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Límite (1 - 1/x) ^ x - Contenido educativo

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Subido el 12 de octubre de 2020 por Esteban S.

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Hola alumnos y alumnas de segundo de bachillerato. Vamos a resolver este límite. 00:00:03
Ya aviso que este vídeo lo voy a ir haciendo despacio para que veáis cómo hay que justificar los resultados en matemáticas. 00:00:10
Ya aviso que es un vídeo que a lo mejor es un poco largo. A ver lo que sale. 00:00:22
Bueno, nos han pedido este límite 00:00:27
Este es el límite que veis ahí 00:00:29
Entonces lo primero que hacemos, como siempre, ya sabemos la técnica 00:00:31
Sustituimos 00:00:34
Y ahí abajo me va a quedar 1 elevado a más infinito 00:00:35
Y esto ya sabemos que es una indeterminación de tipo E 00:00:41
Vamos a ver cómo podemos resolver esta indeterminación 00:00:48
Lo primero que vamos a recordar es qué es el número E, que es una cosa que no acabamos de tener claro. 00:00:55
El número E lo encontramos en límites de esta forma, 1 más 1 partido por algo, voy a poner así, elevado a eso mismo. 00:01:05
Pues, en estas condiciones, si esto se va a más infinito y esto, que es exactamente lo mismo, 00:01:26
pues también tiene que ir a más infinito, es decir, en estas condiciones y sólo en estas, 00:01:41
vamos a repasarlas, tiene que ser 1 más 1 entre una expresión y que esta expresión tienda a infinito 00:01:47
y ahí también, bueno, pues en esas condiciones 00:01:58
y solo en esas, por ahora no podemos decir nada más 00:02:01
eso es el número E 00:02:04
¿de acuerdo? 00:02:07
bien, ya digo lo primero que tengo que decir 00:02:12
entonces, si esto de aquí 00:02:15
tendiera a menos infinito, pues yo no sé nada 00:02:18
yo no puedo contestar 00:02:21
si ocurriera esto, porque no sé lo que es 00:02:24
Ya veremos si luego sé contestar, a lo mejor al terminar este vídeo sí sabemos contestar 00:02:27
Bien, pues vamos a empezar a hacer nuestro límite 00:02:31
Entonces nuestro límite, lo voy a poner en negro, que no me gusta más 00:02:36
Nuestro límite es este, límite cuando x tiende a más infinito de 1 menos 1 partido por x elevado a 1 00:02:44
Yo lo que quiero es esto, quiero escribirlo de esta manera, yo quiero escribirlo como el límite cuando x tendrá más infinito, pero aquí lo que quiero tener es 1 más 1 entre algo elevado a eso mismo y que esto vaya más infinito y esto vaya más infinito. 00:02:56
Vamos a ver si soy capaz de tener eso 00:03:23
Porque si soy capaz de tener esto 00:03:26
Y más cosas, pues ya podré contestar 00:03:28
Así que seré capaz 00:03:30
De conseguir esa expresión de esa manera 00:03:34
Vamos a manipular esa expresión 00:03:37
Por cierto, a lo único a lo que me puedo agarrar 00:03:39
Es a la álgebra 00:03:42
O sea, a manipular esta expresión 00:03:43
Porque yo no sé otra cosa 00:03:45
Lo primero que tenemos es lo siguiente 00:03:48
A ver si lo entendemos bien 00:03:53
Esta expresión 00:03:54
que está elevado a x 00:03:57
si yo opero abajo 00:03:59
esto me queda 00:04:01
x menos 1 entre x elevado a x 00:04:02
bueno, pues entonces fijaros 00:04:05
vamos a hacer 00:04:12
esta división para que entendáis bien 00:04:12
cuál es la problemática 00:04:16
vamos a hacer esta división 00:04:17
mirad, esta división 00:04:19
que por cierto 00:04:21
ya sabéis que es lo que va a salir 00:04:24
va a salir esto de aquí 00:04:25
esto, evidentemente 00:04:26
x entre x 00:04:29
vale 1, 1 por x, x 00:04:31
lo estoy restando, menos x 00:04:33
luego aquí me queda menos 1 00:04:35
luego esto significa 00:04:36
que al dividir x menos 1 00:04:38
perdonadme que eso sale a veces 00:04:41
porque lo hago muy seguido 00:04:43
x menos 1 entre x elevado 00:04:46
es igual al divisor 00:04:47
o sea, al cociente, 1 00:04:48
más el resto 00:04:50
menos 1 partido por el 00:04:52
bueno, pues este menos 1 00:04:56
es el que nos está fastidiando 00:04:59
este menos 1, 1 entre x 00:05:01
bueno, lo vamos a poner así 00:05:03
¿veis? este es lo que nos está fastidiando 00:05:05
porque esto de aquí 00:05:09
yo quiero que sea un más y es un menos 00:05:10
