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Clase 24/01/22 - Contenido educativo

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Subido el 24 de enero de 2022 por Pablo Jesus T.

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Hoy vamos a dar el primer concepto ya complicado, que ya lo dimos el año pasado y es lo mismo, 00:00:02
pero con tres dimensiones, y empezaremos ya a tener cierto tipo de ejercicios, que es 00:00:11
el concepto de producto escalar de dos vectores. 00:00:17
El producto escalar de dos vectores, obviamente, como dice su propio nombre, es un producto de dos vectores y el resultado es un escalar. 00:00:21
Mauro, ciérrame la puerta, si no te importa. Y el resultado es un escalar, es decir, el resultado es un número. 00:00:39
¿Y qué número? Bueno, pues vamos a verlo, nos vamos a la entrada y vamos a escribir un vector que fuera, por ejemplo, 3, 1, 5. 00:00:48
Os recuerdo que eso se escribía simplemente poniendo dos veces paréntesis, vector delante, claro, vector, dos paréntesis y las coordenadas que he dicho, 3, 1, 5, por ejemplo, ¿vale? 00:01:03
damos enter y ya tenemos 00:01:24
nuestro vector 00:01:29
3, 1, 5, ahí le tenéis 00:01:32
y ahora vamos a poner 00:01:38
por ejemplo el vector 00:01:41
0, 1, 2 00:01:44
entonces sabéis que podemos dar bajar 00:01:53
y escribir 00:01:56
en vez de 3, 1, 5 00:02:00
pues 0, 1 00:02:02
y ahí tengo mis dos vectores 00:02:07
para hacer el producto escalar 00:02:12
pues si queréis los vamos a poner en distintos colores 00:02:15
el vector U le vamos a poner en azul 00:02:19
y más gordito 00:02:26
hasta 10 00:02:29
y el V en rojo 00:02:34
y también más gordito 00:02:36
el que quiera hablar se puede salir fuera 00:02:40
y charla todo lo que quiera 00:02:45
y ya cuando haya terminado de hablar que entre 00:02:47
vale 00:02:50
a mi no me importa 00:02:52
bueno, pues ahí tengo mis dos vectores 00:02:55
¿de acuerdo? 00:03:00
entonces, si nosotros 00:03:02
tenemos dos maneras de hacer el producto escalar 00:03:04
en GeoGebra 00:03:08
una será simplemente poner u por v 00:03:11
si yo pongo u por v, pues nos va a dar un número 00:03:13
Pero ahora veremos qué número. En este caso, da 11 y luego explicaremos por qué. 00:03:16
También hay otro comando, si no me equivoco, ahí lo tenéis, que es escribir producto escalar. 00:03:22
Si yo pongo prop, ya me sale producto escalar y luego pondría los dos vectores. 00:03:33
¿De acuerdo? No tiene mucho sentido utilizar el comando producto escalar cuando simplemente con poner u por v ya lo tiene. 00:03:39
Y evidentemente, como hemos dicho, ¿para de dónde sale ese número? 00:03:50
Pues ese número es el producto de un vector por la proyección del otro en su dirección. 00:03:54
Vamos a hacerlo y lo vamos a ver. 00:04:02
Vamos a empezar, y esto es lo bueno, que para eso venimos aquí a hacerlo con GeoGebra 00:04:04
Pintando los puntos que después vamos a necesitar para hacer rectas y tal 00:04:10
Entonces vamos a definir el punto O, mayúscula, O mayúscula como el 0, 0, 0 00:04:16
¿Vale? 00:04:23
Ahí lo tenéis 00:04:28
Y si bajamos, pues vamos a definir el punto A, por ejemplo, como O más el vector. 00:04:30
esto ya dijimos que no se puede escribir en un examen 00:04:52
¿verdad? porque estoy utilizando una aritmética de puntos 00:04:58
y vectores, si, escribimos 00:05:02
a igual a o más u 00:05:06
o más vector 3, 1, 5 si lo tenemos escrito 00:05:10
efectivamente yo aquí, en vez de, lo he puesto porque ya lo tenía 00:05:13
escrito, pero si tengo que empezar, pues sería más fácil poner 00:05:18
A igual a O más U 00:05:22
veis que ya ha salido el puntito 00:05:23
y B 00:05:26
sería 00:05:28
O más V 00:05:30
ya tenemos ahí el otro puntito 00:05:32
¿vale? 00:05:35
o sea que he preparado el ejercicio 00:05:37
para tener los tres puntitos 00:05:40
y ahora vamos a empezar con lo que es 00:05:42
el producto 00:05:44
escalar 00:05:45
¿todos listos? 00:05:46
Bueno, empezamos por hacer la dirección 00:05:52
Atended que ahora viene lo medianamente complicado 00:05:57
Empezamos por hacer la dirección del vector U 00:06:00
La dirección del vector U hay que coger la herramienta recta 00:06:03
