces, parece que estoy mezclando churras con merinas, pero es que está todo súper mezclado. 00:04:31
Entonces, ¿qué quiero que veáis? Estas cuatro causas de aquí, me falta uno, ¿vale? Me falta uno. 00:04:37
Me voy aquí. Pero bueno, en estos comportamientos de aquí, si yo veo gráficamente estas gráficas, ¿de acuerdo? 00:04:46
Lo que quiero que veáis, que aquí, ¿qué tipo de discontinuidad hay, chavales? ¿Lo sabéis o no? 00:04:55
Es una discontinuidad de salto infinito. ¿Por qué? Discontinuidad de salto infinito. 00:05:00
y sin saber realmente cuál es la función, pero yo aquí, este es un punto C, ¿verdad? 00:05:13
¿Alguien me sabe decir cuál es el límite de f de x cuando te acercas a C por la izquierda? 00:05:20
Es decir, yo me acerco a C por la izquierda, ¿a dónde se me va la función? ¿Lo veis? 00:05:29
A más infinito, ¿lo veis? ¿Sí o no? 00:05:34
Y aquí en esta misma, si yo hago ahora el límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha, es decir, yo me acerco a c por la derecha, ¿dónde va mi función? A menos infinito. 00:05:37
¿Vale? Entonces, cuando, chavales, algún límite, ¿eh? Alguno de los dos, algún límite de f de x cuando x tiende a es igual a más menos infinito, ¿de acuerdo? 00:05:51
Me da igual que sean los dos, me da igual que sea uno, ¿de acuerdo? 00:06:10
Por lo tanto, si los dos tienden a más infinito, o los dos tienden a menos infinito, 00:06:14
o uno como aquí tiende a más infinito y otro a menos infinito, 00:06:19
se trata de una discontinuidad de salto infinito, ¿vale, chavales? 00:06:22
Y si hay una discontinuidad de salto infinito, nosotros lo que tenemos aquí es una asíntota vertical, ¿vale? 00:06:34
Siempre que tenga una discontinuidad de salto infinito, yo tengo ya una asíntota vertical, ¿de acuerdo? 00:06:43
¿Dónde tengo la asíntota vertical? En x, en este caso, igual a c. 00:06:51
¿Lo veis? Pero es que me pasan las dos cosas. 00:06:56
Tanto que los dos sean más infinitos o los dos sean menos infinitos, 00:06:59
o uno de ellos sea más infinito y otro menos infinito, o uno, por ejemplo, vale 3 y el otro vale más infinito, ¿de acuerdo? 00:07:04
Es una discontinuidad de salto infinito, por lo tanto, tengo una asíntota vertical, ¿vale, chavales? Estamos mezclando muchísimas cosas, ¿vale? Entonces, aquí, chavales, en el 2, lo voy a poner en verde, en el gráfico 2, ¿vale? Yo, por ejemplo, os voy a decir que esto es 3 y esto es 2, ¿vale? 00:07:10
Si yo veo esta gráfica, ¿vale, chavales? Si yo veo esta gráfica, ¿cuánto valdría el límite de f de x cuando x tiende a c por la izquierda? Es decir, yo me acerco a c por la izquierda, ¿no? ¿Sí? ¿Y mi función a dónde tiende? ¿A qué valor? 00:07:34
yo me voy a C por la izquierda 00:07:54
y mi función a donde llega 00:07:57
al 3 00:07:59
¿lo veis todos que llega al 3? 00:08:00
¿si? ¿si o no? 00:08:03
sin embargo si yo hago el límite 00:08:05
de f de x 00:08:07
cuando x tiende a C por la derecha 00:08:09
¿vale? 00:08:11
yo aquí tiendo 00:08:13
C por la derecha 00:08:14
y ahora mi función a que valor tiende 00:08:17
chavales 00:08:19
a que valor tiende Emilio 00:08:20
mi función a 2 00:08:22
¿Lo veis? ¿Sí o no? Entonces, de hecho, se llama salto al valor absoluto del límite de f de x cuando x tiende a c por la izquierda menos el límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha. 00:08:23
Precisamente, ¿por qué se pone valor absoluto? 00:08:46
Porque me da igual poner este primero o el otro después. 00:08:49
Hago la recta siempre, ¿vale? 00:08:54
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:08:55
Que esto, ¿cuánto valdría, chavales, el salto? 00:08:57
El salto valdría 3 menos 2, valor absoluto de 1 es 1, ¿vale? 00:08:59
Entonces, ¿1 es un valor finito o infinito? 00:09:04
Es un valor finito. 00:09:08
Pues entonces, chavales, cuando el límite de f de x, 00:09:10
cuando x tiende a c por la izquierda 00:09:15
es distinto, te lo voy a poner en otro sitio 00:09:18
porque si no, esto luego en el vídeo no sale bien 00:09:20
¿vale? cuando son diferentes 00:09:22
cuando los límites laterales 00:09:25
son diferentes 00:09:26
pero son valores finitos 00:09:28
¿de acuerdo? la discontinuidad 00:09:30
se llama discontinuidad 00:09:32