¿por qué me sale un menos aquí? 00:05:13
pues por lo siguiente 00:05:16
porque en esta 00:05:17
división que he hecho 00:05:20
el dividendo 00:05:21
es más pequeño 00:05:24
que el divisor 00:05:26
el dividendo 00:05:27
es aquí menos 1 00:05:29
y el divisor es x, al ser más pequeño, porque es x menos 1, pues el resto me sale negativo, me está restando. 00:05:31
Ese es el problema. 00:05:42
Entonces, ¿qué tenemos que hacer? 00:05:46
Tenemos que conseguir que en esta expresión que tenemos aquí, 00:05:48
de alguna manera, que esta fracción que hay aquí en la base, el numerador sea mayor que el denominador. 00:05:54
¿Cómo lo podemos hacer? 00:06:02
Pues con esta manipulación, recordando que, ¿cómo se le daba la vuelta a una fracción? 00:06:03
O sea, ¿qué operación hace que una fracción se convierta en la misma dada la vuelta? 00:06:12
Pues esta operación. 00:06:20
La voy a poner en rojo para que veáis que os vais a acordar. 00:06:22
Esta operación. 00:06:28
O sea, la fracción a partido por b. 00:06:29
Si yo quiero darle la vuelta, ¿cómo se llama esta operación? 00:06:31
Esta operación se le llama elevar a menos 1, claro que sí, ¿sí? 00:06:35
Muy bien, pues ya voy aquí, entonces mi fracción, si yo le doy la vuelta, 00:06:43
tengo que elevar a menos 1, y menos 1 por x, pues será menos x, ¿eh? 00:06:50
Y ahora ya vamos bien, porque ahora ya mirad, voy a dividir x entre x menos 1, a ver quién es. 00:06:58
1 por menos 1 menos 1, le estoy cambiando el signo, más 1, 1 por xx menos x, y me queda 1. 00:07:08
Luego ya tengo que el dividendo entre el divisor es igual al cociente más el resto. 00:07:15
Por tanto, mi nueva expresión va a ser esta. 00:07:23
cociente 00:07:28
1 más 00:07:31
resto 00:07:35
1 partido 00:07:38
por el divisor 00:07:41
y esto está elevado a menos x 00:07:43
ya he conseguido lo que quería 00:07:47
ya lo tengo 00:07:50
bien, pues entonces ahora sí que puedo ya terminar 00:07:51
fijaros 00:07:56
lo escribo todo, límite cuando x 00:07:57
tiende a más infinito de lo que me estaban pidiendo 00:08:00
esto hemos visto 00:08:02
que manipulando esa expresión 00:08:06
sólo con álgebra. Esto es lo mismo que 1 más 1 partido por x menos 1 elevado a menos x. 00:08:08
Y ahora esto sí que ya rapidísimo lo podemos hacer. Y esto es 1 más 1 partido por x menos 1, 00:08:17
lo elevo a lo mismo, x menos 1, lo que había, menos x, y el inverso, 1 partido por x menos 1. 00:08:26
esto no ha cambiado 00:08:33
y ahora ya si que estoy 00:08:37
en las condiciones de encontrar E 00:08:40
ya he visto E 00:08:42
te he encontrado, aquí está C 00:08:43
eso es E 00:08:46
¿por qué esto es E? 00:08:52
ahora si 00:08:54
ahora si lo puedo decir 00:08:55
porque esto 00:08:57
va a más infinito 00:08:59
y esto que es lo mismo 00:09:01
también tiende a más infinito 00:09:04
y ya tengo mi expresión 00:09:07
1 más 1 partido por una expresión que tiende a más infinito 00:09:09
Entonces todo esto que he rodeado de rojo 00:09:14
Eso sí que es el número b 00:09:16
Por tanto, este límite es igual a 00:09:18
E elevado a este límite 00:09:24
El límite cuando x tiende a más infinito 00:09:30
De lo que queda ahí arriba 00:09:32
Que es menos x partido por x menos 1 00:09:34
Y el exponente de ese límite es menos 1 00:09:37
Luego esto es elevado a menos 1 00:09:40
Si lo queréis poner así, pues también es válido. 00:09:42
Pues fijad, lo voy a poner más pequeñito. 00:09:46
Ya lo hemos justificado. 00:09:49
Os recuerdo una vez más que lo bonito, lo más bonito de la matemática es que todo, todo, todo se puede contestar, por decir así. 00:09:52
O sea, se puede decir que sí o que no. 00:10:04
En este caso lo hemos ido justificando pasito a pasito, aplicando la lógica. 00:10:07
y lo que sabemos de matemáticas, hemos llegado a la conclusión de que nuestro límite es 00:10:12
esto, elevado a menos 1. Como esto me parece 00:10:15
muy interesante, lo voy a remarcar, porque ahora ya 00:10:22
siempre que nos pidan este límite, ya podemos decir que esto es 00:10:27
elevado a menos 1, lo acabamos de demostrar. Ahí está 00:10:31
demostrado, buena fórmula. Lo que no podía hacer era acudir 00:10:39
a esa fórmula que conocéis algunos, porque no sabemos cómo 00:10:44
