Inecuación con fracción algebraica | Mediateca de EducaMadrid

Vamos a resolver la siguiente inequación con una fracción algebraica, es decir, yo quiero que esta fracción algebraica sea positiva, mayor que 0. 00:00:00

Es una inequación por el símbolo de desigual y esto es una fracción algebraica, ¿por qué? Porque en el denominador tengo una incógnita. 00:00:09

Aquí vamos a distinguir dos casos, el caso 1 que es que el numerador y el denominador sean positivos, ¿por qué? 00:00:17

Porque más entre más es más, ¿vale? Es decir, una fracción es positiva cuando hay el numerador y el denominador es positivo, 00:00:25

pero también tenemos el otro caso, el caso 2, que es si tanto numerador como denominador es negativo, 00:00:34

porque menos entre menos también es más, ¿vale? Es decir, si esto es negativo y esto es negativo, el resultado va a ser positivo. 00:00:41

Entonces, vamos a estudiar primero este caso. 00:00:48

quiero en el caso 1 que numerador y denominador sean positivos 00:00:50

es decir, quiero que x menos 2 sea positivo 00:00:55

y quiero que x más 3 sea positivo 00:00:58

ambas cosas simultáneamente 00:01:04

¿vale? entonces esto ya es una inequación de primer grado 00:01:06

que es muy sencilla de resolver 00:01:09

resuelvo primero la ecuación asociada 00:01:10

y aquí lo mismo 00:01:13

y ahora voy a hacer, esto ya sabemos que es de grado 1 00:01:16

por tanto es una recta, siempre vamos a trabajar con rectas o parábolas en este caso, y esto 00:01:23

es otra recta, ¿vale? Entonces, para dibujar como es un boceto, simplemente con saber que 00:01:29

pasa por este punto, corta aquí al eje X, y si es creciente o decreciente es suficiente, 00:01:37

entonces, una recta normalmente tiene esta expresión algebraica, ¿vale? M por X más 00:01:43

Entonces, si la m es positiva, mi recta es creciente. 00:01:49

Esto es lo que hacíamos un poco con las parábolas. 00:01:56

Y si la m es negativa, pues decreciente. 00:01:59

Entonces, esto como recordatorio. 00:02:07

Entonces, en este caso, la m siempre es el numerito que acompaña a la x. 00:02:15

Entonces, en este caso, la m es 1, ¿no? 00:02:18

Es 1 por x. 00:02:22

Entonces, como la M es 1 y es positiva, mi recta es creciente, ¿vale? 00:02:24

Entonces, me interesa que mi recta sea positiva, ¿vale? 00:02:32

¿Dónde es positiva? Es positiva, pues, del 2 en adelante, aquí es positivo. 00:02:40

En estos puntos de aquí, mi recta está hacia arriba, ¿vale? 00:02:45

aquí es positiva, por tanto la solución de esto es x pertenece del 2 en adelante 00:02:51

¿por qué en esta parte no me sirve? porque en esta parte es negativa 00:02:58

ahora hacemos lo mismo con esto, hago un boceto 00:03:02

primero dibujo donde es, donde corta el eje x que corta aquí en el menos 3 00:03:05

y ahora me interesa simplemente saber si es creciente o decreciente 00:03:14

igual, la m que es el valor 00:03:17

m es 1 00:03:18

positiva, que es el valor que acompaña 00:03:21

la x, si no aparece nada es 1 00:03:23

por tanto mi recta es creciente 00:03:25

entonces algo 00:03:27

algo así, vale 00:03:28

repito, me da igual la inclinación 00:03:32

pues si es menos inclinada, más inclinada 00:03:35

con que sea creciente me sirve 00:03:36

entonces yo quiero ahora que esta recta 00:03:38

sea positiva, ¿cuándo es positiva? 00:03:40

pues en estos puntos 00:03:43

del menos 3 00:03:44

en adelante, vale, en el menos 00:03:46

2 es positiva, en el menos 1 positiva, para x igual a 0 es positiva, en el 1, entonces 00:03:48

¿cómo pongo esto? x perteneciente del menos 3, sin incluir, ¿vale? porque no quiero, 00:03:54

en el menos 3 vale 0 y yo no quiero que valga 0, del menos 3 al más infinito, ¿vale? 00:04:00

Pero cuidado, yo quería que se cumpliera esto y esto, es decir, se tiene que cumplir 00:04:06

esto y esto, ¿vale? Entonces, vamos a ver, estudiamos ahora la intersección de los intervalos. 00:04:12

Entonces, yo tengo el menos 3 y el 2. Aquí me dice que la x tiene que ser del 2 a más 00:04:36

infinito, es decir, más grande que 2, sin incluir el 2, ¿vale? Y esto me dice que tiene 00:04:44

que ser del menos 3 en adelante. Entonces, ¿dónde se coinciden en este caso ambas flechas? 00:04:50

