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Subido el 26 de septiembre de 2020 por Jose S.

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En este vídeo vamos a trabajar el tema de la recta real 00:00:00
y su relación con los números reales. 00:00:03
Bueno, ya vimos que los números reales estaban constituidos por la unión de dos conjuntos, 00:00:10
el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales. 00:00:20
Los números racionales eran los que se podían poner en forma de fracción 00:00:25
y los irracionales no se podían poner en forma de fracción. 00:00:30
Bien, los números racionales, recordemos que incluían al conjunto de números enteros 00:00:36
y a su vez al conjunto de números naturales. 00:00:43
En definitiva, los números naturales estarían incluidos en el conjunto de los números enteros 00:00:48
y a su vez éste estaría incluido en el conjunto de números racionales. 00:00:57
Y por otro lado, estaría el conjunto de números irracionales, 00:01:04
que son los que no se pueden poner en forma de fracción, 00:01:09
y la unión de este conjunto y éste formaría el conjunto de números reales. 00:01:12
Pues bien, nuestra aspiración va a consistir en asignar a cada número real un punto de la recta. 00:01:21
Esto, pensemos que es una cuestión que se ha pretendido hacer desde los orígenes de la filosofía. 00:01:39
ya Pitágoras tuvo la intención o pensaba que era importante 00:01:49
asociar o relacionar el campo de la aritmética con el campo de la geometría 00:01:58
de hecho pensaban que la materia estaba constituida por números 00:02:03
y es mediante esta idea como se funden el campo del mundo numérico 00:02:08
de la aritmética, los números, con el mundo de la geometría, digamos, los puntos. 00:02:19
Entonces, en aquel empeño, los griegos pensaban que, con los números racionales, 00:02:29
se podría llegar a completar los puntos de la recta real, la recta, digamos. 00:02:38
Veamos esto. Por ejemplo, en una recta podríamos situar el 0 y a una distancia establecida, estándar, podríamos situar el 1 y con esto ya sería inmediato situar el número 2, el 3, el 4, dado que conocemos la unidad. 00:02:46
Bien, y así entonces podríamos representar los números naturales y los números enteros, porque pensemos que los números enteros son los elementos simétricos de los números naturales mediante esta recta vertical que pasa por el origen. 00:03:13
Pues bien, el siguiente conjunto numérico que ya conocían los griegos sería el conjunto de números racionales y los números racionales se podrían representar en la recta mediante el concepto de, digamos, de parte de la unidad. 00:03:50
Por ejemplo, el número tres cuartos lo podríamos representar en esta recta dividiendo la unidad en cuatro trozos y tomando tres. 00:04:20
Este punto vendría a representar el número tres cuartos. 00:04:46
lo hago un poquito más grande para que se vea 00:04:53
aquí está el 0 y aquí el 1 00:04:56
dividiríamos la unidad en 4 trozos 00:04:58
y este sería el elemento 3 cuartos 00:05:04
así en términos generales podríamos representar cualquier número racional 00:05:10
por ejemplo para representar el número 5 cuartos 00:05:14
Pues veríamos que esto es igual a 4 más 1 cuartos 00:05:23
O lo que es lo mismo que 4 cuartos más 1 cuarto 00:05:29
Esto es 1 más 1 cuarto 00:05:34
Y para representar este número, por tanto, en la recta real 00:05:39
Diríamos que está un poco por encima del 1 00:05:44
Porque al 1 le sumamos una cuarta parte de la unidad 00:05:48
Entonces, estaría entre este segmento, el segmento entre el 1 y el 2 00:05:52
Claro, es al 1 le sumamos una cuarta parte de la unidad 00:06:01
Y por tanto, a esta unidad la divido en cuatro trozos 00:06:05
Y tomaría 1, tal y como indica el numerador 00:06:10
y por tanto este es el número, este punto representaría el número 1 más un cuarto, que es 5 cuartos. 00:06:18
Pues con un número racional podríamos representar, por lo tanto, con los números racionales podríamos representar, 00:06:36
se pensaba en los griegos que se podrían representar todos los números, los puntos de la recta. 00:06:44
Pero se demostró que no era así y que de hecho si representara en una recta todos los números racionales se vería que está llena de huecos, infinitos huecos, incluso habría más huecos que puntos rellenados. 00:06:49
Por lo tanto, efectivamente, faltarían números si quisiéramos rellenar la recta real. 00:07:16
