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CLASE CCFF 20 DE FEBRERO - Contenido educativo

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Subido el 20 de febrero de 2026 por M.jose S.

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Vamos a empezar con funciones. Como lo vamos a hacer en estas clases extra, voy a ir muy despacito, porque sé que esto os cuesta, entonces voy a ir muy despacito. 00:00:00
Vamos a empezar desde el principio y como en principio tenemos, con estas clases extra, tenemos bastante tiempo, vamos a ir despacito. 00:00:13
Entonces, lo que vamos a ver en estas clases son exclusivamente el tema de funciones, 00:00:22
el tema de lo que se llama en matemáticas análisis. 00:00:28
Para entender lo que es una función, lo primero que tenemos que saber es 00:00:35
cómo en matemáticas se ha establecido un sistema de representación, 00:00:41
un sistema de puntos y de figuras que se llama el sistema de referencia cartesiano. 00:00:48
Eso nos va a servir a entender cómo funcionan los sistemas de representación cartesianos, 00:00:56
nos va a servir tanto en funciones, en el estudio de las funciones, 00:01:02
como en las clases de los lunes y los martes, cuando hablemos de analítica de la recta y un plan. 00:01:07
¿Qué es un sistema de ejes cartesianos? 00:01:16
Un sistema de ejes cartesianos todos lo tenéis en la cabeza. 00:01:18
Es esto que estáis viendo aquí. 00:01:22
Está formado, el sistema de representación cartesiana puede ser de dos dimensiones o de tres dimensiones. 00:01:25
Si hablamos de dos dimensiones, lo que estamos hablando es de un sistema en el que ponemos dos ejes perpendiculares. 00:01:32
A este le llamamos el eje de las X, a este el eje de las Y, entonces este es el eje de abscisas 00:01:40
¿Os suena esto, no? ¿Os suena o no os suena? 00:01:49
La representación de puntos en un sistema de escasez 00:01:56
Y esto se llama ordenar 00:01:59
De manera que si yo represento un punto cualquiera aquí, o aquí, o aquí 00:02:01
Y ese punto queda definido por su distancia al eje Y, que es esto, y su distancia al eje X, que es esto. 00:02:07
Entonces, ese punto, de esa manera yo puedo referenciar, saber que, ahora veremos cómo se hace esa referencia, 00:02:21
sabiendo dónde está colocado y con una referencia que se llaman coordenadas del punto, 00:02:30
entonces puedo saber y colocar en cualquier momento, yo puedo dibujar dónde está el punto o lo que sea. 00:02:35
El punto donde se cortan los dos ejes coordenados es este y se llama origen, se llama origen de coordenadas. 00:02:43
Y luego las cuatro zonas en que se divide el plano cuando yo dibujo estos dos ejes se llaman cuadrantes, se llaman cuadrantes. 00:02:51
El primer cuadrante, como veis, es este. 00:03:03
Esto lo veis, ¿no? 00:03:08
El segundo cuadrante es este de aquí. 00:03:09
El tercero, este. 00:03:13
Y el cuarto, este cuadrado. 00:03:17
¿Vale? 00:03:20
¿Sí? 00:03:22
Bueno, pues vamos a ver cómo se define, 00:03:23
cómo se define la situación de un punto en un sistema de ejes coordenados. 00:03:29
Bueno, os digo una cosa. Antes de eso, os digo una cosa. 00:03:35
Estamos hablando, como vemos aquí, en todo lo que tiene que ver con el análisis, 00:03:40
con las gráficas, con lo que vamos a estudiar en estas clases, 00:03:46
trabajamos siempre en un plano, con dos ejes coordenados y un plano. 00:03:52
Veréis que cuando trabajemos en las clases de los lunes y los martes 00:03:58
El estudio de las rectas y los planos 00:04:02
Ahí trabajaremos con ese mismo sistema pero en tres dimensiones 00:04:07
En tres dimensiones este sistema en vez de tener como veis el plano 00:04:12
Tiene una tercera dimensión que es esta 00:04:17
Entonces un punto cualquiera quedaría definido por su distancia a este plano 00:04:20
por su distancia a este plano y por su distancia a este plano. 00:04:27
Ya veremos esto cuando trabajemos con ello en analítica de la recta y del plano. 00:04:33
Pero nosotros, para estudiar la parte de funciones, solo trabajamos en dos dimensiones. 00:04:38
Bueno, vamos a ver cómo se define un punto dentro de un sistema de ejes coordenados. 00:04:47
Como veis, repito, el sistema de ejes coordenados tiene mis dos ejes, mi eje X, mi eje Y, 00:04:56
y un punto, como ya os he dicho, queda definido por esta distancia y por esta distancia. 00:05:05
Esta distancia, como es en el eje Y, se llama Y, se llama Y sub cero, y esto se llama X sub cero. 00:05:14
Y un punto queda definido de esta manera, es decir, un punto en un sistema de ejes coordenados 00:05:21
queda definido siempre por esas distancias por dos coordenadas. 00:05:27
Un punto, cuando yo lo estoy referenciando a un sistema de ejes coordenados, 00:05:35
tiene dos coordenadas. 00:05:41
Por ejemplo, este de aquí es el punto 2, 3. 00:05:44
¿Por qué es el punto 2, 3? 00:05:48
Porque tiene x, esta distancia, es 2. 00:05:49
Y esta distancia es 3. 00:05:53
De tal manera que si a mí me dan un punto cualquiera, por ejemplo, el 2, 4, 00:05:56
pues yo sé que tengo que hacer primero las X, 2, y ahora X, 1, 2, 3 y 4. 00:06:03
Ese punto está ahí. 00:06:11
Esta referencia a unos ejes es lo que se utiliza en un montón de cosas que vosotros utilizáis habitualmente. 00:06:14
A los GPS es esto, los GPS, todos los puntos del espacio tienen unas coordenadas con respecto a un eje de referencia universal y entonces cuando te dicen que no, esto es lo que pasa es que en el caso de la Tierra se llaman latitud y altitud, longitud y altitud y latitud, pero es lo mismo, es una referencia a X e Y, de manera que yo sé, yo puedo referenciar un punto, yo donde estamos nosotros, donde estás colocado en ese momento, 00:06:21
tiene una x y una y 00:06:49
y entonces saben perfectamente 00:06:51
lo pones con respecto 00:06:53
a los ejes coordenados y sabes que estás 00:06:55
de acuerdo 00:06:57
bueno 00:06:58
como veis 00:06:59
para que yo pueda sacar 00:07:02
las coordenadas 00:07:05
de un punto 00:07:07
los ejes coordenados tienen que estar graduados 00:07:08
porque si no 00:07:11
yo no sé ese 2 como le pongo 00:07:12
los ejes coordenados hay que graduarlos 00:07:14
en partes iguales 00:07:17
Yo no puedo coger un eje coordenado y poner esto y el siguiente aquí y el otro aquí. 00:07:19
Tienen que estar graduados siempre en partes iguales. 00:07:26
Lo que sí puede ser es que el valor de lo que hay aquí, o sea, si esto es un 1, un 2, 00:07:29
esto por conveniencia, ya veremos más adelante qué conveniencia es esa, 00:07:37