ahora lo pongo mejor 00:09:34
¿vale? de salto 00:09:36
finito 00:09:38
fijaros aquí 00:09:40
si yo resto estos dos 00:09:42
Me sale infinito el salto, ¿verdad? 00:09:44
¿Sí o no? 00:09:47
Me sale infinito. 00:09:48
Entonces, esto de aquí es una discontinuidad de salto infinito. 00:09:49
Por favor, no me pongáis las iniciales. 00:09:55
Lo pongo yo para ahorrar tiempo. 00:09:56
Y esto es una discontinuidad de salto finito, ¿vale? 00:09:58
Finito. 00:10:02
De hecho, el salto yo puedo calcularlo que aquí vale 1, ¿vale? 00:10:03
Entonces, son discontinuidades, ¿vale, chavales? 00:10:07
¿Sí o no? 00:10:10
¿Hasta ahí bien? 00:10:12
Ahora voy a hacer un cuadro resumen importante, ¿vale? 00:10:14
Entonces, aquí en el 3, chavales, ¿qué veis en el 3? 00:10:17
¿Qué vemos en el 3? 00:10:24
¿Vale? 00:10:26
En el 3, yo aquí, por ejemplo, me refiero, esto en el 1 no es continuo porque yo para dibujar mi función yo tengo que levantar el lápiz, ¿no? 00:10:26
Yo voy hasta aquí muy bien, pero yo ahora tengo que levantar el lápiz y ahora sigo por aquí, ¿de acuerdo? 00:10:37
Aquí igual, yo voy aquí con mi lápiz la mar de bien, pero ahora tengo que soltarlo para hacer aquí el agujero todo gordo y sigo por aquí. ¿De acuerdo? ¿Lo veis? Que por cierto, no lo he dicho aquí. ¿Cuánto vale F de C? F de C aquí cuánto vale? Recordad que esto era un 2. ¿Alguien me sabe decir cuánto vale F de C? Esto era 3 y esto era 2. F de C vale 2. ¿De acuerdo, chavales? 00:10:43
¿Sí? Entonces, aquí ahora estamos en el tercero. Esto igual. Esto vale 2 y esto vale 3. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:11:14
Entonces, ¿qué ocurre ahora en el 3? En el 3, el límite de f de x cuando x tiende a c a la izquierda, 00:11:23
si yo me acerco a c por la izquierda, ¿mi función a qué tiende, chavales? A 2. ¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:11:34
Si yo voy al límite de f de x cuando x tiende hacia la derecha, ¿a qué tiende? 00:11:42
Elías, deja de leer, jo. 00:11:50
¿A qué tiende? 00:11:52
Esto de aquí, a 2. 00:11:53
¿Vale? 00:11:56
Entonces, ¿el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha? 00:11:57
Sí. 00:12:00
Cuando el límite, chavales, cuando el límite de f de x es igual, por la izquierda, 00:12:01
es igual al límite de f de x cuando x va por la derecha, 00:12:07
entonces yo puedo decir que existe el límite de f de x cuando x tiende a c 00:12:13
y en este caso vale 2. 00:12:21
¿De acuerdo? 00:12:24
¿Sí o no? 00:12:25
¿Lo veis? 00:12:27
Solamente cuando me coinciden, pero cuando me coinciden en valores finitos. 00:12:28
Es decir, yo aquí voy a poner un inciso encolorado. 00:12:33
Voy a poner aquí en colorado. Si el límite de f de x cuando x tiende a c a la izquierda es igual a más infinito, que es igual al límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha, aquí tampoco existe el límite, ¿vale? Aquí no existe el límite cuando x tiende a c, ¿vale? ¿Sí o no? 00:12:37
Y lo mismo ocurre si los dos son menos infinitos. ¿Entendéis esa salvedad? ¿Entendéis esa salvedad? Vale. Entonces, únicamente cuando la izquierda y la derecha son iguales y son valores finitos, ¿vale? Son valores finitos. Entonces existe esto de aquí. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:13:04
Ahora hay salto. ¿Cuánto valdría el salto aquí? El salto era la diferencia de esto menos esto. ¿Cuánto vale el salto, chavales? Cero. Entonces no es ninguna discontinuidad ni de salto infinito ni ninguna discontinuidad de salto finito. ¿Vale? 00:13:26
Lo que es lo que ocurre, chavales, es que tengo otra cosa aquí. ¿Cuánto vale, chavales, en el 3FDC? ¿Cuánto vale? ¿Cuánto vale FDC? ¿Cuánto? ¿Cuánto? ¿Cuánto es que no me he enterado? Es que no me he enterado. 3, ¿vale? Este punto de bordo, ¿lo veis? En C vale 3. Entonces, ¿qué ocurre? 00:13:45
Ahora, si existe el límite, porque es muy importante que existe el límite cuando x tiende a c, que es igual a l, es distinto de f de c, ¿vale? 00:14:11
Veis que es distinto, ¿no? ¿Por qué? Porque esto es igual a 2. Voy a poner aquí un 2. 00:14:25
¿Vale, chavales? 00:14:30
Bueno, aquí una L en general 00:14:33
Es distinto de FDC 00:14:35
Lo que se llama, chavales 00:14:37
Es una discontinuidad 00:14:39
