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Repaso factorización polinomios - Contenido educativo

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Subido el 20 de noviembre de 2024 por Jose Andres G.

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Buenos días. Vamos a intentar resolver una duda que ha surgido con lo del tema de factorización de polinomios. 00:00:02
Lo primero es indicar que factorizar un polinomio es ponerlo como multiplicación de polinomios de menor grado a él. 00:00:10
En cierta medida es ligeramente similar a lo que hacíamos cuando intentábamos factorizar un número, 00:00:18
que era ponerlo como multiplicación de prima. 00:00:26
No es exactamente el mismo concepto, pero es muy, muy, muy parecido. 00:00:28
Es decir, cuando hacíamos primos, queríamos factorizar primos, un número, perdón. 00:00:33
Cuando queríamos factorizar un número, por ejemplo, supongamos que teníamos 1.260, 00:00:39
lo que hacíamos era intentar dividirlo entre los primos. 00:00:43
Y decíamos, 1.260 se puede dividir entre 2. 00:00:46
Al dividirlo entre 2 nos saldría 630. 00:00:50
Se puede seguir dividiendo entre 2. 00:00:53
Nos saldría 210. 00:00:55
210, por ejemplo, es que puedo dividir entre 5. Me saldría 42, si no mal recuerdo. 00:00:58
Y ahora 42, un segundo, a ver si la estoy liando y no quiero liarla tan pronto. 00:01:09
300 sería entre 2. Aquí está el fallo. Vale, el fallo era que 630 no era entre 2, no era 210, sino 300. 00:01:21
315 entre 5 00:01:30
me sale 00:01:32
a 63 00:01:34
63 lo puedo dividir entre 3 00:01:35
por ejemplo 00:01:40
y me sale a 21 00:01:41
21 lo puedo volver a dividir entre 3 00:01:44
me sale 7 00:01:46
entre 7 no tengo más opciones 00:01:47
y ya consigo 00:01:50
con esto que he conseguido 00:01:50
ya saber que la 00:01:53
1260 00:01:55
se puede poner como 00:01:59
2 elevado a 2 00:02:00
un poco bien 00:02:03
por 3 00:02:07
elevado a 2 00:02:10
vamos a ponerlo bien 00:02:12
por 5, por 7 00:02:15
entonces esta sería la 00:02:19
factorización de números 1260 00:02:22
y en lo que se pretende 00:02:24
con 00:02:26
polinomios es algo muy similar 00:02:27
entonces poner un polinomio como 00:02:30
multiplicación 00:02:32
de polinomios de menor 00:02:35
grado. 00:02:36
Entonces, la forma 00:02:39
más fácil es sabiendo sus raíces. 00:02:40
Si tú sabes las raíces del 00:02:43
polinomio, entonces, 00:02:44
automáticamente, aquí 00:02:47
lo que van a hacer son 00:02:50
polinomios de grado 1. 00:02:51
Esto va a hacer 00:02:55
el efecto de primos. Aunque aquí 00:02:56
no es el mismo concepto, porque te sirve cualquiera. 00:02:58
Es decir, no tienen por qué ser 00:03:01
números, no tienen por qué ser primos. Es decir, las raíces podrían ser 00:03:01
4, 8, no hay ningún problema. 00:03:04
Entonces, la única cuestión 00:03:07
es verlo como se puede poner como polinomio 00:03:08
de grado. No siempre se podrá, 00:03:10
pero si saca las raíces, sí. 00:03:12
El truco está en que 00:03:14
si tú tienes una raíz, sea la que sea 00:03:16
el número, la raíz recuerda que son 00:03:18
soluciones, recuerda que son soluciones del 00:03:20
polinomio que tiene, 00:03:22
eso indica que automáticamente 00:03:24
se puede dividir entre el 00:03:26
binomio 00:03:29
que se forma con x 00:03:29
menos la raíz. 00:03:32
¿De acuerdo? 00:03:37
Es decir, x menos 00:03:38
La raíz siempre es un factor de ese polinomio. 00:03:39
Recordar que como máximo, y he dicho máximo, mínimo puede ser ninguna, 00:03:46
como máximo un polinomio tiene tantas raíces como el grado, pero es como máximo. 00:03:51
Como mínimo, ninguna. 00:03:57
Es decir, polinomio puede ser que no tenga ninguna raíz. 00:03:59
Pero si tiene grado 3, lo máximo que podrá tener son 3. 00:04:02