Y pinchar en O y en A 00:06:07
Y ya tengo la dirección del vector U 00:06:12
¿Lo veis? 00:06:17
si tenéis interés 00:06:18
pues se puede hacer 00:06:23
que sea más finita 00:06:24
o que sea punteada 00:06:26
¿vale? 00:06:30
vamos a ver, lo voy a volver a repetir 00:06:35
no tengo ningún problema 00:06:37
con que el que tenga algo que hablar del fin de semana 00:06:39
que se lo ha pasado muy bien 00:06:41
se salga afuera con quien quiera 00:06:42
y esté un rato ahí hablando 00:06:44
Ya cuando entre, que entre a dar matemáticas 00:06:46
Y si no entra, es su problema 00:06:49
Más fácil no lo puedo poner 00:06:50
Bueno 00:06:54
¿Lo veis? 00:06:58
Bueno 00:07:05
Esto 00:07:05
Cuando nosotros 00:07:06
Hacíamos 00:07:08
El año pasado 00:07:10
nosotros teníamos un vector 00:07:15
y otro vector 00:07:17
y decíamos, lo que nosotros hacemos 00:07:21
para hacer el producto escalar 00:07:23
es la proyección 00:07:25
es decir, la perpendicular 00:07:27
que pasa por el extremo 00:07:29
del vector 00:07:32
y esto es la proyección 00:07:32
os dije 00:07:36
no sé si alguno lo habrá hecho 00:07:37
que os miraréis 00:07:39
los apuntes del producto escalar 00:07:42
del año pasado 00:07:43
eso era la proyección 00:07:44
desde ahí hasta ahí 00:07:46
y el producto escalar 00:07:47
si este sube y este sube 00:07:49
pues era 00:07:51
esta longitud 00:07:52
por esta longitud 00:07:54
si lo ponemos en otro color 00:07:59
es producto de esas dos longitudes 00:08:01
vamos a ver si somos 00:08:05
capaces de hacerlo 00:08:06
en GeoGebra 00:08:07
en tres dimensiones 00:08:10
Bien, aquí como podéis entender no podemos hacer la recta perpendicular a U 00:08:13
Y ya estamos aprendiendo conceptos de geometría 3D 00:08:22
¿Cuántas rectas perpendiculares a U creéis que se pueden trazar? 00:08:26
Al vector azul 00:08:32
Infinitas 00:08:34
En realidad, lo que es perpendicular al vector azul o a la línea que lo contiene es un plano. 00:08:39
Lo perpendicular a la línea punteada es un plano. 00:08:51
¿Entendéis? 00:08:55
Si ponéis vuestro dedo así, lo perpendicular a vuestro dedo es mi mano. 00:08:57
O al dedo es mi mano, ¿lo entendéis o no? 00:09:05
lo perpendicular a una recta en 3D es un plano 00:09:07
¿vale? así que vamos a hacer 00:09:11
el plano perpendicular a U que pasa por 00:09:15
Barcelona, el plano perpendicular 00:09:19
a U que pasa por Barcelona, así que aquí 00:09:23
tenemos la herramienta plano perpendicular 00:09:27
la cogéis 00:09:30
y pinchamos en la línea F 00:09:34
que hemos creado, la recta 00:09:40
y en B de Barcelona 00:09:42
y os tiene que haber salido un dibujo parecido al mío 00:09:45
si estáis haciendo los mismos vectores 00:09:49
porque podíais haber hecho otros 00:09:52
pues exactamente igual al mío 00:09:54
¿lo veis? 00:09:56
esa línea, mirad, si yo me pongo así 00:09:57
si tengo suficiente 00:09:59
es perpendicular al azul 00:10:01
¿Lo veis? Al vector, a la negra. 00:10:03
Y por otro lado pasa por el punto B. 00:10:08
Ahora os pregunto, ¿cuál es, cómo podríamos calcular la proyección del vector rojo sobre la línea azul? 00:10:12
¿Qué paso habría que hacer? Mirar ahí y decirme. 00:10:26
Pues yo haría esto. 00:10:29
perpendicular ya está hecha 00:10:33
la intersección entre el plano 00:10:42
y la barra esta negra 00:10:51
obviamente 00:10:53
si yo hago comando intersección 00:10:54
comando intersección 00:10:58
pincho en el plano 00:11:02
y en la recta 00:11:03
me acaba de salir 00:11:06
¿qué punto? ¿le veis ahí? 00:11:08
¿le puedo ocultar el plano 00:11:11
para que se vea mejor? 00:11:14
¿veis todos el punto C? 00:11:16
si no tienes el plano 00:11:27
es muy difícil hacer la intersección 00:11:29
con el plano 00:11:31
Le voy a poner en color blanco, no, rojo para que sea la proyección 00:11:32
¿Lo veis ahora en la pizarra mía mejor? 00:11:39
Sí, lo voy a repetir a ver si lo podéis hacer 00:11:45
Para eso, para poder hacerlo en cualquier caso es imprescindible que tengáis dibujado los dos vectores 00:11:48
Claro, si no, no se puede 00:11:55
Lo voy a repetir 00:11:56
He dicho, se coge la herramienta plano, aquí arriba, perpendicular, plano perpendicular. 00:11:58