Y justamente estos números serían los números irracionales. 00:07:26
Veamos cómo podríamos representar los números irracionales. 00:07:31
En fin, representar todos los números irracionales es imposible porque hay infinitos, 00:07:38
pero vamos a ver como ejemplo el clásico número irracional raíz de 2. 00:07:44
Fijémonos que si en una recta sitúo aquí el 0 y aquí el 1, puedo dibujar aquí un triángulo rectángulo. 00:07:53
Imaginemos que este triángulo rectángulo tiene cateto una unidad y otra. 00:08:16
Pues bien, ¿cuánto mide esta hipotenusa? 00:08:22
Esta sería la hipotenusa. 00:08:30
Este es un cateto que mide una unidad y este es el otro cateto que mide la otra unidad. 00:08:35
Pues bien, aplicando el teorema de Pitágoras, se sabe que la hipotenusa al cuadrado es un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado. 00:08:42
Este sería un cateto y este sería el otro cateto. 00:08:54
Pues bien, resulta que en este caso la hipotenusa sería por tanto la raíz cuadrada, despejando de aquí h, obtenemos que es la raíz cuadrada de un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado. 00:08:58
Y por tanto aquí sería la raíz cuadrada de un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, que es justamente raíz de 2. 00:09:16
Por lo tanto, este, la hipotenusa, mide justamente la raíz de 2. 00:09:25
Es decir, que fijaros que el triángulo más básico de Pitágoras, el triángulo rectángulo más básico que te puedes encontrar es el que tiene catetos 1. 00:09:38
Pues este tan sencillo y tan simple resulta que tiene como hipotenusa un número irracional. 00:09:48
Pues bien, este número irracional lo podríamos ver representado en la recta real 00:09:57
trasladando la medida de esta hipotenusa mediante un compás pinchando aquí 00:10:02
y entonces esta medida valdría raíz de 2. 00:10:09
así que este punto representaría al número irracional raíz de 2 00:10:23
de esta manera mediante técnicas pitagóricas se pueden representar los números irracionales 00:10:31
pero no me interesa demasiado ahora con haber entendido un poquito por encima 00:10:36
cómo se representan los números irracionales me vale 00:10:42
lo que me interesa es sencillamente que veáis 00:10:45
que en la recta real se pueden representar tanto los números racionales como los números irracionales. 00:10:49
Y aquí está la cuestión importante. 00:11:00
Resulta que los números reales que veíamos que era la unión de Q con los números racionales, con los números irracionales, 00:11:07
Resulta que estos números sabemos representarlos en una recta y la cuestión importante está en que, por tanto, cada número que pertenece al conjunto de números reales se puede situar o le podemos asignar un único punto de la recta. 00:11:18
mediante las técnicas que hemos explicado antes. 00:11:49
Ahora bien, también sucede al revés y esto es la cuestión más importante. 00:11:55
Cada punto de la recta tiene a su vez su representante numérico del conjunto de números reales. 00:12:00
Quiere decirse que cada uno de los puntos de la recta viene asociado a un número real. 00:12:15
Será un número racional o un número irracional, pero un número real en definitiva. 00:12:29
Repito esta cuestión, por lo importante que es. 00:12:40
cuando se representaban los números racionales 00:12:42
en la recta 00:12:47
lo que se vio es que 00:12:49
si tú eliges al azar un punto cualquiera de la recta 00:12:52
como por ejemplo este 00:12:56
no necesariamente 00:12:57
vendría asociado a un número racional 00:13:00
porque en realidad había muchos puntos de la recta 00:13:04
que no eran números racionales 00:13:08
Y cuando se completó con el conjunto numérico de los irracionales 00:13:10
Sí se vio que al unir el conjunto de los números racionales como los irracionales 00:13:16
Sí que podíamos completar todos los puntos de la recta 00:13:25
Esto es, que cada punto de la recta le viene asociado algún número del conjunto de números reales 00:13:32
Y de esta manera se introdujo la aritmética en el mundo de la geometría como herramienta para designar puntos. 00:13:42
Idioma/s:
es
Subido por:
Jose S.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
21
Fecha:
26 de septiembre de 2020 - 0:50
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
14′ 02″
Relación de aspecto:
0.60:1
Resolución:
1080x1800 píxeles
Tamaño:
118.23 MBytes

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