esto en vez de 1, 2 puede ser 100, 200 o lo que sea. 00:07:41
Es decir, la forma de graduar el eje X y el eje Y puede ser distinta. 00:07:46
No tiene por qué ser las dos iguales. 00:07:51
A eso sí, las partes en que los graduamos, tanto el eje Y como el eje X, tienen que ser iguales. 00:07:53
¿De acuerdo? 00:07:59
Bueno, los signos de las coordenadas vienen dados en función de, a partir del eje, del origen de coordenadas. 00:08:00
El eje X desde el origen de coordenadas hacia allá es positivo 00:08:13
Y del origen de coordenadas hacia acá es negativo 00:08:19
El eje Y hacia arriba del origen de coordenadas es positivo 00:08:25
Y hacia abajo es negativo 00:08:29
¿Qué quiere decir eso? 00:08:31
Quiere decir que la graduación, cuando yo graduo, esto es 1 00:08:34
Pero esto es menos 1, esto es menos 2 00:08:39
esto es menos 3 00:08:43
es decir, las coordenadas 00:08:45
o sea, la referencia 00:08:47
a la coordenada del eje x 00:08:49
a lo que se conoce como 00:08:50
abscisa, recordad que esto se llama 00:08:52
abscisa 00:08:55
y esto se llama ordenada 00:08:56
entonces 00:08:58
las abscisas son positivas siempre 00:09:02
del origen de coordenadas hacia la derecha 00:09:04
y negativas hacia la izquierda 00:09:06
y en este caso lo mismo 00:09:08
esto si esto es 100 00:09:10
esto sería menos 100 00:09:11
Esto sería menos 200 00:09:13
¿Qué quiere decir eso? 00:09:16
Quiere decir que un punto que se encuentra en el primer cuadrante 00:09:17
Como este, va a tener siempre su X, su arcisa positiva 00:09:22
Y su ordenada positiva 00:09:27
Es decir, va a ser dos números positivos 00:09:32
Un punto que se encuentra en el segundo cuadrante 00:09:34
Las X son negativas 00:09:40
y las is positivas, es decir, va a tener sus coordenadas con sus signos. 00:09:42
Un punto que se encuentra en el tercer cuadrante tiene las x negativas 00:09:49
y las is también negativas. 00:09:53
Y un punto en el cuarto cuadrante tiene las x positivas y las is negativas. 00:09:58
¿Qué quiere decir eso? 00:10:03
Quiere decir que si yo tengo, me dice, entrado el punto A, que es el punto menos 2, 3. 00:10:04
¿En qué cuadrante está eso? 00:10:10
en el segundo, ¿lo veis? 00:10:12
Sabemos inmediatamente por los signos de sus coordenadas, 00:10:17
sabemos en qué cuadrante está colocado el punto, ¿vale? 00:10:20
Por ejemplo, por ejemplo, ¿veis? 00:10:24
Como veis, las coordenadas de este punto A son 2, 3, ¿lo veis, no? 00:10:26
¿Sí? 00:10:32
Las coordenadas de este punto B es menos 1, menos 1, que es esto, 00:10:33
y 2, porque es esto. 00:10:39
Siempre primero la X y luego la Y. 00:10:41
Siempre. 00:10:44
Ojo con eso, que la cinta al principio se equivoca muchísimo. 00:10:45
Siempre primero las X y luego las Y. 00:10:48
Esto, mira, mira lo que te digo. 00:10:51
Perfecto. 00:10:56
Estamos ahí. 00:10:56
Os he dicho que vamos a empezar desde el principio porque tenemos tiempo. 00:10:58
Sí, sí. 00:11:00
¿Vale? 00:11:01
Entonces estoy empezando, no desde el principio, estoy empezando desde la prehistoria. 00:11:01
¿Vale? 00:11:05
De todas maneras, si vamos pasito a pasito, lo entenderéis perfectamente. 00:11:06
Bueno, este punto, este punto B es el menos 1, 2 00:11:09
Este punto C es el 0, 0 00:11:14
No, es el 0 menos 3, ¿dónde está el C? 00:11:18
Es este, este es el 0 menos 3 00:11:20
La X es 0, es decir, si un punto está en el eje Y 00:11:22
Está sobre el eje Y, su X 00:11:27
Esto tiene la X en 0 00:11:31
Si la X es 0 es porque está en el eje Y, ¿vale? 00:11:38
El punto D, que es este, es el punto menos 3 menos 2 y el E, que es este, es el punto 1 menos 1, ¿de acuerdo? Vale, os pueden dar, que dibujéis, que podéis tener puntos que tenéis que poner en el sistema de referencia de coordenado o al revés, os pueden dar unos puntos y decir, o sea, perdón, sí, unos puntos y deciros que cuáles son sus coordenadas. 00:11:42
Por ejemplo, ¿este qué coordenadas tiene? El A, 3. El B, 2, 2. El C, 0. No, no lo estaba leyendo, lo estaba viendo. ¿Veis? 0 porque la I, la I está ahí. ¿Vale? El E, menos 1, menos 1. Y el D, no. 1,5, menos 1. ¿De acuerdo? 00:12:12
Venga, ahora, este estaba aquí, aquí, aquí esto. 00:12:35
Decidme esto. 00:12:39
¿Esto lo tenéis que hacer? 00:12:41
A un punto más grande. 00:12:42
Sin pensar, ¿eh? 00:12:44
Esto, esto, bueno, sin pensar no, o sea, es que esto es como, no sé, como vuestro nombre. 00:12:45
Tenéis que saberlo como vuestro nombre. 00:12:50
El A. 00:12:52
Menos dos, menos dos. 00:12:53
El A sería menos dos, menos dos. 00:12:54
No. 00:12:58
Menos dos. 00:12:59
Dos. 00:13:00
Menos dos, dos. 00:13:01
Dos. 00:13:01
Ojito, que la I hacia arriba es positiva 00:13:02
¿Vale? 00:13:05
¿De acuerdo? 00:13:06
Venga, el B 00:13:07
Menos 1, 4 00:13:08
Menos 1, 4 00:13:12
Menos 1, 4 00:13:15
¿Vale? 00:13:15
El C 00:13:20
0, 1,5 00:13:20
Sí, es importante que lo sepáis 00:13:23
Que no siempre tienen que coincidir con 00:13:27
Tú haces las divisiones 00:13:29
y luego hay muchas veces que te tienes que ir aproximando. 00:13:31
El D, 2, 2, ¿no? 00:13:34
2 aquí, 2 aquí. 00:13:38
Y el E, 1, menos 4. 00:13:40
1, menos 4. 00:13:44
Ahora vosotros, en vuestro cuaderno, venga, dibujaros una hoja cualquiera. 00:13:48
Dibujaros un eje, eso, y marcar estos puntos, ¿vale? 00:13:53
Fijaros, yo voy a utilizar este gráfico, ¿no? 00:13:59
Vosotros habréis tenido que dibujaros vuestros ejes coordenados y haberlos dividido. 00:14:02
En este caso, nos podemos dividir los dos iguales de uno en uno, porque como no tenemos magnitudes, pues ya está. 00:14:07
Entonces, el a será el menos 2, 3, que será este de aquí, ¿sí? 00:14:14
Está en el segundo cuadrante. 00:14:22
El menos 2, menos 2 sería el menos 2, menos 2. 00:14:25
Este sería el menos 1,5, 0,5, sería menos 1,5, 0,5 hacia arriba, sería ese de ahí. 00:14:29
¿Lo veis? Este de ahí. 00:14:37
Y el D es el 0, es decir, que está en el eje Y, y menos 1. 00:14:38
¿Vale? Sabemos colocar puntos, sabemos leer coordenadas para colocar en un punto. 00:14:44
Yo, insisto, en gráficas, en funciones, no vamos a utilizar las tres dimensiones. 00:14:51
Pero en analítica del plano sí 00:14:58
Si esto lo tuvieses que hacer en tres dimensiones 00:15:00
Sería lo mismo pero con una dimensión más 00:15:03
Es decir, si yo esto estuviese trabajando 00:15:05
En tres dimensiones 00:15:08
Un punto tendría tres dimensiones 00:15:09
Dos, uno, cuatro 00:15:12
Por ejemplo 00:15:13
Dos es las X 00:15:14
Uno es las Y 00:15:16
Y cuatro es las Z 00:15:19
Entonces aquí lo que tendréis que hacer 00:15:21