Evitable 00:14:41
¿Y por qué creéis 00:14:45
Que se llama discontinuidad evitable? 00:14:47
Porque yo la puedo evitar 00:14:50
¿Cómo puedo evitar 00:14:52
Esa discontinuidad, chavales? 00:14:53
¿Haciendo qué? 00:14:55
A ver si a alguien se le ocurre 00:14:57
Porque yo aquí, con mi boli 00:14:58
Fíjate, yo hago por aquí, pero ahora tengo que parar para hacer aquí el punto gordo y luego sigo. ¿Lo veis? No es continua como tal. ¿Cómo evito yo esa discontinuidad? ¿Cómo se evitaría? 00:15:03
levantar boli, pero para que yo 00:15:18
no levante boli y lo haga todo así 00:15:22
¿qué es lo que ocurre, guillo? 00:15:25
¿qué es lo que ocurre? 00:15:27
efectivamente que hay que cambiar el punto de sitio 00:15:32
muy bien, ¿vale? 00:15:34
entonces, ¿se evitaría 00:15:36
haciendo qué? 00:15:37
se evitaría haciendo 00:15:42
que f de c 00:15:43
valga ¿cuánto? 00:15:46
lo mismo que el límite, ¿vale? 00:15:48
¿sí o no? 00:15:51
¿vale? 00:15:54
¿Qué ocurre con el 4, chavales? 00:15:56
¿Qué ocurre con el caso 4? 00:15:58
Bueno, esto hasta aquí puedo pasar, os espero. 00:16:01
¿Lo entendéis bien, chavales? 00:16:05
Está la discontinuidad de salto infinito. 00:16:06
La discontinuidad de salto finito. 00:16:08
Y esta es discontinuidad evitable. 00:16:11
Y la discontinuidad evitable nos puede ocurrir dos cosas. 00:16:13
Que aquí la gente se equivoca mucho, ¿vale? 00:16:17
Aquí en el 4, ¿vale? 00:16:20
Esto también voy a hacer que esto, por ejemplo, 00:16:22
que esto valga 2. Estoy en el ejercicio 4, en la gráfica 4. ¿Cuánto vale el límite de f de x cuando x tiende a c por la izquierda? 00:16:24
¿A cuánto tiende, chavales? A 2. ¿El límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha? A 2. 00:16:42
Por lo tanto, ¿yo qué puedo decir, chavales? Que existe el límite de f de x cuando x tiende a c que vale 2, ¿verdad? Porque son iguales. Si no, no existe. ¿Vale? Por ejemplo, no sé si lo he dicho aquí. Aquí, chavales, aquí no lo he dicho. No existe el límite de f de x cuando x tiende a c. ¿Por qué? Porque son diferentes, ¿vale? 00:16:54
al ser diferente al haber salto 00:17:21
no existe el límite 00:17:24
¿de acuerdo? ¿vale? 00:17:26
no existe el límite 00:17:28
entonces aquí los dos tienden a 2 00:17:29
por la izquierda y por la derecha de C tienden a 2 00:17:33
pero ahora mi pregunta 00:17:35
¿cuánto vale F de C? 00:17:36
según la gráfica, ¿cuánto vale? 00:17:39
no existe 00:17:45
muy bien, no existe 00:17:46
F de C 00:17:48
¿de acuerdo? entonces ¿qué ocurre? 00:17:49
yo no puedo decir 00:17:52
que el límite de F de X 00:17:53
cuando x tiende a c sea igual a f de c, ¿verdad? ¿Lo puedo decir o no? Como no lo puedo decir, entonces existe el límite, porque sí existe, 00:17:56
entonces una discontinuidad evitable también. ¿Vale? El 3 y el 4 son discontinuidades evitables. 00:18:08
evitable y continuidad evitable y esto hay que añadirlo en x igual a c. ¿Entendéis 00:18:21
más o menos, chavales? ¿Sí? ¿Lo entendéis más o menos? ¿Sí? Entonces, cuando me digáis 00:18:31
ya os pongo la definición de continuidad, ¿vale? Pero si entendemos esto tenemos mucho 00:18:37
entendido, ¿vale? Y esta definición hay que ponerla en todos los ejercicios. Si yo te 00:18:43
pregunto, ¿estudia la continuidad de la función? 00:18:50
Pues esa definición hay que ponerla. 00:18:53
Cuando me digáis, bachales, 00:18:55
¿ya, joven? 00:19:07
¿Carchi? ¿Puedo? 00:19:08
Venga, entonces, chavales, 00:19:10
una función, 00:19:14
una función 00:19:15
f de x 00:19:17
continua en un punto 00:19:22
x igual a, 00:19:26
¿vale? Si, solo 00:19:28
si, ¿vale? 00:19:30
El límite 00:19:32
de f de x cuando x tiende a a es igual a f de a. ¿Vale, chavales? Esta definición está tuada. 00:19:36
Es muy importante, ¿vale? Es muy, muy importante. ¿Vale? Entonces, ¿cómo sería un cuadro resumen 00:19:54
de discontinuidades? Pues vamos a ver. Existe el límite de f de x, ¿vale? Y es igual a 00:20:05
l, por ejemplo, ¿vale? Estamos en este caso, nos puede ocurrir dos cosas, ¿verdad? Que 00:20:17
el límite de f de x cuando x tiende a a, ¿vale? Que el límite de f de x cuando x 00:20:23
tienda sea igual a f de a vale entonces como es la función en en a como es 00:20:33