Y atención que hay veces que las raíces pueden ser igual o distintas. 00:04:06
Es decir, a veces se duplican, puede ser dos veces el 1 y otro el 2, o dos veces el 5 y otro el 6, cosas así. 00:04:09
Pero máximo tres, igual o distinta. 00:04:16
Mínimo, mínimo hasta ninguna, y las intermedias casi todas. 00:04:18
Cualquier combinación es posible. 00:04:22
Entonces, si sabes una raíz, ya sabes automáticamente un polinomio, o binomio como quieras llamarlo, 00:04:25
De grado 1 que lo divide, que es un factor del original, del grande. 00:04:35
Y siempre es x menos la raíz. 00:04:41
Es decir, que si la raíz es 1, que es positivo, pues del 1 saco x menos 1. 00:04:45
Si tengo menos 1, el que saco es x menos menos 1. 00:04:57
Menos, porque digo menos, y la raíz es menos 1. 00:05:03
Pero es que menos con menos es más. 00:05:06
Siempre se suele decir que es X con la raíz cambiada de signo. 00:05:10
Ya es lo que te resulta más fácil. 00:05:14
Y con el 2, pues lo mismo, sería X menos 2. 00:05:17
Siempre es X menos la raíz. 00:05:23
O si tú quieres ponerlo mejor como X con después la raíz cambiada de signo. 00:05:28
Es decir, si aquí es positiva, aquí pondremos negativa, si aquí es negativa, aquí es positiva. 00:05:35
Estos serían, como a efectos prácticos, los primos que veíamos antes, los números. 00:05:39
Entonces, ¿qué te queda? 00:05:47
Que ese polinomio de grado 3 va a ser igual a x menos 1 por x más 1 por x menos 2. 00:05:48
Así de simple, así de fácil. 00:06:14
No necesito saber cuál es el polinomio. 00:06:16
Si me dan las raíces, ya lo tengo. 00:06:19
Obviamente, para poder factorizarlo necesito saber las raíces. 00:06:22
Si no sabes las raíces, no hay forma de hacerlo. 00:06:25
Y recuerda que esto de aquí, a efectos prácticos, es lo mismo que hacíamos aquí al factorizar. 00:06:30
Buscábamos cuáles eran los primos y después se ponían todos multiplicados entre sí. 00:06:35
Aquí lo hacíamos de menor a mayor, por estética. 00:06:39
por estética, que si tú 00:06:42
esto lo quieres poner en otro orden, no pasa nada. 00:06:44
Aquí tres cuartos de lo mismo. 00:06:47
Yo lo he puesto así 00:06:49
porque me venía en este orden aquí. 00:06:50
Pero que si lo quiero poner 00:06:55
en otro orden distinto, no 00:06:56
importa. 00:06:58
¿De acuerdo? Siempre recuerda 00:07:00
que una vez que tenga la raíz 00:07:02
es automáticamente 00:07:04
x menos la raíz. O luego mismo 00:07:06
x y después poner el número cambiado de signo. 00:07:08
Siempre tiene que ser sumando o restando. 00:07:11
Y siempre es x menos. 00:07:12
aquí es más, es igual 00:07:14
es decir, siempre 00:07:15
no hay opciones, ¿de acuerdo? 00:07:17
¿dónde está el problema? el problema es cuando te doy 00:07:22
el polinomio 00:07:24
y tú tienes que sacar la raíz 00:07:24
ahí hay otro problema, que es distinto 00:07:27
vale, aquí tenemos 00:07:29
como lo habíamos hecho antes 00:07:31
y después, lo que te aparece aquí 00:07:33
en la de solucionario 00:07:35
es decir, si te fijas, esto es igual 00:07:37
es que al final lo que hago es poner más en la multiplicación 00:07:39
es decir, esta parte de aquí 00:07:42
lo que hago es desarrollarla. 00:07:45
Hace falta desarrollarla, sinceramente. 00:07:50
Es decir, el desarrollo te serviría 00:07:52
si tú supieses cuál es el polinomio original 00:07:55
y quisieras comprobarlo, 00:07:58
que no te has equivocado. 00:08:02
O en este caso particular, 00:08:04
que es que te pide que lo calcules. 00:08:05
Pero porque en este caso particular 00:08:08
te pide que lo calcules. 00:08:09
Si yo, y te dicen, mira, 00:08:11
he hecho la multiplicación y me sale esto. 00:08:13
Si el problema hubiese sido, dado este polinomio, factorízalo, 00:08:15
y ya te doy este polinomio de aquí, que te he subrayado y que te lo voy a hacer en grande. 00:08:21