Es esto 00:15:23
Bueno, ahí dibujas 00:15:25
y lo colocas en el espacio, ¿vale? 00:15:28
Es lo mismo, es un poco más complicado porque aparece una tercera dimensión, 00:15:30
pero el procedimiento es exactamente igual. 00:15:33
Se nombran los puntos exactamente igual, lo que pasa es que en vez de con dos dimensiones, con tres dimensiones. 00:15:36
Insisto, de momento para lo que estamos estudiando, tres dimensiones no entran, 00:15:41
pero bueno, ya que estamos estudiando la posición, cómo se representan puntos en un sistema coordenado, 00:15:45
que sepáis que existen también las tres dimensiones que luego utilizaremos cuando trabajemos con rectas y planos, ¿vale? 00:15:52
Bueno, seguimos. 00:15:58
Vale, sabemos representar puntos en un sistema coordenado. 00:16:01
Vamos a ver entonces, vamos a empezar con lo que es una función. 00:16:06
Nosotros estamos acostumbrados hasta ahora, de lo que hemos visto, 00:16:11
siempre que trabajábamos con números y letras en matemáticas, 00:16:15
trabajábamos siempre como que, fundamentalmente con ecuaciones, 00:16:19
es decir, con unas expresiones algebraicas que tienen que cumplir una determinada condición, por ejemplo, 2x cuadrado menos 3 igual a 5x, por ejemplo. 00:16:24
Pues yo, esto es una ecuación, esto es una ecuación porque tiene un igual y porque tiene una solución o dos soluciones o las que sean, 00:16:41
Es decir, hay unos valores de X que cumplen esa condición. 00:16:52
Eso es una cosa, eso es el álgebra, son las ecuaciones, cuando son iguales. 00:16:57
Cuando trabajamos con dos variables, con dos variables, las funciones en vez de con una variable se trabaja con dos variables, con dos variables, siempre. 00:17:02
La función es una relación que hay entre dos variables. 00:17:13
A una se le llama variable dependiente y a la otra se llama variable independiente. 00:17:17
¿De acuerdo? Por ejemplo, el número de escaños obtenidos por un partido político 00:17:25
está en función del número de votos obtenidos. 00:17:32
¿Por qué? Eso es una función. ¿Por qué? 00:17:36
Porque dependiendo del valor que tome una de las variables, 00:17:39
me va a dar un valor u otro de otra de las variables. 00:17:44
Es decir, una función es una magnitud, la que sea, que está en función de otra magnitud. 00:17:48
Entonces, a esta magnitud i, que se le llama variable dependiente, y a esta independiente. 00:17:57
Pero, ojo, con una cosa importantísima. 00:18:05
solamente, solamente puede haber un único valor para cada valor de X. 00:18:08
Es decir, yo no puedo decir si un partido saca mil votos tiene tres escaños 00:18:15
y si saca ocho mil también tiene tres escaños. 00:18:23
Entonces eso no es una función. 00:18:28
Una función es siempre que para cada valor del término de la variable independiente 00:18:30
solamente hay un valor. 00:18:36
Por ejemplo, dice la temperatura del agua que está en un cazo al fuego depende de la cantidad de calor, ¿no? 00:18:38
Entonces decimos que la temperatura del agua varía en función del calor recibido o simplemente que la temperatura está en función del calor. 00:18:46
Cuanto más calor, más temperatura. Eso sí es una función. ¿Por qué? 00:18:54
Porque si le ponemos tantas calorías estará a una temperatura, si le subo o le bajo, cambia la temperatura. 00:19:00
Si la temperatura permanecía estable, por ejemplo, pues entonces, o tuviese con la misma cantidad de calor dos valores, pues entonces no sería una función. 00:19:08
Eso es importantísimo. Es difícil saber si una relación entre dos variables es una función o no. 00:19:18
Eso se ve muy bien. ¿Ves? A cada valor de la primera magnitud le hace corresponder un único valor de la y. 00:19:26
¿Vale? Bueno, ya sabéis que cuando tenemos una función los valores de x e y se llaman variables y una de ellas es la dependiente y la otra es la independiente. 00:19:39
Entonces, siempre, siempre, que sepáis que lo normal es siempre llamar x a la variable independiente y y a la dependiente. 00:19:51
Eso es lo más normal, ¿vale? 00:20:03
Recordad que cuando representemos valores de una función, aquí lo representamos las x y aquí las x. 00:20:05
Por ejemplo, vamos a ver esto que está resultando 00:20:15
Dice, ¿cuáles son estas relaciones entre dos valores, entre dos variables? 00:20:20
¿Son funciones o no son funciones? 00:20:25
El consumo de un coche y la velocidad a la que circula 00:20:27
Esa sí, porque a más velocidad, más consumo 00:20:31
Y a menos velocidad, menos consumo 00:20:35
¿De acuerdo? 00:20:37
El perímetro de un polígono y la longitud de su lado 00:20:39
también, porque 00:20:42
cuanto más grande 00:20:43
es el lado o más pequeño es el lado 00:20:46
lo que es el perímetro 00:20:48
cambia, el perímetro es 00:20:50
la suma de la longitud de los lados 00:20:52
luego cambiando la longitud de un lado 00:20:53
cambia el perímetro de una 00:20:55
el número de 00:20:58
habitantes 00:21:00
de los pueblos en la temperatura media en verano 00:21:01
evidentemente eso no 00:21:04
tiene ninguna relación 00:21:06
bueno, pero no 00:21:07
pero tú, no es siempre 00:21:10
no es 00:21:11
variable, o sea, que puede haber 00:21:13
un año que tiene 20 grados 00:21:15
y hay 100 habitantes, y otro año que tiene 00:21:17
unos 20 grados y hay 1000, no depende 00:21:19
de, ¿vale? 00:21:22
¿Y la altura y el número de hermanos de los estudiantes? 00:21:23
Pues tampoco, ¿no? 00:21:26
Evidente. En general, 00:21:28
las relaciones funcionales son evidentes. 00:21:29
Está claro cuando hay una relación funcional 00:21:31
y cuando no, eso es una cosa que todos 00:21:34
tenemos clara, claro, 00:21:36
porque además, esta relación 00:21:37
entre dos variables, lo vemos en la vida cotidiana muchísimo, casi todas las estadísticas, 00:21:39
casi todo lo que hablamos siempre es una relación entre dos cosas, entre los años y la lluvia, 00:21:45
siempre estamos muy acostumbrados a trabajar con funciones. Por ejemplo, la velocidad a 00:21:53
la que circula un coche y la edad del conductor, evidentemente eso no es una función, el número 00:22:01
habitantes de un barrio y el número de colegios públicos? Debería, debería, debería, ¿no? 00:22:06
Debería que el número de colegios públicos dependa del número de habitantes que hay 00:22:12
en un barrio. ¿La temperatura de un lugar y la hora? Sí. No. Por el sol. A las 10 hace 00:22:18
más frío que a las 2. Algunos días. Siempre. No, siempre. Sí, en la porra, eso es porque 00:22:26
lo dices tú. Hay días que se levanta estupendo y de pronto entra un viento horroroso como 00:22:31