Se pincha en la recta que habíamos hecho, que pasa por O y por A, y en el plano. 00:12:07
Y entonces os habrá salido esto. 00:12:18
¿Alguien ha conseguido dibujar el plano perpendicular al vector U que pasa por B? 00:12:21
Muy bien, ¿los demás no? 00:12:31
Pues vosotros veréis 00:12:34
A ver si cuando lo repitamos, porque lo vamos a hacer dos veces para demostrar que es conmutativo 00:12:36
A ver si entonces sois capaces de hacerlo 00:12:43
entre tanto, por favor 00:12:45
intentar pintar los puntos 00:12:48
O, A y B 00:12:51
que se pueden meter directamente 00:12:52
y los vectores que los unen 00:12:54
O, A y O, B 00:12:56
porque si no, no podréis seguir nada más 00:12:57
bueno 00:13:00
ahora, esperad, es que no hemos terminado 00:13:01
ahora nos ha dicho Álvaro 00:13:05
que él entiende que para hacer la proyección 00:13:06
como hemos dicho en 2D 00:13:08
del año pasado 00:13:10
pues que halláramos con el comando intersección 00:13:11
pinchamos en el plano y en la recta 00:13:15
con el comando de intersección pinchamos en el plano y la recta 00:13:22
y nos sale obviamente el punto C 00:13:26
y ahí tenemos, si me acerco más, si queréis 00:13:29
pues la intersección en el plano con el vector U 00:13:34
¿lo veis en mi pizarra? 00:13:39
bueno, pues vale 00:13:41
¿Cuál es la proyección de OB sobre OA? 00:13:42
OC, muy bien, solo preguntaba eso. 00:13:49
Vamos a coger ahora la herramienta segmento. 00:13:52
Cogemos todo la herramienta segmento. 00:13:57
Y vamos a ver cuánto mide OA. 00:13:59
Si yo pincho en O y luego en A, pues me sale cuánto mide OA. 00:14:04
alguien me lo puede leer 00:14:11
está ahí con 25 decimales 00:14:12
vamos a quitarlo porque 00:14:15
vamos a dejarlo con 2 00:14:16
¿cuánto mide? 00:14:18
5,92 00:14:21
si habéis utilizado los mismos puntos que yo 00:14:22
y ahora 00:14:25
vamos a hallar 00:14:26
el segmento OC 00:14:29
¿cuánto mide? 00:14:30
1,86 00:14:37
atended por favor ahora 00:14:42
porque ahora viene la sorpresita 00:14:45
por si alguien no lo ha entendido 00:14:47
OA es el vector U 00:14:49
OC es la proyección 00:14:51
de V sobre U 00:14:54
¿qué pasa si yo multiplico 00:14:55
esos dos números G por H? 00:14:58
¿qué creéis que va a dar 00:15:01
si yo multiplico G por H? 00:15:02
¿Y qué es qué? Lo tenemos ahí un poco más arriba. El producto escalar. El producto escalar. ¿Entendido? 00:15:07
mirad 00:15:25
vamos a verlo así 00:15:29
en perpendicular 00:15:31
si soy capaz 00:15:32
mirad ahora a la pizarra 00:15:34
voy a quitar 00:15:37
vaya hombre, he pinchado en la casita 00:15:38
bueno 00:15:40
voy a acercarme 00:15:41
voy a quitar el plano gris 00:15:44
¿veis ahí 00:15:48
un triángulo? 00:15:50
sí, ¿verdad? 00:15:52
un trozo azul hasta C 00:15:57
el rojo hasta B 00:15:59
y el trocito de C 00:16:01
si nosotros pensamos 00:16:03
en el ángulo alfa 00:16:07
voy a pintarlo 00:16:09
para hacer el ángulo en sentido antihorario 00:16:11
¿qué letras tengo que pintar? 00:16:15
¿quién me lo dice? 00:16:19
Muy bien, C, O, D. 00:16:22
Ahí está el ángulo, que casi no se ve, en nuestro caso es 33,74, 00:16:27
y en estilo le voy a decir que lo haga más grande. 00:16:33
Por favor, el que esté un poco perdido, que saque la calculadora 00:16:36
y por lo menos podrá ver lo que vamos a hacer ahora. 00:16:41
A ver si soy capaz, ahí. 00:16:47
¿Cuánto mide el ángulo? 00:16:50
Treinta y tres con setenta y cuatro grados. 00:16:52
Pues, si nosotros nos vamos a... 00:17:00
Aquí tenemos que el vector es... 00:17:10
Tenemos un vector que es el azul, 00:17:14
otro vector que es el rojo, 00:17:21
Y un ángulo que nos dice que es 33 grados. 00:17:23
¿Cuánto medía este? 00:17:29
5,92. 00:17:31
¿Y el otro? 00:17:34
1,86, ¿no? La proyección. 00:17:40
La proyección, es decir, no lo voy a poner ahí porque puede llevar a confusión. 00:17:44
1,86 mide este trozo. 00:17:50
Acabamos de decir que u por v es el módulo de u por la proyección de v sobre u. 00:17:53
Y la proyección de v sobre u, utilizando trigonometría, ¿cómo llamaríais al coseno de alfa? 00:18:07
cateto contiguo que es la proyección partido por cateto por hipotenusa que es módulo de V 00:18:16