existe el límite que vale l y además es igual a f de a entonces como es la 00:20:42
función 00:20:46
f de x es continua en x igual a 00:20:49
así partimos de que existe vale de que existe 00:20:58
qué significa en un punto. Bien, yo sustituyo como me pasó la primera vez, ¿vale? Yo aquí 00:21:03
sustituí y me salió 59,19, ¿vale? No tengo que hacer los límites laterales, ¿vale? 00:21:10
O luego es lo que vamos a ver aquí, que cuando yo haga sobre todo el k partido de 0, ¿de 00:21:19
acuerdo? Cuando yo haga el k partido de 0 vamos a tener que hacer los límites laterales, 00:21:26
Tanto a izquierda como a derecha. ¿Vale, chavales? Sí. Y luego el 0, 0 es un caso especial que también lo vamos a ver. ¿Vale? Entonces, si existe, es decir, yo sustituyo, me sale como me salió antes, f de x cuando x tendría 10, que me salía yo creo que era 56 diecinueveavos, ¿vale? Resulta que f de 10 es también 56 diecinueveavos, entonces f de x continúa en x. ¿Vale? 00:21:30
¿O qué es lo que puede ocurrir, chavales? Puede ocurrir que el límite de f de x cuando x tiende a es igual a L, pero es distinto, ¿vale? De f de a. 00:21:57
Bien, ¿por qué? Porque f de a sea distinto de L o porque no existe f de a, ¿vale? Los dos casos que hemos visto en el dibujo, ¿os acordáis? 00:22:14
En uno existía, pero valía 3, y en otro directamente no existía. 00:22:27
Entonces, si estamos en este caso, ¿qué ocurre, chavales? 00:22:32
Que f de x, ¿qué es? 00:22:35
f de x presenta una discontinuidad, efectivamente, una discontinuidad evitable en x igual a a, ¿vale? 00:22:37
¿Sí o no? Estamos viendo la continuidad en un punto siempre, ¿vale? 00:23:01
Una función f de x continua en un punto, sí, solo sí, el límite, primero que exista el límite, es decir, si existe el lateral izquierdo y derecha tiene que ser lo mismo, si yo sustituyo y me da un valor ese es el límite, sea igual a f de a, que se cumple todo, f de x continua, que no se cumple, existe el límite, pero no es igual a f de a bien porque f de a vale otra cosa o no existe f de a, entonces una discontinuidad evitable, ¿vale chavales? 00:23:04
¿Sí o no? ¿Y la otra posibilidad cuál es? ¿La otra posibilidad cuál es, chavales? Pues que no exista el límite de f de x cuando x tiende a a. ¿Lo veis? No existe. ¿Por qué no existe? Porque no son iguales. ¿Vale? ¿Sí o no? 00:23:33
¿Sí? Entonces, ¿qué ocurre? Aquí puede pasar una cosa. Si el límite de f de x cuando x tiende a la izquierda es igual a un valor finito, pero es distinto de L2, que es otro valor finito, que es el límite de f de x cuando x tiende a la derecha. 00:23:56
Es decir, no existen límites, ¿por qué? Porque los límites laterales son distintos, ¿vale? ¿Sí o no? Pero si ambos límites son números finitos, L1 y L2 son valores finitos, ¿de acuerdo? 00:24:20
Yo puedo calcular el salto, ¿verdad? ¿Sí o no? ¿El salto cuánto vale? El salto es el valor absoluto de L1 menos L2, ¿verdad? ¿Sí o no? ¿Y ese salto cómo es? Finito, ¿verdad? 00:24:41
Pues entonces, chavales, f de x presenta discontinuidad de salto finito. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? ¿Lo entendéis bien? Es decir, no existe límite. ¿Por qué no existe límite? 00:24:55
Porque uno se va, por ejemplo, al 3 y el otro se va a 10 millones, me da igual, ¿vale? Pero son finitos los dos valores, ¿de acuerdo? Yo puedo calcular el salto, que es la diferencia de los dos, y ese salto, como lo puedo calcular, es un valor finito. Entonces, es una discontinuidad de salto finito. 00:25:22
sabiendo que no existe el límite 00:25:38
me da igual ya la f de a 00:25:41
¿lo veis? 00:25:43
ya me da igual la f de a 00:25:45
¿lo veis? 00:25:47
y entonces ¿cuál es la otra posibilidad chavales? 00:25:48
la otra posibilidad es que 00:25:51
el límite de f de x 00:25:52
cuando x tiende a a por la izquierda 00:25:56
sea igual a más menos infinito 00:25:59
o el límite de f de x 00:26:02
cuando x tiende a a por la derecha 00:26:06
sea igual a más menos infinito, con que uno de los dos, ¿vale? 00:26:08
Con que uno de los dos valga más menos infinito, primero que no existe el límite, ¿de acuerdo? 00:26:13
Y el salto, ¿cuánto valdría, chavales? Salto infinito. 00:26:20
Entonces, f de x presenta una discontinuidad de salto infinito. 00:26:25