ayer, el ambiente de la noche hace un frío 00:22:35
por la tarde a las 2 de la tarde. 00:22:36
Y también depende del lugar. 00:22:38
Claro, no. 00:22:40
Que es posible, tal sea, 00:22:41
no es una ley. No es ley que 00:22:45
a las 2 de la tarde siempre haga más calor 00:22:46
que a las 9 de la mañana. 00:22:49
No es ley. 00:22:50
El número de lados de un polígono 00:22:53
y el número de diagonales, eso sí, 00:22:55
lógicamente. 00:22:57
Bueno, seguimos. 00:22:58
Fijaros, 00:23:01
esa relación entre dos variables 00:23:02
que se llama función, se puede expresar de muchas maneras. 00:23:05
Esto es importante, esto es importante. 00:23:09
Mira, las funciones se pueden expresar mediante un lenguaje verbal, 00:23:11
que es lo que estamos haciendo hasta ahora. 00:23:16
Hemos hablado de la velocidad con respecto al consumo, 00:23:18
hemos hablado, todo eso sí, lo hemos dicho verbalmente. 00:23:22
Pues sí, hay una relación, cuanto más de pisa vayas, pues más consumes. 00:23:26
Eso sería una forma de definir una función. 00:23:30
Otra es una gráfica, por ejemplo, aquí tenemos este ejemplo, una gráfica, estamos hablando aquí de la relación entre el número de litros de gasolina que echamos en un coche y el precio que pagamos, 00:23:33
aquí tenemos la cantidad de litros que echamos y aquí lo que estamos pagando, a medida que yo voy echando más litros voy pagando más precio, 00:23:53
¿Lo veis, no? ¿Veis cómo esta relación? Yo os puedo decir, la relación entre la cantidad de litros que he hecho de gasolina y el precio viene dada por esta gráfica. 00:24:02
Vosotros aquí lo podíais entender, lo que está pasando. Esta es otra manera de expresar una función, una relación entre dos variables. 00:24:14
Otra es una tabla de valores, por ejemplo esta. Yo puedo coger y decir, no, yo no te doy esto, te doy esto. 00:24:23
Entonces te digo, si echas 10 litros 00:24:30
Pagas 14,60 00:24:32
Si echas 20, pagas 29,20 00:24:33
Etcétera, etcétera 00:24:36
Y por último, con una fórmula 00:24:37
Una fórmula que puede ser 00:24:40
Esta, por ejemplo 00:24:44
El precio que pago es de 1,46 00:24:47
Por la cantidad de gasolina de litros 00:24:50
Entonces yo digo, si echo un litro, ¿cuánto pago? 00:24:53
Si echo dos, 1,46 por dos 00:24:56
Si he hecho tres, es decir, que yo puedo sacar los valores, la relación que hay entre las dos variables de todas estas maneras. 00:24:59
Como veis, el gráfico este os dice que están relacionados, es decir, que no quiere decir que el hecho de darlo de esta manera no implique poder darlo de esta y poder darlo de esta. 00:25:08
Si tú haces una descripción verbal, puedes hacer una gráfica. 00:25:20
De una gráfica puedes sacar una descripción verbal, de la gráfica puedes sacar la tabla. 00:25:24
Yo, si a mí me dan esta gráfica y me dicen, haz una tabla de valores teniendo esta gráfica, pues digo, a ver, ¿sí? 00:25:29
Bueno, entonces, si yo quiero sacar una tabla una vez que me dan una gráfica, pues yo solo tengo que decir, por ejemplo, 00:25:39
Cuando echo 10 litros pago 15 euros más o menos 00:25:46
Cuando echo, entonces digo, si echo 10 litros pago 15 euros 00:25:52
Fijaros que cuando tengo una tabla, cuando tengo una gráfica 00:25:56
Siempre, estas son las X y estas son las Y 00:26:02
Acordaros de eso siempre 00:26:05
Las X es lo que expresa el eje horizontal 00:26:06
Y las Y lo que expresa el eje vertical 00:26:10
Es decir, las X son las abscisas y las Y 00:26:13
las ordenadas 00:26:16
esto son las X 00:26:17
y esto son las Y 00:26:31
¿de acuerdo? siempre 00:26:33
entonces yo digo 00:26:35
en las X ¿qué es lo que estoy poniendo? 00:26:36
siempre se pone la variable 00:26:39
independiente 00:26:42
es decir, lo que no depende 00:26:43
de lo otro. Es decir, aquí 00:26:45
la relación o la función 00:26:47
entre la cantidad 00:26:49
de litros y el precio, ¿cuál es la 00:26:51
variable independiente? La cantidad 00:26:53
de litros. Porque lo que depende 00:26:55
es lo que pago, depende 00:26:57
de la cantidad de litros, no al revés. 00:26:59
La cantidad de litros, o sea, 00:27:02
la cantidad de litros no 00:27:03
depende de lo que pague. 00:27:05
Yo lo que pido es tantos litros 00:27:07
y de eso depende lo que pago. Entonces, 00:27:09
siempre se pone la X y la Y. 00:27:12
Entonces, si yo quiero sacar una tabla, 00:27:14
Pues primero cojo la X y digo, pues a 20 litros, 30 euros. 00:27:15
Y puedo ir haciendo, sacando de la gráfica, puedo sacar valores, 00:27:21
puedo sacar los valores de X e Y e ir haciendo la tabla. 00:27:24
De la tabla puedo sacar el gráfico, porque yo lo único que tengo que hacer 00:27:29
es representar esto en un sistema coordenado. 00:27:35
Digo, venga, 10, 20, 30, 40, 50, pues venga, lo voy a dividir de 10 en 10. 00:27:40
10, 20, 30, 40 y así. 00:27:45
Y aquí tengo 14, 29, bueno, pues los voy a dividir de 10 en 10 también. 00:27:52
O de 5 en 5. 00:27:57
De 5 en 5. 00:28:00
Yo decido aquí 5, 10, 15, 20, 25, 30 y así. 00:28:01
Y ahora yo digo, bueno, pues a 10, 14, pues más o menos por aquí. 00:28:07
A 20 casi 30, pues 5, 10, 15, 20, 25, 30, pues a 20 casi 30. 00:28:11
Esto lo sumo por aquí, lo sumo por aquí, bueno, y ahí. 00:28:19
Y así sucesivamente. 00:28:24
Yo, si tengo una tabla, puedo ir representando los puntos y puedo representar el gráfico. 00:28:26
Y por último, si tengo una fórmula, yo puedo sacar pares de valores, 00:28:31
lo que le corresponde a uno y lo que le corresponde al otro. 00:28:40
¿Cómo se hace eso? 00:28:42
Yo doy valores a la variable independiente 00:28:43
y voy sacando valores de la dependiente. 00:28:45
Si yo quisiera hacer una tabla con esto, 00:28:48
diría X e Y. 00:28:50
La variable independiente son los litros que compro. 00:28:52
Digo, pues si compro un litro, ¿cuánto pago? 00:28:55
1,46. 00:28:58
Si compro 2, pues lo que sea, 00:29:00
2, pues 2, 9, 2, 2, 92, y así sucesivamente, si yo tengo la fórmula que me da la relación entre dos variables, 00:29:03
yo puedo sacar valores, pares de valores, que a su vez me servirían para hacer una gráfica, ¿de acuerdo? 00:29:16
Pero, ahora, yo si tengo la gráfica, puedo sacar la tabla. 00:29:25
Si tengo la tabla, puedo sacar... 00:29:33
Uy, digo, perdón, la gráfica. 00:29:34
Si tengo la tabla, puedo sacar la gráfica. 00:29:36
Si tengo la gráfica, puedo sacar la tabla. 00:29:39
Ahora, lo que ya es bastante más complicado es sacar la fórmula. 00:29:41
A veces es fácil y a veces es muy complicado. 00:29:47
saber cuál es la relación 00:29:50