si despejáis la P y sustituimos aquí, ¿qué tenemos? 00:18:29
la definición del producto escalar, la definición del producto escalar 00:18:35
El producto escalar de los vectores es un módulo de u por módulo de v por el coseno. 00:18:41
El otro día enseñamos cómo se hacía el módulo de u con coordenadas. 00:18:49
¿Cuáles son las coordenadas de u? 00:18:53
Es 1, 5. 00:18:58
Así que esa es la longitud del vector u. 00:19:03
¿Cuánto da eso? 00:19:05
raíz de 35 00:19:06
alguien por favor con la calculadora 00:19:11
me puede dar la raíz de 35 00:19:13
muy bien 00:19:15
5,92 00:19:18
lo veis 00:19:21
y el módulo de V 00:19:21
¿cuál es? 00:19:23
¿cuál eran las coordenadas del vector V? 00:19:25
0, 1, 2 00:19:28
así que serán 00:19:29
raíz de 5 00:19:35
alguien con la calculadora me puede hacer 00:19:38
raíz de 35 00:19:40
por raíz de 5 00:19:42
por el coseno de 33,74 00:19:43
grados 00:19:47
a lo mejor no le da exactamente 00:19:48
entero 00:19:50
pero seguramente sí porque son 00:19:52
mucha precisión 00:19:54
muy bien 00:19:55
y entonces como dice Daniel 00:19:57
muy bien pues eso es lo que 00:20:00
tiene que dar 11 00:20:02
lo tenéis 00:20:05
luego veremos una manera mucho más fácil de hacerlo 00:20:10
¿alguna pregunta? 00:20:14
lógicamente el producto escalar tiene la propiedad conmutativa 00:20:19
vamos a hacer muy rápido la cuenta en GeoGebra 00:20:23
para ver si de paso le vais cogiendo un poquito el pulso 00:20:28
voy a ocultar el plano y el punto C 00:20:32
Voy a poner la casita. Voy a ocultar el plano y el punto C. Ahora lo voy a hacer al revés. ¿Qué creéis que tengo que hacer? Primero, no, la recta que pasa por hoy por B. 00:20:35
Empiezo desde cero, el que se haya perdido antes 00:20:59
Pero tenga al menos los dos vectores, intente hacerlo 00:21:02
Primero, herramienta recta 00:21:04
Pincho en O y en B 00:21:08
Por cierto, si alguien quiere pegar las características de la recta 00:21:12
Que hemos cogido antes, os recuerdo que se pinchaba aquí 00:21:19
Copiar estilo visual 00:21:22
Pincharía en F 00:21:25
en la recta y luego en I 00:21:27
y ya sale punteada como lo habíamos hecho antes 00:21:30
os recuerdo que dar a la tecla escape 00:21:33
quita mucho trabajo 00:21:37
para volver al I que mueve 00:21:38
ya tengo la recta, ahora que tengo que hacer 00:21:40
el plano perpendicular a esa recta que pasa por 00:21:43
el plano perpendicular a la recta que está punteada 00:21:47
que pasa por 00:21:55
el plano perpendicular a la recta que está punteada, que pasa por A. 00:21:57
Si lo que quiero ahora es proyectar el azul en el rojo, en la dirección del rojo. 00:22:06
Así que, mirad, cojo la herramienta plano perpendicular, 00:22:13
pincho en la recta que acabamos de construir y en A. 00:22:17
Y ahí está el plano perpendicular. 00:22:24
mirar a mi pizarra 00:22:26
lo veis ahí que pasa por A 00:22:27
y veis que corta la recta 00:22:29
entonces 00:22:33
si me alejo un poco 00:22:34
ahora como hallaré la proyección 00:22:36
ahora ya está mamado, ¿no? 00:22:40
ahora sí que es la intersección 00:22:46
entre el plano que acabo de hacer 00:22:48
y la recta punteada 00:22:51
¿Y qué nos da el punto? 00:22:55
¿Y qué es lo que nos tiene que dar 11 cuando multiplique qué dos cosas? 00:22:59
Ya tengo la proyección 00:23:09
Aquí ya no tengo que utilizar el ángulo 00:23:11
A ver 00:23:14
V por la proyección 00:23:16
O contando los puntos 00:23:19
O Barcelona por O Dinamarca 00:23:20
Orlo Barcelona por Orlo Dinamarca 00:23:25
vamos a hacerlo 00:23:28
claro, cogemos la herramienta 00:23:29
segmento 00:23:32
cogemos la herramienta segmento 00:23:33
y pinchamos en Orlo Barcelona 00:23:36
¿cuántos ha dado? 00:23:38
muy bien, y ahora 00:23:41
otra vez, Orlo Dinamarca 00:23:43
¿qué os da? 00:23:46
¿qué os da? 00:23:48
4.92 00:23:50
y si ahora en la entrada escribo 00:23:51
J por K 00:23:53
¿qué creéis que va a dar? 00:23:55
está ahí abajo 00:23:59
exactamente 00:24:00
¿veis lo que hemos hecho? 00:24:04
¿eh? 00:24:14
en un caso hemos hecho la proyección 00:24:16
del rojo sobre el azul 00:24:19
y en otra del azul sobre 00:24:20
el rojo 00:24:22
Por supuesto la proyección del azul sobre el rojo 00:24:23