¿Lo veis esto complicado, chavales? Esto de teoría, esto es súper importante. Teoría matemática, muy importante. Teoría matemática, muy importante. Y no es complicada. 00:26:38
porque al final que ocurre 00:26:57
si los límites son laterales 00:27:00
y además es igual que el f de a 00:27:03
yo puedo hacer el dibujo 00:27:04
de mi función 00:27:07
sin levantar el lápiz 00:27:08
es decir, si yo hago esto de aquí 00:27:10
sin levantar el lápiz 00:27:12
aquí por ejemplo que vale c 00:27:14
y esto vale, me estoy inventando un 3 00:27:16
¿cuál es el límite por la izquierda? 00:27:18
¿cuánto vale el límite por la izquierda? 00:27:21
¿eh? 00:27:23
¿y el límite por la derecha? 00:27:24
y la F de C, ¿cuánto vale? 00:27:25
3, son todos iguales, entonces yo directamente 00:27:28
lo puedo dibujar sin levantar el lápiz 00:27:31
luego, las discontinuidades evitables son estas dos 00:27:33
¿vale? es decir, los límites por la izquierda 00:27:37
y por la derecha son iguales, en este caso 00:27:40
son 2, ¿verdad? pero ¿cuánto vale 00:27:43
aquí F de C? F de C vale 3 00:27:46
y aquí directamente, pues no existe el F de E 00:27:49
De hecho, aquí el dominio, ¿cuál sería el dominio de esta gráfica, chavales? ¿Me lo sabéis decir? Menos menos c. ¿Lo veis? Todos los reales menos menos c. Entonces, aquí los límites por la izquierda y por la derecha son iguales, pero distintos. Aquí el salto es cero. Entonces, no hay discontinuidad ni de salto finito ni de salto infinito. No hay salto. Se llama discontinuidad evitable. ¿Vale? 00:27:52
Y luego aquí, ¿qué ocurre? Pues que aquí no existe el límite en C. ¿Por qué no existe el límite en C? Porque el límite por la izquierda y por la derecha son diferentes. Ahora es así. Los dos son valores finitos. Yo puedo medir este salto. ¿Lo veis? 00:28:18
Entonces, al poder medir yo este salto, hallamos onda letra, ¿de acuerdo? Es una discontinuidad de salto finito, ¿de acuerdo? Sin embargo, aquí, pero aquí también ocurriría, chavales, si los dos se me van a más infinito o los dos se me van a menos infinito, no existe límite, ¿vale? No existe límite. 00:28:34
Y al no existir el límite, al ser uno de ellos infinito, pues entonces una discontinuidad de salto infinito. 00:28:58
¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:29:10
Lo que quiero decir es, por ejemplo, esto de aquí. 00:29:13
Me pueden ocurrir varias cosas. 00:29:16
Que yo tengo aquí, yo que sé, el punto C este. 00:29:19
Me puede ocurrir que aquí se vaya al más infinito y aquí también se me vaya al más infinito. 00:29:22
Entonces yo veo aquí que el límite de f de x cuando x tiende a c por la izquierda es más infinito. 00:29:33
Y aquí el límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha es igual a más infinito. 00:29:41
Yo aquí tengo que decir que aunque sean iguales, entre comillas, los infinitos no son nunca iguales. 00:29:47
Entonces no existe el límite de f de x cuando x tiende a. 00:29:54
Y además, como uno de ellos es infinito, entonces f de x presenta una discontinuidad de salto infinito en x igual a c. 00:29:59
Y ya que estamos, ¿vale? Entonces, hay una asíntota vertical, ¿vale? Vertical en x igual a c. ¿Lo veis, chavales? ¿Cómo está todo súper relacionado? ¿Vale? 00:30:21
¿Qué ocurre ahora? Si yo, por ejemplo, tengo esto de aquí, si yo tengo esto de aquí, ¿vale? Y yo tengo aquí, por ejemplo, el punto C, si ambos se me van al menos infinito, perdona, al menos infinito, yo sí puedo decir que el límite, ¿vale? 00:30:41
Voy a poner aquí la separación. Vale, chavales, yo aquí que digo que el límite de f de x, coño, el límite de f de x cuando x tiende a c por la izquierda, ¿a dónde se me va, chavales? ¿A dónde se me va? Minus infinito. 00:31:09
el límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha 00:31:32
¿a dónde se me va? 00:31:39
al menos infinito 00:31:42
¿son los dos iguales? 00:31:43
no, los infinitos nunca son iguales 00:31:45
entonces no existe el límite de f de x cuando x tiende a c 00:31:47
¿vale? 00:31:55
el salto es infinito 00:31:55
Entonces, f de x presenta una discontinuidad de salto infinito donde nx igual a c. 00:31:57
Además, ¿qué ocurre? 00:32:20