Pues en esta parte no, porque en esta parte solo está esta flecha, que sería este trocito 00:04:57

de aquí, ¿vale? Y aquí, a partir del 2, es donde coinciden ambas flechas. ¿Qué quiere 00:05:01

decir eso? Que del 2 en adelante, a partir del 2, se cumple que esto es positivo y esto 00:05:07

es positivo. Porque si yo cojo solo este tramo, ¿vale? En este tramo, la única que es positiva 00:05:13

del menos 3 al 2 sería esta, solo se cumpliría esta parte, porque del menos 3 al 2, esta de aquí es negativo, ¿vale? 00:05:19

Esta sí es positiva, pero esta no, y como quiero que se cumplan las dos cosas, entonces la solución final de la opción del caso 1, ¿vale? 00:05:29

Estamos en el caso 1 todavía, es x perteneciente del 2 a más infinito, esta es la opción del caso 1, ¿vale? 00:05:38

Pues ahora hay que hacer lo mismo análogo para el caso 2, ¿vale? Entonces, del caso 2, ¿qué me dicen? Del caso 2 me dicen que ambos sean negativos, porque menos entre menos, más, es decir, que x menos 2 sea negativo y x más 3 sea negativo. 00:05:50

entonces, aquí ya no hace falta repetir este proceso porque ya lo tengo 00:06:10

incluso ya tengo las rectas, si queréis me dibujo un poco las rectas otra vez 00:06:15

pero ya sabía que era, portaba en el 2, era creciente 00:06:19

y aquí portaba en el menos 3 más o menos y era creciente 00:06:24

¿cuál es la diferencia? que ahora aquí me interesa que sea negativa y aquí también 00:06:31

y aquí era el contrario, por tanto los intervalos van a ser los contrarios 00:06:36

Entonces, ¿cuándo esta recta es negativa? Pues a partir de estos puntos, en este tramo del eje x, ¿vale? Este es el menos infinito. 00:06:39

Entonces, si la x vale, por ejemplo, menos 3, pues es negativa. Si vale 1, es negativa, es decir, aquí es negativa, que es lo que me interesa. 00:06:49

¿Vale? Entonces, la solución sería de esta parte, es que x pertenece desde el menos infinito hasta el 2, ¿vale? 00:07:00

Entonces, esto con esto, pero se tiene que cumplir también esto 00:07:08

Vamos a ver la solución de esto 00:07:13

Entonces, yo quiero que mi recta ahora sea negativa 00:07:15

¿Dónde es negativo? Pues igual, aquí, en todo este tramo 00:07:18

Aquí es negativo 00:07:21

¿Vale? Entonces, ¿cuál sería la solución? 00:07:23

X pertenece de menos infinito hasta el menos 3 00:07:26

Como yo quiero que se cumplan ambas cosas 00:07:31

voy a estudiar la intersección como antes 00:07:37

la intersección de los intervalos 00:07:40

entonces yo tengo 00:07:42

el menos 3 y el 2 00:07:43

los coloco siempre de menor a mayor 00:07:45

tal y como se colocan en la recta numérica 00:07:48

esto me dice 00:07:50

que tiene que ser 00:07:52

para que se cumpla esto la x tiene que ser 00:07:54

más pequeña 00:07:56

que 2 para acá 00:07:57

y para que se cumpla esta parte 00:07:59

tiene que ser más pequeña 00:08:01

de menos 3 para acá 00:08:03

Y como yo quiero que se cumplan ambas cosas, es decir, ¿dónde intersecan los intervalos? ¿Dónde están las dos flechas? Aquí, en esta parte, ¿vale? Entonces, ¿esta parte cuál es? Pues, x pertenece desde menos infinito a menos infinito. Pues, esta es la otra solución, ¿vale? 00:08:05

Entonces, realmente la solución de mi inequación algebraica de esta es esto unión esto, ¿vale? 00:08:26

Es decir, ambas cosas. 00:08:34

Esta es la solución de mi caso 1 y esta es la solución de mi caso 2, ¿vale? 00:08:37

A ver, una cosa, volviendo aquí, ¿qué pasa? 00:08:41

Que si yo cojo un valor aquí entre medias, entre el menos 3 y el 2, pues, por ejemplo, el 0. 00:08:43

pues esta parte, o sea, solo coincide en un tramo 00:08:53

entonces, para x igual a 0, esta parte sí sería negativa 00:08:58

que es esta de aquí, ¿vale? 00:09:02

sin embargo, para x igual a 0, la otra, que es esta, sería positiva 00:09:05

entonces no me interesa, por eso no cojo este tramo 00:09:10

porque en este tramo solo hay un intervalo 00:09:13

no están los dos, como aquí 00:09:16