Como es mucho más grande, ¿qué pasa? 00:24:26
Porque la proyección es más larga que el vector 00:24:30
Eso no es ningún problema 00:24:33
¿Veis las dos proyecciones ahora? 00:24:34
Y quedan lo mismo 00:24:38
Por eso el producto escalar es 00:24:39
Conmutativo 00:24:41
Vaya, se me ha olvidado en la grabación pasarlo 00:24:45
Todo lo que he ido haciendo 00:24:48
Pero bueno, ahí lo tenéis 00:24:49
¿La proyección viese para el sentido contrario que el vector? 00:24:51
Muy bien. Sería negativo. El producto escalar puede ser negativo, sin ningún problema. 00:24:57
Segunda pregunta, con respecto a lo que acaba de preguntar Diego. 00:25:05
¿Qué implica que el producto escalar sea negativo? 00:25:09
Lo podéis ver en los vectores y lo podéis ver desde el punto de vista trigonométrico. 00:25:13
más de 90 00:25:18
tanto en la proyección con los vectores 00:25:29
como si lo pensáis desde el punto de vista trigonométrico 00:25:33
¿en qué cuadrante el coseno de alfa era negativo? 00:25:37
en el segundo y en el tercero 00:25:42
como aquí no puede ser mayor que 180 00:25:44
porque siempre se toma el ángulo más pequeño que forma 00:25:47
pues el segundo 00:25:50
es decir, que un producto escalar negativo 00:25:54
implica que el ángulo que forman los vectores 00:25:57
es mayor que 90 00:25:59
¿Queda claro eso? 00:26:01
Muy bien, Diego 00:26:06
Mirad, tengo aquí preparado 00:26:08
y lo colgaré 00:26:11
de unas construcciones que tenemos hechas 00:26:13
mi amigo Álvaro y yo 00:26:18
por la interpretación geométrica del producto escalar 00:26:19
si consigo 00:26:24
que se ve aquí 00:26:28
porque no sé por qué se ha movido 00:26:30
no sé si es que está pequeño o grande 00:26:31
bueno, esto se me ha ido 00:26:38
bueno 00:26:42
se vería ahí 00:26:46
debería verse en el dibujo 00:26:48
vale 00:26:50
os voy a poner otra 00:26:52
muy importante 00:26:55
y para que puedo utilizar 00:26:58
el producto escalar 00:27:00
pues por ejemplo 00:27:06
para hallar el ángulo de dos vectores 00:27:08
mirad a la pizarra 00:27:12
aquí tengo dos vectores u y v 00:27:15
los veis, parecidos a los que hemos dibujado antes 00:27:18
y el vector verde 00:27:21
es la resta de u menos v 00:27:29
de acuerdo, de v menos u, perdón 00:27:31
ya sabéis que para poder en realidad ver ese vector v 00:27:34
¿qué tendríamos que hacer? 00:27:38
pintar u y v en el mismo punto 00:27:40
de aplicación, en el mismo origen 00:27:43
y luego el vector v menos u 00:27:46
sería del extremo de u al extremo de v 00:27:48
¿se acordáis? 00:27:53
como vectores libres 00:27:55
bueno, ahora ya lo he movido al punto 00:27:57
veis que ya están los dos en el mismo punto 00:27:59
y también he movido v menos u 00:28:01
¿y qué nos queda ahí? 00:28:04
un triángulo 00:28:06
Ya lo dijimos el otro día. Vale, ¿cuánto mide ese triángulo? ¿Cuánto mide el V menos U por el teorema del coseno a que era igual? ¿Os acordáis del teorema del coseno? 00:28:08
Bueno, por si no os acordáis del teorema del coseno 00:28:23
Lo voy a poner aquí 00:28:28
Si yo quería calcular, por ejemplo, c cuadrado 00:28:30
Pues era a cuadrado más b cuadrado 00:28:40
Menos 2ab por el coseno del ángulo sobre c 00:28:43
Esto podía escribirse 00:28:50
recordáis 00:28:53
con cualquiera 00:28:55
de los tres ángulos, ¿no? 00:29:00
¿Se acordáis de esto o no? 00:29:04
Ojalá os acordéis. 00:29:09
Algunos sí que se acuerdan, pero... 00:29:10
Eso era el teorema del coseno. 00:29:13
¿Vale? 00:29:15
Entonces, 00:29:17
vamos a coger la de 00:29:18
arriba, por ejemplo. 00:29:20
Mirad la construcción. 00:29:23
Lo de arriba va a ser v menos u. 00:29:29
¿A qué sería igual según la fórmula v menos u al cuadrado? 00:29:32
Pues sería igual a v u al cuadrado más v cuadrado, 00:29:47
lo estáis viendo ahí 00:29:53
menos 2u por v 00:29:54
por el coseno 00:29:56
que forma nu y v 00:30:00
porque es el que está enfrente del verde 00:30:01
¿me entendéis? 00:30:03
vale, seguimos 00:30:05
si yo opero 00:30:06
v menos u al cuadrado 00:30:09
eso es v menos u 00:30:13
por v menos u 00:30:15
si hacéis el producto quedaría 00:30:16
v cuadrado 00:30:19
más u cuadrado 00:30:26
menos 2u por v 00:30:29
¿si o no? 00:30:32