Que hay una asíntota vertical en x igual a c. 00:32:22
¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? 00:32:32
¿Vale? 00:32:35
Esto es lo que más confunde a los chavales, que piensan, pues los dos se van al más infinito, entonces se van al mismo lado. No, no, es que el infinito es particular. ¿Vale, chavales? Y después lo que nos puede ocurrir también es lo que ya hemos visto, ¿no? 00:32:36
me queda otro caso también 00:32:51
lo voy a hacer aquí los dos 00:32:58
¿qué me puede ocurrir chavales? 00:33:01
que yo tenga aquí el c 00:33:05
yo tenga aquí c 00:33:07
por ejemplo, esto es c 00:33:10
y ahora uno se me 00:33:12
vaya al menos infinito 00:33:15
y aquí se me vaya al más infinito 00:33:17
o que aquí por lo que sea 00:33:19
se me va al más infinito 00:33:21
y aquí se me va al menos infinito 00:33:22
¿de acuerdo? 00:33:24
¿De acuerdo? También es una discontinuidad de salto infinito. De hecho, ¿aquí qué ocurre? Aquí el límite de f de x cuando x tiende a c por la izquierda, ¿cuánto vale, chavales? C por la izquierda. ¿Dónde se me va la función? Al menos infinito. ¿Vale? 00:33:25
Y el límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha, ¿dónde se me va c por la derecha? Al más infinito. ¿Qué ocurre? Que aquí ya sí que se ve mucho mejor, ¿verdad? 00:33:43
No existe el límite de f de x cuando x tiende a c. 00:33:57
En x igual a c, ¿qué es lo que hay, chavales? 00:34:05
Una discontinuidad de salto infinito. 00:34:08
Y además que hay una asíntota vertical en donde en x igual a c. 00:34:19
¿Vale? ¿Qué diferencia hay con este? Pues únicamente que aquí el límite de f de x cuando x tiende c por la izquierda, ¿a dónde se va? 00:34:34
Si yo me voy aproximando a c por la izquierda, ¿mi función dónde se va? Al más infinito. ¿Vale? 00:34:45
Y el límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha, ¿dónde se me va? C por la derecha, ¿dónde se me va? 00:34:52
menos infinito, ¿verdad? 00:35:01
Entonces, ¿qué ocurre? 00:35:04
Que no existe 00:35:05
no existe el límite 00:35:06
¿me estoy preocupando yo por cuánto vale 00:35:10
la función en c? 00:35:12
No. Límite de f 00:35:14
de hecho, según esto es que no está 00:35:16
definida, ¿vale? 00:35:18
Y entonces yo puedo decir 00:35:20
exactamente lo mismo de aquí. 00:35:22
¿Vale? Esto me vale tanto 00:35:24
para esta como para esta 00:35:26
de aquí. ¿Vale, chavales? 00:35:28
¿Sí o no? 00:35:30
¿Lo veis complicado? Ahora lo que tenemos que hallar es precisamente estos límites, ¿vale? Que eso todavía no lo hemos visto. Pero lo que es la continuidad como tal yo creo que es bastante fácil, ¿vale? 00:35:31
Y ya por rematar, ¿vale? Ya el último caso que nos puede ocurrir, chavales, es que ocurra ¿qué? Pues que yo tengo aquí, por ejemplo, ¿vale? Yo tengo aquí mi punto C y, por ejemplo, me lo estoy inventando, ¿eh? 00:35:42
Que esto se vaya aquí al carajo un poco, ¿no? Y sin embargo, aquí, pues vaya, por ejemplo, esto es una L, ¿de acuerdo? Por ejemplo, entonces, ¿qué ocurre, chavales? ¿Cuál es el límite? Lo voy a poner aquí. 00:35:59
el límite de f de x cuando x tiende a c por la izquierda. 00:36:18
Me acerco a c por la izquierda. 00:36:27
¿Dónde se me va la función? 00:36:29
Al más infinito, ¿verdad? 00:36:31
¿Cuánto vale el límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha? 00:36:34
¿Cuánto vale? 00:36:40
La L. 00:36:41
Aunque tenga aquí un dono, tenga aquí un punto todo gordo, ¿de acuerdo? 00:36:42
Es L, ¿vale? Es L. 00:36:48
Entonces, ¿qué ocurre? 00:36:51
Aquí, ¿cuánto vale el salto, chavales? 00:36:53
Infinito, ¿vale? 00:36:55
Entonces hay una discontinuidad de salto infinito. 00:36:56
¿Dónde? 00:37:07
En X igual a C. 00:37:08
Y hay una asíntota vertical en X igual a C. 00:37:10
¿Vale? Lo mismo ocurriría, vamos, voy a sellar caso, 00:37:21
pero ya, esto es de pero gruyo, ¿vale? 00:37:24
algo así que es un mojón 00:37:27
¿vale? si aquí por ejemplo 00:37:28
igual, esto tiende aquí 00:37:30
y aunque estén aquí 00:37:32
yo un punto todo gordo, ¿vale? 00:37:34
si este de aquí se me va al más infinito 00:37:35
o se me va al menos infinito 00:37:38
¿vale? esto también es una 00:37:40
discontinuidad, ¿vale chavales? 00:37:42
¿sí o no? ¿vale? 00:37:44
el límite aquí, límite de f de x 00:37:45