en fórmula que tiene 00:29:52
por ejemplo 00:29:54
en esta, dice 00:29:59
el cambio en euros a dólares está 00:30:02
a 1,31,3 dólares 00:30:04
completamos esta gráfica 00:30:07
2 euros, ¿cuánto serían? 00:30:10
2,5 euros 00:30:12
¿cuánto? 00:30:14
6,5 00:30:15
10,13 00:30:16
27 lo que sea multiplicado y si es x y si le llamo a x al cambio tiene que estar en función de x 00:30:18
¿a qué llamo x aquí? ¿cuál es la variable independiente? estos son cambios cambio tantos euros y me dan tantos dólares 00:30:27
tengo estoy haciendo un cambio tengo tantos euros y me dan tantos dólares 00:30:34
luego la variable independiente aquí ¿cuál es? los euros que cambio 00:30:41
y la dependiente son los dólares 00:30:47
luego esta sería la X 00:30:49
y entonces esta sería la Y 00:30:51
y la Y, ¿cómo la calcularía? 00:30:53
¿cómo la calculo? ¿cómo calculo los dólares? 00:30:54
que tengo, que tengo, que 00:30:57
que me van a dar, no, X no 00:30:58
X, exacto 00:31:00
es 1,3 00:31:03
¿de acuerdo? 00:31:04
hay que expresar 00:31:08
Y es 1,3 00:31:10
bueno 00:31:13
da igual 00:31:15
pero entendéis 00:31:18
como se expresa siempre hay que poner 00:31:20
la dependiente 00:31:23
igual a la fórmula 00:31:24
en la que aparece la independiente 00:31:27
esto no 00:31:29
siempre la que ponemos 00:31:30
la fórmula siempre expresa 00:31:33
el valor de la que depende 00:31:35
y nos dice que operación 00:31:37
tenemos que hacer con la que no depende 00:31:39
para que nos den 00:31:41
¿De acuerdo? Es decir, que siempre una función, la expresión de una función siempre va a ser la variable que depende, la dependiente, y aquí la operación que hay que hacer con la independiente. 00:31:42
¿De acuerdo? 00:31:55
Bueno, entonces, como hemos visto, las gráficas, las funciones se pueden representar por unas gráficas. 00:31:57
Entonces, yo, hemos visto hasta ahora como si yo os digo una relación entre dos variables, sé si es una función o no es una función, en el caso de que en vez de darlo así, os lo dan en forma de gráfica, también podéis saber si es una función o no es una función, ¿por qué? 00:32:08
Porque hemos dicho que la condición indispensable para que una función lo sea es que a cada valor de la variable independiente solo le corresponda uno de la variable dependiente. 00:32:27
Es decir, que si yo cojo este punto de la variable independiente, esta x, aquí solamente puede haber un valor, no puede haber dos. 00:32:39
Por lo tanto, si yo veo una gráfica, yo sé que esto, esta, es una función. 00:32:51
¿Por qué? Porque a los valores de las X solo les corresponde un valor de las Y. 00:32:57
¿Lo veis? 00:33:02
¿Esta es una función o no? 00:33:03
Esta no. ¿Por qué? 00:33:06
Porque fijaros que si cojo este valor, tiene este, tiene este y este. 00:33:07
Es decir, eso ya no es una función. 00:33:15
¿Veis en la gráfica cómo se ve muy fácil? 00:33:18
¿Este es una función? No. Este valor tiene este y este de aquí arriba. 00:33:20
¿Y este es una función? Sí. ¿Por qué? Porque para cualquier valor de las X solamente hay un valor de la Y. 00:33:27
Sí, no, no, sí. Esto representa, ¿cómo se llama? Figuras. 00:33:33
Tú puedes representar figuras. En unos ejes coordenados tú puedes representar dos cosas. 00:33:39
Puedes representar funciones, pero también puedes representar figuras. 00:33:45
esto, esto tiene una ecuación 00:33:49
exactamente igual 00:33:51
la única diferencia es que cuando tú le das valores 00:33:53
a la variable dependiente 00:33:55
digo, independiente 00:33:57
te pasa esto, que hay veces que 00:33:58
es así, pero es lo mismo 00:34:00
es decir, esta, por ejemplo 00:34:03
yo que sé, pues a lo mejor esa 00:34:05
es y igual 00:34:07
a 2x cubo menos 00:34:09
3x más 2 00:34:11
y resulta que cuando empiezan a dar valores 00:34:12
aquí, te ves que para un mismo 00:34:15
valor, tienes 2. 00:34:17
Entonces, si eso pasa, 00:34:21
es una figura geométrica, que puede ser 00:34:23
la que sea, pero no es 00:34:25
una función. 00:34:28
¿De acuerdo? 00:34:29
Bueno, vamos a hacer unos cuantos ejercicios sobre esto. 00:34:33
Sobre el inicio de las funciones, 00:34:35
el entendimiento de las funciones y la representación. 00:34:37
Vamos con esto. 00:34:41
El 6. Venga. 00:34:41
¿Lo veis bien o lo amplío? 00:34:43
Venga. 00:34:48
¿Dice razona? 00:34:50
¿Si las variables pueden corresponder a una función o no? 00:34:51
¿Sí o no? 00:34:54
No, ¿por qué? 00:34:55
Porque, por ejemplo, el cero de la x... 00:34:57
Sí, dime, dime, explícame. 00:34:59
Para dos valores distintos de x, hay dos valores de la y. 00:35:00
Como veis, a veces la y se pone como y o como f de x. 00:35:05
Vamos a ir entrando en la nomenclatura. 00:35:12
A veces una función, se nos va a imaginar esta función, 00:35:14
igual a 3x cuadrado, o también se puede poner f de x igual a 3x cuadrado. 00:35:17
Y ahora lo mismo, la variable dependiente, a veces se nombra como y, a veces no. 00:35:24
¿Por qué no es una función esta? Por esto. 00:35:27
Porque para un mismo valor de la variable independiente tenemos, al revés, 00:35:32
para dos distintos valores de la variable independiente tenemos un único valor para la dependiente. 00:35:37
¿Está claro? O sea, que ya veis cómo lo podemos ver, el distinguir si algo es una función o no, lo podemos ver, como hemos visto aquí, por su gráfica o también lo podemos ver por la tabla de valores. 00:35:43
A veces también por las fórmulas, se puede ver que es más difícil. Siempre con las fórmulas es más difícil. 00:35:59
Las gráficas estudiadas en tablas o estudiadas sobre todo en gráficas son muy fáciles. 00:36:05
Son difíciles cuando lo que tenemos que estudiar es una función a través de una fórmula, que es justo lo que tienes que hacer vosotros más adelante, ¿vale? 00:36:13
A ver, venga, empezamos a pensar. Este, dice una persona que camina a una velocidad de 4 km hora y parte del kilómetro 10. 00:36:24
A ver si sois capaces de escribir la expresión algebraica, es decir, la fórmula que indica los kilómetros recorridos en función del tiempo. 00:36:33
Una hora, cuatro kilómetros, ¿no? 00:36:43
Sí, pero le tienes que poner 00:36:46
Y igual a 00:36:47
Tanto, tanto, por X 00:36:49
Es decir, tenéis que inventaros una fórmula 00:36:50
Que exprese eso 00:36:53
Que me dé 00:36:55
Los kilómetros recorridos en función del tiempo 00:36:56
Venga, pensadlo tranquilamente 00:36:59
Tenemos tiempo 00:37:03
Lo bueno de esto es que ahora lo vamos a ir 00:37:04
¿Ya está? 00:37:06
No, ahí 00:37:16
Aquí lo tengo ahí, pero como que no sé cómo... 00:37:16