funciona en más infinito menos infinito no se sabe. Dicho esto voy a continuar 00:10:48
porque al hacer esto nos surgen preguntas os están surgiendo preguntas os estoy 00:10:56
oyendo desde aquí porque ahora mismo oigo que me están preguntando anda 00:11:04
profesor entonces ¿cuánto será este límite? ¿cuánto será este límite? es decir 00:11:09
¿Este límite cuánto será? 00:11:20
Porque tú nos has hecho mucho hincapié en eso 00:11:23
¿Y ahora cómo será? 00:11:26
Fijaros ahora aquí 00:11:27
Yo no puedo decir que esto sea el número E 00:11:28
Porque esto de aquí tiende a menos infinito 00:11:32
Y esto de aquí tiende a menos infinito 00:11:36
¿Qué será? 00:11:38
Dicen algunos chicos y chicas, estudiantes 00:11:41
Que han visto en los libros que eso también es el número E 00:11:45
Pero yo no lo sé 00:11:48
Que hay una fórmula que lo dice 00:11:49
Bueno, no lo sé 00:11:51
Vamos a hacerlo nosotros 00:11:51
Porque ahora sí que podemos hacerlo 00:11:53
Ahora sí que podemos hacerlo 00:11:55
Como lo podemos hacer 00:11:56
Pues vamos a estar contentos por haber sacado este resultado 00:11:58
Vamos allá 00:12:00
Venga, preparados 00:12:01
Listo, ya 00:12:03
Perdóname porque lo quiero poner en negro 00:12:04
Ya estoy 00:12:08
Vamos a hacer este límite 00:12:08
Lo voy a hacer aquí 00:12:10
Sigo a continuación 00:12:11
Este límite 00:12:12
Vaya, ¿por qué te pones rojo? 00:12:14
Este límite 00:12:18
es el límite cuando x tiende a, acordaros, cambio, 00:12:18
cambio x tiende a menos infinito por x tiende a más infinito, 00:12:28
y cambio la x por menos x. 00:12:31
Muy bien. 00:12:36
Resulta que esto es exactamente el límite cuando x tiende a más infinito 00:12:39
de 1 menos 1 partido por x 00:12:44
elevado a x por menos 1 00:12:48
y ahora viene la maravilla 00:12:52
ahora bien, que esto de aquí 00:12:57
es justamente lo que nos ha costado tanto de mostrarlo 00:13:00
todo eso de ahí es elevado a menos 1 00:13:06
por tanto, este último límite será igual a 00:13:08
e elevado a menos 1 00:13:13
y todo eso 00:13:16
elevado a menos 1 00:13:18
por cierto, espero que esto lo entendáis 00:13:20
porque 00:13:26
a ver 00:13:26
si lo entendéis 00:13:28
esto de aquí 00:13:30
es un producto 00:13:32
de exponentes, ¿de dónde viene un producto de exponentes? 00:13:35
un producto de exponentes viene de una potencia 00:13:38
elevada a otra 00:13:40
perfecto, y esto es 00:13:40
ni más ni menos que 00:13:45
elevado a menos uno por menos 11 luego ya puedo concluir lo siguiente 00:13:46
que el límite cuando x tiende a menos infinito de poner el menos infinito que 00:13:56
se real límite cuando x tiende a menos infinito de 1 más 1 partido por x 00:14:01
elevado a x también es el número esto es interesante porque nosotros si 00:14:10
sabíamos esto, que el límite cuando x tiende a más infinito de esto, esto es que 00:14:21
lo sabíamos, de hecho esto es la definición, este es el número e, esto sí lo 00:14:26
sabíamos, esto sí lo sabíamos, y ahora acabamos de demostrar esto, así que por 00:14:30
eso en algunos libros pone que es el límite cuando x tiende a infinito, me da 00:14:38
igual que sea más o menos de 1 partido por 1 partido por x elevado a x, pero 00:14:47
esto sólo lo puedo poner después de demostrar esto basándome en esto. 00:14:53
Por tanto, ahora sí que podemos utilizar esa fórmula que tanto os gusta, 00:15:00
la que viene en los libros y tanto os gusta, ahora sí, porque ya hemos 00:15:06
demostrado que el límite de 1 más 1 partido por x elevado a x es e, tanto si 00:15:10
tienda más infinito como a menos infinito. Muy bien, pues este era el vídeo. Espero que os haya 00:15:17
interesado. He intentado hacerlo despacio y razonando todos los pasos para que veáis bien 00:15:26
cómo se trabaja matemáticamente. Un saludo y gracias por escucharme. 00:15:31
Autor/es:
Esteban Serrano
Subido por:
Esteban S.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
43
Fecha:
12 de octubre de 2020 - 15:49
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
15′ 40″
Relación de aspecto:
1.85:1
Resolución:
1376x744 píxeles
Tamaño:
591.65 MBytes

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