donde u cuadrado y v cuadrado son números 00:30:35
pero u por v es el producto escalar 00:30:37
¿lo entendéis? 00:30:39
y si ahora igualamos esa expresión con la de antes 00:30:41
¿que queda? 00:30:45
Pues que u por v es lo otro, a ver, si lo habéis entendido. 00:30:51
Por un lado, nosotros hemos visto que por el teorema del coseno, v menos u al cuadrado era u cuadrado más v cuadrado menos 2uv coseno del ángulo que formaba. 00:31:00
Por otro lado, v menos u al cuadrado era v cuadrado, u cuadrado ya que lo estamos poniendo en ese orden, u cuadrado más v cuadrado menos 2uv, pero aquí es producto escalar y aquí es módulo, porque estamos hablando de trigonometría, ¿entendéis? 00:31:20
al igualar estas dos cosas 00:31:46
esto con esto, ¿qué pasa? 00:31:50
se va, y el menos 2 con el menos 2, ¿qué pasa? 00:31:54
se va, y me queda que u por v, ¿a qué es igual? 00:31:57
al módulo de u, por el módulo de v 00:32:02
por el coseno del ángulo que es 00:32:04
esa es una demostración 00:32:06
de cómo obtener el producto 00:32:12
escalar. Bien, ahora vamos a cambiar. El vector u tiene de coordenadas 1, u2, u3. Expresión 00:32:16
del producto escalar en función de sus coordenadas. Esto en la clase anterior aprendimos que era 00:32:33
que era esto, ¿sí o no?, decir que el vector U tiene de coordenadas U1, U2, U3, es que 00:32:38
es U1 por I más U2 por J más U3 por K, ¿sí o no?, el vector V va a tener de coordenadas 00:32:52
V1, V2, V3, ¿que qué quiere decir?, 00:32:59
Que lo puedo expresar así, ¿sí o no? 00:33:08
Si yo ahora hiciera u por v, estaría multiplicando estas dos cosas. 00:33:12
¿Cuántos términos saldrían al multiplicar? 00:33:20
Si yo multiplico esto por esto, ¿cuántos términos saldrían? 00:33:27
Nueve. 00:33:36
Cada uno multiplicaría por otros tres, ¿sí o no? 00:33:38
Vamos a empezar. ¿Quién quiere empezar a multiplicar? 00:33:42
Empezamos de izquierda a izquierda. 00:33:45
Ya sé que normalmente se multiplica de derecha a derecha, pero da igual. 00:33:47
Empezamos de izquierda a izquierda. 00:33:50
¿Cuál sería el primer producto? 00:33:52
He dicho empezamos de izquierda a izquierda. 00:33:55
Uno por V1, ¿por qué más? 00:33:59
Por I por I, ¿sí o no? 00:34:05
¿Y cuánto es el producto escalar de I por I sabiendo que es el módulo de I por el módulo de I por el coseno que forma I con I? 00:34:07
¿Cuánto vale el módulo de I? 00:34:16
Uno 00:34:18
¿Cuánto vale el ángulo que forma I con I? 00:34:19
Cero grados 00:34:23
¿Cuánto vale el coseno de cero? 00:34:23
Por tanto, ¿cuánto vale esto? 00:34:26
Uno 00:34:29
Y si multiplico U2 por V2, JJ, ¿qué quedaría? 00:34:29
U2 por V2, ¿no? 00:34:39
Porque JJ, ¿qué sería? 00:34:41
Y si multiplico U3 por V3, por KK, ¿cuánto sería KK? 00:34:44
Y ahora sigo. 00:34:51
Productos cruzados. 00:34:53
Por ejemplo, si yo multiplico V1 por U2, ¿qué me quedaría? 00:34:54
Quedaría esto, ¿no? 00:35:01
¿Qué ángulo forma ni por J? 00:35:05
90 grados. 00:35:08
Así que, ¿cuál es el coseno de 90? 00:35:10
Cero. 00:35:13
Por tanto, todos estos términos, los otros seis términos, ¿qué pasa? 00:35:14
Se cancelan. 00:35:21
desaparecen 00:35:22
porque son perpendiculares 00:35:24
con lo cual de los nueve términos 00:35:26
¿cuántos me quedan? 00:35:28
tres 00:35:31
me quedan tres 00:35:31
eran tres pero son 00:35:34
eran nueve, no dejan de ser nueve 00:35:37
sino que seis dan cero 00:35:40
por lo tanto ¿cuánto es el producto de u por v? 00:35:41
y ya termino 00:35:44
uno por v uno 00:35:46
más u2 por v2 00:35:50
más u3 por v3 00:35:53
por ejemplo, en el caso que teníamos 00:35:57
¿cuánto era u? 00:35:59
el vector u 00:36:04
3, 1, 5 00:36:05
y el vector v 00:36:10
¿me podéis hacer esta multiplicación? 00:36:13
y eso era lo que nos daba el producto escalar 00:36:20
por lo tanto 00:36:27
ahora puedo sacar la fórmula estrella 00:36:31
la fórmula estrella 00:36:34
y ya hemos terminado con el producto escalar 00:36:38
el módulo de u por el módulo de v 00:36:42
por el coseno de alfa es lo mismo que 00:36:47
siempre que tenga las coordenadas. 00:36:50
Y resulta que con esto 00:36:56
puedo resolver prácticamente todos los ejercicios 00:36:58
que tenga del producto escalar. 00:37:07