¿A qué vamos a llamar X y a qué vamos a llamar Y? 00:37:20
Primero, vamos a expresar la fórmula, entonces vamos a decir, ¿cuál es la variable independiente? 00:37:23
Los kilómetros recorridos. 00:37:29
No, esa es constante. 00:37:31
Claro, el tiempo. 00:37:36
Es el tiempo, porque lo que nos está diciendo es cuántos kilómetros hemos recorrido dependiendo del tiempo. 00:37:37
Lo dice la propia esto 00:37:44
En función del tiempo 00:37:48
Es decir, lo que no varía 00:37:49
O sea, lo que es independiente es el tiempo 00:37:52
Lo otro es lo que depende 00:37:55
Entonces, X es el tiempo 00:37:56
Y sería el 4 por X, no la Y 00:37:57
Exacto 00:37:59
¿Y la Y qué es? 00:38:01
Los kilómetros 00:38:03
Los kilómetros recorridos 00:38:04
Entonces, si yo tengo que expresar esto 00:38:06
Lo primero ya sé que la Y 00:38:09
Es la que tengo que poner Y igual 00:38:11
porque son los kilómetros que he recorrido 00:38:13
es la velocidad 00:38:16
por, ¿de acuerdo? 00:38:17
entonces, dice 00:38:21
que partimos del kilómetro 10 00:38:22
esto sería 00:38:24
los kilómetros recorridos 00:38:26
y yo digo, este es el kilómetro 10 00:38:28
empieza aquí 00:38:30
¿cómo expresaría 00:38:31
la distancia a la que estoy? 00:38:33
en cada momento 00:38:37
la distancia a la que estoy 00:38:38
ahora hemos dicho 00:38:39
son dos cosas distintas 00:38:41
con las mismas variables 00:38:43
yo digo 00:38:45
voy a una velocidad constante 00:38:46
y ¿cuántos kilómetros recorro 00:38:49
en función del tiempo? 00:38:52
pues si es una hora recorro 4 00:38:53
si son 2 horas 8 kilómetros 00:38:55
eso es una cosa 00:38:56
pero también puedo expresar 00:38:57
que en vez de que la i 00:38:59
sea los kilómetros recorridos 00:39:02
puede ser que la i 00:39:04
sea distancia 00:39:07
al origen 00:39:09
imaginaros que esta es 00:39:10
la puerta al sol 00:39:17
y yo salgo de aquí 00:39:19
a 10 kilómetros de la puerta al sol 00:39:21
y digo, ¿cuánto, cuánto 00:39:22
cuál es la fórmula que me da 00:39:25
a qué distancia estoy de la puerta 00:39:26
con las mismas variables 00:39:28
puede ser que a mí 00:39:31
me pidan o me den 00:39:33
yo representando distintas cosas 00:39:35
no es lo mismo, con eso mismo 00:39:37
me pueden pedir, como hemos visto, los kilómetros recorridos o la distancia, por ejemplo, que hay a un origen en que sea, ¿vale? Sabiendo que yo parto de 10 kilómetros desde entonces, ¿vale? 00:39:39
Y aquí os pregunto una cosa interesante que vamos a ir metiéndonos, dice, en este caso, yo puedo a esta X, que es el tiempo recorrido, el tiempo que yo estoy caminando, 00:39:52
le puedo dar cualquier valor 00:40:07
porque yo, si yo quiero 00:40:10
hacer una tabla, si yo quiero hacer una tabla 00:40:11
de esto, diré 00:40:14
yo le puedo dar cualquier valor, o sea 00:40:15
sí le puedo dar cualquier valor, pero 00:40:17
¿tiene sentido? Es decir, si yo digo 00:40:19
que los kilómetros 00:40:21
recorridos es 4 00:40:23
por el tiempo y yo quiero 00:40:25
hacer una tabla, ¿qué valores le daríais 00:40:27
a la tabla? ¿Le puedo dar un valor 00:40:29
menos una hora? ¿No? Es decir 00:40:31
que en este caso 00:40:33
por ejemplo no tiene sentido 00:40:35
dar a la x valores negativos 00:40:37
¿por qué? porque lo que estoy representando 00:40:39
a la x es tiempo 00:40:41
y el tiempo no puede ser negativo 00:40:42
¿qué significa eso? 00:40:44
me pregunta 00:40:45
¿en qué se traduce eso en su gráfica? 00:40:47
pues es que si yo voy a representar 00:40:49
esto, veré que 00:40:51
a 0 es 0 00:40:53
a 4 es lo que sea 00:40:55
lo que sea 00:40:57
pero aquí 00:40:58
no hay gráfica 00:41:00
porque yo nunca le voy a poder 00:41:04
dar valores negativos y hacia abajo tampoco es una equis y en la y aquí tampoco es decir que 00:41:06
esta gráfica es simplemente por lo que estoy expresando yo ya sé que esta gráfica sólo sólo 00:41:16
va a tener representación en el primer cuadrante entendéis lo que digo que no no siempre todas las 00:41:24
las gráficas, dependiendo de la función que yo estoy estudiando, tienen representación 00:41:31
en todos los cuadrantes. Hay veces que hay cuadrantes en que no está porque no tiene 00:41:38
sentido. ¿De acuerdo? Porque no tiene sentido que las X sean negativas o que las Y sean 00:41:45
negativas. En este caso, claramente, ni las X pueden ser negativas ni las Y pueden ser 00:41:51
¿Vale? 00:41:56
¿Y en qué caso podría ser negativa? 00:41:58
Por ejemplo, en temperaturas. 00:42:02
Las temperaturas pueden ser negativas. 00:42:06
Todo lo que las... 00:42:09
Estas pueden ser negativas. 00:42:11
Hay otra, por ejemplo, 00:42:13
en raíces cuadradas, 00:42:15
en raíces cuadradas, las equino pueden ser negativas. 00:42:17
Porque tú no pruebas. 00:42:19
Si yo tuviese una ecuación 00:42:20
que fuese esto, 00:42:23
o sea, una función que fuese esta, 00:42:25
a la x no le puedo dar 00:42:26
es que siempre va a ser positivo 00:42:28
esta función 00:42:30
también tendría esta misma 00:42:32
dependiendo de lo que estés 00:42:34
hay veces que tiene sentido 00:42:37
dar valores negativos 00:42:38
a las x y hay otras veces 00:42:41
que incluso, por ejemplo 00:42:43
en y 00:42:45
igual a x cuadrado 00:42:46
en esta función 00:42:49
la x tú le puedes dar el valor 00:42:51
que quieras, aquí no tienes ninguna 00:42:53
la restricción, pero si me hago la I 00:42:55
siempre que va a ser I positiva 00:42:57
esta función 00:42:58
esta función por ejemplo 00:42:59
estaría aquí 00:43:04
pero nunca 00:43:09
estudiar eso 00:43:11
eso es lo que es van a tener 00:43:11
eso sí que es lo que motiva el examen 00:43:13
no lo de antes, pero después sí 00:43:15
es darle una función, estudiar 00:43:17
dónde, qué valores puede estar 00:43:20
todo eso 00:43:21
bueno 00:43:23
No, porque por ejemplo 00:43:24
Si es y igual a x al cubo 00:43:29
Ahí ya no 00:43:32
Porque tú le puedes dar a la x cualquier valor 00:43:33
Y la y te puede salir positiva o negativa 00:43:35
¿De acuerdo? 00:43:37
Esta por ejemplo tiene los 4 00:43:38
Bueno, vamos a seguir 00:43:40
Vamos a seguir haciendo 00:43:46
Esto es 9 00:43:48
A ver 00:43:50
¿Lo podéis leer? 00:43:51
La tarifa es de 0,5 euros. ¿Qué quiere decir eso? 00:43:54
Que aunque estéis cero minutos, ya pagáis 0,5 euros. 00:44:00
Ese es un poco el origen, efectivamente. 00:44:06
Y el tiempo máximo de aparcamiento es de dos horas. 00:44:09
Cada media hora cuesta eso, y cada fracción 0,05 euros. 00:44:13
Claro, si tú estás tres cuartos de hora, te cobran la media hora 0,90, 00:44:17