Si te doy ese polinomio y te digo, factorízalo, 00:08:26
tú llegas a esta expresión y se han sacado. 00:08:29
Que tú quieras después ver si lo has hecho bien o mal. 00:08:34
Lo multiplicas y ves que llega a lo mismo. 00:08:37
Pero, salvo que te pida, como es en este caso, que calcula el polinomio, no haría falta. 00:08:40
Si te pido que factorices, es llegar solo y exclusivamente hasta aquí. 00:08:47
¿Dónde está el problema? El problema es que no siempre salen todos los polinomios de grado 1. 00:08:53
Hay veces que te quedas entre media. ¿Y qué se hace en esos casos? 00:09:00
El ejemplo más claro es este. 00:09:07
Dice, sabiendo que el 2 es la única raíz del polinomio, 00:09:09
y que esto quiere decir que es divisible entre x menos 2, 00:09:13
esta parte de aquí no haría falta que te lo dijese. 00:09:17
Es decir, esta parte de aquí no haría falta que te lo dijese. 00:09:23
¿Por qué? Porque es lo que hemos dicho antes. 00:09:26
Si el 2 es una raíz, automáticamente se puede dividir entre x menos la raíz. 00:09:28
Como es 2, x menos 2. Si en vez de menos 2, perdón, si en vez de 2 fuese menos 2, si en vez de 2 fuese menos 2, recuerda que aquí en vez de menos 2 tendrías que poner más 2. 00:09:36
Porque menos con menos es más. ¿Este no es el caso? No pasa nada. Vamos a seguir con esto. 00:09:55
Entonces, en este caso, te doy esto. 00:10:01
Digo que es la única raíz. 00:10:03
¿Por qué digo que es la única raíz? 00:10:05
Para que no siga haciendo los fines. 00:10:06
Esto sobre todo lo entenderás en el siguiente tema, 00:10:08
en el tema 4. 00:10:10
Entonces, ¿qué es lo que tenemos que hacer? 00:10:12
Primero, cuando ya te dicen que es una única raíz, 00:10:14
o no te lo dicen, o te dicen factoriza, 00:10:20
porque una vez que estemos en el tema 4, 00:10:22
yo no tengo que decir si es raíz o no. 00:10:25
Ya te digo factoriza. 00:10:26
Te doy el polinomio y te digo factoriza. 00:10:29
factorizar es sacar las raíces, que a partir del tema 4, 00:10:32
tú sabes, o vosotros sabéis hacerlo, que es aplicar Ruffini. 00:10:35
¿Qué es lo que puede ocurrir? 00:10:42
Que tú te pongas a aplicar Ruffini y llegues a este tipo de ejercicio 00:10:43
donde sacas el primero que es el 2, 00:10:48
y llegas aquí y con Ruffini te dice que no hay más números enteros que lo divida. 00:10:51
Cuando se quiere factorizar, este número aquí no puede ser decimal, 00:11:00
Tiene que ser un número entero. 00:11:04
Es decir, siempre tiene que ser x más algo, x menos algo, pero ese algo no puede ser decimal. 00:11:06
Tiene que ser un número entero. 00:11:10
Bien, si llegas a un punto, que esto más lo entenderás en el tema 4, 00:11:13
donde no puedes seguir bajando, es decir, solo has sacado esta raíz, o varias, 00:11:18
pero llegas a un punto y ya no puedes seguir, lo que se hace es que la primera se pasa igual que antes. 00:11:22
Es decir, x menos 2. 00:11:28
y lo que te queda aquí se transforma en polinomio. 00:11:30
Para transformarlo en polinomio tienes que empezar olvidando el último número, 00:11:37
que es cero, este se olvida. 00:11:41
Y tienes que transformar esto en polinomio. 00:11:43
Para transformarlo en polinomio siempre tienes que recordar 00:11:46
que el último número es el que va sin la x. 00:11:48
Y a partir de ahí los anteriores son x subiendo cada vez el grado. 00:11:51
Es decir, el primero sin x, el siguiente sería con una x, y al siguiente le correspondería la x al cuadrado. 00:11:57
Si hubiese más, por aquí, pues x al cubo, x a la cuarta, x elevado a 5, etc. 00:12:09
Vamos a ponerlo en mayúsculas, que lo vamos a poner en mayúsculas, y ya. 00:12:15
Entonces, ¿cómo se transforma esto en un polinomio tan simple y tan fácil? 00:12:23
Cogiendo los números con sus signos. 00:12:28
