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Encuentra a, b y c para que f sea derivable y f(0)=f(4) - Contenido educativo

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Subido el 14 de enero de 2025 por Jose Luis M.

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Encuentra a, b y c para que f sea derivable y f(0)=f(4)

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Hola, en este vídeo vamos a resolver el siguiente ejercicio. 00:00:00
Nos dan una función definida a trozos, como se puede ver, 00:00:04
f de x igual a x cuadrado más a por x más b si x menor que 1 00:00:07
y c por x si x mayor o igual que 1. 00:00:12
Y nos piden calcular a, b y c para que la función sea derivable en x igual a 1, 00:00:17
sabiendo que f de 0 es igual a f de 4. 00:00:23
Bien, observando la función vemos que realmente lo que tenemos son dos polinomios 00:00:26
x cuadrados más a por x más b, que es continuo en todo su dominio de definición 00:00:31
y c por x, que es continuo en todo su dominio de definición 00:00:37
Por tanto, para que esta función sea continua tendremos que estudiar la continuidad en x igual a 1 00:00:42
Para estudiar la continuidad en x igual a 1, pues comenzamos 00:00:49
x igual a 1, lo primero que tenemos que estudiar es f de 1, que va a ser c. 00:00:54
El segundo paso que tenemos que estudiar es el límite cuando x tiende a 1 de f de x. 00:01:08
Para esto tendremos que estudiar sus límites laterales. 00:01:17
Vamos a hacer el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda y el límite cuando x tiende a 1 por la derecha. 00:01:20
Si x tiende a 1 por la izquierda, cogeremos la función x cuadrado más a por x más b, cuyo límite nos va a dar 1 más a más b. 00:01:29
Y si cogemos el límite por la derecha será c por x, cuyo límite nos va a dar c. 00:01:47
Por tanto estas dos cosas tendrán que ser iguales, es decir, 1 más a más b igual a c. 00:01:57
Esto sería como una primera condición que tiene que cumplir para que sea continuo en x igual a 1. 00:02:08
Otra pista la tenemos en que nos dicen que es derivable. 00:02:17
Por lo tanto, si es derivable, voy a encoger esto un poquito, lo voy a dejar aquí, si es derivable, pues lo mismo, son polinomios, son derivables. 00:02:21
Entonces la derivada la pondremos como f' de x igual, esto será 2x más a si x menor que menos 1 y esto será c si x mayor que 1. 00:02:43
Y nos queda estudiar qué pasa cuando x es igual a 1. 00:03:09
Para eso vamos a hacer las derivadas laterales, que serán, lo podemos escribir así, 00:03:14
la derivada lateral por la izquierda, que realmente es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de 2x más a, 00:03:20
que es igual a 2 más a 00:03:32
y la derivada por la derecha de esto 00:03:38
que será igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha 00:03:45
y aquí cogeremos c directamente 00:03:53
luego es c 00:03:56
y como es derivable estos dos valores tienen que ser iguales 00:03:58
2 más a tiene que ser igual a c 00:04:01
tenemos la segunda condición 00:04:05
¿Podemos resolver con estas dos condiciones? 00:04:12
Pues no, porque tenemos tres letras y dos ecuaciones. 00:04:15
Tenemos que buscar una condición más. 00:04:20
Si hago esto pequeño, la siguiente pista nos la da el hecho de que nos dicen que f de 0 es igual a f de 4. 00:04:23
Esto significa que f de 0 es igual a b y f de 4 es igual a 4c. 00:04:38
Por tanto, b es igual a 4c. 00:04:53
Si ahora juntamos las tres condiciones, pues tenemos que 1 más a más b es igual a c. 00:05:00
tenemos que 2 más A es igual a C y que B es igual a 4 por C. 00:05:10
Ahora resolvemos esto como podamos y obtenemos que, bueno lo voy a hacer en una página nueva, 00:05:22
Teníamos como sistema 1 más A más B igual a C, 2 más A igual a C y, por otro lado, teníamos que B es igual a 4C. 00:05:32
Bueno, pues por ejemplo podríamos aquí despejar A va a ser igual a C menos 2 y B ya la tenemos despejada, 4C. 00:05:59
Entonces, podemos ponerla en la primera ecuación y tendremos que 1 más c menos 2 más 4c es igual a c. 00:06:14
Esto va a quedar menos 1 más 5c es igual a c o menos 1 es igual a menos 4c. 00:06:31
por lo tanto la C vale 1 cuarto 00:06:41
si la C vale 1 cuarto pues ya tenemos que entonces B 00:06:45
valdrá 4 por 1 cuarto que es igual a 1 00:06:53
o sea que B igual a 1 00:06:59
y por último la A será igual a 00:07:03
1 cuarto menos 2 que esto es 00:07:10
4, 1 menos 8 que es igual a 00:07:14
menos siete cuartos 00:07:18
nuestra solución es 00:07:20
a igual 00:07:23
menos siete cuartos 00:07:24
b igual 00:07:28
c igual 00:07:31
para estos valores de a, b y c 00:07:36
esa función será 00:07:38
derivable 00:07:41
y continua 00:07:42
y además f igual a f 00:07:44
y eso es todo 00:07:48
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
José Luis Muñoz Casado
Subido por:
Jose Luis M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
14 de enero de 2025 - 13:41
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PROFESOR JULIO PÉREZ
Duración:
07′ 53″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
4096x2304 píxeles
Tamaño:
116.61 MBytes

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