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Ángulos para primero de la ESO.
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¿Qué vamos a recordar?
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La definición, tipos de ángulos, posiciones relativas de los ángulos,
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ángulos en los polígonos y ángulos en la circunferencia.
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Comenzamos con la definición.
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¿Qué es un ángulo?
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Bueno, pues llamamos ángulo a la abertura que está formada por dos semirrectas
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que parten de un mismo punto.
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Al punto se le llama vértice y a la semirrecta se le llaman lados.
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Tipos de ángulos.
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Ángulo nulo, sus lados son coincidentes y no tienen abertura, por tanto es un ángulo de 0 grados
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Ángulo recto, sus lados son perpendiculares, el ángulo es de 90 grados
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Ángulo agudo, su abertura es inferior a la de un ángulo recto, por tanto es un ángulo menor de 90
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Ángulo llano. Sus lados forman una recta. Es un ángulo de 180 grados.
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Ángulo obtuso. Su abertura es superior a un ángulo recto. Es un ángulo mayor de 90 grados.
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Posiciones relativas de los ángulos.
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Ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos que tienen en común el vértice y los lados están sobre las mismas rectas.
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Siempre los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
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Ángulos consecutivos son ángulos que tienen en común el vértice y un lado.
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Ángulos suplementarios son dos ángulos que al hacerlos consecutivos forman un ángulo llano.
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Por ejemplo, 50 y 130 que suman 180.
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Ángulos complementarios, son dos ángulos que al hacerlos consecutivos forman un ángulo recto, es decir, que suman 90 grados, por ejemplo, 30 y 60
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Ángulos en los polígonos
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La suma de los ángulos de un triángulo es 180
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Veamos una construcción con GeoGebra para entenderlo un poco mejor
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Quiero que veáis que efectivamente siempre la suma de los ángulos alfa, beta y gamma,
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que son los ángulos de este triángulo, son 180.
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Yo puedo ir variando cualquiera de los tres ángulos y fijaos que siempre la suma va siendo 180.
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Otra forma que tenemos de verlo es que si trazo la recta que pasa por A y por C
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y la recta que pasa por ahí por C.
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Y una paralela a la recta B, los ángulos que se forman ahí son iguales.
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Es decir, el ángulo alfa sería este, el ángulo beta sería este y el ángulo gamma es este.
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Y veis que juntos forman 180 grados.
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Espero que con esto os haya quedado un poquito más claro.
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Bueno, una vez que sabemos esto, ahora, ¿cómo se sabe la suma de los ángulos de un cuadrilátero?
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Pues desde un vértice trazamos todos los triángulos posibles, que como vemos en un cuadrilátero serían dos.
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Como cada triángulo suman los ángulos 180, 180 por 2, 360.
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De la misma manera, razonamos con ángulos de un polígono cualquiera.
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Si por ejemplo fuese un pentágono, desde un vértice podemos formar tres triángulos, 180 por 3.
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Si es un hexágono, desde un vértice podemos formar 4 triángulos, 180 por 4
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Si es un octógono, desde un vértice podemos formar 6 triángulos, 180 por 6
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Y en general la fórmula es 180 por n, que es el número de lados, menos 2
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Ángulos en la circunferencia
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Ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y corta la circunferencia en dos puntos
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Ángulo inscrito tiene el vértice sobre la circunferencia y sus lados también la cortan en dos puntos
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¿Qué relación hay entre el ángulo central y el ángulo inscrito?
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Bueno, pues la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central
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que abarca el mismo arco de circunferencia
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Vamos a verlo con una construcción con geogebra para que nos quede un poco más claro
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Con esta construcción que he hecho con geogebra podemos ver que yo tengo aquí un ángulo central
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que es de 140 grados, que abarca este árculo de B a B',
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y tengo un ángulo inscrito que abarca el mismo arco.
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Fijaos que es de 140 grados el central y el inscrito de 70, justo la mitad.
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Pero mueva por donde mueva el punto A a lo largo de la circunferencia,
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siempre va a ser de 70.
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Y lo mismo ocurre aquí.
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Y entonces os digo, o bien os pregunto,
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¿qué relación hay entre el ángulo inscrito y el ángulo central?
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pues fijaos que siempre el ángulo inscrito es la mitad de la central.
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Y entonces os pregunto, ¿cuánto medirá el ángulo inscrito que abarque el diámetro de una circunferencia?
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Y aquí os lo he hecho. Fijaos que el diámetro de una circunferencia, el ángulo central sería de 180 grados.
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Por tanto, cualquier ángulo inscrito que abarque un diámetro siempre va a ser de 90.
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y esto vale para cualquier diámetro
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es decir, siempre que un ángulo inscrito abarca un diámetro
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el ángulo va a ser de 90
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bueno, eso es todo
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espero que nos haya quedado claro el repaso que hemos hecho de ángulos
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para comenzar con la geometría de primero
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- 19 de junio de 2023 - 17:37
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