¿Qué es positivo? Recuerda que sería como si pusieses un más. 00:12:30
Si lo recuerdas, ya no hay ningún problema. 00:12:35
Entonces, eso se transformaría en más 1x al cuadrado, más 1x más 3. 00:12:41
Si alguno en vez de ser más, puede ser menos, vale menos y se han sacado. 00:12:51
Luego, si tú quieres, 00:12:56
esta expresión la puedes poner estéticamente más bonita. 00:12:59
He dicho estética. 00:13:03
Recuerda que si la X lleva un 1, 00:13:04
no es necesario poner el 1. 00:13:06
Y que si es más 1 y es lo que está al principio 00:13:08
y antes no hay nada, 00:13:11
ese más y ese 1 pueden oponerse. 00:13:13
Es decir, que si tú quieres poner esto como así, 00:13:15
estéticamente queda mucho mejor. 00:13:24
Pero, atención, he dicho estética. 00:13:25
Es decir, tú pones esto, está bien. 00:13:28
Tú pones esto, también está igual de bien. 00:13:30
Lo único que tienes que recordar es que para factorizar todo esto lo pongas entre paréntesis. 00:13:34
A partir de aquí, ya simplemente he decidido, oye, ¿qué me ha quedado? 00:13:38
Me ha quedado primero que un factor era el 2, una raíz era el 2, perdón. 00:13:48
Por lo tanto, eso significa que se puede dividir entre x menos 2. 00:13:54
y esto de aquí es 00:13:58
lo último entre lo que se puede 00:14:00
dividir, porque no se puede seguir 00:14:02
bajando, entonces 00:14:04
¿qué significa? que es como si 00:14:06
tuvieses dicho, oye, el número 00:14:08
original, recuerda 00:14:10
el número original, 1260 00:14:11
se pudiese dividir entre 2 00:14:14
y después entre 5 y nada más 00:14:16
es decir, imagínate que te digo 00:14:18
vamos a ponerlo con un número para que se vea mejor quizás 00:14:20
imagínate que digo, factorízame 00:14:22
el 10 00:14:24
y tú dices, oye, es que el 10 00:14:25
Si yo hago lo de factorizar, me sale que se puede dividir entre 2, después entre 5 y se acabó. 00:14:28
Es decir, ¿qué me diría? Oye, es que el 10 es igual a 2 por 5. 00:14:44
Aquí es lo mismo, pero con polinomio. 00:14:51
Entonces, ¿qué significa? Que tú has dicho que puedes dividir entre x menos 2. 00:14:54
Y esto que te queda aquí abajo, ese polinomio que sale de aquí abajo, es otro entre el que se puede dividir. 00:14:58
Y ya no hay más. 00:15:06
Por lo tanto, ¿qué significa que el polinomio que me dan se es esto de aquí? 00:15:07
Se puede dividir entre x menos 2 por x cuadrado más x más 3. 00:15:17
Eso es simple y llanamente factorizado. 00:15:26
que tú quieres ver que lo has hecho bien 00:15:29
lo único que tenías que hacer es 00:15:31
ahora, multiplica este por este 00:15:33
que no te lo pido, pero si tú tienes mucho 00:15:35
tiempo y quieres ver, oye, ¿me he equivocado o no? 00:15:37
multiplica estos dos 00:15:40
y compruebas que te sale esto de aquí 00:15:41
y así tú ya comprobarías que está perfecto 00:15:43
pero eso no es necesario 00:15:45
salvo que te lo pida el ejercicio 00:15:46
es decir, el anterior ejercicio que te decía 00:15:49
sácame el polinomio, calcula el polinomio 00:15:51
entonces en ese caso 00:15:54
sí porque te dice que lo calcules 00:15:55
En este caso, no te pide que lo calcules. 00:15:57
Te pide que lo factorices y punto. 00:16:00
Y ya. 00:16:02
Y con esto ya no tengo nada más que decir. 00:16:04
Si veis alguna cosa más, me comentáis. 00:16:07
Mucho ánimo. 00:16:09
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación de personas adultas
    • ESPAD
      • Tercer Curso
      • Cuarto Curso
Autor/es:
Andrés Gutiérrez-R M
Subido por:
Jose Andres G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
20 de noviembre de 2024 - 7:48
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB PAULO FREIRE
Duración:
16′ 17″
Relación de aspecto:
1.86:1
Resolución:
1920x1030 píxeles
Tamaño:
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