Por cierto, será la fórmula que hay que utilizar 00:37:13
siempre que me pregunten algo que tenga que ver con el ángulo, 00:37:16
como dijimos el año pasado. 00:37:19
Entonces, en particular, yo me aprendería eso así, pero en particular, si yo despejo el coseno de alfa, pues lo que viene en algunos libros y algunos alumnos se aprenden como una fórmula particular, 00:37:20
que en realidad es, simplemente despejar la de arriba, una fórmula para el coseno de alfa. 00:37:38
En nuestro ejercicio, por cierto, el coseno de alfa era 11, ¿cuánto valía el módulo de u? 00:37:52
que también lo calculamos, raíz de 35 00:38:01
y el módulo de V 00:38:03
raíz de 5 00:38:06
si hacéis eso con la calculadora 00:38:07
y luego hacéis arco coseno 00:38:09
¿qué os da? 00:38:12
acordaros que hay que hacer el arco coseno 00:38:19
y que si la calculadora está en radianes 00:38:22
nos saldrá 00:38:25
en radianes 00:38:26
si está en grado nos saldrá 00:38:28
en grados. Cuidado con eso. 00:38:30
Porque algunos la tienen radianes 00:38:33
y luego pone que son grados. 00:38:34
¿Alguna pregunta? 00:38:37
Más cosas. 00:38:43
¿Cuánto será el producto 00:38:44
de U por U? 00:38:46
Con la fórmula que acabamos 00:38:49
de hacer, ¿cuál será el producto de U por U 00:38:50
con coordenadas? 00:38:52
¿No? 00:38:58
y esto que era 00:39:00
que lo vimos en la clase anterior 00:39:05
muy bien 00:39:08
y eso que no estuvo 00:39:11
el cuadrado del módulo 00:39:13
terminamos la clase anterior 00:39:16
con esto, ¿no habéis visto el vídeo? 00:39:18
el cuadrado del módulo 00:39:24
O sea, que para obtener el módulo también podemos hacer el producto escalar. 00:39:25
Esto se llama norma o longitud del vector. 00:39:32
No el cuadrado, el módulo. 00:39:40
Norma, longitud, módulo, se llama de las tres maneras. 00:39:48
¿De acuerdo? Si oís hablar de la norma de un vector, pues es simplemente su módulo, ¿vale? 00:39:51
¿Alguna pregunta? 00:40:04
Espero que se esté grabando lo que se tiene que grabar, pero todavía no se grabó, si no lo volveré a... 00:40:06
Sí. 00:40:12
Vale. 00:40:18
¿Cómo sé si dos vectores son perpendiculares? 00:40:21
Pregunto. 00:40:41
¿Cuál es la respuesta? 00:40:45
Si su producto escalar da cero. 00:40:48
¿Entendido? 00:41:00
Pues ahora os voy a hacer una pregunta. 00:41:01
¿Me invento el vector u? 00:41:03
3 menos 1, 5. 00:41:06
Por cierto, ¿no os acordáis del año pasado que os decía 00:41:08
que cuando escribo un vector, escribo igual a sus coordenadas? 00:41:11
Pero cuando escribo un punto, 00:41:16
Pongo las coordenadas al lado sin el igual, porque es mentira. 00:41:18
¿Entendido? ¿Se acuerdan de eso del año pasado? 00:41:23
Pues es importante. 00:41:27
Es importante. 00:41:31
Ahora os digo una cosa. 00:41:38
Decidme un vector perpendicular. 00:41:41
Inventaros un vector perpendicular. 00:41:43
Si os acordáis de lo que hemos dicho hace un rato, 00:41:46
¿Cuántas respuestas podríais darme? Por ejemplo, Diego me acaba de decir 1, 3, 0. ¿Es verdad? Sí. ¿Quién me dice otro? 0, 5, 1. Muy bien. ¿Quién me dice otro? 00:41:50
¿Ese sería perpendicular? 00:42:13
¿No? 00:42:33
No. Pues cualquiera tendría que inventarse, ser capaz de inventarse un vector perpendicular al que os he dado. 00:42:34
Por cierto, a ver si alguien ha entendido algo de la clase. Si puede ser Diego, asciente de contestar de momento. 00:42:52
¿dónde están esos tres vectores V 00:43:00
que nos hemos inventado? 00:43:05
así como cualquier otro vector V 00:43:07
que os inventéis 00:43:09
muy bien, en el mismo plan 00:43:10
los tres vectores están en el mismo plan 00:43:15
si nos acordamos de la clase del jueves 00:43:17
si los tres vectores están en el mismo plano 00:43:20
es que son 00:43:23
linealmente 00:43:23
dependientes y por tanto 00:43:26
Su determinante debería dar cero. Nos hemos inventado tres vectores pensando en perpendicularidad y ahora el profesor nos dice que este determinante tiene que dar cero. ¿Será verdad? Dará cero y por tanto todos los vectores que nos inventemos estarán en el mismo plano y de paso voy comprendiendo que era eso de la linealmente dependiente. 00:43:28
¿Qué ha pasado? 00:44:07
¿Qué cosas, eh? 00:44:16