cuando x tiende 00:37:48
a c por la derecha, ¿cuánto se va? 00:37:49
¿A dónde se va a C por la derecha? 00:37:52
A más infinito, más infinito, ¿vale? 00:37:56
Y el límite de f de x cuando x tiende a C por la izquierda, ¿cuánto va? 00:37:59
A, L, ¿vale? Pues igual, ¿vale? 00:38:09
Entonces, me vale esto de aquí. 00:38:13
Hay una discontinuidad de salto infinito, hay una asíntota en x igual a C. 00:38:15
¿Lo veis, chavales? 00:38:20
No hay más de continuidad. 00:38:21
No hay más, ¿vale? 00:38:23
Y siempre que hay una discontinuidad de salto infinito, 00:38:25
entonces tenemos una asíntota vertical. 00:38:29
¿Vale, chavales? 00:38:31
Y luego, cuando teníamos asíntotas horizontales, ¿os acordáis? 00:38:33
Las asíntotas horizontales, cuando yo hago el límite en más infinito o menos infinito, 00:38:36
y me sale un valor finito, es, digamos, lo contrario. 00:38:41
Vamos a hacer aquí un cuadro resumen de asíntotas. 00:38:45
Cuadro resumen de asíntotas. 00:38:50
Luego pasa que vamos a estudiar también la asíntota oblicua, ¿vale? 00:38:56
La asíntota, voy a poner, no está completo, ¿eh? 00:39:00
Entonces, si el límite de f de x, cuando x tiende a más menos infinito en cualquiera de los dos, ¿vale? 00:39:08
Es igual a L, siendo L un valor finito, ¿vale? 00:39:19
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:39:25
Entonces, hay asíntota horizontal en Y es igual a L, ¿vale? Más adelante vamos a estudiar la posición, ¿vale? Y vamos a hacer cosas solamente de asíntota, pero para que ya nos suene, ¿vale? 00:39:27
Y si el límite de f de x cuando x tiende a c, tanto por la izquierda, o el límite de f de x cuando x tiende a c por la derecha es igual a más menos infinito, fijaros, yo aquí hago el límite de más menos infinito. 00:39:47
Si me da más menos infinito, todo correcto, ¿vale? Si hago el límite de f de x cuando x tiende a más menos infinito, me da una cosa diferente, es decir, me da un valor, entonces tengo asíntota horizontal. 00:40:12
Si yo en el límite, tanto por la izquierda o por la derecha, me sale más menos infinito, es decir, lo contrario, no me sale un valor finito, pues entonces hay una asíntota vertical en x igual a c. 00:40:25
¿Lo entendéis, chavales? ¿Sí? ¿Más o menos? Esto de teoría es súper importante y no es complicado. Aquí lo vemos, ¿verdad? 00:40:47
Aquí en principio, aunque es repetir lo mismo, pero bueno, ya que está aquí puesto, si yo tengo esto de aquí, ¿cuál es el límite aquí de x por la izquierda? 00:41:13
¿Cuánto vale el límite de f de x cuando x tiende a la izquierda? 00:41:29
¿Cuánto tiende? 00:41:34
A más infinito. 00:41:36
¿Cuál es el límite de aquí por la izquierda? 00:41:38
a menos infinito 00:41:40
y el límite de f de x 00:41:43
cuando x tiende a c por la izquierda 00:41:45
¿dónde tiende? 00:41:47
a L 00:41:49
¿vale? 00:41:50
¿sí? 00:41:51
¿sí? 00:41:52
voy a poner aquí mejor 00:41:56
¿vale? 00:41:57
aquí el límite 00:41:59
de f de x 00:42:00
cuando x tiende a c por la izquierda 00:42:02
es igual a más infinito 00:42:04
aquí el límite de f de x 00:42:05
cuando x tiende a c por la izquierda 00:42:08
es igual a menos infinito 00:42:10
y aquí el límite de f de x 00:42:12
cuando x tiende a c 00:42:15
es igual a y, ¿vale? 00:42:16
aquí sí o sí que va a haber 00:42:19
chavales 00:42:20
una asíntota 00:42:21
¿vale? vertical, ¿de acuerdo? 00:42:26
y aquí pues 00:42:28
tenemos que saber de la derecha evidentemente 00:42:30
¿vale? más o menos 00:42:32
venga 00:42:35
vamos a hacer 00:42:36
este pero del tirón 00:42:43
es que, bueno, quiero hacer esto nada más 00:42:47
¿vale? 00:42:49
Chavales, ejercicio, ¿vale? Y es muy fácil, ejercicio. 00:42:51
Vamos a ver, esto de aquí lo vamos a hacer. 00:43:00
El a dice límite de 1 partido x menos 1 cuando x tiende a 1, ¿vale? 00:43:04
Lo voy a hacer mejor, voy a hacer una cosa, esto de aquí voy a pasar de él, mejor. 00:43:13
Venga, lo vamos a hacer nosotros y así ya os enseño cómo se haría, ¿vale? 00:43:19
Fijaros esto de aquí, ¿vale? 00:43:23
Entonces, yo lo primero que tengo que hacer es que, chavales, 00:43:25
sustituir, ¿verdad? 00:43:28
Entonces, si yo sustituyo, aquí que me da 1 partido de 0. 00:43:29
¿Vale? 00:43:36