y cada fracción de cada, como son 15 minutos más, 0,05 por 15, ¿de acuerdo? 00:44:22
Por eso 15 minutos, ¿no? 00:44:32
Claro, por minuto, por cada fracción, por cada minuto que estés. 00:44:34
Digo yo, vamos a suponerlo que es así, porque la fracción no sabemos a qué se refiere, 00:44:39
pero vamos a suponer que las fracciones son cada minuto, nosotros vamos a darlo por cada minuto, ¿vale? 00:44:45
Lo que te está diciendo es que la mínima que pagas sí o sí son 0,50, el máximo es 2 horas y cada media hora cuesta 0,90 y cada minuto que pase de media hora, o sea, cada minuto que pase de media hora es, no de media hora, sino, a ver, 00:44:50
Si estás 35 minutos pagas la media hora y luego 5 minutos más, a ver si es capaz de 00:45:13
sacarlas. 00:45:22
Primero, la variable dependiente cuál es, lo que pagas, y x cuál sería el tiempo que 00:45:23
estás, los minutos que estás, ¿de acuerdo? 00:45:30
Pues venga, a ver si... 00:45:33
Vamos a hacerla, vamos a hacerla, os quito esto, venga, os quito esto. 00:45:41
Es lo que os va a estar liando. 00:45:48
Venga, esa. 00:45:49
¿Qué más? 00:45:50
¿Copito eso? 00:45:52
¿Cero cincuenta? 00:45:55
A ver, estudiamos esa, sin la fracción. 00:45:56
Cada media hora más cuesta cero noventa. 00:46:05
¿Media hora? 00:46:08
Dos horas. 00:46:08
No, no, no. 00:46:09
La tarifa mínima es de cero cincuenta. 00:46:10
O sea, tú pagas cero cincuenta sí o sí. 00:46:12
¿Puedo entrar o no? 00:46:14
Puedo entrar. 00:46:15
¿Puedo entrar? 00:46:16
Y luego, tienes un máximo de dos horas y el tiempo que tienes es, lo diré, cada media hora más cuesta 0,90. 00:46:17
o fracción 00:46:32
entonces tú pagarías 00:46:35
y que es lo que pagas 00:46:38
serían los 0,50 00:46:40
más 00:46:41
0,90 00:46:44
por X 00:46:47
pero 00:46:48
ojo, ¿qué es lo que pasa aquí? 00:46:50
¿qué es lo que pasa aquí? 00:46:54
que 00:46:55
esto es 00:46:55
0,90 00:46:59
Y es igual a 0,50 más 0,90x, pero solo y exclusivamente si x está entre 0 y 30 minutos. 00:47:00
¿No es así? 00:47:26
Claro, porque tú estás, vamos a ver, esto es un poco, vamos a hacerlo de otra manera, 00:47:27
porque esto es para que veáis que hay 00:47:31
0,90 solo se aplica si estás con la media hora entera 00:47:33
claro 00:47:36
si no estás con la media hora da igual que es con el 0,90 00:47:37
claro, y es 0,50 00:47:40
más 00:47:42
2 por 0,90 00:47:43
si x está 00:47:46
entre 00:47:48
entre 30 00:47:49
y 60 minutos 00:47:52
¿no? 00:47:54
porque ya pagas dos periodos 00:47:55
¿de acuerdo? 00:47:57
A ver, vamos a hacer una cosa. Vamos a representarlo. Yo voy a representarlo aquí para que veáis lo que es una función, cómo hay funciones que se expresan en trozos. En cada trozo, dependiendo del valor que yo doy a la X, tengo una fórmula u otra. 00:47:59
Fijaros, en esta es 00:48:21
Esto, el primero sería 00:48:23
¿Cuánto es? 0,50 euros 00:48:25
0,50 00:48:28
Ah, no, perdón, perdón 00:48:31
Sí, sí, perdón, está mal 00:48:33
0,50 es aquí 00:48:34
No, estos son los euros 00:48:35
0,50, no es media hora 00:48:38
0,50 lo pagas 00:48:40
Lo pagas por entrar 00:48:41
Aquí, vamos a ponerlo 00:48:43
Cada 30 minutos 00:48:47
30, 60 00:48:48
90 y 120 00:48:51
hemos dicho que lo máximo es 120 00:48:54
¿no es así? 00:48:56
entonces, si yo estoy 0 00:48:58
si yo estoy 0 00:48:59
pago 0,50 00:49:01
¿no? 00:49:03
y hasta media hora 00:49:05
pago, bueno, perdón 00:49:07
pago eso y 00:49:09
vamos a poner 0,50 00:49:11
1,50 00:49:16
2 euros, lo que sea 00:49:20
entonces, si yo estoy 00:49:22
media hora, ¿cuánto pago? 00:49:24
pago 0,50 más 0,90 00:49:26
pago 1,40 00:49:28
¿no es así? 00:49:29
¿sí o no? 00:49:32
entonces, yo pagaría 00:49:34
pues 1,40 00:49:36
durante todo este tiempo 00:49:37
pague el tiempo que esté 00:49:41
hasta 30 minutos estoy ahí 00:49:43
¿de acuerdo? 00:49:45
¿vale? 00:49:48
si estoy 00:49:49
Si estoy entre 30 y 60, ¿cuánto pago? 00:49:50
Entre media hora y una hora, ¿cuánto pago? 00:49:57
Claro, pago un 80 más los 0,50. 00:49:59
Es decir, pago 2,30. 00:50:03
Es decir, que yo paso de aquí a aquí, a 2,30. 00:50:08
Todo esto lo pago. 00:50:13
¿Veis? 00:50:15
Esto es muy normal en pagos. 00:50:15
Por ejemplo, en tarifas planas, en tarifas de no sé qué. 00:50:18
Entre tanto y tanto pagas tanto, entre tanto y tanto pagas tanto. 00:50:22
Si yo voy a, entre 60 y 90, pagaría 3 por 0,90 más 0,50, ¿no? 00:50:27
O sea que serían 270, serían 320. 00:50:39
Y arriba tendría, veis, esto, este tipo de funciones, 00:50:44
que es lo que yo quería que vieses, este tipo de funciones es una función definida a trozos. 00:50:49
Hasta ahora hemos visto cómo las funciones son así, así, como sea. 00:50:56
Pero hay funciones que tienen distinto valor, distintas expresiones, es decir, que no son continuas, sino que van definidas a trozos. 00:51:02
¿Entendéis lo que es una función? ¿Lo veis? La diferencia entre esto, por ejemplo, que es una función que tiene una expresión y es una función que no tiene, siempre es la misma expresión. 00:51:12
Esta, en este tipo, este tipo de funciones tiene distintas expresiones. Veremos cuando trabajemos ya con las fórmulas esto que sería. 00:51:24
se definen como y, en este caso sería y, para definir esta función tendríamos que 00:51:32
definirla de la siguiente manera, tendríamos que decir y es igual a 0.50 más 0.90 si el 00:51:41
tiempo, x es igual, no, perdón, x está entre 0 y 30 minutos. Eso se escribe de esta manera, 00:52:00
cuando x es menor que 30 y mayor que 30. ¿Entendéis esta manera de escribirlo? Este símbolo 00:52:15
Es el símbolo menor, y es menor lo que hay en el pico y mayor lo que hay en el pico. 00:52:25
Si x es mayor que 0 pero menor que 30, es decir, está entre 0 y 30, la fórmula es esta. 00:52:31
Y es igual a 0,50 más 1,80 para, esto se escribiría así, x entre 60 y 30. 00:52:37
¿De acuerdo? Va cambiando la expresión que yo tengo que utilizar, va cambiando en función del rango de valores que tenga la X. 00:52:52
Eso son lo que se llama funciones definidas a través de los valores, el rango de valores de la X. 00:53:02
La siguiente, esta sería y es igual a 0,50 más 2,70 para x mayor que 60 y menor que 90. 00:53:09
Y por último, y es igual a 0,50 más 0, no, 360, perdón, 360 para el x entre 120 y 90. 00:53:30
Esta sería la expresión de lo que está. 00:53:47
Que si esto lo llevo a una gráfica, pues sería una gráfica de este tipo. 00:53:52
¿De acuerdo? 00:54:00
¿Vale? 00:54:02
Vamos con esto. 00:54:04
Es decir, que si os dan una gráfica que no es así, sino que es así de esta manera, 00:54:05