Tiene la geometría. 00:44:19
Me he inventado tres vectores que no son paralelos, 00:44:22
porque por cierto, algunos de esos vectores son paralelos, 00:44:25
de los tres UVs, entre ellos. 00:44:27
Tienen la misma dirección. 00:44:31
Terminamos el otro día la clase diciendo 00:44:34
cómo sabía si dos vectores eran paralelos. 00:44:36
Si eran proporcionales sus coordenadas, ¿alguno de los tres vectores V que nos hemos inventado tiene las coordenadas proporcionales? 00:44:39
No, por tanto, no están en la misma recta, no están en la misma dirección, porque, claro, habría sido muy fácil. 00:44:47
Si yo en V digo 1, 3, 0 y digo 2, 6, 0, 2, 6, 0 también sería perpendicular a U. 00:44:53
Pregunto, ¿2, 6, 0 también sería perpendicular a U? 00:45:02
Pero sería proporcional a 1, 3, 0, ¿sí o no? 00:45:06
Por tanto, claro, el determinante daría cero. 00:45:09
Pero no, nos hemos inventado tres que no son paralelos. 00:45:12
Y sin embargo, la geometría funciona. 00:45:15
Como la definición es que los tres tienen que estar en el mismo plano por ser perpendiculares al mismo vector, 00:45:21
son linealmente dependientes. 00:45:28
Si os inventáis otro vector v, que cumpla que el producto de escalar con u sea cero, el que queráis, 00:45:33
Y cogeis tres vectores y hacéis el determinante, siempre, siempre, siempre dará cero. 00:45:38
¿Vale? 00:45:47
Muy bien. 00:45:54
Por cierto, bueno, ya voy a hacer un ejercicio. 00:46:03
Apuntáis. 00:46:08
¿Cómo sé si cuatro puntos son coplanarios? 00:46:09
¿Cómo podríamos saber si cuatro puntos están en el mismo plan, 00:46:16
abundando en el ejercicio anterior? 00:46:19
Es decir, yo podría hacer... 00:46:30
también podría ser 00:46:40
pero te lo estoy poniendo así 00:46:52
porque esta es una manera 00:46:53
de dar 00:46:55
de comprobarlo con esto 00:46:57
si unimos cada uno 00:47:01
esto tendría que dar 00:47:06
pero 00:47:10
por cierto 00:47:13
también se podría hacer así 00:47:17
lo único que es determinante 00:47:37
de qué tamaño es 00:47:39
4 por 4 00:47:40
4 por 4 00:47:43
pues si ese determinante de 4 por 4 00:47:48
que tiene las 4 coordenadas 00:47:51
da 0, pues los 4 puntos son 00:47:53
coplanarios, y si no da 0 00:47:57
pues no lo toma 00:47:59
vale 00:48:01
lo suyo sería que lo hicierais de la manera 00:48:06
de la izquierda, claro 00:48:09
lo que ha dicho Álvaro 00:48:10
hacemos los tres vectores 00:48:13
y lo ponemos 00:48:14
pues creo que no se me olvida nada 00:48:17
del producto escalar 00:48:22
simplemente que si tú quieres saber 00:48:23
si cuatro puntos están por ejemplo 00:48:28
ahí en la pizarra pues hago estos tres vectores 00:48:31
y con lo que acabamos de explicar 00:48:34
para que los cuatro puntos estén en el mismo plano, 00:48:38
los tres vectores tienen que estar en el mismo plano. 00:48:41
Nada más. 00:48:45
¿Y cómo se conseguían las coordenadas de un vector? 00:48:46
Restando coordenadas, extremo menos origen. 00:48:52
¿Entendido? 00:48:56
Por eso he puesto lo de la izquierda. 00:48:57
¿Entendéis ya o no? 00:49:01
Es un ejercicio que ha caído en la EBAU más de una vez. 00:49:02
adivinar si estos cuatro puntos son coplanarios 00:49:08
porque no os engañéis 00:49:11
todos los ejercicios de geometría 00:49:15
se terminan haciendo con una matriz o con un determinante 00:49:18
por desgracia 00:49:21
quiero decir que no hay otra cosa 00:49:24
una matriz o un determinante 00:49:26
vamos, todos no 00:49:30
si te piden el ángulo que forman dos vectores 00:49:32
no llegas a eso 00:49:34
me refiero a cualquier ejercicio 00:49:35
que tenga un poco de enjundia 00:49:37
con rectas, planos, cosas de esas 00:49:38
termina siendo un problema 00:49:40
de matrices y determinantes 00:49:42
de hecho 00:49:44
las matrices y los determinantes 00:49:46
estudian para después utilizarlo así 00:49:48
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
218
Fecha:
24 de enero de 2022 - 19:25
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
49′ 53″
Relación de aspecto:
3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
Resolución:
1080x720 píxeles
Tamaño:
290.67 MBytes

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