Y 1 partido de 0 es una indeterminación. 00:43:37
Es una indeterminación. 00:43:43
Entonces, chavales, teoría. 00:43:44
Siempre que al hacer el límite de f de x, 00:43:55
cuando x tiende a un punto A, 00:44:05
Si me sale del tipo k partido de cero, siempre que me salga k partido de cero hay que hacer los límites laterales. 00:44:08
Hay que hacer límites laterales. 00:44:19
Porque, por ejemplo, un inciso aquí, ¿cuánto vale el límite de 1 partido x menos 2 cuando x tiende a 1? 00:44:27
¿Cuánto vale el límite de 1 partido de x menos 2 cuando x tiende a 1? 00:44:40
1 partido de menos 1, aquí no pongo llave. 00:44:48
Las llaves siempre las pongo cuando tengo una indeterminación, ¿vale? 00:44:51
De 1 partido de 0, trabajo con los infinitos. 00:44:54
Es 1 partido de 1 menos 2, que esto es menos 1. 00:44:57
Muy bien, me lía. 00:45:01
¿Tengo que hacer aquí los laterales? 00:45:01
No hay que hacer los laterales. 00:45:03
no hay que hacer 00:45:05
laterales 00:45:08
solamente hago laterales 00:45:11
cuando me sale un k partido de 0 00:45:14
¿vale chavales? 00:45:16
y ahora vamos a ver aquí 00:45:18
cómo se procede 00:45:19
1 partido de 0 00:45:20
normalmente ¿qué puede ocurrir? 00:45:22
1 partido de 0 00:45:24
¿cuánto da eso? 00:45:25
1 partido de 0 00:45:26
¿da? 00:45:27
es una indeterminación 00:45:30
pero ¿qué va a dar siempre? 00:45:31
no, no 00:45:34
eso sería al revés 00:45:34
0 partido de 1, sí, ¿vale? 00:45:35
Pero 1 partido de 0 siempre va a dar o más infinito o menos infinito. 00:45:37
¿Vale, chavales? 00:45:42
Entonces, ¿aquí qué ocurre? 00:45:44
Límite de 1 partido de x menos 1 cuando x tiende a 1, ¿verdad? 00:45:47
Hemos visto que esto es 1 partido de 0. 00:45:52
Entonces hay que hacer los laterales. 00:45:55
Y aquí, muy importante, ¿vale? 00:45:59
Límite de 1 partido de x menos 1 cuando x tiende a 1 por la izquierda. 00:46:02
Chavales, yo sé que me va a dar 1 partido de 0, ¿vale? 00:46:09
Yo sé que me va a dar 1 partido de 0. 00:46:12
Pero a mí me interesa mucho, chavales, saber este 0 si es positivo o es negativo, ¿vale? 00:46:15
Entonces, si yo estoy en 1 por la izquierda, ¿qué valor cogería? 00:46:22
1 por la izquierda, ¿qué cogería? 00:46:28
el 0,9999999 00:46:30
¿no? y es más 00:46:33
exagerado, yo me iría incluso 00:46:34
al 0 ¿vale? 00:46:36
a mí lo que me interesa aquí, yo sé que esto va a ser 00:46:38
un 0, pero me interesa saber 00:46:40
si es un 0 positivo o un 0 negativo 00:46:42
¿vale? si yo me voy 00:46:44
al 0,99999 00:46:46
y yo le resto al 0,999 00:46:48
le resto un 1, ¿qué me va a salir? 00:46:50
un número 00:46:53
negativo ¿verdad? ¿sí o no? 00:46:53
entonces esto es un 0 negativo 00:46:56
esto es menos infinito. 00:46:58
¿Vale, chavales? 00:47:01
Y entonces, 00:47:03
límite, y con esto acabo, ¿vale? 00:47:04
Y perdonadme por el tiempo. 00:47:06
Cuando x tiende a 1 por la 00:47:08
derecha, ¿vale? 00:47:11
Yo sé que esto me va a dar 1 partido de 0, 00:47:12
pero a mí lo que me interesa es el 00:47:15
signo de ese 0. 00:47:16
1 por la derecha, que es 1,0000001, 00:47:18
exagerando, 00:47:22
¿a cuál me iría? Al 2. 00:47:23
¿Sí o no? 00:47:25
Entonces, 2 menos 1 00:47:26
es 1, tengo que poner aquí abajo 00:47:27
un 1, no, tengo que ver 00:47:30
que eso es positivo 00:47:32
es 1 más 0 positivo, esto es 00:47:33
más infinito, ¿vale? 00:47:36
entonces, ¿qué ocurre? 00:47:38
aquí que hay, hay 00:47:39
una, voy a ponerlo 00:47:41
con iniciales, esto no me lo pongáis 00:47:44
de discontinuidad, de salto 00:47:46
infinito 00:47:47
en x igual a 1 00:47:48
hay 00:47:52
una asíntota 00:47:52
vertical, asíntota vertical, en x igual a 1, ¿vale? Y chavales, con esto os dejo, ¿vale? 00:47:56
Si esto fuese el 1, ¿qué sé yo cómo sería mi gráfica? Mi gráfica por la izquierda 00:48:05
se va al menos infinito, ¿lo veis? Y por aquí se me va al más infinito. No sé cómo 00:48:10
es mi gráfica, ¿vale? Pero sería así, ¿vale? Entonces voy a parar la grabación 00:48:15
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
23 de abril de 2026 - 14:08
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
48′ 23″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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