para definirla, cada trozo tiene una definición distinta. 00:54:12
En las gráficas que son a trozos, es decir, que van saltando de un lado a otro, 00:54:17
la definición en cada trozo es distinta. 00:54:22
¿De acuerdo? 00:54:26
Bueno, vamos con esto. 00:54:27
Vamos con este, dice, vamos a leer esta, este, dice, esta gráfica resume la excursión, una excursión que se ha realizado a la sierra de Guadarrama, ¿cuánto tiempo duró la excursión? 00:54:30
Esto es tiempo y distancia recorrida, ¿vale? Esto es tiempo y estos son kilómetros recorridos. 00:54:43
Cada raya de estas son 00:54:53
A ver, estos son 10 00:54:56
Estos son 12 00:54:58
Es en horas 00:55:08
Y 20, ¿vale? 00:55:09
Y estos son 10 00:55:10
Estos son 20 00:55:12
Estos son 30 00:55:13
40, 50, 60 00:55:15
¿Lo veis? Ahora sí 00:55:17
Dice, ¿cuánto tiempo duró la excursión? 00:55:19
20 horas 00:55:22
Ahí se refiere a las horas del día, no a las horas que han durado. 00:55:22
Claro, eso será a las 10, a las 12, a las 12. 00:55:26
¿Cuántas horas hubo de fusión? 00:55:30
Hasta las 8 de la tarde. 00:55:31
¿Qué son? ¿Cuánto? Bueno, 8 horas, ¿no? ¿Cuántas? 00:55:32
10, 20 horas. 00:55:35
¿20 horas? 00:55:37
Ay, entonces sí. 00:55:38
¿20 horas, no? 00:55:39
Si salimos, si salimos, a ver, a qué hora salimos. 00:55:41
A las 12. 00:55:44
Ah, no, estas son las 8, son las 8. 00:55:46
Espera, espera, sí, sí, es que no se ve. 00:55:48
Esto, esto es... 00:55:49
Yo los conozco que lo hacen 00:55:51
Empezamos a las 8 00:55:55
Empezamos a las 8 de la mañana 00:55:58
Y terminamos a las 20 00:56:00
¿Cuántas horas se durará la excursión? 00:56:01
12 horas 00:56:03
¿Vale? ¿Está claro? 00:56:04
Dice, ¿en qué intervalo de tiempo se fue más rápido? 00:56:07
Se fue más rápido 00:56:11
Que entre las 11 y la 1 00:56:12
A ver, nos dice 00:56:14
En el intervalo, en este intervalo 00:56:16
Aquí 00:56:18
¿En cuál otro se fue más rápido? 00:56:19
En el de las ocho y las diez. 00:56:21
¿Ves, no? 00:56:24
El que vaya más rápido se ve claramente la inclinación que tenga la línea. 00:56:25
¿Por qué se ve claramente la inclinación que tenga la línea? 00:56:30
Porque cuanto más... 00:56:33
Eso está tardando más tiempo en recorrer los mismos kilómetros. 00:56:35
Pero si yo subo hacia acá el este, o sea, si yo lo voy subiendo hacia acá, 00:56:39
pues lo que hago es ir aumentando 00:56:45
el número de kilómetros en las mismas horas 00:56:48
¿lo veis? ¿no? entonces 00:56:49
en este caso 00:56:51
en este caso 00:56:52
lo que nos preguntan 00:56:55
¿en qué periodos de tiempo ha ido más rápido 00:56:56
que en este de aquí? pues en este 00:57:00
y en este 00:57:02
que es donde tiene mayor pendiente 00:57:03
luego ha ido más rápido 00:57:05
entre las 8 y las 10 00:57:07
y entre las 00:57:08
7 y las 8 de la tarde 00:57:10
¿de acuerdo? 00:57:13
dice, venga, alguien que me explique 00:57:14
a ver si es capaz de darme una explicación 00:57:17
a esta excursión 00:57:19
¿qué es lo que se ha hecho en esta excursión? ¿qué ha pasado? 00:57:20
¿salimos? 00:57:24
a las 8 de la noche 00:57:24
un poquito más, alárgate un poquito más 00:57:25
¿qué pasó? 00:57:28
¿descansamos a las? 00:57:31
a la 1 00:57:33
¿y entre las 8 y la 1 qué pasó? 00:57:34
no paramos de andar 00:57:36
¿pero qué pasó? 00:57:38
empezamos muy rápido 00:57:41
empezamos muy rápido 00:57:42
pero cuando llevábamos dos horas 00:57:44
bajamos el ritmo 00:57:46
pero aquí no sabemos cómo es el ritmo 00:57:47
lo que sabemos es que íbamos más deprisa 00:57:49
íbamos más despacio 00:57:53
pero no sabemos por qué 00:57:54
si porque somos mayores, si porque nos hemos cansado 00:57:55
si porque el terreno era más escarpado 00:57:58
no sabemos, eso no lo podemos decir 00:58:00
no lo sabemos 00:58:02
pero lo que sí sabemos es que íbamos 00:58:03
empezamos muy rápido 00:58:06
entre las 8 y las 10 y a las 10 bajamos el ritmo 00:58:07
a las 11 decimos descansar 00:58:09
¿Cuánto descansamos? A la 1. 00:58:11
Digo, a la 1. Hasta las 3. 00:58:13
Estuvimos dos horas descansando. 00:58:16
Supuestamente, dadas las horas, ponemos que es para comer. 00:58:17
¿No es así? Bueno. 00:58:20
Y entonces, reanudamos la marcha. ¿A qué hora? 00:58:21
A las 3. 00:58:24
¿Y qué pasó? 00:58:26
A las 6. Estábamos cansados ya. 00:58:27
Pero, ¿a qué ritmo? 00:58:30
Empezamos después de comer, 00:58:31
mantuvimos el ritmo 00:58:33
que veníamos antes de comer. 00:58:36
Es decir, que después de comer 00:58:38
íbamos un poquito 00:58:40
cancha o así de acción 00:58:41
de la digestión y mantuvimos 00:58:43
el ritmo. Y luego, ¿qué pasó? 00:58:45
Descansamos una hora 00:58:47
y ¿qué pasó? 00:58:50
Que nos dimos cuenta 00:58:52
que no llegábamos. 00:58:53
O sea, hacía de noche. 00:58:55
Algo pasó aquí 00:58:58
que después del descanso 00:58:58
tuvimos que aumentar 00:59:02
muchísimo el ritmo porque 00:59:03
o no llegábamos o se nos hacía 00:59:05
de noche. Bueno, es difícil 00:59:07
pensar que justamente al final es cuando más 00:59:09
energía tengas, por mucho descanso que hayas 00:59:11
hecho, pero es verdad que al final 00:59:13
por alguna razón que desconocemos 00:59:15
con la gráfica no nos lo dice, pasó esto 00:59:16
¿de acuerdo? 00:59:19
bueno, pues venga, vamos con más 00:59:21
a ver qué nos dice 00:59:23
esto, dice, la relación entre 00:59:24
la altura y la edad de los diferentes 00:59:27
componentes en el que prepara un cesto, ¿es una relación 00:59:28
funcional? 00:59:31
no, ¿por qué? 00:59:32
porque no 00:59:36
depende una de la otra 00:59:37
o sea, si hay una relación funcional 00:59:38
es porque hay una dependencia 00:59:40
cuando cambia una, cambia la otra 00:59:41
de una manera continua 00:59:44
y la relación entre la edad y la altura 00:59:45
claro 00:59:48
se supone 00:59:48
van creciendo 00:59:51
pero luego dejan de crecer 00:59:52
vale 00:59:55
bueno, seguimos 00:59:56
bueno, así lo vamos a dejar 00:59:58
es que esto ya empezamos 01:00:01
en otro esto 01:00:03
que son las características de una función 01:00:05
que lo veremos en su presentación 01:00:07
¿de acuerdo? 01:00:08
vale, pues 01:00:10
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
Dominio público
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Fecha:
20 de febrero de 2026 - 12:46
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
1h′ 00′ 14″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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Tamaño:
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